Учебное пособие для студентов строительных специальностей высших учебных заведений Минск 2004
 Скачать 2.66 Mb.
|
|
3.2. Определение и проверки правильности коэффициентов при неизвестных и свободных членов уравнений метода сил их стержневых имеет вид ∑ ∫ ∑ ∫ ∑ ∫ = = = = i i i EF GF EI 1 0 1 0 1 0 е: ∫ l 0 охватывает отдельные стерж ли участки стержней, а ∑ n 1 – все элементы системы. Формула (а) является точной формулой, в которой одна группа усилий = = + + n i l p i n i l p i n i l p i dx N N dx Q Q dx M M µ , (а) гд ни и вызвана единичной нагрузкой 1 = i X (сосредоточенной силой, сосредоточенным моментом и т.д.), а вторая группа усилий ( ) p p p N Q M , , – заданной нагрузкой. При выполнении расчетов конкретных систем некоторые члены формулы (а) можно не учитывать, ввиду их малости. Например, при расчете ферм по шарнирной расчетной схеме и с узловой нагрузкой обращаются в нуль первые два члена формулы (атак как во всех элементах фермы изгибающие моменты и поперечные силы равны нулю. В случае стержневых систем, элементы которых работают преимущественно на изгиб (балки, рамы и при определенных исходных данных арки, близкие к действительным значения перемещений системы уравнений (3.1) могут быть найдены по приближенным формулам, пренебрегая влиянием поперечных и продольных сил ; 0 2 ∑∫ = l EI dx M i ∑∫ = ∆ EI dx M M p i . (3 ; ∑∫ = = EI dx M M k i δ δ i i δ i k k i p i .2) Численны ремножения эпюр, построенных в основной системе при последовательном е значения этих перемещений обычно находят способом пе- загружении ее силами ( ) i i M X 1 = и заданной внешней нагрузкой ( Проверки правильн k i δ и p i ∆ ости вычисленных значений перемещений могут ей быть выполнены с помощью зависимост ( n i ) EI dx M M s i s i , , 2 , 1 K = = ∑ ∑ ∫ δ – построчные перемножения любой единичной эпюры проверки, те. результат i M на суммарную единичную эпюру должен быть равен алгебраической сумме коэффициентов при неизвестных ой строки системы канонических уравнений универсальные проверки по формулам M ( ) ∑ ∑∫ ∑ ∑∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = = ; , , 2 , 1 ; , , 2 , 1 0 2 n k n i EI dx M k i s K K l δ (3.3) где s M – суммарная эпюра изгибающих моментов, получаемая по условию Равенства (3.3) выражают условие, что результат пой эп еремножения сум- марн юры ( s M ) на саму себя должен быть равен алгебраической сумме коэффициентов при неизвестных всех рассматриваемых канонических уравнений, а результат перемножения этой эпюры на эпюру от заданных нагрузок ( ) p M д. й задаче перемещения находят с помощью формул (3.2), то эти же пере астка) имеет вид олжен быть равен алгебраической сумме свободных членов уравнений (Если в решаемо p i мещения могут быть определены по формуле Симпсона, которая для отдельного стержня (уч б) где p s ∆ – перемещение точки S по направлению силового фактора 1 = s X ; n n EI l , – соответственно длина стержня (участка) и его изгибная ест- ж кость; m i M M , – изгибающие моменты в крайних сечениях участка i и m, вызванные силой 1 = s X , а k M - изгибающий момент от этого воздействия в p m p k p i M M M , , – изгибающие моменты в указанных сечениях, вы середине участка (сечение к званные действием заданных нагрузок. Слагаемые в формуле (б) принимаются положительными, если изгибающие моменты в рассматриваемом сечении в обоих состояниях расположены с одной и той же стороны от оси стержня. При использовании формулы б) нужно помнить, что она дает точное значение, если произведение или дает уравнение не выше параболы третьей степени. Если способ перемножения эпюр применить невозможно (например, стержень большой кривизны