Мат (1). Учебное пособие СанктПетербург Издательство спбгэту лэти 2013
 Скачать 0.66 Mb.
|
|
ε ⇒ (D − ε ) a n < a n+1 < (D + ε ) a n 92 Пусть D < 1. Возьмем ε > 0 так, чтобы q = D + ε < 1. Тогда ∀ n > > δ a n+1 < qa n . Полагая n = δ + 1, n = δ + 2, . . . , n = δ + k, . . . последовательно получим a δ +2 < qa δ +1 , a δ +3 < qa δ +2 < q 2 a δ +1 , . . . , a δ +k+1 < q k a δ +1 , . . . . Так как ряд P k≥0 q k a δ +1 сходится, то по признаку сравнения сходится ряд P n>δ a n , а потому и ряд +∞ P n=1 a n сходится. Пусть D > 1. Возьмем ε > 0 так, чтобы D − ε > 1. Тогда ∀ n > > δ a n+1 > (D − ε )a n > (D − ε ) n−δ a δ +1 , а потому lim a n = +∞ и ряд +∞ P n=1 a n расходится в силу следствия 10.1 . Замечание 10.1. Существуют сходящиеся и расходящиеся ряды +∞ P n=1 a n , для которых K = lim n √ a n = 1 или D = lim a n+1 a n = 1. Например, для ряда Дирихле +∞ P n=1 1 n λ , который сходится при λ > 1 и расходится при λ ≤ 1 (см. пример 10.3), при любом λ имеем K = lim n r 1 n λ = lim e −λ ln(n)/n = = e 0 = 1 и D = lim a n+1 a n = lim n λ (n + 1) λ = lim n n + 1 λ = 1. ⊗ Если ряд +∞ P n=1 a n сходится по признаку Коши, т. е. lim n √ a n = K < 1, то легко вычислить сумму такого ряда с любой заданной точностью ε Для этого: 1) возьмем такое q, что K < q < 1; 2) найдем такое δ ∈ N, что ∀ n > δ n √ a n < q; 3) найдем такое m ∈ N, что q m+1 1 − q < ε ; 4) положим n 0 = max{ δ , m}. Тогда |S − S n 0 | < ε , т. е. за приближенное значение суммы ряда с точностью ε можно взять S n 0 Докажем это утверждение: |S − S n 0 | = S − S n 0 = a n 0 +1 + a n 0 +2 + · · · = lim N →+∞ N X k=1 a n 0 +k ≤ ≤ lim N →+∞ N X k=1 q n 0 +k = lim N →+∞ q n 0 +1 (1 − q N ) 1 − q = q n 0 +1 1 − q ≤ q m+1 1 − q < ε Пример 10.5. Найти сумму +∞ P n=1 n + 1 3n + 1 n с точностью ε = 0.01. 93 1. Так как lim n √ a n = lim n + 1 3n + 1 = 1 3 , то можно взять q = 1 2 . 2. Решим неравенство n √ a n < q ⇔ n + 1 3n + 1 < 1 2 ⇒ n > 1, возьмем δ = 1. 3. Решим неравенство q m+1 1 − q < ε ⇔ 0.5 m+1 1 − 0.5 = 0.5 m < 0.01 ⇒ m ≥ 7, возьмем m = 7. 4. Положим n 0 = max{ δ , m} = 7. По доказанному ранее за приближенное значение суммы ряда с точностью ε = 0.01 можно взять S 7 = 2 4 1 + 3 7 2 + 4 10 3 + 5 13 4 + 6 16 5 + 7 19 6 + 8 22 7 = = 0.7803 ∼ = 0.78. • Если ряд +∞ P n=1 a n сходится по признаку Даламбера, т. е. lim a n+1 a n = D < < 1, то легко вычислить сумму такого ряда с любой заданной точностью ε Для этого: 1) возьмем такое q, что D < q < 1; 2) найдем такое δ ∈ N ∪ {0}, что ∀ n > δ a n+1 a n < q; 3) найдем такое m ∈ N, что a δ +1 q m 1 − q < ε ; 4) положим n 0 = δ + m. Тогда |S − S n 0 | < ε , т. е. за приближенное значение суммы ряда с точностью ε можно взять S n 0 . Докажем это утверждение: |S − S n 0 | = S − S n 0 = a δ +m+1 + a δ +m+2 + · · · = lim N →+∞ N X k=1 a δ +m+k ≤ ≤ lim N →+∞ N X k=1 a δ +1 q m+k−1 = lim N →+∞ a δ +1 q m (1 − q N ) 1 − q = a δ +1 q m 1 − q < ε Пример 10.6. Найти сумму +∞ P n=1 n 3 n с точностью ε = 0.01. 