Мат (1). Учебное пособие СанктПетербург Издательство спбгэту лэти 2013
 Скачать 0.66 Mb.
|
|
МИНОБРНАУКИ РОССИИ ————————————————– Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет „ЛЭТИ“ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (функции одной вещественной переменной) Учебное пособие Санкт-Петербург Издательство СПбГЭТУ „ЛЭТИ“ 2013 УДК 517.2+517.3(07) ББК В161.1я7 М 34 М 34 Авторы: А. Л. Белопольский, А. С. Бондарев, М. Л. Доценко, Е. В. Фролова, А. П. Щеглова. Математический анализ (функции одной вещественной перемен- ной): Учеб. пособие. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ „ЛЭТИ“, 2013. 104 с. ISBN 978–5–7629–1348–5 Является основой курса дисциплины „Математический анализ“ тех- нических университетов, в нем излагается теория дифференциального и интегрального исчисления для функций одной вещественной переменной. Предназначено для студентов технических факультетов, обучающих- ся по всем направлениям и специальностям. Издание позволяет студентам самостоятельно и более углубленно изучать разделы курса, кратко изло- женные на лекциях. УДК 517.2+517.3(07) ББК В161.1я7 Рецензенты: кафедра высшей математики СПбГПУ; д-р физ.-мат. наук Н. В. Смородина (СПбГУ). Утверждено редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия ISBN 978–5–7629–1348–5 c СПбГЭТУ „ЛЭТИ“, 2013 Введение Данное издание является исправленным и дополненным переизданием учебного пособия [ 1 ] и предназначено для студентов первого курса, присту- пивших к изучению математического анализа. Авторы полагают, что оно окажется полезным и преподавателям, ведущим практические занятия и читающим лекции на первом курсе. В пособии излагается теория пределов, дифференциальное и интег- ральное исчисления для функций одной вещественной переменной, опера- ционное исчисление, теория числовых и степенных рядов. В основу изложения материала положены пособия [ 2 ] и [ 3 ], изданные на кафедре высшей математики № 1 СПбГЭТУ „ЛЭТИ“ под редакцией А. И. Кошелева. Для углубленного изучения рассмотренных в издании раз- делов математического анализа рекомендуются учебники [ 4 ]–[ 8 ]. Отметим некоторые стандартные обозначения, принятые в пособии: знак отмечает конец доказательства; знак ⊗ – конец замечания; знак • – конец примера. 1. МНОЖЕСТВА И ФУНКЦИИ 1.1. Логическая символика Пусть α и β – некоторые высказывания, т. е. повествовательные пред- ложения, относительно каждого из которых известно, истинно оно или ложно. Для проведения математических рассуждений и сокращения их за- писи будем применять логические символы: e, ⇒, ⇔, ∀, ∃, ∨, ∧, используя которые можно из данных высказываний строить новые. Запись e α читается „ не α “, или „ не верно, что α “ (e – символ отрица- ния). Запись α ⇒ β читается „ из α следует β “, или „ если α , то β “ (⇒ – символ импликации). Запись α ⇔ β читается „ α эквивалентно (равносиль- но) β “, или „ α тогда и только тогда, когда β “, или „ для того чтобы α , необходимо и достаточно β “ (⇔ – символ равносильности). Запись ∀ x ∈ ∈ X : α читается „ для любого (всякого) элемента x из множества X выполнено (истинно) α “ (∀ – квантор всеобщности). Запись ∃ x ∈ X : α читается „ существует элемент x из множества X, для которого выполнено α “ (∃ – квантор существования). Запись α ∨ β читается „ выполнено α или β “. Запись α ∧ β читается „ выполнено α и β “. Всякую теорему можно рассматривать как импликацию α ⇒ β , где α – условие, а β – заключение теоремы. Метод доказательства „ от противного“ основан на равносильности высказываний: α ⇒ β и e β ⇒e α . Доказательст- во утверждения α ⇔ β сводится к доказательству двух утверждений: α ⇒ ⇒ β (необходимость) и β ⇒ α (достаточность). 