или же жесткость EI переменна по длине стержня, то перемещения с достаточной степенью точности могут быть вычислены путем численного суммирования конечного числа слагаемых. Этот прием часто используется в расчетах статически неопределимых арок. p i M M k i M M 35 3.3. Построение и проверки правильности окончательных эпюр M , и Q N Решив систему уравнений (3.1), найдем фактические значения принятых в основной системе неизвестных усилий . Загрузив основную систему внешними нагрузками и силами n X X X , , , 2 1 K , в статически неопределимой системе с помощью уравнений статики можно найти изгибающие моменты, поперечные и продольные силы во всех элементах системы. Но этот прием может оказаться слишком громоздким, если рассматриваемая система содержит более двух 1 K лишних связей. Окончательную эпюру изгибающих моментов в заданной системе обычно получают пользуясь принципом независимости действия сил по формуле n n p X M X M X M M M ⋅ + + ⋅ + ⋅ + = K 2 2 1 1 , (3.4) где p – эпюра изгибающих моментов в основной системе от заданных нагрузок i i X – скорректированные единичные эпюры с учетом фактического численного значения и знака уси ия M л i X С помощью окончательной эпюры изгибающих моментов ( ) M , рассматривая отдельные стержни или участки стержней, строят эпюру поперечных сила затем эпюру продольных сил Q ( ) N . Построение окончательных эпюр Q M , и N обычно выполняется в указанной последовательности. Эпюра изгибающих моментов является исходной, и прежде чем строить эпюры поперечных и продольных сил, необходимо выполнить статическую и кине- матич моментов, приложенных к примыкающим к ескую проверки правильности эпюры моментов. Статическая проверка состоит в том, что проверяют равновесие узлов системы под действием изгибающих ( ) узлу отсеченным стержням ∑ = 0 узл M В кинематической (основной) проверке отыскиваются перемещения в заданной системе по направлениям имеющихся связей. В заданной системе эти перемещения должны быть равны нулю и должны соблюдаться условия 36 ( ) n i EI Mdx M i , , 2 , 1 0 0 K l = = ∑ ∫ или 0 = x . (3.5) Для стержневых систем средней сложности относительная погрешность вычислений, должна составлять не более 3%. Поперечные силы в стержнях можно получить с помощью эпюры изгибающих моментов, рассматривая равновесие отдельных стержней или участков стержней, или же по формуле n n n o x x M M Q Q l 1 − − + = , (3.6) где o x – значение поперечной силы в сечениях простой шарнирно опертой балки – значения изгибающих моментов в сечениях на концах стержня или участка – длина стержня (участка. Q 1 − n n M M Пользуясь формулой (3.6), изгибающие моменты M M следует принимать с одним знаком, если на эпюре моментов они расположены с одной стороны от оси стержня и с разными знаками – если с разных сторон от его оси. n и С помощью эпюры поперечных сил, рассматривая равновесие вырезанных узлов, находят продольные силы в стержнях системы. Вырезать узлы следует в такой последовательности, чтобы в рассматриваемом узле было не более двух неизвестных продольных сил и эти силы не должны быть параллельны друг другу. С помощью эпюр изгибающих моментов, поперечных и продольных сил могут быть найдены опорные реакции системы. Проверки равновесия системы в целом выполняют, пользуясь уравнениями равновесия ∑ ; = 0 X ∑ = 0 Y 0 и кВ эти уравнения должны быть включены все внешние нагрузки и опорные реакции системы. По этим же уравнениям проверяют равновесие любой отсеченной части системы. 