Учебное пособие для студентов строительных специальностей высших учебных заведений Минск 2004
 Скачать 2.66 Mb.
|
|
частот свободных колебаний 7.1. Назначение приближенных методов Приведенные выше решения задач динамики сооружений выполнены статическим (кинетостатическим) методом, который с учетом принимаемых допущений считается точным методом. Расчет систем с большим числом степеней свободы статическим методом оказывается очень громоздкими трудным. Если в любой стержневой системе учесть собственный вес хотя бы одного из ее элементов, то получаем систему с бесконечным числом степеней свободы и решить задачу в такой постановке без замены распределенных масс сосредоточенными статическим методом невозможно. Это обстоятельство заставляет инженеров прибегать к приближенным методами способам. Один из наиболее распространенных приемов упрощения решения состоит в замене распределенных масс заданной системы сосредоточенными (точечными) массами, те. осуществляется переход к системе с конечным числом степеней свободы, и решение может быть выполнено статическим методом. Этим решением будут получены приближенные значения частот свободных колебаний. Чем большее количество принято сосредоточенных масс, тем точнее получаемый результат, нов тоже время сложнее расчет. Для однопролетной шарнирно опертой балки постоянного сечения со сплошной по всему пролету равномерно распределенной массой (система с бесконечным числом степеней свободы) получено решение, позволяющее находить точное значение наименьшей (первой) частоты свободных колебаний системы (решение будет приведено ниже. Этим решением можно воспользоваться для определения наименьшей частоты свободных колебаний в других системах (например, в рамах, если позволяют условия заданной системы. Но это решение может быть применено для ограниченного круга задач. В общем случаев системах с числом степеней свободы, равным бесконечности, частоты свободных колебаний отыскиваются приближенными методами. Могут быть также использованы свойства симметрии системы, если это допускает заданная или преобразованная система. Большое значение имеют те приближенные методы решения задач динамики, которые позволяют более простым путем получить результат достаточной точности с практической точки зрения. Решение важной задачи динамики сооружений – нахождение частот свободных колебаний системы – существенно упрощается, если известны уравнения изгиба стержней при колебаниях системы. Уравнения изгиба стержней, как правило, неизвестны ив приближенных методах их принимают условно с учетом условий соединения между собой стержней в системе и закрепления их на опорах. Это наиболее трудный и ответственный этап вис- пользовании приближенных методов, так как он предопределяет достоверность получаемого результата. Широко используемый в расчетной практике способ замены распределенных масс сосредоточенными (точечными) массами дает удовлетворительную точность при определении первой (наименьшей) частоты свободных колебаний и может приводить к значительным погрешностям при вычислении высших частот. Основным недостатком приближенных методов является то, что неизвестна степень точности (погрешности) полученного результата. Для наиболее часто используемых приближенных методов практическими расчетами выявлены общие критерии их точности (например, для энергетического метода, а в других случаях степень приближенности результата может быть установлена после решения той же задачи точным методом. 