3 1.2. Понятие множества. Действия над множествами Понятие множества интуитивно достаточно ясно. В данном пособии оно не определяется формально, а разъясняется на примерах. Из школьно- го курса известны многочисленные примеры множеств, в частности, мно- жество натуральных чисел – N; множество целых чисел – Z; множество вещественных чисел – R; множество комплексных чисел – C. Объекты, из которых состоит множество, называются его элемента- ми. Если некоторый объект a является элементом множества A (принад- лежит A), то пишут a ∈ A. Если a не является элементом множества A (не принадлежит A), то пишут a 6∈ A. Множество называется конечным, если число его элементов конечно, и бесконечным в противном случае. Например, {1; 2; 3} – конечное множе- ство, а N – бесконечное множество. Множество тех элементов a ∈ A, для которых справедливо некоторое условие P, обозначают {a ∈ A | P}. Множество считается заданным, если указано правило, позволяющее для каждого объекта однозначно определить, является он элементом мно- жества или нет. Например, множество может быть задано перечислением своих элементов: A = {5; 2; 9} или указанием характеристического свойст- ва: {x ∈ R | x 2 > 1}. Множество A является подмножеством (частью) множества B или содержится в B (запись A ⊂ B), если каждый элемент A является элемен- том B. Очевидно, A ⊂ A и из A ⊂ B, B ⊂ C следует A ⊂ C. Множества A и B называются равными (запись A = B), если они состоят из одних и тех же элементов, т. е. если A ⊂ B и B ⊂ A. Множество A, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается ∅. Для любого множества A верно ∅ ⊂ A, так как нельзя указать элемент, принадлежащий ∅ и не принадлежащий A. Объединением множеств A и B называется множество A B A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B} (на рисунке множество A ∪ B заштриховано). Пересечением множеств A и B называется множество A B A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B} (на рисунке множество A ∩ B заштриховано). Разностью множеств A и B называется множество A B A\B = {x | x ∈ A ∧ x 6∈ B} (на рисунке множество A\B заштриховано). Зафиксируем некоторое множество E. Для A ⊂ E разность E\A 4 обозначается символом A и называется дополнением множества A (до E). Оче- видно, A = A, A ∪ A = E и A ∩ A = ∅. A E A Введенные операции подчиняются законам: 1) коммутативности – A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A; 2) ассоциативности – (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C), (A ∩ B) ∩ C = = A ∩ (B ∩ C); 3) дистрибутивности – (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C), (A ∩ B) ∪ C = = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C); 4) двойственности – для A ⊂ E, B ⊂ E A ∪ B = A ∩ B и A ∩ B = = A ∪ B; 5) поглощения – если A ⊂ B, то A ∪ B = B, A ∩ B = A. 1.3. Границы числовых множеств В дальнейшем, если не оговорено противное, все встречающиеся числа предполагаются вещественными, а все множества есть подмножества мно- жества вещественных чисел R. Определение 1.1. Число K