Учебное пособие для студентов строительных специальностей высших учебных заведений Минск 2004
 Скачать 2.66 Mb.
|
|
, ; ; ∑ ∫ − = ∑ ∫ = = ∑ ∫ = ∗ l l l 0 0 0 где r i k i M M , ры изгибающих моментов в основной системе метода перемещений, полученные при перемещении на единицу связей ; , – эпю k i ∗ p M – эпюр изгибающих моментов от заданных нагрузок в любой основно систе- метода сил при обязательном отсутствии связей, вводимых в основной системе метода перемещений. ай ме 57 Способ перемножения эпюр применяется, как правило, в тех случаях, когда воспользоваться готовыми решениями бывает затруднительно (например, рама содержит наклонные сто о ци - й йки). Проверки правильности найденных значений к эффи ентов при неизвестных и свободных членов уравнений метода перемещений могут быть выполнены с помощью суммарной единично эпюры, как это делается в методе сила именно ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = = ∑ ∑ ∫ ∑∫ ∑ = = , ; , , , 2 , 1 1 0 * 0 2 n i i p i p s k i s R EJ dx M M n i r EI dx M l l K (4.5) где = , 2 , 1 n k K n s M M M M + + + = K 2 1 – суммарная эпюра изгибающих моментов в основной системе метода перемещений. Результат перемножения суммарной эпюры изгибающих моментов на саму себя должен быть равен алгебраической сумме коэффициентов при неизвестных всех используемых в решении канонических уравнений. нений, взятой с обратным знаком. Смысл проверок по формулам (4.5) следующий. Результат перемножения суммарной эпюры изгибающих моментов на эпюру изгибающих моментов от заданных нагрузок (в любой основной системе метода сил) должен быть равен алгебраической сумме свободных членов рассматриваемых урав 4.5. Построение и проверки правильности окончательных эпюр Q M , и N Решив систему канонических уравнений метода перемещений, находим действительные значения перемещений K Окончательную эпюру изгибающих моментов получим по формуле n Z Z Z , , , 2 , 2 2 1 1 n n p Z M Z M Z M M M + + ⋅ + ⋅ + = K n M M M , , , 2 1 K – единичные эпюры изгибающих моментов метода пе- где 58 ремещений, построенные при поочередном перемещении в основной системе дополнительных связей на единицу – эпюра изгибающих моментов в основной системе метода перемещений заданной внешней нагрузки. Проверки правильности построения окончательной эпюры моментов по смыслу те же, что ив методе сила от именно ( ) ∑ = 0 узл M – проверяется равновесие узлов статическая кинематическая ∫ l е сил э олжна составлять не более 3%. Построение эпюры поперечных ( Q ) и продольных сил выполняется теми же приемами, что ив методе сил. Рассматривая отдельные стержни системы под действием заданных внешних нагрузок и опорных моментов, определяют поперечные силы в стержнях, а продольные силы находят из условий равновесия узлов, учитывая поперечные силы и внешние сосредоточенные нагрузки, если эти нагрузки прило лах. аки отыскивается перемещение по направлению любой отбрасываемой лишн й связи в основной системе метода , и то перемещение (теоретически) должно быть равно нулю. Для рам средней сложности относительная погрешность вычислений д жены вуз Проверки правильности решения задачи остаются такими же, кв методе сил. Для систем средней сложности можно ограничиться проверкой равновесия системы в целом, воспользовавшись уравнениями равновесия (3.7): ∑ = 0 X ; ∑ = 0 Y и 0 = K M . В уравнения проекций быть включены проекции внешних нагрузок равновесие отсечен асти рамы Подробно эти проверки рассмотрены в п. 4 всех заданных и реакций опор. Уравнением ной ч или рамы в целом. .6. 