Учебное пособие для студентов строительных специальностей высших учебных заведений Минск 2004
 Скачать 2.66 Mb.
|
|
6.1. Основные положения По характеру воздействия на сооружение различают нагрузки статические и динамические. Нагрузки считаются статическими, если их изменение протекает очень медленно (с бесконечно малым приращением во времени, без толчков, ударов. К динамическим относятся нагрузки, которые могут изменять свою величину, направление или положение в относительно короткие промежутки времени. Динамические нагрузки являются функциями времени и обозначаются ( ) ( ) ( ) t m t q t P , , , усилия, и записываются. Все параметры, зависящие от динамических нагрузок (например перемещения, напряжения) также будут функциями времени ( ) ( ) ( ) ( ) t t t Q t M σ , , , ∆ , и т.д. Динамические нагрузки сообщают ускорения массам сооружения, вызывают появление инерционных сил и колебания сооружения. Динамика сооружений – это раздел строительной механики, в котором изучаются принципы и методы расчета сооружений на действие динамических нагрузок. Динамические расчеты выполняются с целью решения двухосновных задач определение частот колебаний системы и проверка ее на резонанс определение наибольших (амплитудных) значений внутренних сил и перемещений, вызываемых динамической нагрузкой. Приведем наиболее характерные в строительной практике виды динамических нагрузок. Гармоническая (вибрационная) нагрузка – нагрузка, изменяющаяся периодически по определенному закону. Нагрузки такого характера создаются при вращательном и вращательно-поступательном движении неуравновешенных частей машин и механизмов (электромоторы, турбины, станки. Для сооружений вибрационные нагрузки представляют особую опасность, так как вызываемые ими усилия и перемещения зависят не только от величины (амплитуды) нагрузки, но ив значительной мере от частоты ее воздействия. Ударная нагрузка (удар в определенном месте сооружения) характерна тем, что прикладывается в очень короткий промежуток времени с резким изменением скорости соударяемых тел. Она может быть неподвижной и подвижной, хаотичной (удары льдин) и периодической (механический кузнечный молот. Сейсмическая нагрузка, включающая одновременно удары, толчки, сдвиги земной коры, является большой опасностью для инженерных сооружений по сложности динамического воздействия. Подвижная нагрузка – меняющая свое положение на сооружении (поезда, автомобили) – относится, как правило, к сложным динамическим воздействиям, вызывающим колебания сооружения. Ниже рассмотрены простейшие случаи расчетов стержневых систем при действии динамической нагрузки, изменяющейся по гармоническому закону, как наиболее часто встречающейся в инженерной строительной практике. Колебания систем, вызываемые динамическими нагрузками, подразделяются на свободные и вынужденные. Если упругую систему какой-либо динамической нагрузкой вывести из состояния равновесия, а затем удалить воздействие, то массы системы, получив ускорения, будут совершать колебания относительно устойчивого положения равновесия. Такие колебания системы называются свободными. Частным случаем свободных колебаний являются собственные колебания, когда свободные колебания совершаются по типу стоячей волны с одной определенной частотой и формой деформации системы. В системе с одной степенью свободы свободные колебания всегда являются собственными колебаниями. Система с п степенями свободы обладает спектром п собственных колебаний. Вынужденные колебания создаются постоянно действующей на систему динамической нагрузкой, вызывающей непрерывные движения масс относительно положения равновесия. Колебания могут быть классифицированы по виду вызываемых ими в системе основных деформаций, а именно поперечные колебания (в направлении, перпендикулярном к продольной оси стержня, вызывающие его изгиб продольные (вдоль продольной оси стержня, крутильные, изгибно- крутильные, вызывающие деформации изгиба и кручения и др. Колебания могут быть линейными и нелинейными. При линейных колебаниях усилия и