Мат (1). Учебное пособие СанктПетербург Издательство спбгэту лэти 2013
 Скачать 0.66 Mb.
|
|
s s 2 + ω 2 при 3) аналогично при ω t) δ 1 (t)) = ω (s − a) 2 + ω 2 , и при L(sin( ω t) δ 1 (t)) = s s 2 + ω 2 . • Теорема 9.5. (Запаздывания.) Для любых t 0 > 0 L(f (t − t 0 )) = = e −st 0 L(f (t)) при σ 1 83 Доказательство. Очевидно, что f (t−t 0 ) – функция-оригинал и изоб- ражение по Лапласу существует для нее при σ 1 . Имеем: L(f (t − t 0 )) = +∞ Z 0 (f (t − t 0 ))e −st dt = +∞ Z t 0 (f (t − t 0 ))e −st dt = = < делаем замену t − t 0 = τ > = e −st 0 +∞ Z 0 f ( τ )e −sτ d τ = e −st 0 L(f (t)). 9.4. Теоремы о дифференцировании и интегрировании оригинала. Теорема о свертке Теорема 9.6. (О дифференцировании оригинала.) Предполо- жим, что функция f и ее производные f (k) (k = 0, . . . , n) являются функ- циями-оригиналами, и при этом выполнены оценки: |f (k) (t)| ≤ M k e σ k t , k = 0, . . . , n. Тогда при σ 0 , σ 1 , . . . , σ n ) : L(f (n) ) = s n L(f ) − s n−1 f (0) − s n−2 f 0 (0) − · · · − sf (n−2) (0) − f (n−1) (0). Доказательство. Проведем доказательство для f 0 . Для остальных производных доказательство проводится по индукции. Применим формулу интегрирования по частям. Тогда L(f 0 ) = +∞ Z 0 f 0 (t)e −st dt = (f (t)e −st ) +∞ 0 + s +∞ Z 0 f (t)e −st dt = sL(f ) − f (0). Теорема 9.7. (Об интегрировании оригинала.) Предположим, что функция f является функцией-оригиналом, и при этом выполнена оценка: |f (t)| ≤ M e σ t . Тогда при σ : L t R 0 f ( τ ) d τ = L(f ) s Доказательство. Из теоремы 9.1 следует, что Φ(t) = t R 0 f ( τ ) d τ явля- ется функцией-оригиналом и изображение по Лапласу для нее существует при σ . Очевидно, Φ(0) = 0 и, согласно теореме Барроу (см. тео- рему 6.8 ), Φ 0 (t) = f (t). Следовательно, используя теорему 9.6 , получаем L(f ) = L(Φ 0 ) = sL(Φ) − Φ(0) = sL(Φ). Значит, L t R 0 f ( τ ) d τ = L(f ) s 84 Пример 9.4. При L(t n δ 1 (t)) = n! s n+1 . Действительно, L(t n δ 1 (t)) = L n t Z 0 τ n−1 d τ = n L(t n−1 δ 1 (t)) s = = n(n − 1) L(t n−2 δ 1 (t)) s 2 = · · · = n(n − 1) · · · 2 · 1 L( δ 1 (t)) s n = n! s n+1 . • Определение 9.5. Пусть f , g : R → C. Функция f ∗ g : R → C (f ∗ g)(t) = +∞ R −∞ f ( τ )g(t − τ ) d τ называется сверткой функций f и g. Предложение 9.2. Если f , g – функции-оригиналы, то (f ∗ g)(t) = = t R 0 f ( τ )g(t − τ ) d τ и f ∗ g – функция-оригинал. Доказательство. Поскольку f , g – функции-оригиналы, то f ( τ ) = 0 при τ > 0 и g(t − τ ) = 0 при τ > t. Значит, (f ∗ g)(t) = +∞ Z −∞ f ( τ )g(t − τ ) d τ = t Z 0 f ( τ )g(t − τ ) d τ Так как f , g – функции-оригиналы, то |f ( τ )| ≤ M 1 e σ 1 τ и |g(t − τ )| ≤ ≤ M 2 e σ 2 (t−τ) . Пусть σ 1 ≥ σ 2 . Тогда |f ( τ )g(t − τ )| ≤ M 1 e σ 1 τ M 2 e σ 2 (t−τ) ≤ M 1 M 2 e σ 1 τ e σ 2 (t−τ) = M 1 M 2 e σ 1 τ Следовательно, |(f ∗ g)(t)| ≤ t Z 0 |f ( τ )g(t − τ )| d τ ≤ M 1 M 2 e σ 1 t t ≤ M 1 M 2 e (σ 1 +1)t , так как для любого t ∈ R t ≤ e t Теорема 9.8. (О свертке.) Предположим, что функции f , g явля- ются функциями-оригиналами, и при этом выполнены оценки: |f (t)| ≤ ≤ M 1 e σ 1 t , |g(t)| ≤ M 2 e σ 2 t . Тогда при σ 1 , σ 2 } : L(f ∗ g) = L(f )L(g). (Без доказательства.) Замечание 9.1. Приведенные теоремы позволяют находить изображе- ния по оригиналу, не вычисляя интегралов из определения 9.4 . ⊗ 85 9.5. Нахождение оригинала правильной рациональной дроби Часто возникает потребность найти оригинал по изображению, пред- ставляющему собой правильную рациональную дробь. Напомним, что ра- циональной дробью называют отношение P m (s) Q n (s) двух полиномов P m (s) и Q n (s), степени которых равны m и n соответственно. Дробь называют правильной, если m < n, и неправильной, если m ≥ n. Теорема 9.9. Всякая правильная рациональная дробь имеет ориги- нал. Доказательство. Произвольную правильную рациональную дробь можно разложить в сумму простейших дробей. Далее, используя теоре- му линейности (т. 9.3 ), достаточно показать, что простейшие дроби имеют оригинал. Отметим, что если использовать комплексные корни полинома Q n (s), то достаточно найти оригинал от простейшей дроби A (s − a) k . Используя теорему 9.4 , а также пример 9.4 легко получить, что L −1 A (s − a) k = A (k − 1)! e at t k−1 δ 1 (t), k ∈ N, a ∈ C. Замечание 9.2. Неправильная рациональная дробь не имеет ориги- нала. Это следует из того, что lim m (s) Q n (s) 6= 0 при m ≥ n. А при доказательстве теоремы 9.2 было показано, что L(f )(s) ≤ M и, значит, lim 10. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 10.1. Понятие числового ряда. Сходимость ряда Пусть {a n } – последовательность чисел. Образуем новую последователь- ность {S n } по следующему правилу: S 1 = a 1 , S 2 = a 1 + a 2 , . . . , S n = a 1 + a 2 + · · · + a n , . . . . Пара последовательностей {a n } и {S n } называется числовым рядом. Числа a 1 , a 2 , . . . , a n называются первым, вторым, . . . , n-м членами ряда, а чис- ла S 1 , S 2 , . . . , S n – первой, второй, . . . , n-й частичными суммами ряда. 86 Числовой ряд обозначается символами a 1 + a 2 + · · · + a n + · · · , +∞ P n=1 a n или P n≥1 a n Иногда члены ряда удобнее нумеровать начиная с некоторого числа m. Такой ряд обозначают a m + a m+1 + · · · + a m+n + · · · , +∞ P n=m a n или P n≥m a n Определение 10.1. Если существует конечный lim S n = S, то гово- рят, что ряд сходится, S называют суммой ряда и пишут +∞ P n=1 a n = S. В противном случае ряд называют расходящимся и символу ряда +∞ P n=1 a n никакого численного значения не присваивают. Пример 10.1. 1. +∞ P n=1 1 n(n + 1) = 1. 2. +∞ P n=1 ln 1 + 1 n расходится. 3. Ряд +∞ P n=1 bq n−1 сходится при |q| < 1 и расходится при |q| ≥ 1. 