Мат (1). Учебное пособие СанктПетербург Издательство спбгэту лэти 2013
 Скачать 0.66 Mb.
|
|
0 вторая производная меняет знак, то x 0 – точка перегиба функции. В противном случае в x 0 перегиба нет. 43 5.4. Асимптоты графика функции Определение 5.5. Пусть f : X → R. Если хотя бы один из пре- делов lim x→x 0 −0 |f (x)| или lim x→x 0 +0 |f (x)| равен +∞, то прямая x = x 0 называ- ется вертикальной асимптотой графика функции f . Очевидно, что если прямая x = x 0 есть вертикальная асимптота гра- фика функции f , то x 0 есть точка разрыва второго рода функции f . Определение 5.6. Если множество X не ограничено сверху и су- ществуют k, b ∈ R, такие, что lim x→+∞ f (x) − kx − b = 0, то прямая y = kx+b называется правой наклонной асимптотой графика функции f . Аналогично определяется левая наклонная асимптота. Теорема 5.6. Пусть множество X не ограничено сверху. Для того чтобы прямая y = kx + b была правой наклонной асимптотой графика функции f , необходимо и достаточно, чтобы одновременно существовали конечные пределы k = lim x→+∞ f (x) x и b = lim x→+∞ f (x) − kx . Аналогичная теорема верна для левой наклонной асимптоты. Доказательство. ⇒ Если прямая y = kx + b – асимптота, то lim x→+∞ f (x) − kx − b = 0 и тем более lim x→+∞ f (x) − kx − b x = 0. Из первого предела получаем b = = lim x→+∞ f (x) − kx , а из второго k = lim x→+∞ f (x) x ⇐ По условию b = lim x→+∞ f (x)−kx . Отсюда следует, что lim x→+∞ f (x)− −kx − b = 0, т. е. прямая y = kx + b есть правая наклонная асимптота. Пример 5.2. Пусть f : (0, +∞) → R, f (x) = 1/x + x + e −x . Так как lim x→0+0 f (x) = +∞, то прямая x = 0 есть вертикальная асимптота графика f . Так как k = lim x→+∞ f (x) x = 1 и b = lim x→+∞ f (x) − x = 0, то прямая y = x есть правая наклонная асимптота графика f . • 5.5. Метод Ньютона нахождения корня уравнения Пусть f : [ a, b ] → R – дифференцируемая строго монотонная функ- ция, которая принимает на концах отрезка значения разных знаков, т. е. f (a)f (b) < 0. Тогда по теореме Больцано–Коши на интервале (a, b) лежит 44 корень ξ уравнения f (x) = = 0, причем в силу монотон- ности функции он единствен. Возьмем точку x 0 ∈ ∈ [ a, b ]. Проведем касатель- ную к графику функции f в точке x 0 (рис. 5.4), ее уравне- ние y = f (x 0 ) + f 0 (x 0 )(x − x 0 ). Найдем x 1 – абсциссу точ- ки пересечения касательной с осью 0x – из уравнения y = f (x) x 0 x b a ξ 0 y x 1 x 2 Рис. 5.4 0 = f (x 0 ) + f 0 (x 0 )(x 1 − x 0 ) ⇒ x 1 = x 0 − f (x 0 ) f 0 (x 0 ) Если x 1 ∈ [ a, b ] и f (x 1 ) 6= 0, то аналогично, по x 1 можно найти абсциссу точки пересечения касательной y = f (x 1 ) + f 0 (x 1 )(x − x 1 ) к графику f в точке x 1 с осью 0x: x 2 = x 1 − f (x 1 ) f 0 (x 1 ) и т. д. При некоторых условиях (см. теорему 5.7 ниже) удается построить последовательность {x n } ⊂ [ a, b ], x n+1 = x n − f (x n ) f 0 (x n ) , n = 0, 1, 2, . . . . Описанный алгоритм построения последовательности называется методом Ньютона или методом касательных. Теорема 5.7. Пусть функция f : [ a, b ] → R такая, что