Учебное пособие для студентов строительных специальностей высших учебных заведений Минск 2004
 Скачать 2.66 Mb.
|
|
6.4. Свободные колебания систем с одной степенью свободы при учете сил сопротивления Из графика, приведенного на рис. 6.6 следует, что масса, выведенная динамическим воздействием из состояния равновесия, будет совершать колебания с постоянной амплитудой неограниченное время. В реальных условиях процесс колебаний протекает иначе, так как неизбежны силы сопротивления, 143 препятствующие колебаниям массы. Это сопротивление окружающей среды например, воздуха, трение в опорных устройствах системы, внутреннее трение частиц материала в процессе деформирования системы и др. При наличии сил сопротивления часть энергии системы расходуется (необратимо) на преодоление этих сил и свободные колебания затухают. Влияние сил сопротивления на колеблющуюся систему учитывается обычно в предположении, что эти силы пропорциональны скорости колебания системы. Затухающие колебания с принятыми начальными условиями проследим на примере упругой невесомой балки с сосредоточенной массой (рис. 6.9). m m R S y m m y I x о Рис. 6.9 На выведенную из состояния равновесия массу действуют сила инерции m y m I m ′′ − = , сила упругости и сила сопротивления ′ = β . Уравнение динамического равновесия имеет вид ∑ = − + = 0 ; 0 m I R S Y , или Разделив слагаемые последнего равенства на , учитывая соотношение) и обозначив, получаем (6.17) Решение уравнения (6.17) имеет вид 0 2 2 = + ′ + ′′ y ω y k y ( ) ( ) ( ) t k ω C t k ω C e y t k 2 2 2 2 2 1 cos sin − + − = − , (6.18) где и постоянные интегрирования, которые могут быть найдены изначальных условий при ; 1 C 2 C 0 0 y y t = = 0 υ υ = , где и 0 y 0 υ соответственно начальные отклонение массы от положения равновесия и ее скорость. По первому условию 0 2 1 y C y = ⋅ = и 0 2 y C = 144 По второму условию ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t k C t k C e k k t k C k t k C e y t k t k 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 cos sin sin cos − + − − − − − − − − = ′ − − ω ω ω ω ω ω ( ) 2 2 0 0 1 0 0 2 2 Если и уравнение колебаний (6.18) принимает вид ( ) ( ) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + − − + = − t k y t k k y k e y t k 2 2 0 2 2 2 2 0 0 cos sin ω ω ω υ (6.19) Если (при 0 = y 0 = t масса находилась на линии статического равновесия, то ( ) t k ω k ω υ e y t k 2 2 2 2 0 sin − − = − (6.20) Решение уравнения (6.20) справедливо при условии 2 При ( ) 1 sin 2 2 = − t k ω максимальные значения прогиба 2 2 0 max k e y t k − = − ω υ (6.21) Функция (6.20) имеет нулевые ординаты на оси t , если 2 2 2 2 2 ; ; 0 k t k t t − = − = = ω π ω π и т.д. Из уравнение (6.20) следует, что стечением времени амплитуда колебаний уменьшается до нуля и колебания затухают. График таких свободных колебаний показан на рис. 6.10. В этом случае период и круговая частота свободных колебаний определяются зависимостями 2 2 2 k T c − = ω π (6.22) 2 2 k c − = ω ω (6.23) 145 T n+1 t -k c t T n y 2 2 n c n+1 y y t -k 2 Рис. 6.10 Таким образом, при наличии сил сопротивления свободные колебания системы являются затухающими. Амплитуда колебаний в этом случае уменьшается до нуля. Если силы сопротивления и масса постоянны, то круговая частота и период колебаний также остаются постоянными, зависящими от упругих свойств системы. Для большинства инженерных сооружений коэффициент k мал в сравнении с частотой свободных колебаний ω . Поэтому в практических расчетах обычно пренебрегают силами сопротивления и определяют приближенные значения периода и частоты свободных колебаний по формулами, вместо (6.22) и (6.23). В качестве меры затухания колебаний часто используют так называемый логарифмический декремент колебаний. Он определяется так. В моменты времени и (см. рис. 6.10) амплитуды колебаний по формуле (6.21) будут n t 1 + n t ( ) 2 2 0 1 2 Отношения этих амплитуд ( ) c n c n kT t T t k n n e e y y = = − + +1 ; Обозначим c n n kT y y = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = +1 ln γ . (6.24) 146 Безразмерная постоянная величина носит название логарифмического декремента колебаний. Она также является динамической характеристикой системы и принимается по таблицам, имеющимся в справочной литературе. 