Учебное пособие для студентов строительных специальностей высших учебных заведений Минск 2004
 Скачать 2.66 Mb.
|
|
2.1. Понятие о статической неопределимости Статически неопределимыми называют системы, в которых для определения всех усилий (изгибающих моментов, поперечных и продольных сил) во всех сечениях всех элементов недостаточно уравнений равновесия твердого тела или системы твердых тел. Чтобы рассчитать такую систему, необходимо составить дополнительные уравнения, включающие перемещения, обусловленные упругими свойствами материала системы. Статически неопределимые системы содержат избыточные или, называемые условно, лишние связи. Под лишними не следует понимать ненужные связи. Сточки зрения геометрической неизменяемости системы, это избыточные связи сверх минимально необходимых, обеспечивающих геометрическую неизменность системы и ее неподвижность относительно основания. Наибольшее количество связей, которое можно удалить одновременно из системы, не нарушая геометрической неизменяемости ее структуры и неподвижности относительно основания, называют степенью статической неопределимости системы. Например, на риса изображена балка с пятью опорными стержнями. Минимальное число опорных стержней для закрепле- г 3 2 2 2 1 в) б) 1 а) 1 3 5 4 4 4 5 Рис. 2.1 Можно отбрасывать любых два стержня из четырех вертикальных, и мы мать действующие на нее нагрузки (рис. 2.1б,в). Если отбросить один горизон- ния тела в плоскости равно трем и, следовательно, система содержит два избыточных (лишних) опорных стержня, те. степень ее статической неопределимости равна двум. получаем обычную неподвижную однопролетную балку, способную восприни- 18 тальный стержень (1), сохранив при этом даже все вертикальные (2, 3, 4 и 5), то получаем изменяемую систему (рис. г, которая неспособна воспринимать горизонтальные нагрузки. Поэтому, следует различать связи условно необходимые, без которых система остается неизменяемой и способной выполнять свои функции, и абсолютно необходимые, потеря которых приводит к изменяемости и непригодности системы. В нашем случае все вертикальные опорные связи (2, 3, 4 и 5) являются условно необходимыми, а горизонтальная связь (1) – абсолютно необходимой. Обратим на это внимание, так как в дальнейшем при выполнении расчетов нужно будет отбрасывать избыточные связи в системах и эту операцию необходимо выполнять, обеспечивая неиз- меняе нира, превратив заданную неразрезную балку системе может быть найдено по известной из первой части курса формуле 3 мость системы. Водной и той же системе могут быть отброшены любые условно необходимые связи. Например, в нашем случаев каких-либо сечениях балки можно было ввести два сквозных шар в трехпролетную шарнирную. Число лишних связей в С Ш Л оп 2 − + = Д , (2.1) де: г Л – число избыточных (лишних) связей Ш – количество шарниров, соединяющих диски, с учетом их кратности on C и Д – соответственно количество опорных стержней и дисков в системе. Пользуясь формулой (2.1) нужно учитывать только те шарниры, которые соединяют между собой диски системы. Шарниры в опорных закрепле- ниях уменьшают количество связей в опорах и учитываются в формуле (2.1) слагае простым шарнирам) равна числу соединяемых диско мым оп С . Шарниры, соединяющие более двух дисков, являются сложными, а их кратность (эквивалентность в за вычетом единицы. По формуле (2.1) удобно определять число лишних связей в тех случаях, когда ни один из дисков системы в свою очередь не содержит лишних 19 связей. Если диски содержат лишние связи (замкнутые контуры, то необходимо о лишних связей в рамных системах также удобно определять по формуле учитывать статическую неопределимость замкнутых котуров. На основании формулы (2.1) легко показать, что бесшарнирный замкнутый контур любой конфигурации содержит три лишних связи. Исходя из этого, числ Ш К Л − = 3 , (2.2) где ШК – количество соответственно замкнутых контуров, считая вначале их бес рого равна двум. Для примера рассмотрим рамы, изображенные на рис. 2.2. шарнирными в системе, и количество шарниров с учетом их кратности. Определяя количество лишних связей по формуле (2.2) необходимо учитывать все шарниры в системе, включая