Мат (1). Учебное пособие СанктПетербург Издательство спбгэту лэти 2013

• Название: Учебное пособие СанктПетербург Издательство спбгэту лэти 2013
• Дата: 15.09.2022
• Размер: 0.66 Mb.
• Имя файла: Мат (1).pdf
• Тип: Учебное пособие; #678223
• страница: 5 из 12

(x))
= K. Аналогично, если x
0 6=
35

6= a, то lim x→x
0
−0
f (x)
g(x)
= K, поэтому по теореме о связи предела и односто- ронних пределов существует lim x→x
0
f (x)
g(x)
= K.
Замечание
4.3. 1. Теорему 4.8 можно кратко записать так:
lim x→x
0
f (x)
g(x)
= lim x→x
0
f
0
(x)
g
0
(x)
Это равенство принято называть правилом Лопиталя раскрытия неопре- деленностей типа 0/0.
2. Теорема остается справедливой и для случаев lim x→x
0
f (x) = ±∞ и lim x→x
0
g(x) = ±∞, т. е. lim x→x
0
f (x)
g(x)
= lim x→x
0
f
0
(x)
g
0
(x)
(правило Лопиталя раскрытия неопределенностей типа ∞/∞), а также когда x
0
= ±∞.
3. Теорема 4.8 не допускает обращения, т. е. из существования lim x→x
0
f (x)
g(x)
не следует существование предела lim x→x
0
f
0
(x)
g
0
(x)
. Например, суще- ствует lim x→+∞
x + sin(x)
x + cos(x)
= lim x→+∞
1 + sin(x)/x
1 + cos(x)/x
= 1,
но lim x→+∞
(x + sin(x))
0
(x + cos(x))
0
= lim x→+∞
1 + cos(x)
1 − sin(x)
не существует. ⊗
Пример 4.4. Рассмотрим предел lim x→0
sin(x) − x x cos(x) − x с неопределенно- стью 0/0 и, трижды применив правило Лопиталя, получим:
lim x→0
sin(x) − x x cos(x) − x
= lim x→0
cos(x) − 1
cos(x) − x sin(x) − 1
=
= lim x→0
− sin(x)
−2 sin(x) − x cos(x)
= lim x→0
− cos(x)
−3 cos(x) + x sin(x)
=
1 3
. •
4.7. Формула Тейлора n-го порядка с остаточным членом в форме Пеано
Определение 4.5. Пусть f : X → R, x
0
∈ X – предельная точка
X. Говорят, что функция f n раз дифференцируема в точке x
0
, если существуют постоянные A
1
, . . . , A
n
∈ R, такие, что f (x) = f (x
0
) +
n
X
k=1
A
k
(x − x
0
)
k
+ o((x − x
0
)
n
).
36

По определению функция f n раз дифференцируема в точке x
0
, если она отличается от некоторого многочлена n-й степени f (x
0
)+
n
P
k=1
A
k
(x−x
0
)
k на бесконечно малую более высокого порядка, чем (x − x
0
)
n при x → x
0
Пусть в некоторой окрестности x
0
существует f
0
(x). Если у функции f
0
существует производная в точке x
0
, то она называется второй производной функции f в точке x
0
и обозначается f
00
(x
0
) или f
(2)
(x
0
). Аналогично, пусть в некоторой окрестности x
0
существует f
(n−1)
(x). Если у функции f
(n−1)
существует производная в точке x
0
, то она называется n-й производной функции f в точке x
0
и обозначается f
(n)
(x
0
).
По определению f
(n)
(x
0
) = lim x→x
0
f
(n−1)
(x) − f
(n−1)
(x
0
)
x − x
0
Теорема 4.9. Если у функции f существует f
(n)
(x
0
), то f n раз дифференцируема в точке x
0
и справедливо равенство f (x) = f (x
0
) +
f
0
(x
0
)
1!
(x − x
0
) + · · · +
f
(n)
(x
0
)
n!
(x − x
0
)
n
+ o((x − x
0
)
n
)
(формула Тейлора n-го порядка для функции f в точке x
0
с остаточным членом в форме Пеано).
Доказательство. Вычислим, используя n − 1 раз правило Лопиталя,
следующий предел:
lim x→x
0
f (x) − f (x
0
) −
f
0
(x
0
)
1!
(x − x
0
) − · · · −
f
(n−1)
(x
0
)
(n − 1)!
(x − x
0
)
n−1
(x − x
0
)
n
=
= lim x→x
0
f
0
(x)−f
0
(x
0
)−
f
00
(x
0
)
1!
(x−x
0
)− · · · −
f
(n−1)
(x
0
)
(n − 2)!
(x−x
0
)
n−2
n(x−x
0
)
n−1
= · · · =
= lim x→x
0
f
(n−1)
(x) − f
(n−1)
(x
0
)
n(n − 1) . . . 2(x − x
0
)
=
1
n!
lim x→x
0
f
(n−1)
(x) − f
(n−1)
(x
0
)
(x − x
0
)
=
f
(n)
(x
0
)
n!
Следовательно, функция
α
(x) =
f (x) − f (x
0
) − · · · −
f
(n−1)
(x
0
)
(n − 1)!
(x − x
0
)
n−1
(x − x
0
)
n
−
f
(n)
(x
0
)
n!
есть бесконечно малая при x → x
0
. Отсюда находим f (x) = f (x
0
) +
f
0
(x
0
)
1!
(x − x
0
) + · · · +
f
(n−1)
(x
0
)
(n − 1)!
(x − x
0
)
n−1
+
37