перемещения системы находятся в линейной зависимости от величины возмущающих нагрузок. Это условие будет выполняться, если материал системы находится в упругой стадии работы. Ниже рассматриваются поперечные колебания, как наиболее характерные для строительных конструкций. Будем также полагать, что исследуемые системы находятся в упругой стадии работы материала и совершают линейные колебания. Основными методами решения задач динамики сооружений являются статический (кинетостатический) и энергетический методы. Статический метод (точный) основан на использовании уравнений динамического равновесия, в которые дополнительно входят (согласно принципу Даламбера) силы инерции перемещающихся масс. При расчете сложных систем применение статического метода может вызвать значительные трудности ввиду громоздкости вычислений ив этих случаях часто используются приближенные методы и способы. В основу энергетического метода (приближенного) положен закон сохранения энергии, согласно которому, при отсутствии сил сопротивления, сумма потенциальной и кинетической энергий колеблющейся упругой системы в любой момент времени остается постоянной. При использовании этого метода основная задача состоит в отыскании такого деформированного состояния системы, которое наиболее близко по форме к действительному ее состоянию при колебаниях. Уравнения изогнутых осей стержней деформированной системы принимаются приближенно, ив этом состоит приближенность энергетического метода. В динамике сооружений основной характеристикой системы является число степеней ее свободы – количество независимых геометрических параметров, определяющих положение всех масс в любой момент времени при любых деформациях системы Этот показатель предопределяет ход расчета и играет в расчетах динамики такую же роль, как, например, число возможных перемещений узлов системы при расчете стержневых систем методом перемещений. Чем большим количеством перемещений обладают массы системы, тем сложнее ее расчет. С целью упрощения расчета обычно пренебрегают угловыми перемещениями сосредоточенных масс, учитывают только их линейные смещения и тогда каждая, не имеющая связей масса, как точка в плоскости, обладает двумя степенями свободы. Кроме того, пренебрегают весьма малыми перемещениями масс, вызванными неосновными видами деформаций элементов системы приданном виде колебаний. Примером может служить невесомый упругий стержень с массой т, расположенной в его вершине рис. 6.1). y y x m Рис. 6.1 Пренебрегая продольными деформациями стержня и обусловленным ими вертикальным смещением массы (рассматриваются поперечные колебания, деформациями сдвига и вертикальным смещением массы при изгибе стержня (как малым по сравнению с горизонтальным перемещением от изгиба стержня, получаем систему с одной степенью свободы, так как положение массы известно, если известен параметр . На рис. 6.2а,б приведена система с двумя массами, обладающая двумя степенями свободы, а на рис. 6.3 – стремя массами и четырьмя степенями свободы. y 135 б m 1 m 1 y 1 y 1 m m y 2 2 2 x x y 2 Рис. 6.2 2 m x 1 y 1 m Рис. 6.3 При учете собственной массы стержней упругой системы число степеней ее свободы будет равно бесконечности. На риса приведена балка с постоянной по ее длине распределенной массой Даже в этом простейшем случае число параметров, характеризующих положение всех точек балки в деформированном состоянии равно бесконечности. Разбив эту балку на участки и заменив в пределах каждого участка распределенную массу сосредоточенной, получим систему с конечным числом степеней свободы (рис. б. m . i m б) а) y y y(x) m(x) x x 1 m 2 m Рис. 6.4 6.2. Свободные колебания систем с одной степенью свободы без учета сил сопротивления Для лучшего уяснения процесса колебаний сначала рассмотрим их без учета сил сопротивления на примере невесомой простой балки, масса которой расположена в середине пролета этой балки (рис. 6.5). В любой момент времени перемещение массы зависит от силы упругости балки y S (восстанавливающая сила) и силы инерции движущейся