6.5. Вынужденные колебания систем с одной степенью свободы при учете сил сопротивления Для получения дифференциального уравнения этого вида колебаний воспользуемся рисунком (6.9), на котором сохранятся все силы, действующие на массу, и добавится возмущающая нагрузка, которую примем гармонической, совпадающей по направлению (вниз) с перемещением массы. Тогда уравнение динамического равновесия будет ∑ = − − + = 0 sin t P I R S Y m θ , или Сохранив принятые выше обозначения, имеем t m P y y k y θ ω sin 2 2 = + ′ + ′′ (6.25) Решение уравнения (6.25) включает общее (6.18) и частное решение и имеет вид ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , sin cos 2 4 cos sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 t t k k m P t k C t k C e y kt θ θ ω θ θ θ θ ω ω ω − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − − − + − = − (6.26) где первое слагаемое выражает свободные колебания системы при наличии сил сопротивления, а второе – вынужденные колебания, причем первый сомножитель второго слагаемого – амплитуда колебаний ( ) дин y После преобразований, как показано выше, уравнение (6.26) принимает вид дин cos 2 sin 2 2 2 2 2 2 0 − − − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = − (6.27) Свободные колебания стечением времени затухают, и колебания системы принимают установившийся характер вынужденных колебаний, определяемых вторым слагаемым уравнения (6.27). После преобразований второе слагаемое уравнения (6.27) принимает вид дин 2 2 2 2 4 k m P y дин θ θ ω + − = где (6.28) Учитывая принятые ранее обозначения , 2 2 ; ; 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = = = π γω γ γ ω T k kT m C амплитуду вынужденных колебаний можно представить в виде ( ) , 1 1 4 1 4 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 дин 1 ; 2 2 2 2 2 2 2 π γ ω θ ω θ µ µ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = ⋅ = cm дин y y или (6.29) где µ – динамический коэффициент, зависимость которого от параметра можно представить в виде графика, который имеется в учебной и справочной литературе. Из выражения (6.29) видно, что при совпадении частот θ и ω (случай резонанса) динамический коэффициент µ не обращается в бесконечность как это происходит без учета сил сопротивления, а имеет значение ( ) 0 ≠ = γ γ π µ . Для реальных конструкций абсолютная величина декремента γ значительно 15 , 0 меньше единицы. Например, для металлических конструкций γ , для деревянных – 17 , 0 15 , 0 − = γ т. д. Поэтому в случае резонанса недопустимо случаи 6.6. Рассмотрим динамический коэффициент и амплитуда колебаний достигают больших значений, и сооружению грозит разрушение, те. ив этом резонанс остается большой опасностью для сооружения. Свободные колебания систем со многими степенями свободы эти колебания на примере упругой невесомой балки с сосредоточенными массами без учета сил сопротивления (рис. 6.11). Рассматриваемая система обладает степенями свободы, будет иметь частот собственных колебаний n - n n n ω ω ω K , , 2 1 , которым соответствуют форм колебаний Рис. 6.11 Полные перемещения масс под действием инерционных сил можно представить в виде (6.30) где 1 K ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + + + + = + + + + = + + + + = n n n n n n n n n n n I I I I y I I I I y I I I I y δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ K K K K K K K K K K K 3 3 2 2 1 1 2 3 23 2 22 1 21 2 1 3 13 2 12 1 11 1 ; ; i k i i i I , , δ δ – соответственно перемещения точек расположения масс, вызванные силами 1 = P и инерционные силы этих масс. Так как силы инерции ″ − = i i i y m I , то уравнения (6.30) можно записать 149 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = + ″ + + ″ + ″ + ″ = + ″ + + ″ + ″ + ″ = + ″ + + ″ + ″ + ″ 0 ; 0 ; 0 3 3 3 2 2 2 1 1 1 2 2 3 3 23 2 2 22 1 1 21 1 1 3 3 13 2 2 12 1 1 11 n n n n n n n n n n n n n n y y m y m y m y m y y m y m y m y m y y m y m y m y m δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ K K K K K K K K K K K K K K K K (6.31) Уравнения (6.31) допускают следующие частные решения ( ) ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + = + = + = sin ; sin ; sin 2 2 1 Вторые производные этих решений имеют вид ( ) ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + − = ″ + − = ″ + − = ″ sin ; sin ; sin 2 2 2 2 2 Подставив выражения и их вторые производные в уравнение, сократив на n y y y , , , 2 1 K ( ) ϕ ω + t sin и сгруппировав слагаемые, получаем систему однородных уравнений в следующем виде (6.32) Уравнения (6.32) будут справедливы, если принять все амплитуды равными нулю. Нов этом случае нет перемещений масс, система находиться в покое на линии равновесия, и колебания отсутствуют. Если полагать, что амплитуды отличны от нуля, то такое решение возможно, когда определитель из коэффициентов при амплитудах равен нулю. Это является исходным условием для определения частот собственных колебаний системы. ( ) ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = − + + + = + + − + = + + + − 0 1 0 1 0 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 22 1 2 1 21 2 1 2 2 2 12 1 2 1 11 n n n n n n n n n n n n A m A m A m A m A m A m A m A m A m ω δ ω δ ω δ ω δ ω δ ω δ ω δ ω δ ω δ K K K K K K K K K K K K K K K n А А A K , , 2 1 150 Разделив все слагаемые