+
f
(n)
(x
0
)
n!
(x − x
0
)
n
+
α
(x)(x − x
0
)
n
Так как lim x→x
0
α
(x)(x − x
0
)
n
(x − x
0
)
n
= lim x→x
0
α
(x) = 0, то
α
(x)(x − x
0
)
n
= o((x − x
0
)
n
)
при x → x
0
Замечание
4.4. 1. Удобно считать, что f (x
0
) = f
(0)
(x
0
) и 0! = 1.
Тогда формулу Тейлора n-го порядка для функции f в точке x
0
можно кратко записать так:
f (x) =
n
X
k=0
f
(k)
(x
0
)
k!
(x − x
0
)
k
+ o((x − x
0
)
n
).
2. Формула Тейлора n-го порядка позволяет функцию f с точностью до o((x − x
0
)
n
) заменять многочленом n
P
k=0
f
(k)
(x
0
)
k!
(x − x
0
)
k
, который на- зывается многочленом Тейлора n-го порядка для функции f в точке x
0
⊗
Укажем формулы Тейлора для некоторых конкретных функций в точ- ке x
0
= 0:
1) e x
= 1 +
x
1!
+
x
2 2!
+ · · · +
x n
n!
+ o(x n
);
2) cos(x) = 1 −
x
2 2!
+
x
4 4!
− · · · +
(−1)
n x
2n
(2n)!
+ o(x
2n+1
);
3) sin(x) = x −
x
3 3!
+
x
5 5!
− · · · +
(−1)
n x
2n+1
(2n + 1)!
+ o(x
2n+2
);
4) ln(1 + x) = x −
x
2 2
+
x
3 3
− · · · +
(−1)
n−1
x n
n
+ o(x n
);
5) (1+x)
α
= 1+
α
1!
x+
α
(
α
− 1)
2!
x
2
+ · · · +
α
(
α
− 1) . . . (
α
− n + 1)
n!
x n
+ o(x n
).
Проверим первое равенство. Для f (x) = e x
имеем f
(k)
(x) = e x
при k = 0, 1, 2, . . . . Отсюда f
(k)
(0) = 1. Следовательно,
e x
=
n
X
k=0
f
(k)
(0)
k!
x k
+ o(x n
) = 1 +
x
1!
+
x
2 2!
+ · · · +
x n
n!
+ o(x n
).
4.8. Формула Тейлора n-го порядка с остаточным членом в форме Лагранжа
Остаточный член формулы Тейлора, записанный в форме Пеано o((x − x
0
)
n
), есть бесконечно малая более высокого порядка, чем (x − x
0
)
n
38