называется верхней (нижней) грани- цей непустого множества E, если для любого x ∈ E выполнено x ≤ ≤ K (x ≥ K). Множество E, имеющее верхнюю (нижнюю) границу, называется ограниченным сверху (снизу). E называется ограниченным, если оно ограничено и сверху и снизу. Очевидно, что E – ограничено ⇔ ∃ K > 0 : ∀ x ∈ E |x| ≤ K. Определение 1.2. Пусть непустое множество ограничено E свер- ху (снизу). Наименьшая верхняя (наибольшая нижняя) граница E назы- вается его точной верхней (точной нижней) границей и обозначается sup E (inf E). Очевидно: K = sup E ⇔ 1) ∀ x ∈ E x ≤ K, 2) ∀ ε > 0 ∃ x ∈ E : x > K − ε ; L = inf E ⇔ 1) ∀ x ∈ E x ≥ L, 2) ∀ ε > 0 ∃ x ∈ E : x < L + ε Пример 1.1. Для множества E = (0, 1] sup E = 1, inf E = 0. • Фундаментальную роль играет следующая теорема. Теорема 1.1. Если непустое множество E ограничено сверху (сни- зу), то существует sup E (inf E). Доказательство теоремы можно найти в [ 6 ] (т. 2.1). 5 1.4. Функции. Основные определения Определение 1.3. Если каждому элементу x ∈ X по некоторому правилу f поставлен в соответствие единственный элемент f (x) ∈ Y , то говорят, что на множестве X определена (задана) функция f , прини- мающая значения из множества Y , или что функция f отображает множество X в множество Y . Обозначение f : X → Y . Множество X называется областью определения функции f . Элемент y = f (x) ∈ Y называется значением функции f на элементе x или образом x при отображении f , а x называется прообразом y. Для E ⊂ X и F ⊂ Y через f (E) и f −1 (F ) обозначим множество образов всех элементов из E и множество прообразов всех элементов из F , т. е. f (E) = {f (x)|x ∈ E}; f −1 (F ) = {x ∈ X|f (x) ∈ F }. Множество f (X) ⊂ Y называется множеством значений функции f . Если f (X) = Y , то говорят, что функция f отображает X на Y . Функция f назавается ограниченной (сверху, снизу), если множество ее значений f (X) ограничено (сверху, снизу). Для обозначения точной верхней (нижней) границы множества значений функции f используют- ся обозначения sup f (X) = sup x∈X f (x) (inf f (X) = inf x∈X f (x)). Пусть на множестве X заданы функции f и g со значениями в множе- стве R. Тогда на множестве X естественным образом определяется новая функция h : X → R – сумма функций f и g (запись h = f + g) по правилу ∀ x ∈ X h(x) = f (x) + g(x). Аналогично определяются разность, произведение и частное функций: f − g, f g, f /g (в последнем случае надо считать, что ∀ x ∈ X g(x) 6= 0). Определение 1.4. Пусть f : X → Y , g : Y → Z. Функция h : X → Z называется суперпозицией функций f и g, если для любо- го x ∈ X выполнено h(x) = g(f (x)), т. е. h(x) = g(y), где y = f (x). При этом функция g называется внешней, а f – внутренней функцией суперпозиции. Обозначение: h = g ◦ f . Пример 1.2. Пусть f : R → R, f (x) = sin(x), g : R → [−1, 1], g(y) = = cos(y). Тогда их суперпозицией является функция h : R → [−1, 1], h(x) = (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = cos(sin(x)). • Функции, введенные в школьном курсе (степенная, показательная, ло- гарифмическая, тригонометрические и обратные тригонометрические), на- зываются простейшими. Функции, полученные из простейших с помо- щью конечного числа арифметических операций и суперпозиций, называ- ются элементарными. Примером неэлементарной функции может служить 6 функция sign (от слова знак): sign(x) = 1, если x > 0, 0, если x = 0, −1, если x < 0. Определение 1.5. Функция f : N → R, заданная на множестве на- туральных чисел, называется последовательностью. Значение f на эле- менте n ∈ N обозначают y n = f (n) и называют n-м членом последова- тельности. Для последовательности также используются следующие обозначения: {y n }, {y n } ∞ n=1 и y 1 , y 2 , ... . 