1. Используя разложение 1 k(k + 1) = 1 k − 1 k + 1 (k = 1, 2, . . . , n) по- лучим: S n = 1 1 · 2 + 1 2 · 3 + · · · + 1 n(n + 1) = 1 − 1 2 + 1 2 − 1 3 + · · · + 1 n − 1 n + 1 = 1 − 1 n + 1 Так как lim S n = 1, то ряд сходится и его сумма равна 1. 2. Используя свойства логарифма получим: S n = ln 2 + ln 1 + 1 2 + · · · + ln 1 + 1 n = ln 2 3 2 4 3 · · · n + 1 n = ln(n + 1). Так как lim S n = +∞, то ряд расходится. 3. Из школьного курса известно, что ряд +∞ P n=1 bq n−1 (членами которого служат элементы геометрической прогрессии) сходится при |q| < 1 и его сумма равна b/(1 − q) и расходится при |q| ≥ 1. • Теорема 10.1 (необходимый признак сходимости ряда). Если ряд +∞ P n=1 a n сходится, то lim a n = 0. Доказательство. По условию существуют lim S n = lim S n−1 = S. Отсюда lim a n = lim(S n − S n−1 ) = S − S = 0. 87 Следствие 10.1 (достаточный признак расходимости ряда). Если lim a n 6= 0, то ряд +∞ P n=1 a n расходится. Доказательство. Допустим, что ряд +∞ P n=1 a n сходится, тогда по теоре- ме 10.1 lim a n = 0. Получено противоречие. Предложение 10.1. Если +∞ P n=1 a n = A и +∞ P n=1 b n = B, α , β ∈ R, то +∞ X n=1 ( α a n + β b n ) = α A + β B +∞ X n=1 ( α a n + β b n ) = α +∞ X n=1 a n + β +∞ X n=1 b n ! Доказательство. Пусть A n , B n и S n – частичные суммы рядов +∞ P n=1 a n , +∞ P n=1 b n и +∞ P n=1 ( α a n + β b n ) соответственно. Тогда S n = α A n + β B n . По теоре- ме 2.4 lim S n = α lim A n + β lim B n = α A + β B и по определению 10.1 +∞ P n=1 ( α a n + β b n ) = α A + β B. Легко показать, что конечное число первых членов ряда не влияет на его сходимость, т. е. справедливо следующее предложение. Предложение 10.2. Для сходимости ряда +∞ P n=1 a n необходимо и дос- таточно, чтобы для любого m ∈ N сходился ряд P n≥m a n 10.2. Признаки сравнения для положительных рядов Ряд с неотрицательными членами называется положительным. Сходи- мость или расходимость положительного ряда можно установить, сравни- вая его с каким-нибудь другим положительным рядом, о сходимости которо- го все известно. Теорема 10.2 (признак сравнения). Пусть ∀ n ∈ N 0 ≤ a n ≤ b n Тогда: 1. Если ряд +∞ P n=1 b n сходится, то ряд +∞ P n=1 a n также сходится, т. е. из сходимости ряда с большими членами следует сходимость ряда с мень- шими членами. Для сумм этих рядов справедливо неравенство A ≤ B. 88 2. Если ряд +∞ P n=1 a n расходится, то ряд +∞ P n=1 b n также расходится, т. е. из расходимости ряда с меньшими членами следует расходимость ряда с большими членами. Доказательство. Из неравенства 0 ≤ a n ≤ b n следует, что последова- тельности {A n } и {B n } частичных сумм рядов +∞ P n=1 a n и +∞ P n=1 b n не убывают и для любого n ∈ N верны неравенства 0 ≤ A n ≤ B n 1. Пусть ряд +∞ P n=1 b n сходится, т. е. существует конечный lim B n = B. Из неравенства A n ≤ B n ≤ B следует, что последовательность {A n } ограни- чена сверху. По теореме 2.15 (Вейерштрасса) существует конечный lim A n , а поэтому ряд +∞ P n=1 a n сходится. Переходя к пределу в неравенстве A n ≤ B n получим A ≤ B. 2. Пусть ряд +∞ P n=1 a n расходится. Если допустить, что ряд +∞ P n=1 b n сходит- ся, то по первому пункту должен сходиться и ряд +∞ P n=1 a n , что приводит к противоречию. Теорема 10.3 (предельный признак сравнения). Если для любо- го n ∈ N a n ≥ 0, b n > 0 и существует конечный lim a n b n 6= 0, то ряды +∞ P n=1 a n и +∞ P n=1 b n сходятся или расходятся одновременно. Доказательство. Обозначим lim a n b n = K > 0, ε = K 2 . По определе- нию предела и учитывая, что для любого n ∈ N b n > 0, имеем ∃ δ ∈ N : ∀ n > δ a n b n − K < K 2 ⇒ K 2 < a n b n < 3K 2 ⇒ K 2 b n < a n < 3K 2 b n Теперь воспользуемся теоремой 10.2 и следствиями 10.1 , 10.2 : +∞ P n=1 a n сходится ⇒ P n≥δ a n сходится ⇒ P n≥δ K 2 b n сходится ⇒ P n≥δ b n сходит- ся ⇒ +∞ P n=1 b n сходится. Аналогично, +∞ P n=1 b n сходится ⇒ P n≥δ b n сходится ⇒ P n≥δ 3K 2 b n сходит- ся ⇒ P n≥δ a n сходится ⇒ +∞ P n=1 a n сходится. 89 Так как lim x→0 sin(x) x = lim x→0 tg(x) x = lim x→0 arcsin(x) x = lim x→0 arctg(x) x = = lim x→0 ln(1 + x) x = lim x→0 e x − 1 x = 1, то из предельного признака сравнения следует, что ряды +∞ P n=1 sin(a n ), +∞ P n=1 tg(a n ), +∞ P n=1 arcsin(a n ), +∞ P n=1 arctg(a n ), +∞ P n=1 ln(1 + a n ), +∞ P n=1 (exp(a n ) − 1) сходятся или расходятся одновременно с рядом +∞ P n=1 a n , если a n > 0 и lim a n = 0. Пример 10.2. Ряд +∞ P n=1 1 n называется гармоническим. Так как (см. пример 10.1) lim ln(1 + 1/n) 1/n = 1 и ряд +∞ P n=1 ln 1 + 1 n расходится, то по предельному признаку сравнения расходится и ряд +∞ P n=1 1 n . • 10.3. Интегральный признак сходимости положительного ряда Теорема 10.4. Пусть функция f непрерывна, положительна и не возрастает на [1, +∞). Тогда ряд +∞ P n=1 f (n) и интеграл +∞ R 1 f (x) dx сходят- ся или расходятся одновременно. Если ряд и интеграл сходятся, то для любого n ∈ N верна оценка +∞ R n+1 f (x) dx ≤ S − S n ≤ +∞ R n f (x) dx. Доказательство. Так как f положительна на [1, +∞), то последова- тельности S n = n P k=1 f (k) и I n = n R 1 f (x) dx возрастают. Так как сходимость ряда +∞ P n=1 f (n) и интеграла +∞ R 1 f (x) dx равносильна существованию конеч- ных пределов lim S n и lim I n соответственно, то по теореме 2.15 (Вейер- штрасса) достаточно показать, что последовательности {S n } и {I n } могут быть ограничены сверху лишь одновременно. Так как f не возрастает на [1, +∞), то для любых k ∈ N и x ∈ ∈ [k, k + 1] верны неравенства f (k + 1) ≤ f (x) ≤ f (k). По следствию 6.2 f (k + 1) ≤ k+1 R k f (x) dx ≤ f (k). Складывая эти неравенства для k = 90 = 1, 2, . . . , n − 1 получим n−1 X k=1 f (k + 1) ≤ n−1 X k=1 k+1 Z k f (x) dx ≤ n−1 X k=1 f (k) ⇔ S n − f (1) ≤ I n ≤ S n−1 Последнее неравенство верно при n > 1. Если