Учебное пособие для студентов строительных специальностей высших учебных заведений Минск 2004
 Скачать 2.66 Mb.
|
|
ос я наименьшей критической сжимающей нагрузки, действующей на упругий стержень постоянного сечения с шарни еет ид (5.12): тся к отыскиванию уравнений движения масс системы е , если ко еб вается первоначальное равновесие устойчиво если она равна нулю – система в кр чение наименьшей частоты соответ- В расчетной практике решение задач ус си, которыми мы воспользуе 5.6. Устойчив ть стержней постоянного сечени с жесткими опорами Формула Л.Эйлера для определения рно опертыми концами, им в 2 l EI P кр π = Для стержней постоянного сечения с различными опорными закрепле- 89 ниями узка может быть определена по щей формуле критическая нагр об ) 2 кр, 2 2 EI EI π π (5.24) где – приведенная (расчетная) длина сжатого стержня (это понятие впервые введено Ф.С. Ясинским в конце XIX века и лежит в основе практических методов расчета сжатых и сжато-изогнутых элементов конструкций согласно действующих норм 0 l µ – коэффициент расчетной длины, определяемый l l 0 = µ , (5.25) l – геометрическая длина сжатого стержня. Из равенства (5.24) получаем формулу для определения расчетной длины сжатого стержня кр, (5.26) где кр – значение критической нагрузки для данного стержня. В таблице 5.1 приведены формулы для определения критических сил для центрально нагруженных упругих стержней личны э ци та расчетной длины постоянного сечения с раз- ми опорными закреплениями, расчетные длины этих стержней и значения ко ффи ен µ 90 Таблица 5.1 4 EI Р кр o Р кр а ня Схем стерж 1 2 2 2 2 EI 4 Р кр Р кр 0.7 20.19 EI 0.7 1 0.5 0.5 Р кр Р кр 2 2 2 Все формулы критических нагрузок, приведенные в таблице 5.1, получены статическим методом и позволяю ских сил. 5.7. Устойчивость стержней постоя На риса приведена стержнев стойка АВ с обоими шарнирными конца енная силой т получить точные значения критиче- нного сечения с упругими опорами ая система, в состав которой входит ми, нагруж P . EI = A EI Р а) B 2 C EI 1 Расчетная схема A EI б) D B Р в) EI EI A A d Р кр B I г) B Р кр c f Рис. 5.14 Нижняя опора стойки AB шарнирно неподвижная, а верхним шарниром вона соединена с остальной системой. Верхняя опора этой стойки может перемещаться в горизонтальном направлении ввиду податливости системы целом. Если пренебречь продольными деформациями стержня BD ввиду их малости в сравнении с деформациями изгиба стержня (условно принято CD ∞ = 2 EI ), то перемещение верхней опоры B будет определяться упругим изгибом стержня. Опорные закрепления такого характера принято называть упруго , и обозначаются они условно в виде пружины рис. б, обеспечивающей упругое смещение опоры. изгибе податливыми линейное В рассматриваемом случае мы имеем упругую линейно податливую опору и возможная форма потери устойчивости, соответствующая меньшему значению критической нагрузки, зависит от жесткости при EI нагруженного стержня AB и жесткости упругой опоры, роль которой играет стержень. При решении конкретных задач отыскивается наименьшее значение критической нагрузки, которое принимается в качестве расчетного. ны) и малой жесткости сжимаемого стержня При большой жесткости упругой опоры (пружи AB , потеря устойчивости произойти в форме изгиба этого стержня без горизонтального перемещения его верхней опоры рис. уле Л. Э тливости) упругой опоры и большой жесткости нагруженного стержня может в. В этом случае критическая сила определяется по форм йлера (При малой жесткости (большой пода он может по повор терять устойчивость, ачиваясь на некоторый угол ϕ d , оставаясь прямолинейным (рис. г. Рассмотрим эту форму потери и для определения критической е потере устой- ти устойчивости нагрузки воспользуемся энергетическим м тодом. Пусть при чивос стержень AB повернулся на некоторый угол , как показано на рис. г и опора B перемет с илась по горизонтали на величину. Определим