Учебное пособие для студентов строительных специальностей высших учебных заведений Минск 2004
 Скачать 2.66 Mb.
|
|
7.4. Использование свойств симметрии системы д =1 P =1 3 0.5 h 0.5 h в) г) б) 2 P =1 P =1 1 1 0.5 а m 0.5 3 P =1 M 4 M 3 3 P =1 M 2 M 1 P =1 2 1 P =1 0.5 m 4 m 0.5 2 4 4 0.5 0.5 0.5 0.5 Рис. 7.4 Упрощение расчета путем использования свойств симметрии системы рассмотрим на примере рамы, изображенной на риса. В силу принятых допущений (при определении перемещений масс учитываются только деформации изгиба стержней) заданная система обладает четырьмя степенями свободы. При этом заданную систему примем симметричной по геометрии, по численным значениями расположению масс, по жесткостям элементов. Уравнение колебаний найдем с помощью векового уравнения. Перемещения точек расположения масс будем находить от действия групповых (спаренных) сил 1 = P , прикладываемых в этих точках. Эпюры изгибающих моментов (в общем виде) от симметричных и обратно симметричных спаренных сил 1 = P , приложенных в местах расположения масс, приведены на рис. 7.4. Так как заданная система симметрична, то симметрично расположенные нагрузки 1 = P создают симметричные эпюры изгибающих моментов ( ) 3 1 , M M , а косо симметричные единичные нагрузки – косо симметричные эпюры ( ) 4 2 , Поскольку, в рассматриваемом случае все перемещения ii δ ивы- званы действием групповых сил, состоящих из двух сил, массы в определителе) следует вводить с коэффициентом 2 В общем виде определитель (6.33) для системы с четырьмя степенями свободы имеет вид 0 ) ( ) ( ) ( ) ( 4 44 3 43 2 42 1 41 4 34 3 33 2 32 1 31 4 24 3 23 2 22 1 21 4 14 3 13 2 12 1 11 = − − − − = λ δ δ δ δ δ λ δ δ δ δ δ λ δ δ δ δ δ λ δ m m m m m m m m m m m m m m m m D (7.16) Учитывая симметрию системы, полученные симметричные и косо симметричные единичные эпюры от групповых сил (рис. 7.4б,в,г,д) , 0 , 0 41 14 21 12 = = = = δ δ δ δ 0 , 0 43 34 23 и равенство (7.16) принимает вид 0 2 0 2 0 0 2 0 2 2 0 2 0 0 2 0 2 4 44 2 42 3 33 1 31 4 24 2 22 3 13 1 11 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = λ δ δ λ δ δ δ λ δ δ λ δ m m m m m m m m D (7.17) Раскрывая равенство (7.17) по элементам первого столбца имеем 182 , 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 0 2 0 2 0 2 2 0 2 0 2 0 2 0 2 2 4 44 3 13 2 22 1 31 2 42 4 24 3 13 1 31 4 24 3 33 2 42 1 11 4 44 3 33 2 22 1 11 4 44 2 42 4 24 2 22 3 13 1 31 4 44 2 42 3 33 4 24 2 22 или 0 2 2 4 4 4 2 2 4 2 2 2 2 4 44 2 22 3 1 2 13 4 2 2 24 3 1 2 13 3 33 1 11 4 2 2 24 4 44 3 33 2 22 1 11 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − λ δ λ δ δ δ δ λ δ λ δ δ λ δ λ δ λ δ λ δ m m m m m m m m m m m m m m m m (7.18) Уравнение (7.18) является общим для любой симметричной системы с четырьмя степенями свободы ив том числе для системы, изображенной на риса. Оно охватывает возможные симметричную и кососимметричную формы деформации при соответствующих колебаниях системы. Если в уравнении, аналогичном (7.17), будет обеспечено условие, что все побочные коэффициенты 0 = ik δ , то, определитель в развернутом виде будет 0 2 2 2 2 2 22 1 11 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − λ δ λ δ λ δ λ δ n nn i ii m m m m K K (7.19) Приравнивая поочередно нулю отдельные сомножители уравнения (7.19), получаем частоты собственных колебаний, которым соответствуют свои формы деформации системы, называемые главными формами колебаний. Главные формы собственных колебаний взаимно ортогональны – возможная работа сил инерции первой формы на перемещениях второй формы и наоборот) равна нулю. В этом нетрудно убедиться на примере симметричной балки, изображенной на риса, определяя возможную работу сил инерции в состоянии симметричной ее деформации (рис. б) на перемещениях кососимметричной деформации (рис. в. m 1 а) в) m 1 m б m m 2 2 2 2 2 m m m m 1 Рис. 7.5 Этаже закономерность распределения усилий и деформаций в симметричной системе наблюдается ив расчетах на прочность при действии статических нагрузок. Например, при действии на симметричную систему симметричной нагрузки обратно симметричные неизвестные равны нулю. По аналогии, при действии на симметричную систему симметричных инерционных сил (симметричные колебания) обратно симметричные инерционные силы (групповые или одиночные) будут равны нулю и наоборот. Поэтому колебания