1. Так как lim a n+1 a n = lim (n + 1)3 n 3 n+1 n = 1 3 , то можно взять q = 1 2 2. Решим неравенство a n+1 a n < q ⇔ n + 1 3n < 1 2 ⇒ n > 2, возьмем δ = 2. 3. Решим неравенство a δ +1 q m 1 − q < ε ⇔ 3 3 3 0.5 m 1 − 0.5 < 0.01 ⇔ 0.5 m−1 < < 0.09 ⇒m ≥ 5, возьмем m = 5. 4. Положим n 0 = δ + m = 7. По доказан- ному ранее за приближенное значение суммы ряда с точностью ε = 0.01 можно взять S 7 = 1 3 + 2 3 2 + 3 3 3 + 4 3 4 + 5 3 5 + 6 3 6 + 7 3 7 = 0.7480 ∼ = 0.75. • 94 10.5. Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда Ряд +∞ P n=1 (−1) n+1 a n = a 1 − a 2 + a 3 − a 4 + . . . , где a n > 0 для любого n ∈ N, называется знакочередующимся. Теорема 10.7 (признак Лейбница). Если для любого n ∈ N a n+1 ≤ ≤ a n и lim a n = 0, то ряд +∞ P n=1 (−1) n+1 a n сходится, его сумма S ∈ [0; a 1 ] и для любого n ∈ N |S − S n | ≤ a n+1 Доказательство. Покажем, что последовательность частичных сумм ряда с четными индексами {S 2n } не убывает и ограничена сверху. В самом деле, так как по условию для любого n ∈ N a n+1 ≤ a n , то S 2 = a 1 − a 2 ≥ 0, . . . , S 2n+2 = S 2n + (a 2n+1 − a 2n+2 ) ≥ S 2n Кроме того, S 2n = a 1 −(a 2 −a 3 )−· · ·−(a 2n−2 −a 2n−1 )−a 2n ≤ a 1 . Следователь- но, 0 ≤ S 2 ≤ · · · ≤ S 2n ≤ S 2n+2 ≤ · · · ≤ a 1 . Неубывающая ограниченная сверху последовательность {S 2n } по теореме 2.15 имеет предел lim S 2n = S и 0 ≤ S ≤ a 1 . Для последовательности частичных сумм с нечетными ин- дексами {S 2n+1 } выполнено lim S 2n+1 = lim(S 2n + a 2n+1 ) = lim S 2n + lim a 2n+1 = S + 0 = S. Итак, последовательности частичных сумм {S 2n } и {S 2n+1 } имеют один и тот же предел S. Отсюда lim S n = S. По доказанному ранее знакочередующийся ряд a n+1 − a n+2 + a 3 − . . . сходится и его сумма 0 ≤ R n ≤ a n+1 , поэтому |S − S n | = |(−1) n+2 R n | = = R n ≤ a n+1 Пример 10.7. Вычислить сумму ряда +∞ P n=1 (−1) n+1 n(n + 1)(n + 2) с точностью ε = 0, 01. Так как a n = 1 n(n + 1)(n + 2) убывает и lim a n = 0, то по признаку Лейбница данный ряд сходится. Так как a 4 = 1 4 · 5 · 6 < ε , то |S − S 3 | ≤ ≤ a 4 < ε . Вычислим S 3 = 1 1 · 2 · 3 − 1 2 · 3 · 4 + 1 3 · 4 · 5 = 0.142. Значит, S ∼ = 0.14. • 95 10.6. Абсолютная и условная сходимость ряда Теорема 10.8. Если ряд +∞ P n=1 |a n | сходится, то и ряд +∞ P n=1 a n также сходится. Доказательство. Введем новые последовательности {a + n } и {a − n }: a + n = a n , a n ≥ 0 0, a n < 0 ; a − n = 0, a n ≥ 0 −a n , a n < 0 и рассмотрим 2 положитель- ных ряда +∞ P n=1 a + n и +∞ P n=1 a − n . Так как a + n ≤ |a n | и a − n ≤ |a n | ∀n ∈ N, то эти ряды сходятся по признаку сравнения. По предложению 10.1 разность схо- дящихся рядов есть сходящийся ряд, т. е. ряд +∞ P n=1 (a + n − a − n ) сходится. Далее, очевидно, что a + n − a − n = a n , значит, ряд +∞ P n=1 a n сходится. Замечание 10.2. Если +∞ P n=1 a n сходится, то ряд +∞ P n=1 |a n | может расхо- диться. Например, ряд +∞ P n=1 (−1) n+1 n сходится по признаку Лейбница, но ряд из абсолютных величин +∞ P n=1 1 n — гармонический ряд, который расходится (см. пример 10.2). ⊗ Определение 10.2. Если ряд +∞ P n=1 |a n | сходится, то говорят, что ряд +∞ P n=1 a n сходится абсолютно. Если ряд +∞ P n=1 a n сходится, но +∞ P n=1 |a n | расходит- ся, то говорят, что ряд +∞ P n=1 a n сходится условно. В этих терминах ряд +∞ P n=1 (−1) n+1 n сходится условно. Теорему 10.8 мож- но сформулировать так: абсолютно сходящийся ряд сходится. Замечание 10.3. Если ряд +∞ P n=1 a n сходится абсолютно, при любой пе- рестановке его членов новый ряд по-прежнему будет сходиться и иметь ту же сумму. Если же ряд +∞ P n=1 a n сходится условно, то всегда можно найти такую перестановку его членов, что новый ряд будет сходиться к любому наперед заданному числу (см. теорему Римана, доказанную в [ 7 ] (т. 1.10)) или даже станет расходящимся. ⊗ 96 Для исследования абсолютной сходимости часто применяют признаки Коши и Даламбера, которые в этом случае имеют следующий вид. Теорема 10.9. Если существует предел lim n p|a n | = K, то при K < < 1 ряд +∞ P n=1 a n сходится абсолютно; при K > 1 lim |a n | = +∞ и ряд +∞ P n=1 a n расходится. Теорема 10.10. Если существует предел lim a n+1 a n = D, то при D < 1 ряд +∞ P n=1 a n сходится абсолютно; при D > 1 lim |a n | = +∞ и ряд +∞ P n=1 a n расходится. Замечание 10.4. Отметим, что если существуют lim n p|a n | = K и lim a n+1 a n = D, то K = D. ⊗ 11. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 11.1. Понятие степенного ряда Пусть {a n } – последовательность чисел, x 0 ∈ R. Определение 11.1. Семейство числовых рядов +∞ P n=0 a n (x − x 0 ) n , где x ∈ R, называется степенным рядом по степеням (x − x 0 ). Множество тех x, для которых числовой ряд +∞ P n=0 a n (x − x 0 ) n сходится, называется областью сходимости степенного ряда и обозначается D cx . Функция S : D cx → R S(x) = +∞ P n=0 a n (x − x 0 ) n называется суммой степенного ряда. Очевидно, x 0 ∈ D cx . Заменой x − x 0 = w степенной ряд по степеням x − x 0 преобразуется в ряд по степеням w +∞ P n=0 a n w n и обратно. Пример 11.1. Для ряда +∞ P n=0 x n n! D cx = R. Возьмем x ∈ R. Обо- значим b n = x n n! , тогда lim b n+1 b n = lim x n+1 (n + 1)! n! x n = lim |x| n + 1 = 0 < 97 < 1, по признаку Даламбера ряд сходится при любом x ∈ R. Аналогич- но можно показать, что для ряда +∞ P n=0 n!x n D cx = {0}, а для ряда +∞ P n=0 x n D cx = (−1; 1) ( т. е. совпадает с интервалом |x| < 1) и его сумма равна S(x) = 1 1 − x 11.2. Радиус и интервал сходимости степенного ряда Теорема 11.1 (Абеля). Если сходится ряд +∞ P n=0 a n x n 1 