массы Сила упругости m I y y m I m S m x S Рис. 6.5 стремится вернуть балку на линию равновесия и при любых отклонениях массы будет направлена к линии равновесия. Для упругих систем эта сила пропорциональна величине отклонения массы от начального положения и может быть принята равной y C S ⋅ = , где C – жесткость балки, определяемая силой, необходимой для перемещения расположения массы по направлению колебаний на единицу – отклонение массы от положения равновесия. Сила инерции и выражается зависимостью точки 2 , где – ускорение массы (знак минус указывает, что сила инерции направлена в сторону, противоположную ускорению. В любой момент времени уравнение динамического равновесия массы имеет вид y ′′ ( ) ∑ = 0 Y 0 = − m I S , или 0 = ⋅ + ′′ y C y m (6.1) Разделив на слагаемые равенства (6.1) и обозначив m m C = ω , (6.2) получаем уравнение свободных колебаний системы с одной степенью свободы без учета сил сопротивления Решение этого однородного дифференциального уравнения имеет вид 0 2 = + ′′ y y ω 137 t C t C y ω ω cos sin 2 1 + = , (6.3) где Си С – постоянные интегрирования, определяемые изначальных условий если – начальное отклонение массы если 0 υ υ = = , t – начальная скорость движения массы. Из первого условия 0 Из второго условия t y t C y ω ω ω ω sin cos 0 При ω υ 1 0 , 0 C y t = = ′ = и ω υ 0 Подставляя в уравнение (6.3) имеем t y t y ω ω ω υ cos sin 0 0 + = (6.4) Уравнение (6.3) можно привести к виду ( ) ϕ ω + = t A y sin , (6.5) где 2 2 2 1 с с A + = – амплитуда колебаний, ϕ – начальная фаза, определяемая выражением ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 1 Если в первом условии при 0 = t принять 0 = y , то и уравнение колебаний (6.4) принимает вид 0 0 2 = = y C t y ω ω υ sin 0 = (6.6) Уравнение (6.6) является функцией времени, график которой показан на рис. 6.6. Колебания совершаются по синусоидальному закону. На рис. 6.6 штриховой линией показан график функции равенства (6.4), из которого следует, что при значениях ω π ω π 2 , , 0 = = = t t t , а будет смещена на и т.д. масса не будет находиться на линии равновесия величину A A 0 y y T Рис. 6.6 Время, за которое масса совершает один полный цикл колебаний, называют периодом колебаний. По рис. 6.6 ω π 2 = T (6.7) Число полных циклов колебаний в единицу времени носит название частоты колебаний. Из равенства (6.7) имеем T π ω 2 = (6.8) Частоту ω , равную числу полных циклов колебаний в течение π 2 секунд, принято называть круговой частотой. Частота колебаний в одну секунду выражается в герцах и равна π ω 2 1 В практических расчетах часто пользуются так называемой технической частотой, выражающей число полных циклов колебаний за одну минуту. По формуле (6.8) имеем ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = мин колеб T n 2 60 60 ω π (6.9) Выше (6.2) обозначено m C = ω , где C – сила, обеспечивающая перемещение, равное единице. По отношению к полному, вызванному силой , значение C выразится равенством 139 cm cm y mg y P C = = , где g – ускорение свободного падения. Подставив последнее выражение в формулу (6.2), имеем ( с) Как известно 2 981 сек см g = . Приняв ( ) 2 10 π ≈ g и подставив выражение (6.10) в формулу технической частоты (6.9), получаем ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = мин колеб y y n cm cm 300 1 10 2 60 π π , (6.11) где должно быть взято в сантиметрах. Формулу (6.2) можно преобразовать к другому виду. Из определения жесткости системы вытекает, что должно соблюдаться условие С 1 11 = δ C , откуда 11 1 δ = C , где 11 δ – перемещение точки расположения массы по направлению колебания вызванное силой, 1 = P . Тогда формула (6.2) принимает вид 11 1 δ ω m m C = = (6.12) Из формул (6.7), (6.8) и (6.10) видно, что для каждой конкретной системы частота и период колебаний остаются постоянными величинами и зависят только от упругих свойств этой системы и величины массы. Они не зависят от начальных условий, вызывающих движение массы и носят название основных динамических характеристик системы. Рассмотрим, как изменяется