последовательность {S n } ограничена сверху, т. е. существует чис- ло M > 0, такое, что для любого n ∈ N верно неравенство S n ≤ M , то I n ≤ S n−1 для n > 1. Так как последовательность {I n } возрастает, то неравенство I n ≤ M выполнено для всех n ∈ N. Обратно, если последовательность {I n } ограничена сверху, т. е. суще- ствует число M , такое, что для любого n ∈ N верно неравенство I n ≤ M , то S n ≤ I n + f (1) ≤ M + f (1). Докажем оценку в предположении, что ряд и интеграл сходятся. Очевидно, S − S n = +∞ P k=n+1 f (k). Из полученных ранее неравенств имеем +∞ Z n+1 f (x) dx = +∞ X k=n+1 k+1 Z k f (x) dx ≤ +∞ X k=n+1 f (k) = S − S n ≤ ≤ +∞ X k=n+1 k Z k−1 f (x) dx = +∞ Z n f (x) dx. Пример 10.3. Ряд +∞ P n=1 1 n λ называется обобщенным гармоническим ря- дом или рядом Дирихле. Покажем, что ряд Дирихле сходится при λ > 1 и расходится при λ ≤ 1. Пусть λ > 0. Рассмотрим функцию f : [1, +∞) → R, f (x) = 1 x λ Очевидно, f непрерывная, положительная и убывающая. Несобственный интеграл +∞ R 1 1 x λ dx сходится при λ > 1 и расходится при 0 < λ ≤ 1 (см. пример 7.1). Следовательно, по интегральному признаку сходимости (тео- рема 10.4 ) ряд Дирихле сходится при λ > 1 и расходится при 0 < λ ≤ 1. Если λ ≤ 0, то lim 1 n λ 6= 0 и ряд Дирихле расходится, так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда. • Пример 10.4. Найдем сумму ряда +∞ P n=1 1 n 4 с точностью ε = 0.01. Рас- сматриваемый ряд есть ряд Дирихле с λ = 4, следовательно, он сходится. По теореме 10.4 имеем 0 ≤ S − S n ≤ +∞ Z n 1 n 4 dx = 1 3n 3 . Решим неравенство 91 1 3n 3 < 0.01. Получаем, что n ≥ 4. Значит, S − S n < 0.01. Вычисляем S 4 = 1 + 1 2 4 + 1 3 4 + 1 4 4 ∼ = 1.08. Итак, S ∼ = 1.08 с точностью ε = 0.01. • 10.4. Признаки Коши и Даламбера сходимости ряда Пусть {a n } – последовательность неотрицательных чисел. Теорема 10.5 (признак Коши). Если существует предел lim n √ a n = K ∈ [0, +∞], то при K < 1 ряд +∞ P n=1 a n сходится, при K > > 1 lim a n = +∞ и ряд +∞ P n=1 a n расходится. Доказательство. По определению предела lim n √ a n = K⇔∀ ε > 0 ∃ δ ∈ N : | n √ a n − K| < ε ⇔ ⇔ K − ε < n √ a n < K + ε Пусть K < 1. Возьмем ε > 0 так, чтобы q = K + ε < 1. Тогда ∀ n > > δ n √ a n < q ⇒ a n < q n . Так как ряд P n>δ q n сходится, то по признаку сравнения сходится ряд P n>δ a n , а потому и ряд +∞ P n=1 a n сходится. Пусть K > 1. Возьмем ε > 0 так, чтобы q 1 = K − ε > 1. Тогда ∀ n > > δ n √ a n > q 1 ⇒ a n > q n 1 , а потому lim a n = +∞ и ряд +∞ P n=1 a n расходится в силу следствия 10.1 . Теорема 10.6 (признак Даламбера). Если существует предел lim a n+1 a n = D ∈ [0, +∞], то при D < 1 ряд +∞ P n=1 a n сходится, при D > > 1 lim a n = +∞ и ряд +∞ P n=1 a n расходится. Доказательство. По определению предела lim a n+1 a n = D⇔∀ ε > 0 ∃ δ ∈ N : ∀ n > δ a n+1 a n − D < ε ⇔ ⇔D − ε < a n+1 a n < D + |