1.5. Обратная функция Определение 1.6. Говорят, что функция f : X → R взаимно- однозначна, если образы любых двух различных элементов из X различны, т. е. для любых x 1 , x 2 ∈ X, таких, что x 1 6= x 2 , справедливо f (x 1 ) 6= 6= f (x 2 ). Определение 1.7. Если функция f : X → R взаимно-однозначна, то для любого y ∈ f (X) найдется единственный x ∈ X, такой, что y = f (x). Обозначим этот x через f −1 (y). Тем самым на множестве f (X) определена функция со значениями в X, называемая обратной к функции f . Запись f −1 : f (X) → X. Замечание 1.1. 1. Обратная функция определена лишь для взаимно- однозначной функции. 2. Функция f −1 взаимно-однозначно отображает f (X) на X, поэтому для нее существует обратная функция. Очевидно, что (f −1 ) −1 = f . 3. Функция f −1 ◦ f – тождественное отображение X на себя, т. е. ∀ x ∈ ∈ X (f −1 ◦ f )(x) = x. Аналогично ∀ y ∈ f (X) (f ◦ f −1 )(y) = y. ⊗ Определение 1.8. Функция f : X → R называется: 1) возрастаю- щей (неубывающей), если для любых x 1 , x 2 ∈ X, таких, что x 1 < x 2 , вы- полнено f (x 1 ) < f (x 2 ) (f (x 1 ) ≤ f (x 2 )); 2) убывающей (невозрастающей), если для любых x 1 , x 2 , таких, что x 1 < x 2 , выполнено f (x 1 ) > f (x 2 ) (f (x 1 ) ≥ f (x 2 )); 3) монотонной, если она входит в один из четырех пе- речисленных классов; 4) строго монотонной, если она возрастает или убывает. Теорема 1.2. Если f : X → R строго монотонная функция, то существует f −1 : f (X) → X – обратная к f функция, которая строго монотонна в том же смысле. 7 Доказательство. Пусть, например, f – возрастающая функция. Если x 1 < x 2 , то f (x 1 ) < f (x 2 ); если x 1 > x 2 , то f (x 1 ) > f (x 2 ). Поэтому ∀ x 1 , x 2 ∈ ∈ X x 1 6= x 2 ⇒ f (x 1 ) 6= f (x 2 ), т. е. функция f взаимно-однозначна и у нее существует обратная функция f −1 Пусть y 1 , y 2 ∈ f (X), y 1 < y 2 . Положим x 1 = f −1 (y 1 ), x 2 = f −1 (y 2 ). Если x 1 ≥ x 2 , то f (x 1 ) ≥ f (x 2 ), следовательно, y 1 ≥ y 2 , что противоречит условию y 1 < y 2 . Поэтому x 1 < x 2 . Итак, y 1 < y 2 ⇒ f −1 (y 1 ) < f −1 (y 2 ), т. е. f −1 – возрастающая функция. Замечание 1.2. Существуют немонотонные функции, имеющие об- ратную. Например, функция f (x) = 1 x на множестве R \ {0}. ⊗ 2. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ 2.1. Окрестность точки. Предельные точки множества Определение 2.1. Пусть a, ε ∈ R, ε > 0. Множество K ε (a) = (a − ε , a + ε ) = {x ∈ R |x − a| < ε } называется ε -окрестностью точки a. Множество ◦ K ε (a) = (a − ε , a) ∪ (a, a + ε ) = K ε (a) \ {a} = {x ∈ R 0 < |x − a| < ε } называется проколотой ε -окрестностью точки a. Очевидно, что K ε 1 (a) ∩ K ε 2 (a) = K ε (a), где ε = min{ ε 1 , ε 2 }. Определение 2.2. Точка a ∈ R называется предельной точкой мно- жества X, если пересечение любой ее проколотой ε -окрестности с X не пусто. Точка a называется изолированной точкой множества X, если a ∈ X и a не является предельной для X. Кратко это определение можно записать так: a – предельная точка множества X ⇔ ∀ ε > 0 ◦ K ε (a) ∩ X 6= ∅; a – изолированная точка множества X ⇔ ( a ∈ X, ∃ ε > 0 : ◦ K ε (a) ∩ X = ∅. Пример 2.1. 