системы, удовлетворяющей всем требованиям свойств симметрии, целесообразно исследовать, рассматривая независимо симметричную и косо симметричную формы ее деформации. Для каждой разновидности этих колебаний уравнение (7.18) может быть представлено в виде 184 ; 0 4 4 2 2 4 4 2 2 2 2 4 2 2 24 3 1 2 13 3 33 1 11 4 2 2 24 3 1 2 13 3 33 1 11 4 44 2 22 = ⋅ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − m m m m m m m m m m m m m m δ δ λ δ λ δ δ δ λ δ λ δ λ δ λ δ (7.20) 0 4 4 2 2 4 4 2 2 2 2 4 2 2 24 3 1 2 13 4 44 2 22 3 1 2 13 4 2 2 24 4 44 2 22 3 33 1 11 = ⋅ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − m m m m m m m m m m m m m m δ δ λ δ λ δ δ δ λ δ λ δ λ δ λ δ (7.21) В рассматриваемом случае уравнение (7.20) (отброшены как равные нулю все сомножители и слагаемые, включающие влияние обратно симметричных инерционных сил) выражает симметричные колебания рамы, определяемые сомножителем , 4 2 2 3 1 2 13 3 33 а уравнение (7.21) – аналогично обозначенные (в квадратных скобках) косо симметричные колебания. С целью упрощения расчета симметричные и косо симметричные колебания симметричной системы можно рассматривать раздельно, пользуясь независимыми уравнениями для каждого вида колебаний. Убедимся в справедливости этого на рассматриваемом примере расчета рамы (рис. 7.4). Воспользуемся одним из свойств определителей ив исходном определителе (7.17) поменяем местами вторую и третью строки, а затем поменяем местами второй и третий столбец. Преобразованный определитель принимает вид 0 2 2 0 0 2 2 0 0 0 0 2 2 0 0 2 2 4 44 2 42 4 24 2 22 3 33 1 31 3 13 1 11 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = λ δ δ δ λ δ λ δ δ δ λ δ m m m m m m m m D (7.22) В равенстве (7.22) первая и вторая строки определителя выражают симметричные, а третья и четвертая строки – кососимметричные колебания. Определитель (7.22) можно представить в виде , 0 = × = II I D D D (7.23) где 0 2 2 2 2 3 33 1 31 3 13 1 11 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = λ δ δ δ λ δ m m m m D I и 0 2 2 2 2 4 44 2 42 4 24 Раскрывая определители I D и II D , имеем ; 0 2 2 2 2 3 1 2 13 3 33 1 11 = − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = m m m m D I δ λ δ λ δ 0 2 2 2 2 4 2 2 24 1 44 Подставляя выражения I D ив равенство (7.23) и преобразовывая, получаем 0 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 24 1 44 2 22 3 1 2 13 3 33 или 0 4 4 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 4 2 2 24 3 1 2 13 4 44 2 22 3 1 2 13 4 2 2 24 3 33 1 11 1 44 2 22 3 33 1 11 = ⋅ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − × × − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − m m m m m m m m m m m m m m m m δ δ λ δ λ δ δ δ λ δ λ δ λ δ λ δ λ δ λ δ (7.24) Уравнение (7.24) полностью совпадает с уравнением (7.18), полученным из исходного определителя (7.17). Это подтверждает справедливость равенства) и возможность рассматривать независимо симметричные и косо симметричные колебания симметричных систем. Представляет определенный интерес форма записи характеристических уравнений колебаний в динамических расчетах симметричных систем. Например, в рассмотренной выше симметричной раме с четырьмя степенями свободы, симметрично расположенные массы будут численно равны. Заданную систему можно представить, как показано на рис. 7.6. 0.5 h 0.5 h 0.5 0.5 m 2 1 m 0.5 m 2 0.5 m 1 0.5 0.5 0.5 0.5 Рис. 7.6 Сохранив обозначения направлений перемещений масс, единичные эпюры останутся без изменений и представлены на рис. 7.4б,в,г,д. Преобразованный определитель (7.22) симметричных и косо симметричных колебаний принимает вид 0 2 2 0 0 2 2 0 0 0 0 2 2 0 0 2 2 2 44 1 42 2 24 1 22 2 33 1 31 2 13 1 11 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = λ δ δ δ λ δ λ δ δ δ λ δ m m m m m m m m D (7.25) Как и ранее останется в силе условие (7.23), те. II I D D D × = , а уравнения колебаний в отличие от канонической формы в равенстве (7.25) принимает вид ; 0 4 2 2 2 1 2 13 2 33 1 11 = − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = m m m m D I δ λ δ λ δ (7.26) , 0 4 2 2 2 1 2 24 2 44 1 22 = − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = m m m m D II δ λ δ λ δ (7.27) где равенства (7.26) и (7.27) выражают соответственно симметричные и косо симметричные свободные колебания симметричной системы с четырьмя степенями свободы 187 |