опорные закрепления. При этом на шарнирно неподвижной опоре принимается простой шарнир, на шарнирно подвижной опоре – сложный шарнир, кратность кото I I I а) б) 1 I II 2 1 III 1 2 1 2 I III II 1 г Рис. 2.2 Определим в этих рамах число лишних связей по формулами. На схемах рис. 2.2 цифрами I, II, …, VI обозначены номера контуров, а цифра го замкнутого контура. Число лишних связей в этих рамах по формуле (2.1) ми 1,2, – кратности шарниров. На риса приведены рамы, каждая из которых имеет вид бесшар- нирно 3 1 3 6 0 2 3 2 = ⋅ − + ⋅ = − + = Д С Ш Л оп и по формуле (2.2) 3 0 1 3 3 = − ⋅ = − = Ш К Л Число лишних связей в раме изображенной на рис. б по формуле (2.1) 0 1 3 3 0 Л. По полученному результату мы имеем статически 20 определимую систему, что не соответствует действительности. Это тот случай, когда сам диск статически неопределим, те. содержит лишние связи. Мы не можем определить усилия в стержнях, ограничивающих замкнутый контур с помощью уравнений статики. Пользуясь, например, способом сечений и отс час контура сквозным сечением 1-1, (рис. б) мы неизбежно перерезаем два стержня, а в сечении каждого из этих стержней будут три неизвестных усилия (екая ть M и N ). Эти неизвестные шесть усилий невозможно найти с помощь трех уравнений статического равновесия, используемых для расчетов статически определимых плоских систем, поэтому рама на рис. б трижд те ы статически неопределима. Убедимся в этом, определим число лишних связей в этой раме по формуле (2.2), .: 3 0 1 3 3 = − ⋅ = − = Ш К Л т ень неопределимости рам, изображенных на рис. в, г по фот равна С еп статической рмуле (2.1) соответс венно 2 2 3 6 1 Л ; 8 3 3 9 4 Ли по формуле (2.2) 2 7 3 Ли 6 3 = − ⋅ = Л В шарнирно-стержневых системах (фермах) число лишних связей можно находить по формуле ( известной из й части курса формулой 2.1), но удобнее пользоваться по перво У С С Л оп 2 − + = , (2.3) где и C У – количество стержней и узлов в структуре системы, С – соответственно число опорных стержней и узлов. п Последнее слагаемое в формуле (2.3) соответствует двум степеням свободы каждого узла как точки в лоскости. В неразрезных балках число лишних связей удобно находить по формуле 3 − = оп С Л , (2.4) те. и за- телем, от которого зависит весь дальнейший расчет методом сил. Поэтому необхо- з общего числа опорных связей необходимо вычесть три связи, минимально необходимые для закрепления тела в плоскости. Степень статической неопределимости системы является важным ее пока димо научиться лами и количественному признакам. В этом легко убедиться на примере простой системы – двухпролетной неразрезной балки, изображенной на риса, содержащей одну лишнюю связь. правильно пользоваться приведенными выше форму. Свойства статически неопределимых систем Лишние связи накладывают отпечаток на характер работы системы. Они изменяют ее напряженно-деформированное состояние по качественному в МАМ В заданной системе по формуле (2.4) имеем B 1 2 _ q 8 2 B 16 /2 ММ состояние М б 3 2 I состояние а) А max М = + 1 q q 2 ММ 3 = − = − = оп С Л , те, балка один раз статически неопределима. Рассмотрим два напряжен- но-деформированных состояния этой балки в первом состоянии удалим лишнюю связь, отбросив опорный стержень на опоре (балка ала статически определимой, и построи эпюру изгибающих ст м моментов B ( ) M вот заданной нагрузки дет q этой системе Рис. 2.3 рис. б. Максимальный изгибающий момент бу ( ) 2 В этом состоянии сечение балки, совпадающее с опорой B , будет иметь линейное перемещение по вертикали. Во втором состоянии (рис. в) рассмотрим балку статически неопределимой, сохранив опору B, как указано на риса. Эпюра изгибающих моментов в этом случае от действия одной и той же нагрузки имеет совершенно иной вид. Изгибающий момент на опоре B равен 8 2 l q M B − = (изменился даже его знака в серединах пролетов н з ачения изгибающих моментов равны 16 2 2 1 l q M M = = , что существенно меньше изгибающих моментов в этих сечениях в однопролетной балке, равных 2 В этом состоянии (рис. в) перемещение по вертикали на опоре отсутствует, так как в указанном направлении имеется связь. м щ вгибающих моментов в балке и ее перемещения. Анало