37 3.4. Пример расчета плоской рамы методом сил На рис. 3.3 приведена заданная рама и действующие на нее статические нагрузки. Требуется определить изгибающие моменты, поперечные и продольные силы в элементах рамы и построить эпюры этих усилий. Степень статической неопределимости (количество лишних связей) системы определим по формулами Рис. 3.3 ; 3 4 3 9 3 2 3 2 0 = ⋅ − + ⋅ = = − + = Д С Ш Л 3. 6 - 3 3 Ш - К 3 = ⋅ = = = Л Основную систему (ОС) примем, как показано на рис. 3.4. Риса) Система канонических уравнений имеет вид Коэффициенты при неизвестны и свободные члены канонических уравнений (а) определим по формул ренебрегая влиянием поперечных и продо 1 хам, п льных сил. Эпюры изгибающих моментов при последовательном загружении основной системы силами 1 = i X и заданной нагрузкой приведены на рис. 3.5. 38 Рис. 3.5 Численные значения коэффициентов при неизвестных и свободных членов уравнений (а) найдем способом еремножения эпюра именно п 6 3 2 11 EI 2 6 6 1 2 1 ⋅ ⋅ = ∑ ∫ ⋅ = EI dx M EI δ = ; 3 832 256 3 64 8 4 8 8 3 8 8 2 8 2 22 + ⋅ ⋅ = ∑ ∫ = dx M EI δ 2 1 1 2 = + = ⋅ ⋅ ; 3 8 2 1 2 4 1 1 2 33 = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ∑ ∫ = dx M EI δ 3 2 3 ; 128 8 4 2 2 1 21 12 = ⋅ ⋅ 6 2 + = ∑ ∫ = = M M EI EI δ δ ⋅ ⋅ dx 3 28 4 3 2 2 4 1 2 1 3 1 31 13 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⋅ = ⋅ ∑ ∫ = = ⋅ dx M M EI EI δ δ ; 16 8 4 ⋅ 1 2 1 3 2 32 23 = ⋅ = ⋅ ∑ ∫ = = ⋅ dx M M EI EI δ δ ; ; 1792 112 4 2 6 2 1 1 − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⋅ + − = ⋅ ∑ ∫ = ∆ ⋅ dx M M EI p p ( ) ; 3840 3584 256 112 4 8 0 40 4 4 8 112 8 6 8 2 2 − = − − = ⋅ ⋅ − − + ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ = ⋅ ∑ ∫ = ∆ ⋅ dx M M EI p p 224 112 4 1 2 1 − = ⋅ ⋅ − = ⋅ ∑ ∫ = ∆ ⋅ dx M M EI p p 3 3 39 Рис. 3.6 Выполним построчные проверки правильности коэффициентов при неизвестных, пользуясь условием ( ) 3 , 2 , 1 = = ∑ ∑ ∫ i EI dx M M j i s i δ , где s – суммарная единичная эпюра изгибающих моментов, получаемая по зависимости M 3 2 1 M M M M S + + = , приведена на рис. 3.6. Перемножен и s M ие эпюр выполним по формуле Симпсона или пользуясь правилом Верещагина. ( ) 3 628 3 620 3 8 15 6 5 , 12 4 4 10 2 1 6 4 2 3 2 2 2 2 1 1 1 1 = + = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = EI dx M E s ∑∫ M I ( ) 3 628 28 128 72 13 12 11 = + + = + + δ δ δ EI 3 3 1264 3 1200 3 64 8 4 2 15 10 1 1 8 3 2 8 8 2 1 8 1 2 = + = ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ = ∑∫ EI EI dx M M S 3 1264 16 832 128 ) ( = + + = + + δ δ δ EI 3 23 22 21 3 84 3 80 3 4 5 3 2 10 4 1 2 1 1 1 1 3 2 4 1 2 1 1 1 3 = + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ∑ ∫ EI dx EI M M S 3 84 3 8 16 3 28 ) ( 33 32 Проверки правильности коэффициентов при неизвестных ( помогут быть также выполнены, пользуясь универсальной проверкой, условию (3.3), те. ,..., 2 , 1 ; ,..., 2 , 1 2 ∑∫ ∑ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = = = k n i EI dx M k i s δ n 40 Проверим правильность вычисления свободных членов уравнений (а) ( ) 5856 5600 256 − = − − = 112 4 2 15 10 1 1 0 40 4 8 112 8 6 8 = ⋅ + − + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − = ∑∫ EI dx EI M M S P 4 ( ) ( ) ( ) 5856 224 3840 − 1792 ) ( 3 Следовательно, перемещения δ ив уравнениях (а) определены правильно. Подстави выч сленных ые уравнения а, имеем в значения и перемещений в исходн ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ − + + 3840 16 3 128 3 2 1 X X X ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎧ = − + + = = − + + , 0 224 3 8 16 3 28 ; 0 832 ; 0 1792 3 28 128 72 3 2 1 3 откуда кН X 57665 , 1 1 = , кН X 1387 , 13 2 = , Н 3 м к − = Проверка правильности решения системы уравнений производится путем подстановки полученных значений в исходные уравнения, например первое уравнение ( ) = − − + ⋅ + ⋅ 1792 350366 , 0 3 1387 , 13 128 57665 , 1 72 27 , 3 75 , 1681 519 , 113 28 0 27 , 1795 27 , 1795 1792 008 = + − = − − + = и т.