Мат (1). Учебное пособие СанктПетербург Издательство спбгэту лэти 2013

• Название: Учебное пособие СанктПетербург Издательство спбгэту лэти 2013
• Дата: 15.09.2022
• Размер: 0.66 Mb.
• Имя файла: Мат (1).pdf
• Тип: Учебное пособие; #678223
• страница: 4 из 12

0
. Отсюда находим f (x) = f (x
0
) + f
0
(x
0
)(x − x
0
) +
α
(x)(x − x
0
).
Так как lim x→x
0
α
(x) = 0, то
α
(x)(x − x
0
) = o(x − x
0
), поэтому f (x) = f (x
0
) + f
0
(x
0
)(x − x
0
) + o(x − x
0
).
Замечание
4.1. Из равенства x = x
0
+ (x − x
0
) + 0 следует, что x
0
= 1
и d x
0
x = x − x
0
, а потому d x
0
f = f
0
(x
0
)d x
0
x или df = f
0
dx. ⊗
Рассмотрим прямые y = f (x
0
) + A(x − x
0
), проходящие через точку
M
0
(x
0
; f (x
0
)) графика функции f .
Определение 4.3. Прямая y = f (x
0
) + A(x − x
0
) называется каса- тельной к графику функции f в точке x
0
, если f (x) − y = f (x) − (f (x
0
) + A(x − x
0
)) = o(x − x
0
).
28

Сравнивая данное определение с определением 4.1 , видим, что каса- тельная к графику функции f в точ- ке x
0
существует тогда и только тогда,
когда f дифференцируема в точке x
0
Из предложения 4.1 следует, что урав- нение касательной имеет вид (рис. 4.1)
y = f (x
0
) + f
0
(x
0
)(x − x
0
).
Производная f
0
(x
0
) есть угловой коэф- f (x
M
)
β
α
M
M
0
f (x
0
)
x
0
x x
M
0
y y = f (x)
Рис. 4.1
фициент касательной к графику функции f в точке x
0
, поэтому f
0
(x
0
) =
= tg
α
, где
α
– угол наклона касательной к оси Ox.
Для любой прямой y = f (x
0
) + B(x − x
0
), не совпадающей с касатель- ной, имеем f (x) − y = f (x) − f (x
0
) + B(x − x
0
)

6= o(x−x
0
). В этом смысле касательная „ближе“ любой другой прямой к графику f в точке x
0
Рассмотрим на графике функции f точку M (x
M
; f (x
M
)) (рис. 4.1).
Уравнение секущей (M
0
M ) имеет вид y =
f (x
M
) − f (x
0
)
x
M
− x
0
(x − x
0
) + f (x
0
).
При x
M
→ x
0
угловой коэффициент tg
β
=
f (x
M
) − f (x
0
)
x
M
− x
0
секущей стре- мится к f
0
(x
0
) = tg
α
– угловому коэффициенту касательной. В этом смыс- ле говорят, что „касательная есть предельное положение секущей“.
Предложение 4.3. Если функция f дифференцируема в точке x
0
,
то f непрерывна в точке x
0
Доказательство. Так как lim x→x
0
f (x) = f (x
0
) + lim x→x
0
A(x − x
0
) + lim x→x
0
o(x − x
0
) = f (x
0
),
то функция f непрерывна в точке x
0 4.2. Дифференцируемость суперпозиции функций и обратной функции
Теорема 4.1 Пусть f : X → Y , g : Y → R. Если функции f и g дифференцируемы в точках x
0
∈ X и y
0
= f (x
0
) ∈ Y соответственно,
то их суперпозиция g ◦ f : X → R дифференцируема в точке x
0
и
(g ◦ f )
0
(x
0
) = g
0
(f (x
0
))f
0
(x
0
).
Доказательство. По условию g(y) = g(y
0
) + g
0
(y
0
)(y − y
0
) + o(y − y
0
).
Рассмотрим функцию
β
: Y → R,
β
(y) =
o(y − y
0
)
(y − y
0
)
, если y 6= y
0
и
β
(y
0
) = 0.
29