ре них сил, выполненную ими при переходе системы состояние. Обозначим аботу внутренних и вн ш C в новое деформированное – жес ь упругой опоры, определяемая силой, необходимой для перемещения этой опоры ткост 92 B приложены две силы – по вертикали и кр P f C ⋅ на единицу. К шарниру – по горизонтали. хил Работа внутренни с 2 1 2 1 f C f f C U ⋅ = ⋅ ⋅ = , где f C ⋅ – сила, необходимая для смещения опоры на личину f . ве Работа, выполненная внешней нагрузкой (формула 5.21), δ кр P T = На основании зависимости (5.20) ( ) l f f f l l l 1 1 1 1 2 2 2 2 2 ⎞ ⎛ l l dx l dx d tg dx y 2 2 2 2 2 2 0 0 0 = = ⎟ ⎠ ⎜ ⎝ = ′ = ∫ ∫ ∫ ϕ δ гда = l f P T кр 2 То о условию, откуда f кр 2 2 2 П (5.15) Сl P = (5.27) кр Поскольку действительная форма потери устойчивости заранее неизвестна, то для стержней с расчетной схемой крити и по формуле (5.27) необходимо отыск ач , изображенной на (рис. б, ческие силы определяют по формулами, а в качестве расчетного принимают меньшее значение из этих нагрузок. Для определения критической нагрузк ать жесткость упругой опоры, зн ение силы C , при которой переме- щени ой ы будет равное п ожет быть найдено по формуле Мора, а именное эт опор динице. Это еремещение м наш) Например, в ем случае эпюры изгибающих моментов от силы C в заданном состоянии и от 1 = P во вспомогательном состоянии показаны со- ответственн на риса об а) б) c P=1 C D M C EI 1 c C M D EI 1 D 1 1 1 Рис. 5.15 Перемещение шарнира D , и такое же будет перемещение шарнира B , ) в горизонтальном направлении ( ∞ = 2 EI ∑ ∫ = = = 1 3 1 1 1 1 1 1 3 3 2 2 1 Из условия 1 3 1 3 1 = EI Cl получаем 3 1 1 3 l EI C = и по формуле (5.27) находим кр 1 1 (5.29) ной задаче конкретизировать решение и принять, например, а l 1 =l, то Если в рассмотрен 1 EI EI = 2 2 2 86 , 9 6 2 3 2 кр (по формуле (5.12)). При принятых значениях и l 1 расчетной будет критическая нагруз- 1 EI EI B P КР A Р 2 EI = 2EI C D d можно записать ка, найденная по формуле (5.27), а возможная форма потери устойчивости показана на рис. 5.16. Формулу (5.27) можно представить вином виде. Если учесть принятое определение жесткости упругой опоры, то Рис. 5.16 94 11 = δ C 1 , (5.30) где 11 δ – перемещение упруго податливой опоры в горизонтальном направлении илой 1 = P , вызванное с. Тогда 11 и 11 δ l l С P кр = = (5.31) При определении критической силы по формуле (5.31) достаточно построить эпюру от силы 1 = P , приложенной в направлении возможного перемещения упругой и определить перемещение по формуле опоры ∑ ∫ = EI dx M 2 1 11 δ , что упрощает расчет. Упругой опорой может быть один стержень, несколько взаимосвязан- те жней или же часть статически определимой или неопределим к котор кает нагруженный стержень. В последнем случае при определении жесткости упругой опоры эпюра грузового состояния должна быть построена в заданной статически неопределимой системе вспомогательного состояния может быть взята в любой статически определимой основной системе сил. Если используется фор- ных одиночных срой системы, ой примы. Эпюра метода мула (5.31), то эпюру изгибающих моментов от силы 1 = P необходимо по- строи ведена стержневая система, в которой нагруженная стойк ть в заданной статически неопределимой системе. На риса при а AB постоянного вторая опора лин ая упругое перемещение в горизонтальном направлении. Расчетная схема нагруженной стойки сечения имеет одну защемленную опору, а ейно податливая, допускающ AB показана на рис. б. 95 б) A B EI а) EI C EI = 1 Р EI D EI E kEI в) A B EI Р y A A B Р B y г) Р кр o c Рис. 5.17 В этом случае стержень AB не может перейти в новое деформированное состояние (новое положение равновесия, оставаясь прямолинейным, так как защемляющая опора не допускает свободного угла поворота. При линейном перемещении опоры B стержень будет изгибаться (рис. в. Рассмотрим деформированное состояние стержня под действием критической нагрузки и определим эту