и |x| < |x 1 |, то ряд +∞ P n=0 a n x n сходится абсолютно. Доказательство. По необходимому признаку сходимости ряда после- довательность {a n x n 1 } стремится к нулю, а потому ограничена, т. е. ∃ M > > 0 : ∀ n ∈ N ∪ {0} |a n x n 1 | ≤ M . Так как q = x x 1 < 1, то |a n x n | = = |a n x n 1 | x x 1 n ≤ M q n и ряд +∞ P n=0 M q n сходится. По признаку сравнения (теорема 10.2 ) ряд +∞ P n=0 |a n x n | сходится. Теорема 11.2. У любого степенного ряда +∞ P n=0 a n x n существует ра- диус сходимости, т. е. такой R cx ∈ [0; +∞], что ряд +∞ P n=0 a n x n сходится абсолютно при всех |x| < R cx и расходится при |x| > R cx Доказательство. Положим R cx = sup x∈D cx |x|. Если |x| > R cx , то x 6∈ D cx и ряд расходится. Если |x| < R cx , то ∃ x 1 ∈ D cx , такой, что |x| < |x 1 | < R cx По теореме Абеля ряд +∞ P n=0 a n x n сходится абсолютно. Замечание 11.1. Предыдущая теорема показывает, что область схо- димости D cx содержит интервал |x| < R cx , называемый интервалом схо- димости степенного ряда, и, возможно, еще содержит точки x = −R cx и x = R cx . ⊗ Предложение 11.1. Пусть существует lim n p|a n | = K. Если K 6= 6= 0, то R cx = 1/K; если K = 0, то R cx = +∞; если K = +∞, то R cx = 0. 98 Доказательство. Применим к ряду +∞ P n=0 a n x n признак Коши. Для это- го вычислим lim n p|a n x n | = |x| lim n p|a n | = K|x|. Если K = 0, то для лю- бого x ∈ R K|x| = 0 < 1, поэтому D cx = R и R cx = +∞. Если K = +∞, то для любого x 6= 0 K|x| = +∞ > 1, поэтому D cx = {0} и R cx = 0. Если K 6= 0 и K 6= +∞, то ряд сходится абсолютно при K|x| < 1, т. е. при |x| < 1/K, и расходится при K|x| > 1, т. е. при |x| > 1/K. Поэтому R cx = 1/K. 11.3. Дифференцирование и интегрирование степенного ряда Пусть S(x) – сумма степенного ряда +∞ P n=0 a n x n = a 0 + a 1 x + · · · + + a n x n + . . . , R cx – его радиус сходимости. Рассмотрим 2 ряда: +∞ X n=1 na n x n−1 = a 1 + 2a 2 x + · · · + na n x n−1 + . . . , полученный из исходного почленным дифференцированием, и +∞ X n=0 a n n + 1 x n+1 = a 0 x + a 1 2 x 2 + · · · + a n n + 1 x n+1 + . . . , полученный из исходного почленным интегрированием. Приведем без до- казательства следующий важный результат. Теорема 11.3. Для рядов +∞ P n=0 a n x n , +∞ P n=1 na n x n−1 и +∞ P n=0 a n n + 1 x n+1 ради- усы сходимости совпадают. Сумма степенного ряда S дифференцируема и интегрируема в интервале сходимости |x| < R cx , и справедливы равен- ства S 0 (x) = +∞ P n=1 na n x n−1 и x R 0 S(t) dt = +∞ P n=0 a n n + 1 x n+1 Теорему можно кратко сформулировать так: в интервале сходимости степенной ряд можно дифференцировать и интегрировать почленно. До- казательство теоремы можно найти в [ 7 ] (т. 2.16 и 2.17). Пример 11.2. Для |x| < 1 справедливы равенства: ln(1 + x) = +∞ X n=1 (−1) n+1 x n n ; arctg(x) = +∞ X n=0 (−1) n x 2n+1 2n + 1 Действительно, по