Тогда lim y→y
0
β
(y) =
β
(y
0
) = 0 и g(y) = g(y
0
) + g
0
(y
0
)(y − y
0
) +
β
(y)(y − y
0
).
Заменяя в последнем равенстве y = f (x), y
0
= f (x
0
),
y − y
0
= f (x) − f (x
0
) = f
0
(x
0
)(x − x
0
) + o(x − x
0
),
получим g(f (x)) = g(f (x
0
)) + g
0
(f (x
0
))f
0
(x
0
)(x − x
0
) +
α
(x),
где
α
(x) = g
0
(f (x
0
))o(x − x
0
) +
β
(f (x))(f (x) − f (x
0
)). Остается показать,
что
α
(x) = o(x − x
0
). Так как lim x→x
0
β
(f (x)) =
β
(f (x
0
)) =
β
(y
0
) = 0, то lim x→x
0
α
(x)
x − x
0
= g
0
(f (x
0
)) lim x→x
0
o(x − x
0
)
x − x
0
+
+ lim x→x
0
β
(f (x)) lim x→x
0
f (x) − f (x
0
)
x − x
0
= g
0
(f (x
0
)) · 0 + 0 · f
0
(x
0
) = 0.
Итак, g(f (x)) = g(f (x
0
)) + g
0
(f (x
0
))f
0
(x
0
)(x − x
0
) + o(x − x
0
) или, что то же самое, (g ◦ f )(x
0
) = (g ◦ f )(x
0
) + g
0
(f (x
0
))f
0
(x
0
)(x − x
0
) + o(x − x
0
). По определению 4.1 суперпозиция g ◦ f дифференцируема в точке x
0
(здесь
A = g
0
(f (x
0
))f
0
(x
0
)). Следовательно, по предложению 4.1 существует
(g ◦ f )
0
(x
0
) = g
0
(f (x
0
))f
0
(x
0
).
Теорема 4.2. Пусть функция f : X → R имеет обратную функцию f
−1
: f (X) → X. Если функция f дифференцируема в точке x
0
∈ X,
f
0
(x
0
) 6= 0 и f
−1
непрерывна в точке y
0
= f (x
0
), то функция f
−1
диффе- ренцируема в точке y
0
и (f
−1
)
0
(y
0
) = (f
0
(x
0
))
−1
Доказательство. Так как y
0
= lim x→x
0
f (x), то y
0
есть предельная точка f (X). По условию f (x) = f (x
0
) + f
0
(x
0
)(x − x
0
) + o(x − x
0
). Обозначим f (x) = y, f
0
(x
0
) = A. Тогда y = y
0
+ A(f
−1
(y) − f
−1
(y
0
)) + o(x − x
0
).
Отсюда находим f
−1
(y) = f
−1
(y
0
) + A
−1
(y − y
0
) − A
−1
o(x − x
0
). Покажем,
что (−A
−1
o(x − x
0
)) = o(y − y
0
). Так как f
−1
непрерывна в y
0
, то lim y→y
0
x =
= lim y→y
0
f
−1
(y) = f
−1
(y
0
) = x
0
, т. е. x → x
0
при y → y
0
. Отсюда lim y→y
0
−o(x − x
0
)
A(y − y
0
)
= −
1
A
lim x→x
0
o(x − x
0
)
x − x
0
lim x→x
0
x − x
0
f (x) − f (x
0
)
= −
1
A
· 0 ·
1
A
= 0.
Итак, f
−1
(y) = f
−1
(y
0
) + A
−1
(y − y
0
) + o(y − y
0
). По определению 4.1
f
−1
дифференцируема в y
0
(здесь A
−1
= (f
0
(x
0
))
−1
). По предложению 4.1
существует (f
−1
)
0
(y
0
) = (f
0
(x
0
))
−1 30