выполнено: 1) f (a)f (b) < 0; 2) существует f 00 на [ a, b ]; 3) f 0 и f 00 сохраняют знак на [ a, b ]. Возьмем в качестве x 0 тот из концов отрезка [ a, b ], в котором знаки f и f 00 совпадают. Тогда последовательность {x n }, где x n+1 = x n − f (x n ) f 0 (x n ) , n = 0, 1, 2, . . . , монотонно сходится к ξ – корню уравнения f (x) = 0. Доказательство. Рассмотрим для определенности случай f 0 > 0 и f 00 > 0 на [ a, b ]. Предположим, что b = x 0 > x 1 > · · · > x n > ξ , и покажем, что x n > x n+1 > ξ ∀ n = 0, 1, 2, . . . . В самом деле, по формуле Лагранжа (теорема 4.7 ) x n − x n+1 = f (x n ) f 0 (x n ) = f (x n ) − f ( ξ ) f 0 (x n ) = f 0 (c)(x n − ξ ) f 0 (x n ) , где ξ < c < x n 45 Так как f 00 = (f 0 ) 0 > 0, то f 0 возрастает на [ a, b ] и 0 < f 0 (c) f 0 (x n ) < 1. Поэтому 0 < x n − x n+1 < x n − ξ . Отсюда x n > x n+1 > ξ Итак, b = x 0 > x 1 > · · · > x n > · · · > ξ . Убывающая и ограниченная снизу последовательность {x n } имеет предел θ . Переходя к пределу в ра- венстве x n+1 = x n − f (x n ) f 0 (x n ) , получим θ = θ − f ( θ ) f 0 ( θ ) ⇒ f ( θ ) f 0 ( θ ) = 0, т. е. θ есть корень уравнения f (x) = 0, и поэтому θ = ξ Для оценки близости x n к ξ используется следующее предложение. Предложение 5.1. Пусть m 1 = inf x∈[ a,b ] |f (x)|, M 1 = sup x∈[ a,b ] |f (x)|, M 2 = sup x∈[ a,b ] |f 00 (x)|. В условиях теоремы 5.7 верны оценки: 1) |x n − ξ | ≤ |f (x n )| m 1 ; 2) |x n+1 − ξ | ≤ M 2 2m 1 |x n − ξ | 2 ; 3) |x n − ξ | ≤ M 1 m 1 |x n+1 − x n |. Доказательство. 1. По формуле Лагранжа f (x n ) = f (x n ) − f ( ξ ) = = f 0 (c)(x n − ξ ), где c ∈ ( ξ , x n ). Отсюда |x n − ξ | = |f (x n )| |f 0 (c)| ≤ |f (x n )| m 1 2. По формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа име- ем: 0 = f ( ξ ) = f (x n ) + f 0 (x n )(x n − ξ ) + f 00 (c) 2 (x n − ξ ) 2 , где c лежит между ξ и x n . Разделив обе части на f 0 (x n ), получим 0 = f (x n ) f 0 ((x n ) − x n + ξ + f 00 (c) 2f 0 (x n ) (x n − ξ ) 2 ⇔ x n − ξ = f 00 (c) 2f 0 (x n ) (x n − ξ ) 2 Отсюда |x n+1 − ξ | = |f 00 (c)| 2|f 0 (x n )| |x n − ξ | 2 ≤ M 2 2m 1 |x n − ξ | 2 3. По формуле Лагранжа x n+1 − x n = − f (x n ) f 0 (x n ) = f ( ξ ) − f (x n ) f 0 (x n ) = = f 0 (c)( ξ − x n ) f 0 (x n ) , где c лежит между ξ и x n . Отсюда имеем: |x n − ξ | = |f 0 (x n )||x n+1 − x n | |f 0 (c)| ≤ M 1 m 1 |x n+1 − x n |. 46 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 6.1. Определение. Существование и единственность Определение 6.1. Если на отрезке [a, b], где a < b, задана система точек x 0 , x 1 , ..., x n , такая, что a = x 0 < x 1 < ... < x n−1 < x n = b, то го- ворят, что задано разбиение отрезка [a, b] на промежутки [x k , x k+1 ], k = = 0, 1, ..., n − 1. Разбиение обозначается буквой Π. Если, кроме того, в каждом промежутке [x k , x k+1 ] выбрана точка ξ k ∈ [x k , x k+1 ], k = 0, 1, ..., ..., n − 1, то говорят, что задано разбиение с отмеченными точками. Разбиение с отмеченными точками обозначается Π ξ . Обозначим ∆x k = = x k+1 − x k . Число d(Π) = max