формуле суммы бесконечно убывающей геометри- ческой прогрессии для |x| < 1 имеем 1 1 + x = +∞ P n=0 (−1) n x n . Интегрируя 99 почленно это равенство, получим ln(1 + x) = x R 1 dt 1 + t = +∞ P n=1 (−1) n+1 x n n Аналогично, для |x| < 1 1 1 + x 2 = +∞ P n=0 (−1) n x 2n . Интегрируя почленно это равенство, получим arctg(x) = x R 1 dt 1 + t 2 = +∞ P n=0 (−1) n x 2n+1 2n + 1 . • Многократно применяя теорему 11.3 , получим S(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + · · · + a n x n + · · · ; S 0 (x) = a 1 + 2a 2 x + · · · + na n x n−1 + · · · ; S 00 (x) = 2a 2 + · · · + n(n − 1)a n x n−2 + · · · S (n) (x) = n(n − 1) · · · 2 · 1a n + · · · . Отсюда S(0) = a 0 , S 0 (0) = a 1 , S 00 (0) = 2a 2 , . . . , S (n) (0) = n!a n , . . . , поэтому в интервале сходимости |x| < R cx S(x) = +∞ P n=0 S (n) (0) n! x n . Анало- гично, если сумма ряда +∞ P n=0 a n (x−x 0 ) n равна S(x), то a n = S (n) (x 0 ) n! , поэтому в интервале |x − x 0 | < R cx имеем S(x) = +∞ P n=0 S (n) (x 0 ) n! (x − x 0 ) n Такая форма записи степенного ряда называется рядом Тейлора по степеням x − x 0 суммы степенного ряда S. 11.4. Ряд Тейлора Пусть функция f : X → R имеет производные всех порядков (бес- конечно дифференцируема) в точке x 0 ∈ X. Тогда можно составить сте- пенной ряд +∞ P n=0 f (n) (x 0 ) n! (x − x 0 ) n , называемый рядом Тейлора по степеням x − x 0 для функции f . Укажем условия, при которых функция совпадает с суммой своего ряда Тейлора. Теорема 11.4. Пусть функция f : (a, b) → R бесконечно дифферен- цируема на (a, b) и все ее производные ограничены в совокупности на (a, b), т. е. ∃ M > 0, такое, что ∀ x ∈ (a, b) и ∀ n ∈ N выполнено f (n) (x) ≤ M . Тогда ∀ x, x 0 ∈ (a, b) f (x) = +∞ P n=0 f (n) (x 0 ) n! (x − x 0 ) n 100 Доказательство. Положим q = |x − x 0 |. По теореме 4.10 между x и x 0 существует такое c, что f (x) − n X k=0 f (k) (x 0 ) k! (x − x 0 ) k = f (n+1) (c) (n + 1)! (x − x 0 ) n+1 ≤ M q n+1 (n + 1)! Покажем, что lim M q n+1 (n + 1)! = 0. В самом деле, ряд +∞ P n=0 q n+1 (n + 1)! сходится по признаку Даламбера, а потому общий член ряда q n+1 (n + 1)! стремится к нулю. Предложение 11.2. Для любого x ∈ R справедливы равенства: e x = +∞ X n=0 x n n! ; cos(x) = +∞ X n=0 (−1) n x 2n (2n)! ; sin(x) = +∞ X n=0 (−1) n x 2n+1 (2n + 1)! Доказательство. Введем обозначения: f (x) = e x , g(x) = cos(x), h(x) = sin(x). Непосредственно проверяется, что f (n) (x) = e x , g (n) (x) = = cos x + π n 2 , h (n) (x) = sin x + π n 2 . Возьмем любой интервал (a, b), со- держащий точки x и 0. Так как |f (n) (x)| ≤ e b , |g (n) (x)| ≤ 1, |h (n) (x)| ≤ 1 для любого x ∈ (a, b) и любого n ∈ N, то по теореме 11.4 f , g и h равны сумме своих рядов Тейлора. Так как f (n) (0) = 1 ∀n ∈ N, то f(x) = +∞ P n=0 f (n) (0) n! x n = +∞ P n=0 x n n ! . Так как g (2n) (0) = (−1) n , а g |