Замечание
4.2. Если f
0
(x
0
) = 0, то f
−1
не может быть дифферен- цируемой в y
0
. Действительно, допустим противное. Из равенства ∀ x ∈ X
(f
−1
◦ f )(x) = x и теоремы 4.1 следует, что
(f
−1
◦ f )
0
(x
0
) = (f
−1
)
0
(y
0
) f
0
(x
0
) = 1.
Это противоречит условию f
0
(x
0
) = 0. ⊗
Пример 4.2. 1. Для всех x ∈ R arctg
0
(x) =
1 1 + x
2
; arcctg
0
(x) =
= −
1 1 + x
2 2. Для всех x ∈ (−1; 1)
arcsin
0
(x) =
1
√
1 − x
2
; arccos
0
(x) = −
1
√
1 − x
2
Докажем эти формулы, используя теорему 4.2 .
1. arctg
0
(x) =
1
tg
0
(arctg(x))
= cos
2
(arctg(x)) =
1 1 + tg
2
(arctg(x))
=
=
1 1 + x
2
. Аналогично, arcctg
0
(x) = −
1 1 + x
2 2. arcsin
0
(x) =
1
sin
0
(arcsin(x))
=
1
cos(arcsin(x))
=
=
1
p
1 − sin
2
(arcsin(x))
=
1
√
1 − x
2
. Аналогично, arccos
0
(x) = −
1
√
1 − x
2
. •
4.3. Правила вычисления производных
Теорема 4.3. Если функции f, g : X → R дифференцируемы в точке x
0
∈ X и c ∈ R, то функции cf, f ± g, fg, 1/g и f/g (при g(x
0
) 6= 0)
дифференцируемы в точке x
0
и верны равенства:
1)
(cf )
0
(x
0
) = cf
0
(x
0
);
2)
(f ± g)
0
(x
0
) = f
0
(x
0
) ± g
0
(x
0
);
3)
(f g)
0
(x
0
) = f
0
(x
0
)g(x
0
) + f (x
0
)g
0
(x
0
);
4)
 1
g

0
(x
0
) = −
g
0
(x
0
)
g
2
(x
0
)
;
5)
 f g

0
(x
0
) =
f
0
(x
0
)g(x
0
) − f (x
0
)g
0
(x
0
)
g
2
(x
0
)
Доказательство. По условию теоремы
(
f (x) = f (x
0
) + f
0
(x
0
)(x − x
0
) + o(x − x
0
),
g(x) = g(x
0
) + g
0
(x
0
)(x − x
0
) + o(x − x
0
).
31

1. Умножая f на c получим:
cf (x) = cf (x
0
) + cf
0
(x
0
)(x − x
0
) + co(x − x
0
).
Так как c o(x − x
0
) = o(x − x
0
), то (cf )(x) = (cf )(x
0
) + cf
0
(x
0
)(x − x
0
)+
+o(x − x
0
), т. е. cf дифференцируема в точке x
0
и (cf )
0
(x
0
) = cf
0
(x
0
).
2. Складывая или вычитая f и g получим: f (x) ± g(x) =
f (x
0
)±
±g(x
0
)

+ f
0
(x
0
) ± g
0
(x
0
)

(x − x
0
) + o(x − x
0
) ± o(x − x
0
). Так как o(x−
−x
0
) ± o(x − x
0
) = o(x − x
0
), то
(f ± g)(x) = (f ± g)(x
0
) + f
0
(x
0
) ± g
0
(x
0
)

(x − x
0
) + o(x − x
0
),
т. е. f ± g дифференцируема в x
0
и (f ± g)
0
(x
0
) = f
0
(x
0
) ± g
0
(x
0
).
3. Умножая f на g получим:
f (x)g(x) = f (x
0
)g(x
0
) + f
0
(x
0
)g(x
0
) + f (x
0
)g
0
(x
0
)

(x − x
0
) +
α
(x),
где
α
(x) = f (x
0
)o(x − x
0
) + g(x
0
)o(x − x
0
) + f
0
(x
0
)g
0
(x
0
)(x − x
0
)
2
+
+f
0
(x
0
)(x − x
0
)o(x − x
0
) + g
0
(x
0
)(x − x
0
)o(x − x
0
) + o(x − x
0
)o(x − x
0
).
Так как из правил 1–3 действий с асимптотическими оценками
α
(x) =
= o(x − x
0
), то
(f g)(x) = (f g)(x
0
) + f
0
(x
0
)g(x
0
) + f (x
0
)g
0
(x
0
)

(x − x
0
) + o(x − x
0
),
т. е. f g дифференцируема в x
0
и (f g)
0
(x
0
) = f
0
(x
0
)g(x
0
) + f (x
0
)g
0
(x
0
).
4. Так как для h(x) = 1/x, h
0
(x) = −1/x
2
при x 6= 0 (см. пример 4.1),
то по теореме 4.1 имеем:
 1
g

0
(x
0
) = (h ◦ g)
0
(x
0
) = h
0
(g(x
0
))g
0
(x
0
) = −
g
0
(x
0
)
g
2
(x
0
)
По предложению 4.2 функция 1/g дифференцируема в x
0 5. Применяя правила вычисления производных 3 и 4 имеем
 f g

0
(x
0
) =

f
1
g

0
(x
0
) = f
0
(x
0
)
1
g(x
0
)
+
+f (x
0
)

−
g
0
(x
0
)
g
2
(x
0
)