0 = ∑ K M проверяется 59 4.6. Пример расчета рамы методом перемещений Для рамы, приведенной на рис. 4.10, требуется построить эпюры изги- бающ ментов ( ) M , поперечных ( Q ) и продольных ( ) N сил. их мо Степень кинематической не- Рис. 4.10 определимости системы находим по формуле лин у n n n + = (см. п. 4.2). В имеется один заданной раме жесткий узел и поэтому =1. у Рис. 4.11 Число степеней свободы шарнирной схемы заданной системы будет (рис. = − − = 0 2 3 С Ш Д W 1 17 18 7 5 2 6 Так как количество линейных смещений узлов рамы совпадает с числом степеней свободы ее шарнирной схемы, то также равно единице и для заданной рамы степень ее кинематической неопределимости будет лин п 2 Основную систему формируем введением дополнительных связей, препятствующих угловому и линейному перемещениям узлов рамы (рис. 4.12). В жесткий узел B вводим защемляющую связь, препятствующую углу поворота узла, а в узел – связь, препятствующую горизонтальному смещению узлов см. п. Других перемещений узлов не будет, ввиду принятых допущений (Неизвестными при расчете этой рамы будут угол поворота жесткого узла B и линейное горизонтальное перемещение узлов 2 Z 60 , B , E G . Направления смещений введенных связей при построении единичных эпюр указаны в основной системе стрелками. Там же цифрами 1, 2, …, 6 указаны порядковые номера стержней. Рис. 4.12 погонные жесткости Вычислим ( ) i стержней , n n n EI i l = где – жесткость- го стержня, – его как погонные жесткости всех стерж n EI n n l длина. Так ней выражены через EI , то численное значение EI может быть принято любым (неравным нулю числом, и соотношение жесткостей стержней в системе будет соблюдаться. Примем EI =8: ; 2 4 1 1 1 1 = = = = l l i 8 EI EI ; 4 2 2 2 2 2 = = = = l l i 8 EI EI ; 8 8 8 8 8 3 3 3 = 3 ⋅ = = = l l EI EI i ; 4 4 8 2 2 4 4 4 = ⋅ = = = l l EI EI i 4 ; 8 6 8 6 5 ⋅ EI 5 5 = = = l i 2 4 8 6 EI EI 4 В нашем случае канонически ия имеют вид Для вычисления коэффициентов при неизвестных и свободных членов нических уравнений по от поочередного смещения добавленных связей на единицу идей- ствия Повернем дополнительно введенную (защемляющую) связь на угол е уравнен 2 2 22 1 21 1 2 12 1 11 p p R Z r Z r R Z r Z r кано остроим в основной системе эпюры изгибающих момент в заданной нагрузки. 61 1 1 = Z . Н риса показаны изогнутые оси стержней от этого воздействия. Изогн ыми. Изгибающие моменты, возникающие при иены на рис. б (см. табл. 4.1. готовых решений. а улись только те стержни, которые примыкают к узлу 1 , а остальные стержни остались прямолинейн згибе стержней, и эпюры изгибающих моментов на стержнях привед Рис. 4.13 Изогнутые оси стержней - нии связи 2 в горизонтальном язи 2 показаны на риса. Изогнутся стержни в основной системе при линейном перемеще направлении св Стержень DE повернется, не изгибаясь и FG , стержни BE и EG – сместятся. Эпюры изгибающих момен от этого воздействия приведены на рис. б. вправо, тоже не изгибаясь тов на стержнях а) б) Рис. 4.14 От действия заданной нагрузки изгибаться будут стержни BE и EG , к котор при а баются и изгибающие моменты в них не возникают. Эпюры изгибающих моментов в стержнях от этого воздействия приведены на рис. 4.15. ым непосредственно ложена нагрузк . Остальные стержни не изги- 62 Рис. На эпюрах от единичных смещений нагрузки и от действия заданной стрелками указаны положительные направления реакций, совпадающие с направлением соответствующих перемещений. Вычислим реактивные моменты в дополнительно введенной защемляющей первой связи, рассматривая равновесие узла. На риса обозначены значения моментов в отсекаем нях при повороте этой связи на угол момента, а на рис в – вычисление реак - ых стерж 1 1 = Z и показано вычисление реактивного момента 11 r . На рис. б, приведено вычисление реактивного. 