при x → x
0
. Однако часто полезно иметь более детальную информацию об остаточном члене. Далее будет указана еще одна форма (форма Лагранжа)
записи остаточного члена формулы Тейлора.
Лемма 4.1. Пусть функции F, G : [ x
0
, x ] → R такие, что: 1) име- ют производные (n + 1)-го порядка на [ x
0
, x ]; 2) F (x
0
) = F
0
(x
0
) = · · · =
= F
(n)
(x
0
) = 0; 3) G(x
0
) = G
0
(x
0
) = · · · = G
(n)
(x
0
) = 0; 4) G
0
, G
00
, . . . ,
. . . , G
(n+1)
не обращаются в нуль на (x
0
, x). Тогда существует c ∈ (x
0
, x),
такое, что
F (x)
G(x)
=
F
(n+1)
(c)
G
(n+1)
(c)
Доказательство. По теореме Коши существует точка x
1
∈ (x
0
, x),
такая, что
F (x)
G(x)
=
F (x) − F (x
0
)
G(x) − G(x
0
)
=
F
0
(x
1
)
G
0
(x
1
)
. Аналогично, существует точка x
2
∈ (x
1
, x), такая, что
F
0
(x
1
)
G
0
(x
1
)
=
F
0
(x
1
) − F
0
(x
0
)
G
0
(x
1
) − G
0
(x
0
)
=
F
00
(x
2
)
G
00
(x
2
)
и т. д. В итоге получим:
F (x)
G(x)
=
F
0
(x
1
)
G
0
(x
1
)
=
F
00
(x
2
)
G
00
(x
2
)
= · · · =
F
(n+1)
(x n+1
)
G
(n+1)
(x n+1
)
,
где x
0
< x n+1
< x n
< · · · < x
1
< x. Остается взять c = x n+1
Теорема 4.10. Пусть у функции f : [a, b] → R существует (n+1)-я производная на (a, b). Тогда для любых x
0
, x ∈ (a, b) существует точка c между x
0
и x, такая, что f (x) =
n
X
k=0
f
(k)
(x
0
)
k!
(x − x
0
)
k
+
f
(n+1)
(c)
(n + 1)!
(x − x
0
)
n+1
(формула Тейлора n-го порядка для функции f в точке x
0
с остаточным членом в форме Лагранжа).
Доказательство. Рассмотрим случай x
0
< x. Покажем, что функции
F (x) = f (x) −
n
P
k=0
f
(k)
(x
0
)
k!
(x − x
0
)
k и G(x) = (x − x
0
)
n+1
удовлетворяют всем условиям леммы 4.1 .
Найдем производные F до (n + 1)-й включительно:
F
0
(x) = f
0
(x) − f
0
(x
0
) −
f
00
(x
0
)
1!
(x − x
0
) − · · · −
f
(n)
(x
0
)
(n − 1)!
(x − x
0
)
n−1
;
F
00
(x) = f
00
(x) − f
00
(x
0
) − · · · −
f
(n)
(x
0
)
(n − 2)!
(x − x
0
)
n−2
; . . . ;
F
(n)
(x) = f
(n)
(x) − f
(n)
(x
0
);
F
(n+1)
(x) = f
(n+1)
(x).
39

Следовательно, F (x
0
) = F
0
(x
0
) = · · · = F
(n)
(x
0
) = 0.
Найдем производные G до (n + 1)-й включительно:
G
0
(x) = (n + 1)(x − x
0
)
n
; . . . ; G
(n)
(x) = (n + 1)!(x − x
0
); G
(n+1)
(x) = (n + 1)!
Отсюда G(x
0
) = G
0
(x
0
) = · · · = G
(n)
(x
0
) = 0, причем G
0
, G
00
, . . . , G
(n+1)
не обращаются в нуль на (x
0
, x).
По лемме 4.1
∃ c ∈ (x
0
, x):
F (x)
G(x)
=
F
(n+1)
(c)
G
(n+1)
(c)
=
f
(n+1)
(c)
(n + 1)!
. Отсюда находим F (x) =
f
(n+1)
(c)
(n + 1)!
(x − x
0
)
n+1
Случай x
0
> x рассматривается аналогично.
Следствие 4.2. Пусть P – многочлен степени n. Тогда ∀ x
0
, x ∈ R
P (x) =
n
X
k=0
P
(k)
(x
0
)
k!
(x − x
0
)
k
Доказательство. Для многочлена n-й степени (n + 1)-я производная тождественно равна нулю. Остается применить к P теорему 4.10 .
5. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ
5.1. Монотонность функций
Пусть функция f : [ a, b ] → R непрерывна на [ a, b ] и дифференци- руема во всех точках (a, b).
Теорема 5.1. 1. Функция f не убывает (не возрастает, постоянна)
на [ a, b ] ⇐⇒ f
0
≥ 0 (f
0
≤ 0, f
0
= 0) на (a; b). 2. Если f
0
> 0 (f
0
< 0) на
(a, b), то f возрастает (убывает) на [ a, b ].
Доказательство.
1. ⇒ Возьмем произвольное x
0
∈ (a, b). Если f не убывает (не возрастает, постоянна), то ∀ x ∈ [ a, b ], x 6= x
0
, имеем f (x) − f (x
0
)
x − x
0
≥ 0 (≤ 0, = 0). По теореме 2.7 о предельном переходе в неравенстве f
0
(x
0
) = lim x→x
0
f (x) − f (x
0
)
x − x
0
≥ 0 (≤ 0, = 0).
⇐ Пусть a ≤ x
1
< x
2
≤ b. По теореме Лагранжа f (x
2
) − f (x
1
) =
= f
0
(c)(x
2
− x
1
), где c ∈ (x
1
, x
2
). Если f
0
≥ 0 (≤ 0, = 0) на (a, b), то f
0
(c) ≥ 0 (≤ 0, = 0). Поэтому f (x
2
) ≥ f (x
1
) (f (x
2
) ≤ f (x
1
), f (x
2
) = f (x
1
)),
т. е. f не убывает (не возрастает, постоянна) на [a; b].
40