=
f
0
(x
0
)g(x
0
) − f (x
0
)g
0
(x
0
)
g
2
(x
0
)
Из предложения 4.2 следует, что f /g дифференцируема в x
0
Напомним производные простейших функций. Для всех x из области определения:
32

1) (x
α
)
0
=
α
x
α
−1
;
2) (a x
)
0
= a x
ln a;
3) log
0
a
(x) =
1
x ln(a)
;
4) sin
0
(x) = cos(x);
5) cos
0
(x) = − sin(x);
6) tg
0
(x) =
1
cos
2
(x)
;
7) ctg
0
(x) = −
1
sin
2
(x)
;
8) arcsin
0
(x) =
1
√
1 − x
2
; 9) arccos
0
(x) = −
1
√
1 − x
2
;
10) arctg
0
(x) =
1 1 + x
2
;
11) arcctg
0
(x) = −
1 1 + x
2 4.4. Понятие экстремума функции. Теорема Ферма
Определение 4.4. Пусть f : X → R, x
0
∈ X. Говорят, что функ- ция f в точке x
0
достигает: 1) максимума (минимума), если x
0
– пре- дельная точка X и существует
ε
> 0, такое, что ∀ x ∈
◦
K
ε
(x
0
) ∩ X
выполнено f (x) < f (x
0
) (f (x) > f (x
0
)); 2) экстремума, если f в точке x
0
достигает максимума или минимума; 3) наибольшего (наименьшего)
значения, если для любого x ∈ X
f (x) ≤ f (x
0
) (f (x) ≥ f (x
0
)). Точки, в которых f достигает максимума (минимума, экстремума), называются точками максимума (минимума, экстремума) функции f .
Пример 4.3. Функция f : [−1; 2) → R, f (x) = x
2
достигает максиму- ма в точке x = −1; достигает минимума и наименьшего значения в точке x = 0. Наибольшего значения функция f не достигает. •
Теорема 4.4 (Ферма). Пусть f : X → R, x
0
∈ X. Если x
0
– пре- дельная слева и справа точка X; существует
ε
> 0, такое, что для лю- бого x ∈
◦
K
ε
(x
0
)∩X выполнено f (x) ≤ f (x
0
) (f (x) ≥ f (x
0
)), и существует f
0
(x
0
), то f
0
(x
0
) = 0.
Доказательство. Так как для x ∈ (x
0
−
ε
; x
0
) ∩ X по условию f (x) − f (x
0
)
x − x
0
≥ 0 (≤ 0),
то по теореме 2.7 о предельном переходе в неравенстве получаем lim x→x
0
−0
f (x) − f (x
0
)
x − x
0
= f
0
(x
0
) ≥ 0(≤ 0).
Так как для x ∈ (x
0
; x
0
−
ε
) ∩ X по условию f (x) − f (x
0
)
x − x
0
≤ 0 (≥ 0), то lim x→x
0
+0
f (x) − f (x
0
)
x − x
0
= f
0
(x
0
) ≤ 0 (≥ 0). Следовательно, f
0
(x
0
) = 0.
Из доказанной теоремы вытекает следующее следствие.
33