7.2. Энергетический метод Ранее (п. 6.1) отмечалось, что в основу этого метода положен закон сохранения энергии, согласно которому в любой момент временно сума потенциальной и кинематической энергии колеблющейся системы остается постоянной) где V U , – соответственно потенциальная и кинетическая энергия системы. Рассматривая свободные колебания системы с одной степенью свободы п. 6.2), было установлено, что при колебаниях системы происходит переход одного вида энергии в другой. Поскольку 0 min min = = V U , то из условия (7.1) следует, что max max V U = (7.2) Условие (7.2) позволяет находить частоты собственных колебаний системы из условия равенства работ, выполняемых ее силами при колебаниях. Определение частоты собственных колебаний энергетическим методом y y( ) m( Рис. 7.1 рассмотрим на примере однопролетной упругой шарнирно опертой балки переменной жесткости с распределенной массой ( ) x m , которая изменяется по любому закону (рис. 7.1). Уравнение изогнутой оси балки в процессе колебаний примем по синусоидальному закону ( ) ( ) ( ) ϕ ω + = t x y t x y sin , , (7.3) где – амплитуда колебаний. Для систем, элементы которых испытывают преимущественно изгиб, пренебрегая влиянием поперечных и продольных сил, потенциальная энергия численно равна работе изгибающих моментов, те. ( ) x y ( ) ∫ = l x EI dx M U 0 Так как, то последнее равенство можно записать ( ) x M x y EI − = ′′ ( ) [ ] ∫ ′′ = l x dx x y EI U 0 2 2 1 (7.4) Воспользовавшись условием (7.3) 171 172 ( ) ( ) ( ) sin 2 Тогда равенство (7.4) принимает вид ( ) ( ) [ ] dx x y EI t U l x 2 0 2 sin 2 Если принять ( ) 1 sin = + ϕ ω t , то максимальное значение потенциальной энергии будет ( ) [ ] dx x y EI U l x 2 0 max 2 1 ∫ ′′ = (7.5) Кинетическая энергия с учетом (7.3) будет ( ) ( ) ( ) ϕ ω ω + = = ′ t x y dt dy t x y cos , ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ ∫ + = = + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = l l l dx x y x m t dx t x y x m dx dt dy x m V 0 2 2 2 0 2 2 2 0 2 2 1 cos cos 2 1 2 Если принять ( ) 1 cos 2 = + ϕ ω t , максимальная кинетическая энергия ( ) ( ) ∫ = l dx x y x m V 0 2 2 max 2 1 ω (7.6) Приравнивая выражения (7.5) и (7.6), находим ( ) [ ] ( ) ( ) ∫ ∫ ′′ = l l x dx x y x m dx x y EI 0 2 0 2 2 ω (7.7) Если система содержит m стержней, то равенство (7.7) принимает вид ( ) [ ] ( ) ( ) ∑ ∫ ∑ ∫ ′′ = m l m l x dx x y x m dx x y EI 1 0 2 1 0 2 2 ω , (7.8) где m – количество элементов системы. Из формулы (7.8) видно, что частоты собственных колебаний системы могут быть найдены энергетическим методом, если известны уравнения изогнутых осей стержней в процессе колебания. Эти уравнения, как правило, неизвестны и ими задаются с учетом характера соединения стержней между собой и типа опорных закреплений, что и предопределяет приближенность получаемого результата. Если известна действительная форма изогнутой оси стержня в процессе колебаний, то энергетическим методом получается точное решение. Применение энергетического метода проследим на примере упругой однопролетной шарнирно опертой балки постоянного сечения со сплошной по всему пролету равномерно распределенной массой (рис. 7.2). x m=const EI=const m y Рис. 7.2 Уравнение изогнутой оси балки при колебаниях примем в виде ( ) l x y x y π sin 0 = , (7.9) где 0 y – максимальное отклонение балки в середине пролета от линии статического равновесия (амплитуда. Нетрудно заметить, что (7.9) удовлетворяет всем граничным условиям рассматриваемой задачи. Частоту собственных колебаний определим по формуле (7.7). Вторая производная уравнения (7.9) ( ) sin 0 2 2 l Так как const EI = , то потенциальная энергия по (7.5) 174 ( ) [ ] 2 2 1 sin 2 1 2 1 2 0 4 4 0 2 2 0 4 4 0 2 max l l l l Кинетическая энергия пос учетом (7.9) ( ) 2 2 1 sin 2 1 2 1 2 0 2 0 2 2 0 2 0 2 2 max l l По формуле (7.7) имеем , 4 4 2 0 3 2 0 4 2 l откуда m EI 2 2 l π ω = (7.10) Формула (7.10) дает точное решение, так как уравнение (7.9) – действительное уравнение изогнутой оси балки, полученное статическим методом при постоянных значениях m и EI . Если уравнение изогнутой оси стержня в процессе колебаний неизвестно, то оно может