2. Пусть a ≤ x
1
< x
2
≤ b. По теореме Лагранжа f (x
2
) − f (x
1
) =
= f
0
(c)(x
2
− x
1
), где c ∈ (x
1
, x
2
). Если f
0
> 0 (f
0
< 0) на (a, b), то f
0
(c) >
> 0 (f
0
(c) < 0). Поэтому f (x
2
) > f (x
1
) (f (x
2
) < f (x
1
)), т. е. f возрастает
(убывает) на [ a, b ].
Пример 5.1. Пусть f : R → R, f (x) = xe
−x
. Так как f
0
(x) = e
−x
(1−
−x), то f
0
> 0 на (−∞, 1) и f
0
< 0 на (1, +∞). По теореме 5.1 функция f возрастает на (−∞, 1 ] и убывает на [ 1, +∞). •
5.2. Необходимые и достаточные условия экстремума функции
Определение 5.1. Пусть f : X → R, x
0
∈ X – предельная точка множества X. Если x
0
– предельная справа (но не слева), или x
0
– пре- дельная слева (но не справа), или f
0
(x
0
) = 0, или f
0
(x
0
) не существует,
то x
0
называется критической точкой функции f .
По следствию 4.1 из теоремы Ферма функция может иметь экстре- мум (а также наибольшее и наименьшее значения) только в критических точках. Этот факт называют необходимым условием экстремума.
Укажем достаточные условия экстремума.
Теорема 5.2. Пусть функция f непрерывна в точке x
0
, для некото- рого
ε
> 0
K
ε
(x
0
) ⊂ X и существует f
0
в
◦
K
ε
(x
0
). Тогда:
1. Если f
0
> 0 на (x
0
−
ε
, x
0
) и f
0
< 0 на (x
0
, x
0
+
ε
), то x
0
– точка максимума.
2. Если f
0
< 0 на (x
0
−
ε
, x
0
) и f
0
> 0 на (x
0
, x
0
+
ε
), то x
0
– точка минимума.
3. Если f
0
< 0 (> 0) на (x
0
−
ε
, x
0
) ∪ (x
0
, x
0
+
ε
), то в точке x
0
экстремума нет.
Доказательство. 1. По теореме 5.1
f возрастает на (x
0
−
ε
; x
0
] и убывает на [ x
0
, x
0
+
ε
), а потому ∀ x ∈
◦
K
ε
(x
0
)
f (x) < f (x
0
).
2. Доказывается аналогично.
3. По теореме 5.1
f возрастает (убывает) на (x
0
−
ε
, x
0
) ∪ (x
0
; x
0
+
ε
),
а потому в x
0
экстремума нет.
Теорему можно кратко сформулировать так: если при переходе через точку x
0
производная меняет знак с +(−) на −(+), то в точке x
0
дости- гается максимум (минимум); если при переходе через x
0
производная не меняет знак, то в x
0
экстремума нет.
Определение 5.2. Критическая точка x
0
функции f называется стационарной, если f
0
(x
0
) = 0.
41