Следствие 4.1. Если в точке x
0
, предельной слева и справа для мно- жества X, функция f достигает максимума (минимума, наибольшего или наименьшего значения) и существует f
0
(x
0
), то f
0
(x
0
) = 0.
4.5. Теоремы о среднем (Ролля, Коши, Лагранжа)
Теорема 4.5 (Ролля). Пусть функция f : [ a, b ] → R непрерывна на [ a, b ] и дифференцируема в любой точке из (a, b). Если f (a) = f (b), то существует точка x
0
∈ (a, b), такая, что f
0
(x
0
) = 0.
Доказательство. Пусть M = sup x∈[ a,b ]
f (x) и m = inf x∈[ a,b ]
f (x) – соответ- ственно наибольшее и наименьшее значения функции f на [ a, b ]. По тео- реме 3.4 существуют x
1
, x
2
∈ [ a, b ]: f (x
1
) = M , f (x
2
) = m. Если M = m,
то функция f постоянна на [ a, b ], а потому ∀ x
0
∈ (a, b)
f
0
(x
0
) = 0. Пусть
M > m. Так как f (a) = f (b), то хотя бы одна из точек, x
1
или x
2
, при- надлежит (a, b). Обозначим ее x
0
. Тогда в точке x
0
функция f достигает наибольшего или наименьшего значения и по следствию 4.1 из теоремы
Ферма f
0
(x
0
) = 0.
Теорема 4.6 (Коши). Пусть функции f, g : [ a, b ] → R непрерывны на [ a, b ] и дифференцируемы в любой точке из (a; b). Если ∀ x ∈ (a; b)
g
0
(x) 6= 0, то существует точка x
0
∈ (a, b), такая, что f (b) − f (a)
g(b) − g(a)
=
=
f
0
(x
0
)
g
0
(x
0
)
(формула Коши).
Доказательство. Отметим сразу, что g(a) 6= g(b), так как иначе по теореме Ролля ∃ x
0
∈ (a, b), для которой g
0
(x
0
) = 0, что противоречит условию.
Рассмотрим функцию F : [ a, b ] → R, F (x) = f (x) − kg(x), k ∈ R. Она непрерывна на [ a, b ] как разность двух непрерывных на [ a, b ] функций и дифференцируема на (a, b) по тем же соображениям. Подберем число k так, чтобы F (a) = F (b), т. е. f (a) − kg(a) = f (b) − kg(b). Отсюда находим k =
f (b) − f (a)
g(b) − g(a)
. Функция F удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля,
поэтому ∃ x
0
∈ (a, b), для которого F
0
(x
0
) = f
0
(x
0
) − kg
0
(x
0
) = 0. Отсюда получаем, что k =
f
0
(x
0
)
g
0
(x
0
)
=
f (b) − f (a)
g(b) − g(a)
Теорема 4.7 (Лагранжа). Пусть функция f : [ a, b ] → R непрерыв- на на [ a, b ] и дифференцируема в любой точке из (a, b). Тогда существует точка x
0
∈ (a, b), такая, что f (b) − f (a) = f
0
(x
0
)(b − a)
34

(формула Лагранжа).
Доказательство. Функции f и g : [ a, b ] → R, g(x) = x удовле- творяют всем условиям теоремы Коши, поэтому ∃ x
0
∈ (a, b), такая, что f (b) − f (a)
b − a
=
f
0
(x
0
)
1
, или f (b) − f (a) = f
0
(x
0
)(b − a).
Теорема Лагранжа имеет простой геометрический смысл. Очевидно, что f (b) − f (a)
b − a есть угловой коэффициент хорды [AB], а f
0
(x
0
) – угловой коэф- фициент касательной к графику функ- ции f в точке x
0
(рис. 4.2). Теорема
Лагранжа утверждает, что существу- ет точка, в которой касательная парал- лельна хорде.
f (a)
A
B
f (b)
x
0
x b
a
0
y
Рис. 4.2 4.6. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей
Правило Лопиталя показывает как используются производные при вы- числении пределов, представляющих собой неопределенность типа 0/0 или
∞/∞.
Теорема 4.8. Пусть x
0
∈ [ a, b ],
f, g
:
[ a, b ] \ {x
0
} → R. Если выполнены следующие условия:
1) lim x→x
0
f (x) = lim x→x
0
g(x) = 0; 2) f и g дифференцируемы во всех точках x ∈ [ a, b ] \ {x
0
}, причем g
0
(x) 6= 0 и 3)
существует lim x→x
0
f
0
(x)
g
0
(x)
= K, то существует lim x→x
0
f (x)
g(x)
= K.
Доказательство. Доопределим f и g в точке x
0
, полагая f (x
0
) =
= g(x
0
) = 0. Тогда в силу условия 1) f и g станут непрерывными в точке x
0
. Покажем, что если x
0 6= b, то существует lim x→x
0
+0
f (x)
g(x)
= K. Функции f и g удовлетворяют всем условиям теоремы Коши на отрезке [ x
0
, b ], поэтому
∀ x ∈ [ x
0
, b ]
∃
ξ
(x) ∈ (x
0
, x) :
f (x)
g(x)
=
f (x) − f (x
0
)
g(x) − g(x
0
)
=
f
0
(
ξ
(x))
g
0
(
ξ
(x))
Так как по теореме 2.8 о пределе сжатой функции lim x→x
0
+0
ξ
(x) = x
0
, то по теореме 2.2 о пределе суперпозиции lim x→x
0
+0
f
0
(
ξ
(x))
g
0
(
ξ
(x))
= K. Отсюда следует,
что существует lim x→x
0
+0
f (x)
g(x)
=
lim x→x
0
+0
f
0
(
ξ
(x))
g
0
(
ξ