д. ния. Окончательная эпюра изгибающих моментов может быть получена по Аналогично должны быть выполнены подстановки i X вовсе остальные исходные уравне условию (3.4), те. 3 3 2 2 1 Эпюры изгибающих моментов от фактических значений 2 1 , X X и приведены на риса результирующая эпюра – на рис. 3.8. р Рис. 3.7 Рис. 3.8 Проверки правильности окончательной эпюры изгибающих моментов Рис. 3.9 статическая проверка (см. рис. 3.9): ; 0 8903 , 6 8905 , 6 7371 , 3 1532 , 3 8905 , 6 " " = − = − − = ∑ B узла M кинематические проверки выполняются по условию (3.5): ( ) 0 , 0 2024 , 4 2044 , 4 2191 , 2 6 4 7590 , 0 4 2 7371 , 3 = − = ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ − × ; 02 1 6 4 2 3 2 2 1533 , 3 2 1 1 1 × ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ∑ относительная погрешность вычислений µ= 1 = EI % 05 , 0 2024 , 4 % 100 002 , 0 = ⋅ ; 42 ( ) %; 02 , 0 , 0043 , 0 2880 , 24 2923 , 24 7590 , 0 4 8 1 1 0 4 5548 , 12 4 8 8904 , 6 8 6 8 2 = = − = ⋅ ⋅ − − + ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ = ∑∫ µ EI dx M M EI ( ) %. 05 , 0 , 00024 , 0 46716 , 0 4674 , 0 1 3 2 4 35037 , 0 2 1 1 1 1 2191 , 2 5 , 0 7590 , 0 4 0 7371 , 3 1 6 Стаи ь тическая и кинематическ е проверки выполняются и, следовател - но, окончательная эпюра изгибающих моментов построена верно. Для построения эпюры поперечных сил воспользуемся окончательной эпюрой изгибающих моментов ( ) M На участках, где эпюра M имеет прямолинейное очертание, поперечная сила численно равна где – угол наклона эпюры M коси стержня. Если совмещения с эпюрой изгибающих моментов стержень нужно поворачивать походу часовой стрелки, то поперечная сила принимается положительной. Например, на участке АВ (рис. 3.10) имеем для 191 кН − = ⎟ ⎞ 4 2 , 2 Рис. 3.10 Аналогично получаем значения поперечных сил на частках BC, GR, К и у KG ; 5766 1 2 1532 3 кН , , Q BC − = − = ; 0876 , 0 4 35037 , 0 кН Q GF − = − = ; 6 3 18 кН Q EK + = + = кН Q KG 6 3 18 − = − = 43 О нт тдельные элеме ы системы с действующими на них внешними на- грузк балки в эквивалентном состоянии. При этом должны быть учтены опорные моменты (если таковые имеются) с учетом их знаков. Найденные значения суммарных опорных реакций на концах элемента будут равны соответствующим поперечным силам. Поперечные силы таких элементов могут быть также найдены по формуле (3.6). Например, на участке BE, где эпюра ами можно рассматривать как однопролетные шарнирно опертые – криволинейн рис 3.11), значения поперечной силы по формул еем: а (е (3.6) им Рис. 3.11 l М M Q Q лев x x − + = 0 ; пр ) ( ) ( ) ; 8613 , 8 86130 , 0 8 8 8904 , 6 0 8 кН Q B = + + = = − − + + = ( к 0,86130 Окончательная эпюра попер приведена на рис. 3.12. ечных сил Рис. 3.12 Эпюру продольных сил ( ) N построим по эпюре поперечных сил, рассматривая равновесие узлов. Узлы рамы вырезаем в такой последовательности, чтобы каждый рассматриваемый узел содержал не более двух стержней с неизвестными продольными силами. При составлении уравнений равновесия (например, 0 , 0 = ∑ ∑ = Y ) вначале полагается, что все неизвестные про тельными. Отсеченные узлы рассматриваемой рамы приведены на рис. 3.13. дольные силы являются растягивающими (положи Узел G: ∑ = ; 0 X GE N ; 0 0876 , 0 = − кН N GE 0876 , 0 = (стержень GE растянут. кН N N Y GF GF 0 , 6 ; 0 0 , 6 ; 0 − = = − − = ∑ GF сжат. (стержень Узел Е ∑ = − = ; 0 0876 , 0 ; 0 BE N X кН N BE 0876 , 0 = ∑ = 0 Y ; 0 1387 , 7 6 = + + ED N ; Рис. 3.13 кН N ED 1387 , 13 − = Узел В = + − ∑ = 4890 1 5766 1 0876 0 0 |