быть принято по уравнению изогнутой оси при статическом действии на него соответствующих нагрузок. Например, в рассматриваемом случае (рис. 7.2) примем уравнение изогнутой оси балки при колебаниях, совпадающим с уравнением изгиба ее оси при действии на балку сплошной равномерно распределенной нагрузки q ( ) ( ) 4 3 3 2 24 x x x EI q x y + − = l Определив максимальное значение потенциальной (7.5) и кинетической (7.6) энергии, по формуле (7.7) получаем 8767 9 2 Если принять 8696 , 9 2 = π , относительная погрешность в сравнении сточным решением (7.10) составляет 0.07%, те. результат практически совпадает. Определение частот собственных колебаний энергетическим методом может быть выполнено в другом виде (так называемая вторая форма энергетического метода в сравнении с первой, изложенной выше. Выразим потенциальную энергию системы через работу внешних сил. В качестве примера возьмем балку, изображенную на рис. 7.1, переменной жесткости x EI и с переменной массой ( ) , x m изменяющейся по длине балки. Элементарная сила, действующая на бесконечно малом элементе длиной , dx равна ( Приняв уравнение колебаний, как ив предыдущей задаче, по условию (7.3) ( ) ( ) (найдем потенциальную и кинематическую энергию колеблющейся системы ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , sin 2 1 , 2 1 0 0 dx x y g x m t dx t x y g x m U ∫ ∫ + = = l откуда ( ) ( ) dx x y g x m U ∫ = l 0 max 2 Кинетическая энергия останется без изменений (принято тоже самой уравнение колебаний) и по формуле (7.6) ( ) ( ) dx x y x m V 2 0 2 max 2 По условию (7.2) max max V U = и частота собственных колебаний ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ = l l 0 2 0 2 dx x y x m dx x y g x m ω (7.11) Если заданная система содержит несколько стержней, то формула (7.11) принимает вид ( ) ( ) ( ) ( ) , 1 0 2 1 0 2 ∑∫ ∑∫ = m m dx x y x m dx x y g x m l l ω (7.12) где m – число стержней в системе. Формулы (7.8) и (7.12) справедливы для любых стержневых систем, в том числе для статически неопределимых. При использовании формул (7.8) и (7.12) необходимо отыскать близкие к действительным уравнения изогнутых осей для каждого из стержней системы и это является определенной трудностью в решениях конкретных задач. Если заданная система содержит только сосредоточенные массы, то формула (7.12) принимает вид , 1 2 1 2 ∑ ∑ = = = n i i i n i i i y m y m g ω (7.13) где i y – полные перемещения точек расположения масс в направлении колебаний количество масс системы. При определении частоты собственных колебаний по формуле (7.13) основной трудностью является отыскание полных перемещений масс системы в направлении их колебаний. В случае линейно-деформируемой упругой системы эта задача упрощается, так как, пользуясь принципом независимости действия сил, перемещения любой точки k системы можно найти по зависимости , 2 2 1 р (7.14) где ki δ – перемещения точки k по искомому направлению, вызванные силами 1 = i P , прикладываемыми поочередно в местах расположения масс n m m m , , , 2 1 K . Эти перемещения ( ) ki δ могут быть найдены, по формуле Мора. Например, для систем, сплошные элементы которых испытывают преимущественно изгиб ∑∫ = l 0 EI dx M M i k ki δ ; n P P P , , , 2 1 K – фактические значения нагрузок заданной системы в местах расположения масс. Формула (7.13) справедлива для любых стержневых (в том числе шар- нирно-стержневых) систем, как статически определимых, таки статически неопределимых. Эффективность ее использования будет показана ниже на конкретных примерах расчета стержневых систем. 