Очевидно, что в стационарной точке касательная к графику функции параллельна оси Ox.
Теорема 5.3. Пусть x
0
– стационарная точка функции f и суще- ствует f
00
(x
0
). Тогда, если f
00
(x
0
) > 0 (f
00
(x
0
) < 0), то x
0
– точка мини- мума (максимума).
Доказательство. Напишем формулу Тейлора второго порядка для функции f в точке x
0
:
f (x) = f (x
0
) +
1 2
f
00
(x
0
)(x − x
0
)
2
+ o((x − x
0
)
2
).
Отсюда lim x→x
0
f (x) − f (x
0
)
(x − x
0
)
2
=
1 2
f
00
(x
0
) + lim x→x
0
o((x − x
0
)
2
)
(x − x
0
)
2
=
1 2
f
00
(x
0
) > 0 (< 0).
По теореме 2.6
∃
ε
> 0: ∀ x ∈
◦
K
ε
(x
0
) ∩ X выполнено f (x) − f (x
0
)
(x − x
0
)
2
> 0
(< 0). Следовательно, ∀ x ∈
◦
K
ε
(x
0
) ∩ X справедливо f (x) > f (x
0
) (f (x) <
< f (x
0
)). По определению 4.4
x
0
есть точка минимума (максимума).
5.3. Выпуклость функции. Точки перегиба
Определение 5.3. Пусть функция f : X → R дифференцируема в точке x
0
∈ X. Будем говорить, что функция f выпукла вниз (вверх) в точке x
0
, если существует
ε
> 0, такое, что ∀ x ∈
◦
K
ε
(x
0
) ∩ X справед- ливо неравенство f (x) > f (x
0
) + f
0
(x
0
)(x − x
0
);
f (x) < f (x
0
) + f
0
(x
0
)(x − x
0
)

.
Геометрически выпуклость вниз (рис. 5.1) (вверх (рис. 5.2)) в точке x
0
означает, что в некоторой проколотой окрестности x
0
график функции f лежит выше (ниже) касательной к графику f в точке x
0
x
0
x b
a
0
y y = f (x)
Рис. 5.1
x
0
x b
a
0
y y = f (x)
Рис. 5.2
x
0
x b
a
0
y y = f (x)
Рис. 5.3
Теорема 5.4. Если f
00
(x
0
) > 0 (f
00
(x
0
) < 0), то функция f выпукла вниз (выпукла вверх) в точке x
0 42

Доказательство. Напишем формулу Тейлора второго порядка для функции f в точке x
0
:
f (x) = f (x
0
) + f
0
(x
0
)(x − x
0
) +
1 2
f
00
(x
0
)(x − x
0
)
2
+ o((x − x
0
)
2
).
Отсюда имеем lim x→x
0
f (x) − f (x
0
) − f
0
(x
0
)(x − x
0
)
(x − x
0
)
2
=
f
00
(x
0
)
2
> 0 (< 0). По теореме 2.6 о стабилизации знака существует
ε
> 0, такое, что ∀ x ∈
∈
◦
K
ε
(x
0
) ∩ X
f (x) − f (x
0
) − f
0
(x
0
)(x − x
0
)
(x − x
0
)
2
> 0 (< 0).
Отсюда ∀ x ∈
◦
K
ε
(x
0
) ∩ X
f (x) > f (x
0
) + f
0
(x
0
)(x − x
0
);
f (x) < f (x
0
) + f
0
(x
0
)(x − x
0
)

,
т. е. функция f выпукла вниз (вверх) в точке x
0
Точки, при переходе через которые характер выпуклости f меняется,
называются точками перегиба функции f (см. рис. 5.3). Более точно:
Определение 5.4. Точка x
0
∈ X называется точкой перегиба функ- ции f , если x
0
есть предельная слева и справа точка X и существует
ε
> 0, такое, что
∀ x ∈
◦
K
−
ε
(x
0
) ∩ X
f (x) > f (x
0
) + f
0
(x
0
)(x − x
0
)
и
∀ x ∈
◦
K
+
ε
(x
0
) ∩ X
f (x) < f (x
0
) + f
0
(x
0
)(x − x
0
)
– или наоборот.
Теорема 5.5. Пусть x
0
∈ X – точка перегиба функции f . Если су- ществует f
00
(x
0
), то f
00
(x
0
) = 0.
Доказательство. Допустим, что f
00
(x
0
) > 0 (< 0). Тогда по теореме
5.4 функция f выпукла вниз (вверх) в точке x
0
, что противоречит условию.
Следовательно, f
00
(x
0
) = 0.
Предельные слева и справа точки из множества X, в которых вто- рая производная функции f равна нулю или не существует, называются подозрительными на перегиб.
Если при переходе через такую точку x