Мат (1). Учебное пособие СанктПетербург Издательство спбгэту лэти 2013

• Название: Учебное пособие СанктПетербург Издательство спбгэту лэти 2013
• Дата: 15.09.2022
• Размер: 0.66 Mb.
• Имя файла: Мат (1).pdf
• Тип: Учебное пособие; #678223
• страница: 12 из 12

(2n+1)
(0) = 0, то g(x) =
+∞
P
n=0
(−1)
n x
2n
(2n)!
. Так как h
(2n+1)
(0) = (−1)
n
, а h
(2n)
(0) = 0, то h(x) =
+∞
P
n=0
(−1)
n x
2n+1
(2n + 1)!
101

Список литературы
1. Бондарев А. С., Доценко М. Л., Фролова Е. В. Математический ана- лиз (функции одной вещественной переменной): Учеб. пособие / Под ред.
А. Л. Белопольского; СПбГЭТУ. СПб., 1998.
2. Математический анализ в электронике и автоматике: Учеб. пособие
/ А. С. Бондарев, Т. Д. Дончев, М. Л. Доценко и др.; Под ред. А. И. Кошеле- ва; ЛЭТИ. Л., 1983.
3. Приложение интегрального исчисления и дифференциальных урав- нений в задачах электроники и автоматики: Учеб. пособие / А. С. Бонда- рев, Т. Д. Дончев, М. Л. Доценко и др.; Под ред. А. И. Кошелева; ЛЭТИ.
Л., 1984.
4. Берс Л. Математический анализ: Учеб. пособие: В 2 т. М.: Высш.
шк., 1975.
5. Шилов Г. Е. Математический анализ (функции одной вещественной переменной): Учеб. пособие. Ч. 1–2. М.: Наука, 1969.
6. Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. Х. Математический ана- лиз. Начальный курс. М.: Изд-во Моск. гос. ун-та, 1987.
7. Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. Х. Математический ана- лиз. Продолжение курса. М.: Изд-во Моск. гос. ун-та, 1987.
8. Зорич В. А. Математический анализ. Ч. 1. М.: Наука, 1981.
9. Справочник по специальным функциям / Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган. М.: Наука, 1979.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1. МНОЖЕСТВА И ФУНКЦИИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1. Логическая символика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Понятие множества. Действия над множествами . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3. Границы числовых множеств. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 1.4. Функции. Основные определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.5. Обратная функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.1. Окрестность точки. Предельные точки множества. . . . . . . . . . . . . . .8 2.2. Определение предела функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.3. Предел суперпозиции функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.4. Арифметические свойства пределов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.5. Общие свойства пределов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.6. Понятие асимптотических оценок. Символы o, ∼, O . . . . . . . . . . . 15 2.7. Односторонние пределы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.8. Бесконечные пределы и пределы на бесконечности . . . . . . . . . . . . . 18 2.9. Предел последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.10. Предел и монотонность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 102

2.11. Число e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.1. Определение и свойства непрерывных функций . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.2. Функции, непрерывные на отрезке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.3. Нахождение корня уравнения методом половинного деления . . . 26 4. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4.1. Определения дифференцируемости функций,
производной, касательной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4.2. Дифференцируемость суперпозиции функций и обратной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.3. Правила вычисления производных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.4. Понятие экстремума функции. Теорема Ферма . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.5. Теоремы о среднем (Ролля, Коши, Лагранжа) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.6. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей . . . . . . . . . . . . . . 35 4.7. Формула Тейлора n-го порядка с остаточным членом в форме Пеано . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.8. Формула Тейлора n-го порядка с остаточным членом в форме Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 5. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ . . . . . . . 40 5.1. Монотонность функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5.2. Необходимые и достаточные условия экстремума функции . . . . . 41 5.3. Выпуклость функции. Точки перегиба . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 5.4. Асимптоты графика функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5.5. Метод Ньютона нахождения корня уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 6.1. Определение. Существование и единственность . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 6.2. Свойства определенного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 6.3. Интеграл с переменным верхним пределом. Первообразная . . . . 52 6.4. Формула Ньютона–Лейбница. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54 6.5. Геометрические приложения определенного интеграла . . . . . . . . . 56 6.6. Приближенное вычисление интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62 7.1. Несобственный интеграл по бесконечному промежутку . . . . . . . . 62 7.2. Несобственный интеграл по конечному промежутку . . . . . . . . . . . . 66 7.3. Признаки сходимости несобственных интегралов . . . . . . . . . . . . . . . 69 7.4. Функции erf(x), Si(x), Ci(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 8. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 8.1. Определение. Свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 8.2. Гамма-функция. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78 9. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80 9.1. Функция-оригинал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 103

9.2. Преобразование Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 9.3. Теоремы линейности, запаздывания и смещения . . . . . . . . . . . . . . . . 83 9.4. Теоремы о дифференцировании и интегрировании оригинала. Теорема о свертке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 9.5. Нахождение оригинала правильной рациональной дроби . . . . . . . 86 10. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 10.1. Понятие числового ряда. Сходимость ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 10.2. Признаки сравнения для положительных рядов . . . . . . . . . . . . . . . 88 10.3. Интегральный признак сходимости положительного ряда . . . . . 90 10.4. Признаки Коши и Даламбера сходимости ряда . . . . . . . . . . . . . . . . 92 10.5. Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда . . . . . 95 10.6. Абсолютная и условная сходимость ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 11. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 11.1. Понятие степенного ряда. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .97 11.2. Радиус и интервал сходимости степенного ряда . . . . . . . . . . . . . . . 98 11.3. Дифференцирование и интегрирование степенного ряда . . . . . . 99 11.4. Ряд Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Белопольский Андрей Львович
Бондарев Александр Сергеевич
Доценко Марк Лукич
Фролова Елена Вениаминовна
Щеглова Александра Павловна
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
(функции одной вещественной переменной)
Учебное пособие
Редактор Э. К. Долгатов
Подписано в печать 07.06.13. Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная.
Печать офсетная. Гарнитура „Times New Roman“. Печ. л. 6,5.
Тираж 225 экз. Заказ
Издательство СПбГЭТУ „ЛЭТИ“
197376, С.-Петербург, ул. Проф. Попова, 5