атически неопр ентов). Э ения статически неопределимых систем п нагрузок имеет вид Как види , избыточная связь оказала су ественное лияние на характер распределения из гичным образом можно показать изменение распределения, например, поперечных сил в сечениях этой балки. Отметим основные общие свойства, присущие ст еделимым системам 1. Усилия в элементах статически неопределимых систем зависят, в общем случае, от размеров поперечных сечений и модулей упругости материала этих элементов (от соотношения жесткостей элем то вытекает из определ .). Так как в дополнительных уравнениях отыскиваются перемещения, то эта операция может быть выполнена, например, с помощью формулы Мора, которая при действии внешних ∫ ∑ ∫ ∑ ∫ = = = = = = + + = ∆ n i i p i n i i p i n i i p i p i EF dx N N GF dx Q Q µ EI dx M M 1 0 1 0 1 0 l l l (2.5) Из формулы (2.5) следует, что мы не можем определять еремещ ния не учитывая жесткости элементов системы, и поэтому не сможем рассчитать статически неопределимую систему. 2. В элементах статически неопределимых систем при отсутствии рузки могут возникать усилия, вызываемые неравномерным смещением опор, изменением температуры окружающей сред пе внешней наг ы, или неточностью сборки. На рис. 2.4 приведена неразрезная балка (Л, третья опора которой сместилась на величину и произошел изгиб балки по всей 3 C 23 ее длине по некоторой кривой ( ) x y . На основании известной зависимости можно утверждать, что во всех сечениях балки возникнут моменты, а также поперечные силы, ввиду взаимосвязи ( изгибающие dx Q x = dM y 0 1 2 y(x) 3 3 C 4 x 5 .4 и защемленными концами (Л=3) пучиться при о Рис. 2 Однопролетная балка с обоим, изображенная на рис. 2.5, неизбежно вы дностороннем увели- x t y 1 t >t Рис. 2.5 чении температуры от t до Возникнут изгибающие моменты, поперечные и продольные силы в ее сечениях при отсутствии внешней нагрузки. 3. Статически неопределимые системы можно рассматривать как усложненные в сравнении со статически определимыми, послужившими основной для образования соответствующих статически неопределимых систем. Поэтому, выход из строя даже всех избыточных связей (кроме абсолютно необходимых, не приведет к изменяемости системы. Произойдет пере- распр ысле этого слова. еделение усилий в элементах системы, но система, как таковая, останется неизменяемой ив определенной мере пригодной по своему назначению. Выход из строя хотя бы одного элемента в статически определимой системе приводит к ее изменяемости. Поэтому статически неопределимые системы обладают большей живучестью в буквальном см. Усилия и перемещения в статически неопределимых системах, как правило, меньше в сравнении сих значениями в исходных статически определимых системах. Это обусловлено большей взаимосвязанностью элементов статически неопределимой системы, большей возможностью перераспределения усилий между ее элементами (см. рис. 2.3). 5. При заданных внешних воздей тема допускает бесконечное множеств че В этом можно убедиться на примерен зью, нагруженной внешними нагрузкам но необходимую связь, например, об з ствиях статически неопределимая сис- о состояний стати ского равновесия еразрезной балки с одной лишней свя- ириса. Отбросим любую услов- наченную цифрой 3, и усилие в этой оба Причисляя силу 1 X к внешним нагрузкам, можно принимать любые ее значения и будут соблюдаться условия равновесия системы под действием Рис. 2.6 связи обозначим через (рис. б. - совок Расч из множества возможных равновесных состояний системы отыскать то единственно. лняется повероч- 1 X упной нагрузки, включающей заданные внешние нагрузки и силу Это особенность статически неопределимых систем в отличие от статически определимых, в которых заданному загружению нагрузками соответствует одно единственное условие статического равновесия и оно является истинным. ет статически неопределимой системы состоит в том, чтобы е (истинное, которое удовлетворяло бы условиям статического равновесия и остальным условиям напряженно-деформированного состояния системы, например, перемещениям выбранных сечений по известным направлениям. Методы расчета статически неопределимых систем Выше (п. 2.2) приведено одно из