177 7.3. Упрощение расчетной схемы системы Упрощение расчетной схемы системы в динамике сооружений проводится, как правило, для того, чтобы сократить число степенной свободы системы. Это позволяет упростить решение, рассчитывая систему любым известным методом. Выше отмечалось, что один из способов упрощения решения задачи состоит в замене распределенных масс сосредоточенными массами. Проследим решение задачи с использованием этого способа на примере упругой шарнирно опертой балки постоянного сечения со сплошной равномерно распределенной массой (риса. Как показано выше (7.10), точное значение основной частоты собственных колебаний рассматриваемой системы (риса, с бесконечным числом степеней свободы 8696 , 9 2 2 2 m EI m EI l l = = π ω M M M 0.25 m д =1 1 P =1 б m в) г) 0.25 а) y 0.25 k 0.5 m 0.25 0.25 k P=1 m 0.25 m=const EI=const 1 2 k x m / 3 m / 3 m / 3 m / 3 m / 6 m / 6 m / 6 m / 6 2 / 9 / 3 / 3 / 3 / 3 / 3 / Рис Заменим равномерно распределенную массу сосредоточенными массами, одну из которых l m 5 , 0 расположим в середине пролета, а две других l m 25 , 0 – на левой и правой опорах. Массы l m 25 0, не влияют на изгиб балки и на частоту свободных колебаний и их можно не учитывать (рис. б. Получим систему с одной степенью свободы, частоту свободных колебаний которой определим по формуле (6.12). Эпюра изгибающих моментов от приложенной в точке k силы 1 = P (месте расположения массы m ) показана на рис. в. Перемещение EI EI dx M k 48 3 0 2 11 l l = = ∑∫ δ и частота свободных колебаний m EI m EI m 2 3 11 7980 , 9 48 2 1 l l l = ⋅ ⋅ = = δ ω , ошибка составляет 0,73% в сравнении сточным решением по формуле (7.10) и допустима в практических расчетах. Рассмотрим туже балку с двумя массами 3 2 1 l m m m = = , расположенными в третях ее пролета (рис. г. Частоты собственных колебаний системы с двумя степенями свободы найдем статическим методом без учета сил сопротивления перемещению масс, используя вековое уравнение (6.33). Эпюры изгибающих моментов 1 M и 2 M от сил , 1 = P приложенных поочередно в местах расположения масс 1 m и 2 m приведены на рис. д. Характеристическое уравнение получим, раскрыв определитель ( ) ( ) 0 2 22 1 21 2 12 1 11 = λ − δ δ δ λ − δ = m m m m D (7.15) По формуле Мора (путем перемножения эпюр) имеем ; 243 4 3 0 2 1 11 EI EI dx M l l = = ∑∫ δ ; 243 4 3 11 22 EI l = = δ δ EI EI dx M M 486 7 3 0 2 1 21 12 l Раскрывая определитель (7.15), с учетом 2 1 m m = и 22 11 δ δ = , имеем ( ) , 0 2 2 2 11 2 12 11 откуда ( ) 12 11 2 , 1 δ δ λ ± = Подставляя значение 12 11 , δ δ и 3 l m m = , EI m 486 5 4 и 1458 Из условия i i λ ω 1 = получаем ( ) 1 2 4 1 1 8590 , 9 5 486 1 − ′ = = = c m EI m EI l l λ ω , 179 ( ) 1 2 4 2 2 1838 , 38 1458 1 − ′ = = = c m EI m EI l Точное решение этой задачи (при сплошной равномерно распределенной массе по всему пролету балки (7.10)): ; 8696 , 9 2 2 2 1 l l = = m EI π ω m EI m EI ⋅ = = 2 2 2 2 4784 , 39 4 l По полученным результатам погрешность в вычислении первой частоты составляет 0,12%, а по частоте второго тона ( ) 2 ω – 3,39%, что ранее отмечалось (п. 7.1). Для сравнения найдем основную частоту свободных колебаний балки с двумя массами 3 2 1 l m m m = = и двумя степенями свободы (предыдущего примера) по формуле (7.13), учитывающей только сосредоточенные массы. Полные перемещения точек расположения масс 1 m и 2 m ( 1 y и 2 y ) с учетом приведенных выше единичных перемещений ii δ и ik δ побудут l l Числитель формулы (7.13) EI g m EI m m g y m g i i i 1458 10 2 1458 15 3 5 2 2 4 2 2 1 l Знаменатель формулы (7.13) ( ) , 1458 150 2 1458 15 3 2 9 2 3 2 4 2 1 2 EI g m EI mg m g y m i i i l тогда ( ) , 15 1458 150 1458 1458 10 4 9 2 3 2 5 2 2 2 l откуда 8590 , 9 2 m EI l = ω Этот результат полностью совпадает с основной частотой ( ) 1 ω в приведенном выше решении этой же задачи статическим методом, как системы с двумя степенями свободы и свидетельствует об эффективности формулы (7.13) энергетического метода, пользуясь, которой исключаются процедура вычисления определителей и решения алгебраических уравнений высоких порядков. |