k=0,1,...,n−1 ∆x k называется рангом разбиения Π. Определение 6.2. Пусть f : [a, b] → R – ограниченная функция. Число S Π ξ (f ) = n−1 P k=0 f ( ξ k )∆x k называется интегральной суммой функции f , соответствующей разбиению с отмеченными точками Π ξ Определение 6.3. Число J называется определенным интегралом от ограниченной функции f по отрезку [a, b], если для любого ε > 0 суще- ствует δ > 0, такое, что для любого разбиения Π с d(Π) < δ справедливо неравенство |S Π ξ (f ) − J | < ε Определенный интеграл обозначается символом J = b R a f (x) dx. Числа a и b называются, соответственно, нижним и верхним пределами ин- тегрирования, f называется подынтегральной функцией. Если определен- ный интеграл b R a f (x) dx существует, то функция f называется интегри- руемой на [a, b]. Определение 6.4. Функция f : X → R называется кусочно-непре- рывной на множестве X, если она имеет только конечное число точек разрыва, принадлежащих X, и эти точки являются либо точками устра- нимого разрыва, либо точками разрыва 1-го рода. Приведем без доказательства следующую важную теорему. Теорема 6.1 (существования). Если функция f кусочно-непрерыв- на на [ a, b ], то она интегрируема на [ a, b ]. Доказательство теоремы можно найти в [ 6 ] (т. 9.1, 9.2). Теорема 6.2 (единственности). Если два числа J 1 и J 2 удовлетво- ряют определению 6.3 , то J 1 = J 2 47 Доказательство. Допустим противное, пусть J 1 6= J 2 . Возьмем ε = = |J 1 − J 2 | 2 > 0. По условию ∃ δ 1 > 0, такое, что ∀ Π с d(Π) < δ 1 выполнено |S Π ξ (f ) − J 1 | < ε . Также по условию ∃ δ 2 > 0, такое, что ∀ Π с d(Π) < δ 2 выполнено |S Π ξ (f ) − J 2 | < ε . Положим δ = min{ δ 1 , δ 2 }, тогда ∀ Π с d(Π) < < δ выполнено |J 1 − J 2 | = |J 1 − S Πξ (f ) + S Πξ (f ) − J 2 | ≤ ≤ |S Πξ (f ) − J 1 | + |S Πξ (f ) − J 2 | < ε + ε = |J 1 − J 2 |. Итак, |J 1 − J 2 | < |J 1 − J 2 |. Получили противоречие. Следовательно J 1 = J 2 Предложение 6.1. b R a dx = b − a. Доказательство. ∀ Π S Π ξ (1) = n−1 P k=0 ∆x k = b − a. Следовательно, ∀ ε > > 0 и ∀ Π |S Π ξ (1) − (b − a)| = 0 < ε 6.2. Свойства определенного интеграла Теорема 6.3 (линейность интеграла). Пусть функции f и g ин- тегрируемы на [ a, b ], числа α , β ∈ R. Тогда функция α f + β g интегриру- ема на [ a, b ] и b Z a ( α f + β g) (x) dx = α b Z a f (x) dx + β b Z a g(x) dx. Доказательство. Пусть α 6= 0, β 6= 0 (иначе еще проще). Обозначим J 1 = b R a f (x) dx, J 2 = b R a g(x) dx. Для любого разбиения Π ξ выполнено S Π ξ ( α f + β g) = n−1 P k=0 ( α f ( ξ k ) + β g( ξ k )) ∆x k = = α n−1 P k=0 f ( ξ k )∆x k + β n−1 P k=0 g( ξ k )∆x k = α S Π ξ (f ) + β S Π ξ (g). Возьмем ε > 0. Для ε 2| α | > 0 ∃ δ 1 > 0, такое, что ∀ Π c d(Π) < δ 1 выполнено |S Π ξ (f ) − J 1 | < ε 2| α | . Для ε 2| β | > 0 ∃ δ 2 > 0, такое, что ∀ Π c d(Π) < δ 2 48 выполнено |S Π ξ (g)−J 2 | < ε 2| β | . Возьмем δ = min{ δ 1 , δ 2 }.