свойств статически неопределимых систем, согласно которому усилия в элементах системы зависят от жесткости этих элементов. Поэтому, прежде чем рассчитывать такую систему, необходимо назначить сечения ее элементов. Жесткости этих элементов будут учитываться в процессе расчета. Эта операция неизбежна независимо оттого, каким методом рассчитывается система. По существу, выпо 25 ный р ли в качестве основных неизвестных прини- маютс асчет: по заданной геометрической схеме, нагрузками принятым сечениям определяются усилия в элементах системы, по которым вновь подбираются сечения элементов. Если полученные по усилиям сечения элементов отличаются от ранее принятых более, чем на 20%, то расчет повторяют, приняв за исходные найденные сечения первого приближения. Метод расчета статически неопределимых систем определяется выбором основных неизвестных. Ес я усилия в лишних связях системы, то метод расчета условились называть методом сила если основными неизвестными являются перемещения узлов системы, то – метод перемещений. Если основными неизвестными в рассчитываемой системе приняты одновременно усилия и перемещения, то метод называется смешанным. Основными классическими методами расчета статически неопределимых систем являются названные методы, которые с учетом принимаемых допущений относятся к точным методам. Ниже рассмотрены метод сил и метод перемещений, дано их теоретическое обоснование и приведены примеры численного решения конкретных задач. 26 Глава 3 Расчет стержневых систем методом сил 3.1. Сущность метода сил. Канонические уравнения Метод сил исторически был первым методом, которым рассчитывали статически неопределимые системы. Он применим к любым статически неопределимым системам, является хорошей основой для создания и совершенствования других точных и приближенных методов. Особенность метода сил состоит в том, что ход расчета этим методом зависит от степени статической неопределимости заданной системы, те. от числа лишних связей в этой системе. Чем больше в заданной системе избыточных (лишних) связей, тем более трудоемок ее расчет. В расчете систем методом сил можно выделить следующие основные этапы 1. Устанавливают степень статической неопределимости системы по формулам ( ) в зависимости от типа заданной системы. ( 4 2 1 2 ÷ ) 2. Выбирают так называемую основную систему (ОС, отбрасывая избыточные связи. Связи могут быть отброшены любые, но полученная основная система должна оставаться геометрически неизменяемой в целом ив отдельных своих частях. Основная система может быть принята статически определимой (отброшены все лишние связи, или же статически неопределимой (отброшено часть связей. Мы будем пользоваться статически определимой основной системой, как более простой и удобной в выполнении расчета. Для одной и той же заданной системы может быть найдено много вариантов статически определимых систем. Нужно стремиться отыскать такую основную систему, которая позволяет более просто выполнять расчет. 3. Отброшенные в основной системе лишние связи заменяются усилиями в этих связях, которые принимают за основные неизвестные. 4. Значения основных неизвестных находят из условий, что суммарные перемещения по направлениям отброшенных лишних связей в основной и заданной системе должны быть одинаковы. Если к основной системе приложены те же внешние нагрузки, что ив заданной системе, а отброшенные связи заменены усилиями в этих связях, то заданная и основная система будут эквивалентны по напряженно-деформированному состоянию. Усилия во всех сечениях всех элементов в обоих случаях останутся одинаковыми, атак же одинаковы будут все перемещения этих систем. 