4.16 тивного момента p R 1 от заданной нагрузки. б) a) в) 0 11 1 1 = → = ∑ r r M = → , 0 8 24 12 ; 1 = − − − , 0 6 3 ; 0 12 1 = − + 44 Рис. 4.16 Реакцию в дополнит репятствующей линейному см 1 1 = + = ∑ p R M 16 , 0 ельно введенной связи, п ещению узлов рамы в горизонтальном направлении, определим, рассматривая равновесие отсеченной части рамы (рис. 4.17). 63 3 , 0 6 3 ; 0 21 21 = → = − + = ∑ r r X 875 , 4 , 0 375 , 0 5 , 1 3 ; 0 = → = − б) a) в) 22 Рис. 4.17 , 0 ; 0 2 = = ∑ р R X Проверим достоверность вычисленных значений коэффициентов при неизвестных и свободных членов канонических уравнений. этого строим суммарную Для единичную эпюру по условию 2 1 M M M S + = (рис. 4.18) и проверим соблюдение условия (4.5): ( ) + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = ∑∫ 1 1 2 2 4 5 5 8 6 4 18 3 2 2 18 2 1 8 1 0 2 l EI dx M s = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + 5 , 1 3 2 4 5 , 1 2 1 8 1 24 3 2 8 24 2 1 8 8 1 875 , 54 375 , 0 24 5 , 3 Рис. 4.18 Алгебраическая сумма коэффициентов при неизвестных 875 54 875 4 3 3 44 22 21 12 11 , , = + + + = + + + = k i ∑ r r r r r 64 Следовательно, реакции найдены верно. Для проверки свободных членов уравнений суммарную единичную эпюру ) ( ) S M умножаем на грузовую эпюру, построенную в ОС. метода сил. На риса показана основная система метода силана рис. б – эпюра изгибающих моментов в этой системе от заданных нагрузок. б) а) основная система м.с. Рис. 4.19 16 64 48 2 4 64 8 1 24 4 3 8 64 3 1 8 8 1 * = + − = ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − = ∑∫ ⋅ EI dx M M p s , 16 0 16 те. ∑ ∑ ∫ − = , * p i p R s EI dx M M что подтверждает правильность полученных значений Система канонических уравнений принимает вид ⎩ ⎨ ⎧ − = = + + = = − + 233577 , 0 , 0 0 875 , 4 3 ; 379562 , 0 ; 0 16 3 44 2 2 1 1 2 1 Z Z Z Z откуда Z Z Проверка правильности решения системы уравнений остается обычной приведена в методе сил п. 3.4). Окончательную эпюру изгибающих моментов получаем по условию 2 2 1 Эпюры изгибающих моментов от фактических значений перемещений и результирующая эпюра моментов приведены на рис. 4.20а,б,в. 65 a) б) в) Рис. 4.20 Выполним проверки правильности окончательной эпюры изгибающих моментов (см. п. Рис. 4.21 В статической проверке проверяют равновесие узлов ( ∑ = 0 узл M ). В нашем случае проверяем равновесие узла . B (Рис. 4.21). 0 0002 , 0 8903 , 6 8905 , 6 7371 , 3 1532 , 3 В кинематической проверке находят перемещение в заданной системе по направлению любого неизвестного Х по формуле где – любая единичная эпюра в любой ОС. метода сил. i M a) б) Рис. 4.22 Примем основную систему метода сил, как показано на риса Единичная эпюра 1 M приведена на рис. б. Тогда % 005 , 0 ; 058395 , 0 0583920 , 0 35037 , 0 3 2 4 1 2 1 8 1 7371 , 3 3 1 2189 , 2 3 2 4 1 2 1 8 1 Эпюра поперечных ( ) Q и продольных ) N сила также схема рамы с указанными значениями внешних нагрузок и реакций опор приведены на рис. 4.23а,б,в. a) б) в) Рис. 4.23 остроение этих эпюр и проверки их правильности выполняются теми же сп = П