нагрузку статическим методом, пользуясь дифференциальным уравнением равновесия y EI = ′′ − x M (5.4). В деформированном состоянии на стерж чивать деформации ень действует критическая нагрузка кр , стремящаяся увели его изгиба и сила со стороны упругой опоры f C ⋅ , препятствующая его отклонению от начального положения равновесия (рис. г. Изгибающий момент в произвольном сечении стержня ( ) ( ) x l f C y f P M кр x − ⋅ + − − = Тогда кр, или ( ) x l f C f P y P y EI кр кр − ⋅ − = + ′′ Разделив слагаемые последнего равенства на EI и обозначив EI P n = , (5.32) дифференциальное уравнени кр е принимает вид ( ) ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − − = + ′′ x l EI C n f y n y 2 Решение этого уравнения 96 ( ) ( ) ( ) ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − − + + = x l EI n C f nx B nx A y 2 1 cos Для определения и f используем граничные условия 1) при 0 , 0 = = y x ; 2) при f y l x = = , ; 3) при По первому условию 0 1 1 2 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⋅ + ⋅ EI n l C f B 0 + ⋅ = По второму условию ( ) ( ) f f nl B nl A y = + ⋅ + ⋅ = cos По третьему условию ( ) ( ) EI n C f nx n B nx n A y 2 sin При 0 = x 0 0 1 Система однородных линейных уравнений имеет вид ( ) ( ) ⎪ ⎞ ⎛ l C ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ = ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⎟ ⎠ ⎜ ⎝ − ⋅ + ⋅ + ⋅ 0 0 ; 0 0 cos sin ; 0 1 1 0 2 По условию (5.3) получаем характеристическое уравнение ( ) ( ) 0 0 0 cos Раскрыв определитель, имеем 2 ⎟ ⎞ l C 1 1 0 ⎜ ⎛ − ( ) ( ) 0 sin 1 cos 2 2 = − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Разделив слагаемые последнего равенства на ( ) nl cos , раскрыв скобки и преобразовав, получаем уравнение устойчивости в следующем виде ( ) ( ) 3 3 l C EI nl nl nl tg − = (5.33) Уравнение (5.33) решается путем подбора такого значения параметра 97 nl , при котором выполняется равенство. Если такое значение nl найдено, то по условию (5.32) кр) Выявим границы, в пределах которых могут находиться значения параметра икр. Если ( ) 2 , , 0 π − = −∞ = = nl nl tg C икр (случай, когда нижний конец стойки защемлена верхний свободный. Если ( ) 493 , 4 , , = = ∞ = nl nl nl tg C икр, что соответствует условию, когда нижний конец стойки защемлена верхний шарнирно оперт. Оба эти граничные значения критических сил соответствуют формулам Л. Эйлера (табл. 5.1). В рассматриваемом примере предельные значения параметра nl и критической нагрузки определяются условиями ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ ≤ ≤ ≤ 19 , 20 4 ; 493 , 4 57 , 1 2 2 2 l EI P l EI l n кр π 5.34а Проследим ход решения такого типа задач на примере рассмотренной выше системы (а. Роль упругой опоры играет рама СЕ. Расчетная схема нагруженной стойки приведена на рис. б. Построив эпюру изгибающих моментов при действии силы 1 = P (рис. 5.18), горизонтальное перемещение узла C (такое же перемещение дети опоры В) найдем по формуле бу ∑ ∫ = EI dx M 2 1 11 способом перемножения эпюр. Пользуясь зависимостью, определим характеристику упругой опоры δ 11 1 = C δ 98 Р=1 D C M 1 E /2 /2 /2 /2 Рис. 5.18 Подставив выражение характеристики упругой льзуясь а) значение опоры (Св уравнение (5.33), отыскиваем (по nl , при котором удовлетворяется уравнение муле (5.34) находим значение критической стержень с верхним свободными нижним упруго защемленными концами. Предполагается, что в упруго-защемляющей опоре средний узел, а затем по фор- силы. На риса изображен центрально нагруженный остается л в тов инейно неподвижным, ремя как узлы A и C могут перемещаться в вертикальном направлении, ввиду упругой податливости опорных частей этих узлов. kEI A kEI B EI C A y kEI y EI а) Р б) кр Р kEI o B C x d f d x = k ∞ с Рассмотрим этот стержень в деформированном состоянии под действием критической нагрузки. Решение задачи выполним статическим методом. Обозначим через Ри . 