5. Определив основные неизвестные, заданную статически неопределимую систему можно заменить статически определимой основной системой, для которой в качестве нагрузок будут заданные внешние силы и усилия в отброшенных связях. Усилия и перемещения в основной системе уже могут быть найдены методами расчета статически определимых систем, изученными впервой части курса. Как видим, определить усилия в лишних связях статически неопределимой системы – это значит раскрыть ее статическую неопределимость. Ход расчета статически неопределимой системы методом сил рассмотрим на примере рамы, изображенной на риса. Заданная система содержит две лишние связи. Возможный вариант основной системы показан на рис. б, где неизвестными приняты опорная реакция ( ) 1 и изгибающий момент в сечении ригеля справа от стойки Заданная система и принятая основная система должны быть эквивалентны. Усилия во всех сечениях элементов и перемещения этих сечений в обоих случаях должны быть одинаковы. Принятая нами основная система отличается от заданной тем, что допускает перемещения по направлениям отброшенных связей. Если обеспечить условия, при которых полные перемещения в основной системе по направлениям отброшенных связей равны нулю, то это соответствует заданной системе и поэтому исчезает различие между заданной и основной системой. Найдем полные перемещения по направлениям отброшенных связей и, выполняя необходимые условия, примем эти перемещения равными нулю. 28 а) P P h q X 1 б) о.с. X 2 q Рис. 3.1 1 2 12 а) ( ющих к введенному шарниру. Выясним смысл слагаемых этих уравнений Пользуясь принципом независимости действия сил, (рассматривается линейно- деформируемая система) полные перемещения по направлению отброшенных связей можно записать в виде ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ∆ + + = ∆ + + , 0 ; 0 2 2 22 где первое уравнение системы а) выражает суммарное перемещение (линейное) точки приложения силы 1 X по направлению отброшенной вертикальной связи, а второе – суммарное перемещение (взаимный угол поворота) сечений, примыка В первом уравнении 11 δ – перемещение точки приложения силы 1 X по направлению силы 1 X , вызванное этой же силой , 1 1 = X а 1 11 X δ – перемещение тоже точки потому же направлению, вызванное фактическ ачени- ем силы 1 X в основной системе. Второе слагаемое этого уравнения 2 й им зн δ выражает перемещение точки приложения силы в сновной системе по направлению этой силы, вызванное силой (моментом) 2 X , а p 1 ∆ – перемещение той же точки в основной системе потому же направлени вызванное заданными нагрузками. Суммарное перемещение точки приложения силы 1 X по направлению этой силы должно быть равно нулю, так как в заданной системе поэтому направлению имеется связь и перемещение невозможно. Слагаемые второго уравнения выражают взаимный угол поворота сечений, примыкающих к сквозному шарниру в основной системе. Суммарный взаимный угол поворота сечений должен быть равен нулю, так как в заданной со истеме в этом ю, месте нет разреза ригеля и перелом упругой линии невозможен. 29 В случае « n неизвестных канонические уравнения метода сил принимают вид ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ∆ + + + + + = ∆ » + + + + + ; 0 ; 0 2 2 3 23 2 22 1 21 1 1 3 13 2 12 1 11 p n n p n n X X X X X X X X δ δ δ δ δ δ δ δ ⎪⎩ = ∆ + + + + + ⎪ ⎪ 0 3 3 2 2 Каждое уравнение системы (3.1) выражает суммарное перемещение по направлению отбрасываемой связи, и канонические уравнения метода сил являются L L L L L L L L L L L L L L L L (3.1) ическими уравнениями кинемат . Таков механический смысл уравнений метода сил. Перемещения в системе уравнений (3.1) обладают следующими свойствами, расположенные на главной диагонали (на прямой слева вниз направо, не ут быть отрицательными или равными нулю побочные коэффициенты мог обладают свойством взаимности ( ki ik δ δ = на основании теоремы о взаимности перемещений) и могут быть положительными, отрицательными или равными нулю. Свободные члены уравнений iP ∆ могут быть полож ыми связями, может быть принята основная система, как показано на рис. б. ительными, отрицательными или равными нулю. Выше показано, что каждое каноническое уравнение метода сил выражает суммарное перемещение определенного вида по направлению отбрасываемой связи. Характер этого суммарного перемещения зависит от типа принятого в основной системе неизвестного . Например, для рамы, изображенной на риса, обладающей семью избыточн а) P q X 1 б) X 7 X 4 2 X 3 X 6 X 6 X 5 X о.