особами, что ив методе сил. Выполним проверки равновесия системы в целом, пользуясь уравнениями 10 8 2 = − = = ⋅ − + ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − − ⋅ 2 5766 , 1 4 489 , 1 14 8613 , 8 Полученные результаты свидетельствуют о правильности построения эпюр и о правильности решения задачи Таблица реактивных моментов и сил в однопролетных балках Эпюры изгибающих моментов и реакции 11 А А А 9 А 8 А 7 А 6 δ=1 В l/3 P l/3 P M= P l 9 q В В В В z P l/2 P vl С С 8 l l l l/2 l ul 1 А 5 А 4 2 А 3 А №№ п/п А С vl δ=1 z В В l/2 С P q В В A R C Схемы P В R = R =R = 6i R =R = R = R = R = R = R =R = R = R = 3 M =M = 2 A 9 M = - Pl A B - l δ A A +2 i z +4iz 12 ql Pl 2 2u v Pl 2 +u vPl -uv Pl M = A B M = A M = - A M = - 8 2 A B A M = C M = B M = A 2 2 B A 12i 2 B l B 6i l P P 2 2 R =R = 3i R = R = +3 128 iz ql 3 16 M = A l M = - A M = max l q 2 16 M C R B M Реактивные моменты = A Pl v(1-v ) 2 A 2 M = A - 8 9 2 ql B 2 A ql 3 2 3i B l B l 3i z 8 5 8 ql 11 16 Таблица 4.1 (3-u Опорные реакции Pv 2 M A R A M A M M A R B R A C R A A M B R A B R B R A R A M A M R A B R B M C M B M B R R A M C M A M A R B R B M A M B M R A R B A M B M B R В (3-u ) R = 2 B 2 Pu M = C Pl 5 32 16 5 R = B P M = C Pl 2 u v(3-u ) 2 M =+ Pl B 8 M = + 12 ql 2 B M = + 24 C ql 2 R = B R = A 2 2 ql δ δ A A M M R B B R A R ql M = B Pl + 2 9 B R = δ Pl P P v (1+2u)P u (1+2v)P 2 2 68 Глава 5 Основы устойчивости стержневых систем 5.1. К истории вопроса Впервой и второй частя курса строительной механики изучаются методы определения усилий и перемещений в статически определимых и неопределимых стержневых системах. Практика эксплуатации сооружений, имеющих в своей структуре сжатые элементы определенной гибкости, показала, что во многих случаях расчетов н ха прочность недостаточно для полной оценк ения в мами расчетных сопротивлений материала, то это еще не значит, что конструкция в период эксплуатации будет нахо безопасном состоянии. Крушения крупн ойчивости сооружением своего полож го асчета на прочность сечений в массивных каменных и деревянных конструкциях было достаточно для обеспечения устойчивости их элементов. Интенсивное строительство железных дорог со второй половины IX столетия потребовало возведения железнодорожных мостов, путепроводов с использованием стальных конструкций с более гибкими элементами, чем в применявшихся до этого времени конструкциях. В процессе возведения в и надежности сооружения. Если расчетом на прочность установлено, что напряж сечениях элементов не превышают допускаемых нор диться в ых инженерных сооружений (например, мостов) часто происходили при напряжениях в сечениях элементов меньше допускаемых. Аварии сооружений во многих случаях происходили вследствие потери устойчивости сжатых элементов системы или же потери уст ения. В 1744 году Л. Эйлер впервые получил формулу критической нагрузки для центрально сжатого гибкого стержня. Почти 100 лет формула Л. Эйлера не находила практическо применения, так как в эксплуатируемых сооружениях того времени вопросы устойчивости небыли определяющими. В то время не строились большепролетные конструкции, высотные сооружения и принятых из р и период эксплуатации произошли крушения значитель а железнодорожных металлических мостов с основ циями. Одной ных причин этих разр ш асчетов. В конструкциях были заложе устойчивости сжатых стальных элементов. Практика эксплуатации строительных кие сжатые элементы, показала, что бега- ранти |