1. Все точки множества X = 1, 1 2 , 1 3 , . . . изолиро- ванные, 0 – единственная его предельная точка. 2. Если X = [0, 1), то все точки отрезка [0, 1] являются предельными точками множества X. • 8 Предложение 2.1. Для того чтобы точка a была предельной точ- кой множества X, необходимо и достаточно, чтобы всякая ее ε -окрест- ность содержала бесконечное число точек из X. Доказательство. ⇒ Предположим противное: пусть некоторая ε -окрестность точки a содержит конечное число точек из X. Пусть δ – расстояние от a до ближайшей из них. Тогда ◦ K δ /2 (a) ∩ X 6= ∅ Получено противоречие. ⇐ Если для ∀ ε > 0 ◦ K ε (a) содержит бесконечное число точек множе- ства X, то условие ∀ ε > 0 ◦ K ε (a) ∩ X 6= ∅ выполнено. Значит, точка a является предельной точкой множества X. 2.2. Определение предела функции Определение 2.3. Пусть a – предельная точка множества X и задана f : X → R. Точка b ∈ R называется пределом функции f в точке a, если для любой ε -окрестности точки b существует такая проколотая δ -окрестность точки a, что для всех x из пересечения ее с X значения функции принадлежат выбранной ε -окрестности точки b. Обозначение: lim x→a f (x) = b. Кратко определение предела можно записать так: lim x→a f (x) = b ⇔ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : ∀ x ∈ ◦ K δ (a) ∩ X f (x) ∈ K ε (b). Отметим, что x ∈ ◦ K δ (a) ∩ X ⇒ ( x ∈ X, 0 < |x − a| < δ ; f (x) ∈ K ε (b) ⇔ |f (x) − b| < ε Из неравенства |f (x)| − |b| ≤ |f (x) − b| следует, что lim x→a f (x) = b ⇔ lim x→a |f (x)| = |b|. Очевидно, что следующие утверждения равносильны: lim x→a f (x) = b ⇔ lim x→a (f (x) − b) = 0 ⇔ lim x→a |f (x) − b| = 0. Теорема 2.1 (единственность предела). Если lim x→a f (x) = b и lim x→a f (x) = c, то b = c, т. е. предел (если он существует) единственный. 9 Доказательство. Допустим противное: b 6= c, при этом можно счи- тать, что b < c. Возьмем ε = (c − b)/2 > 0. Очевидно, K ε (b) ∩ K ε (c) = ∅. По определению 2.3 lim x→a f (x) = b ⇒ ∀ ε > 0 ∃ δ 1 > 0 : ∀ x ∈ ◦ K δ 1 (a) ∩ X f (x) ∈ K ε (b); lim x→a f (x) = c ⇒ ∀ ε > 0 ∃ δ 2 > 0 : ∀ x ∈ ◦ K δ 2 (a) ∩ X f (x) ∈ K ε (c). Возьмем δ = min{ δ 1 , δ 2 }. Тогда ∀ x ∈ ◦ K δ (a) ∩ X ( f (x) ∈ K ε (b), f (x) ∈ K ε (c). Значит, f (x) ∈ K ε (b) ∩ K ε (c) = ∅. Получено противоречие. Замечание 2.1. В теории пределов постоянно используется следую- щий простой факт: если утверждения P 1 , P 2 , . . . , P n справедливы в окрест- ностях K δ 1 (a), K δ 2 (a), . . . , K δ n (a) точки a соответственно, то все утвержде- ния одновременно справедливы в пересечении этих окрестностей: K δ 1 (a) ∩ K δ 2 (a) ∩ · · · ∩ K δ n (a) = K δ (a), где δ = min{ δ 1 , δ 2 , . . . , δ n }. ⊗ Замечание 2.2. Определение предела не дает возможности вычис- лить предел функции. Оно позволяет лишь проверить, является ли данная точка искомым пределом. В связи с этим необходимо изучить свойства пределов и разработать технику их вычисления, что и делается далее. ⊗ 2.3. Предел суперпозиции функций Пусть f : X → Y, g : Y → R. Рассмотрим суперпозицию функций f и g: g ◦ f : X → R. Теорема 2.2. Если lim x→a f (x) = b, lim x→b g(x) = c и f (x) 6= b в некоторой проколотой окрестности точки a, то lim x→a (g ◦ f )(x) = c. Доказательство. Возьмем произвольное ε > 0. Тогда lim y→b g(y) = c ⇒ ∀ |