с. Рис. 3.2 В данном примере имеем семь канонических уравнений. Каждое из 30 этих уравнений будет выражать суммарное перемещение по направлению отбрасываемой связи, нов тоже время каждое уравнение имеет свой, ему присущий механический смысл, определяемый типом действующего неизвестного. Например, первое и второе равн ия будут выражать линейные перемещения точек приложения сил 1 X и 2 X соответственно в вертикальном и горизонтальном направлениях. Третье и четвертое уравнения выражают соответственно угол поворота по направлению неизвестного 3 X и взаимный уг поворота сечений, примыкающих к шарниру по направлению неизвестного 4 X . Пятое уравнение отражает взаимный сдвиг бесконечно близко расположенных двух точек, принадлежащих одному и тому же сечению (на левой и правой стороне этого сечения. Шестое каноническое уравнение будет выражать взаимное сближение (при обратном направлении неизвестных взаимное удаление) двух бесконечно близко расположенных точек. Это суммарное перемещение также будет равно нулю, так как обе точки принадлежат одному и тому же сечению и их взаимное перемещение невозможно. Седьмое уравнение отражает взаимный угол поворота двух, бесконечно близко расположенных сечений, принадлежащих одной и той же плоскости. При изгибе стержня его сечения (оставаясь плоскими) могут поворачиваться на некоторые углы, но одно и тоже сечение не у ен ол может иметь двух углов твием внешних нагрузок, изменением температуры или другими факто чие в том, что поворота, ив этом смысл седьмого канонического уравнения. Этот смысл канонических уравнений метода сил, определяемый типом принятого неизвестного, остается неизменным независимо оттого, вызваны усилия дейс рами. При выполнении расчетов методом сил на действие температуры канонические уравнения (3.1) по структуре и смыслу остаются обычными. Отли- свободные члены уравнений p n p p ∆ ∆ ∆ , , 2 1 заменяются соот- тственно на t n t t ∆ ∆ ве ∆ , , 2 1 . Из теории перемещений читателю известно, что перемещения ∆ для плоских упругих определяются стержневых систем слагаемыми формулы Мора ив общем случае имеют вид dx N t h i i ср i it ∑ ∫ ∑ ∫ = = dx M t n i l n i l i = = + ′ = ∆ α 1 0 1 0 α , где l n, – соответственно количество стержней (участков) в системе и их длины α – коэффициент температурного линейного расширения – в атур крайних волокон и средняя темп ihiысота сечения элемента p c t t , ′ – соответственно разность темпер ература по нейтральной оси стержня i i N M , – соответственно изгиба щий момент и продольная сию ла, вызванные неизве р стным 1 = i X на участке dx ассматриваемого элемента. Если перепад температур ( ) t′ по длине стержня (участка может быть принят постоянными постоянно сечение стержня по высоте ( h ) в пределах рассматриваемого элемента, то выражение можно записать , ∑ ∑ + ′ = ∆ ср M it ω t h ω t α N α где N M ,ω – соответственно площади эпюр изгибающих моментов и продольных сил на рассматриваемых участках. Напомним, что слагаемое ω ( ) h ω α h M t α M i / / t′ ′ принимается положительным, если температура и изгибающий момент, вызыва еизвестным изгибают элемент в одну и туже сторону. Слагаемые емый н принимаются положительными, если температура и продольная сила от неизвестного 1 = i X на рассматриваемом участке вызывают выполнении расчетов методом сил на неравномерную осадку пор, свободные члены канонических уравнений (3.1) p i ∆ заменяются на , где – емещение в основной системе по направлению отбрасываемой ой связи, вызванное неравномерной продольные деформации в элементе (на участке) одного итого же знака. При опер осадкой Численные значения емещений могут быть найдены, апример, по формуле Мора. В опор. пер c i ∆ н 32 последнем случае выражение c i ∆ имеет вид ∑ = = ция и смещение - ой опоры. − = ∆ i i i c i c R 1 , где n – количество сместившихся опор i i ,c R – соответственно реак n i i Произведение ,c R принимается положительным, если реакция вой опоре, вызванная неизвестным 1 i i , совпадает по направлению с направлением заданного смещения этой опоры. Рас и осадку е действия Перемещения стержневых систем, вызываемые внешними нагрузками, могут быть найдены с помощью формулы Мора. Для плоск систем с учетом изгибающих моментов, поперечных и продольных сил она чет статически неопределимых систем на действие температуры опор выполняется в такой же последовательности, как ив случа внешних нагрузок. |