5.19 C жесткость упруго защемленной опоры В , определяемую моментом, необходимым для поворота той опоры на угол, равный единице. Дифференциальное уравнение равновесия примем в виде э x M y EI = ′′ − г бающий момент в произвольном сечении Из икр и f P y P y EI кр кр = + ′′ Разделив все слагаемы последнего равенства на EI и обозначив 99 кр, получаем имеет вид f n y n y 2 Решение этого уравнения ( ) ( ) f x n B x n A y + ⋅ + ⋅ = cos sin (5.35) Для определения постоянных в уравнении (5.35) воспользуемся граничными условиями 1) при 0 , 0 = = y x ; 2) при f y l x = = , ; 3) при C M y x 3 , 0 = ′ = , где – момент в защемляющ е, равный f P кр ⋅ ей опор = 3 M По первому условию 0 0 1 По второму условию ( ) ( ) f f l n B l n A y = + ⋅ + ⋅ = cos По третьему условию ( ) ( ) x n n B x n sin При 0 = x , C B n A y = ⋅ − ⋅ ⋅ = ′ 0 1 , f P кр или ⎟ ⎠ ⎜ ⎝ = = − ⋅ − ⋅ = ′ EI n C f B n A y , 0 Линейные уравнения ( ) ( кр 0 ; 0 0 cos sin ; 0 1 1 По условию (5.3) получаем характеристическое уравнение в виде ( ) ( ) 0 0 0 cos sin 1 1 0 2 = − = C EI n n nl nl D , откуда ( ) ( ) 0 sin cos 2 = + − C EI n nl nl n , 100 или ( ) 0 1 = − nl tg C nEI и ( Умножая числитель и знаменатель правой части последнего равенства на l , имеем ( ) ( ) EI nl l C nl tg = (5.36) Как ив предыдущем случае, уравнение (5.36) решается подбором такого значения nl , при котором удовлетворяется равенство, а затем по формуле (5.34) находят значение критической силы Установим предельные значения nl икр для решаемой задачи. При ( ) 0 , 0 = = nl tg C и значения n ( l ) могут ыть: б и т.д. В рассматриваемом случае все значения 0 > nl не могут быть реализованы, так как значение 0 = C соответствует наличию шарнира в упруго защемленной опоре и заданная система становится геометрически изменяемой. Поэтому, приняв 0 = nl , получаем l n 0 = икр) При ( ) ∞ = ∞ = nl tg C , . Этому условию соответствует наименьший корень равный 2 2 4 l EI 2 π = nl икр и наличие защемления в точке Â . Итак, предельные значения nl икр 0 0 2 2 l EI P кр π На риса приведен пример центрально нагруженной стойки, верхняя шарнирная опора которой не может смещаться по горизонтали, а нижняя опора упруго защемленная. Решение этой задачи статическим методом с использованием зависимости x M y EI = ′′ − аналогично предыдущему (рис б ( кр kEI A а) D Р y kEI B C A kEI o D EI Р б) y EI x C kEI B кр R A d Рис. 5.20. Тогда кр, или ( ) x l R y P y EI кр − − = + ′′ Разделив слагаемые последнего равенства на EI и обозначив кр, имеем Решение этого неоднородного дифференциального уравнения имеет вид ( ) ( ) ( ) x l EI n R nx B nx A y − − ⋅ + ⋅ = 2 cos Приграничных условиях получаем три линейных уравнения, а именно по первому условию 0 1 0 2 = − ⋅ + ⋅ = EI n l R B A y ; по второму условию ( ) ( ) 0 0 cos sin = − ⋅ + ⋅ = nl B nl A y ; по третьему условию ( ) ( ) EI n R nx n B nx n A y 2 sin При 0 = x C M EI n R n B n A y = + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ′ 2 При принятых исходных данных l R M ⋅ − = и последнее равенство можно записать 102 0 По условию (5.3) уравнение устойчивости будет n ( ) ( ) 0 1 0 0 cos sin 1 0 2 2 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = C l EI n n nl nl EI n l D , откуда ( ) ( ) 0 1 sin cos 2 Разделив на, имеем ( ) nl cos ( ) 0 1 2 Тогда ( ) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⋅ = C l EI n EI n nl C l EI n nEI l nl tg 2 2 2 1 1 1 , или ( ) ( ) Cl EI nl nl nl tg 2 1 + = (5.37) Уравнение (5.37) решается путем подбора. Предельные значения ( ) nl и находим из условий 1) наименьший отличный от нуля корень кр P ( ) ; 0 , 0 = = nl tg C ( ) π = nl икр (шарнирно опертая стойка. 2) ( ) 493 , 4 ; , = = ∞ = nl nl nl tg C (путем подбора) и 2 19 , 20 l EI P кр = (стойка с верхним шарнирно опертыми нижним защемленным концами. Тогда граничные значения ( ) nl и будут кр ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ ≤ ≤ ≤ 19 , 20 ; 493 , 4 14 , 3 2 2 кр |