уравнений (6.32) на 2 ω и обозначив, λ ω = 2 1 , характеристическое уравнение частот, называемое вековым уравнением, получаем в виде ( ) ( ) ( ) 0 2 2 1 1 2 2 22 1 21 1 2 12 1 11 = − − − = λ δ δ δ δ λ δ δ δ δ λ δ n n n n n n n n n m m m m m m m m m D K K K K K K K (6.33) Раскрыв равенство (6.33), получим алгебраическое уравнение ой степени относительно λ , а решив его найдем значение его корней n λ λ λ K , , 2 По формуле i i λ ω 1 = находим частоты колебаний n ω ω ω K , , 2 Уравнение (6.33) справедливо для любых систем (балки, рамы, фермы и др) как статически определимых, таки статически неопределимых. В последнем случае эпюры изгибающих моментов (балки, рамы) для определения перемещений ii δ должны быть построены от сил 1 = i P определени в заданной статически неопределимой системе, и поэтому при и перемещений ik δ эпюры вспомогательного состояния ( ) k M могут быть взяты в любой статически определимой основной системе метода сил. В практических расчетах обычно нужно знать наименьшую частоту собственных колебаний min ω (соответствует наибольшему значению корня max λ ), которую принято называть основной частотой колебаний системы. 6.7. Определение внутренних сил и перемещений при действии динамической нагрузки При действии на систему динамической нагрузки гармонического характера массы системы будут совершать, кроме собственных колебаний, вынужденные колебания стой же частотой, что и частота возмущающей силы. Выше (п. 6.4) на примере системы с одной степенью свободы показано, что в реальных условиях, при наличии сил сопротивления, свободные колебания стечением времени затухают. Поэтому их можно не учитывать и рассматривать систему при установившихся вынужденных колебаниях. При вынужденных колебаниях перемещения масс системы происходят под влиянием действующих на них динамических нагрузок и сил инерции, приложенных в точках расположения этих масс. Если возмущаю динамические нагрузки подчиняются одному и тому же закону, и той же частотой, то все параметры упругой системы, зависящие нагрузок, в том числе инерционные силы, достигают своего наибольшего) значения в один и тот же момент времени. В тот времени будут достигать своего максимального значения все лы и перемещения системы. Исходя из этого в линейно- системе, максимальное значение, например, изгибающего некотором ее сечении i определиться выражением ( ) t P n I I I K , , 2 1 щие обладают одной от этих амплитудного (же момент внутренние си деформируемой момента М в 2 1 1 , (6.34) где – изгибающий момент в сечении i , вызванный статическим действием амплитудных значений динамических нагрузок p i M n i i i M M M , , , 2 1 K прикладываемыми – изгибающие моменты в сечении i, вызванные поочередно в местах расположения масс статическими силами, равными единице – максимальные значения инерционных сил. Из формулы (6.34) видно, что эпюры динамических изгибающих моментов строятся потому же принципу, что и окончательные эпюры изгибающих моментов при расчете статически неопределимых систем, например, методом перемещений. Проверки правильности эпюры динамических моментов в статически определимых и статически неопределимых системах остаются обычными. Например, для проверки правильности окончательной эпюры динамических моментов в статически неопределимой системе используются статическая и кинематическая проверки. n P P P , , , 2 1 K n I I I K , , 2 1 ( ) D M 152 Эпюры поперечных ( ) D Q и продольных ( ) D N сил могут быть построены тем же приемом, что и (6.34). В расчетной практике чаще используется другой способ. По динамических моментов обычными приемами строится эпюра поперечных сила затем, из условий равновесия узлов, – эпюра продольных сил. Проверки правильности построения этих эпюр остаются обычными. ограничиться (для систем средней сложности) проверкой равновесия стемы в целом, пользуясь уравнениями эпюре Можно си 0 к М ∑ = 0 X ив которые должны войти опорные реакции, инерционные силы с учетом их фактического направления и заданные динамические нагрузки. Перемещение любой точки системы ( ) D i ∆ , вызванное динамической нагрузкой, по аналогии с формулой (6.34), можно выразить зависимостью n n i i i p i D i I I I δ δ δ + + + + ∆ = ∆ K 2 2 1 1 , (6.35) где – перемещение точки i системы от статического действия динамических нагрузок, равных по величине амплитудным своим значениям p i ∆ k i δ – перемещения той же точки, вызванные статическими силами 1 = P , поочередно прикладываемыми в местах расположения масс по направлению колебаний – максимальные значения инерционных сил. Из выражений (6.34) и (6.35) видно, что для определения амплитудных значений динамических усилий и перемещений необходимо знать максимальные значения инерционных сил, определение которых показано ниже. |