потенциальная и кинетическая энергия системы в процессе ее колебаний (рис. 6.6). При отклонении массы от положения статического равновесия ее перемещению препятствует сила упругости, замедляя движение массы. В момент наибольшего отклонения массы ее скорость равна нулю и равна нулю ее кинетическая энергия. В это время потенциальная энергия (энергия изгиба) достигает своего максимального значения и с ускорением возвращает массу к линии равновесия. К моменту расположения массы на линии равновесия потенциальная энергия убывает до нуля, нов это время скорость движения массы и ее кинетическая энергия достигает максимума и масса продолжает движение от линии равновесия, достигая максимального отклонения в обратном направлении и т.д. Таким образом, при колебаниях системы происходит переход одного вида энергии в другой. Отметим, что приведенные выше зависимости и выводы будут справедливы для любых стержневых систем с одной степенью свободы при линейных колебаниях массы. 6.3. Вынужденные колебания систем с одной степенью свободы без учета сил сопротивления. Явление резонанса Этот вид колебаний рассмотрим также на примере балки, изображенной на рис. 6.7. Примем динамическую нагрузку в виде гармонической, изме- y P sin t Рис. 6.7 няющейся по синусоидальному закону, те. ( ) t P t P θ sin = , где P и θ – соответственно максимальная составляющая (амплитуда) нагрузки и круговая частота возму- ющей силы. Приняв, что направление перемещения массы совпадает с направлением действия силы ща m ( ) t P , составим уравнение динамического равновесия ( ) ∑ = + − − = 0 ; 0 S I t P Y m , или, сохраняя предыдущие обозначения Разделив на слагаемые последнего равенства и обозначив m m C = ω , получаем неоднородное дифференциальное уравнение в виде t m P y y θ ω sin 2 = + ′′ (6.13) Решение уравнения (6.13) в установившемся режиме имеет вид ( ) ( ) t m P t A y θ θ ω ϕ ω sin sin 2 2 − + + = , (6.14) Из равенства (6.14) следует, что вынужденные колебания совершаются стой же частотой, которую имеет возмущающая сила, а амплитуда вынужденных колебаний зависит от величины составляющей дин возмущающей силы и соотношения частот свободных и вынужденных колебаний. Динамический прогиб можно представить в виде ( ) t P ( ) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⋅ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = − = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ω θ ω θ ω θ ω θ ω θ ω ст дин y C P m C m P m P m P y , или дин, (6.15) где 2 2 1 1 ω θ µ − = (6.16) В выражении (6.15) – статический прогиб, те прогиб, вызываемый статическим действием амплитудного значения динамической нагрузки Отвлеченная величина µ (6.16) носит название динамического коэффициента ив системах с одной степенью свободы выражает отношение динамических величины (усили прогибов) к их статическим величинам. График изменения численных значений динамического коэффициента представлен на рис. 6.8. Если й, ω θ > , то динамический коэффициент µ имеет отрицательные значения и правая кривая располагается ниже осина рис. 6.8 показана пунктирной линией. Обычно значения коэффициента µ принимаются по абсолютной величине и обе кривые на графике располагаются выше оси ω θ (рис. 6.8). 0.75 1 0 зона резонанса θ ω θ ω Рис. 6.8 Из формулы (6.16) видно, что с приближением частоты возмущающей силы θ к частоте свободных колебаний ω динамический коэффициент, равно как и динамический прогиб (6.15), стремительно возрастают. При равенстве частот ( ) ω θ = динамический коэффициент становится равным бесконечности. Этот случай в технике носит название явления резонанса и представляет большую опасность для сооружения, так как усилия, перемещения и напряжения в элементах системы достигают больших значений. Для ответственных сооружений недопустимы не только явления резонанса, но и условия, при которых эти сооружения находились бы в зоне резонанса (рис. 6.8). Во избежание резонанса обычно обеспечивается условие, чтобы частота свободных колебаний системы отличалась от частоты вынужденных ее колебаний на 25-30%. |