Тогда ∀ Π c d(Π) < < δ выполнено S Π ξ ( α f + β g) − ( α J 1 + β J 2 ) = α (S Π ξ (f ) − J 1 ) + β (S Π ξ (g) − J 2 ) ≤ ≤ | α | S Π ξ (f ) − J 1 + | β | S Π ξ (g) − J 2 < | α | ε 2| α | + | β | ε 2| β | = ε Значит, функция α f + β g интегрируема на [a, b] и b Z a ( α f + β g)(x) dx = α J 1 + β J 2 = α b Z a f (x) dx + β b Z a g(x) dx. Теорема 6.4 (аддитивность интеграла по промежутку). Пусть c ∈ (a, b). Функция f интегрируема на [ a, b ] тогда и только тогда, когда f интегрируема на [ a, c ] и [ c, b ] , при этом b Z a f (x) dx = c Z a f (x) dx + b Z c f (x) dx. Без доказательства. Доказательство теоремы можно найти в [ 6 ] (см. свойство д), с. 349). Теорема 6.5 (об интегрировании неравенств). Пусть функции f и g интегрируемы на [ a, b ] и ∀ x ∈ [ a, b ] выполнено f (x) ≤ g(x). Тогда b Z a f (x) dx ≤ b Z a g(x) dx. Доказательство. Обозначим J 1 = b R a f (x) dx, J 2 = b R a g(x) dx и допус- тим, что J 1 > J 2 . Возьмем ε = J 1 − J 2 2 > 0. По условию ∃ δ 1 > 0, такое, что ∀ Π c d(Π) < δ 1 выполнено S Π ξ (f ) − J 1 < ε ⇒ S Π ξ (f ) > J 1 − ε = J 1 + J 2 2 , и ∃ δ 2 > 0, такое, что ∀ Π c d(Π) < δ 2 выполнено S Π ξ (g) − J 2 < ε ⇒ S Π ξ (g) < J 2 + ε = J 1 + J 2 2 49 Возьмем δ = min{ δ 1 , δ 2 }, тогда ∀ Π c d(Π) < δ выполнено S Π ξ (g) < J 1 + J 2 2 < S Π ξ (f ) ⇒ S Π ξ (g) < S Π ξ (f ). С другой стороны, по условию для любого разбиения Π ξ S Π ξ (f ) = n−1 X k=0 f ( ξ k )∆x k ≤ n−1 X k=0 g( ξ k )∆x k = S Π ξ (g). Итак, ∀ Π c d(Π) < δ одновременно S Π ξ (f ) > S Π ξ (g), S Π ξ (f ) ≤ S Π ξ (g), что невозможно. Следовательно, J 1 ≤ J 2 Следствие 6.1. Пусть f интегрируема на [a, b]; m, M ∈ R. Тогда: 1) если f (x) ≥ m ∀ x ∈ [ a, b ], то b R a f (x) dx ≥ m(b − a), в частности, если f (x) ≥ 0 ∀ x ∈ [ a, b ], то b R a f (x) dx ≥ 0; 2) если f (x) ≤ M ∀ x ∈ [ a, b ], то b R a f (x) dx ≤ M (b−a), в частности, если f (x) ≤ 0 ∀ x ∈ [ a, b ], то b R a f (x) dx ≤ 0; 3) если m ≤ f (x) ≤ M ∀ x ∈ [a, b], то m(b − a) ≤ b Z a f (x) dx ≤ M (b − a). Доказательство. 1) По теоремам 6.5 , 6.3 и предложению 6.1 имеем b Z a f (x) dx ≥ b Z a m dx = m b Z a dx = m(b − a); 2) аналогично; 3) следует из 1) и 2). Следствие 6.2. Если функции f и |f | интегрируемы на [ a, b ] , то b Z a f (x) dx ≤ b Z a f (x) dx. 50 Доказательство. Как известно, ∀ x ∈ [ a, b ] справедливо неравенство −|f (x)| ≤ f (x) ≤ |f (x)|. Тогда по теоремам 6.5 и 6.3 − b Z a |f (x)| dx ≤ b Z a f (x) dx ≤ b Z a |f (x)| dx, и так как по следствию 6.1 b R a |f (x)| dx ≥ 0, то b Z a f (x) dx ≤ b Z a f (x) dx. Теорема 6.6 (о cреднем для интеграла ). Если функция f непре- рывна на [ a, b ], то ∃ c ∈ [ a, b ], такое, что b R a f (x) dx = f (c)(b − a). Доказательство. По теореме Вейерштрасса 3.4 функция f ограни- чена на [ a, b ], следовательно, ∀ x ∈ [ a, b ] m ≤ f (x) ≤ M , где m – наименьшее значение функции f , а M – наибольшее значение f . По след- ствию 6.1 m(b − a) ≤ b Z a f (x) dx ≤ M (b − a) и, следовательно, m ≤ 1 b − a b R a f (x) dx ≤ M. По теоремам 3.6 и 3.4 ∃ c ∈ ∈ [ a, b ], такое, что f (c) = 1 b − a b R a f (x) dx и b R a f (x) dx = f (c)(b − a). Определение 6.5. Пусть f интегрируема на [ a, b ]. По определению полагаем a R b f (x) dx = − b R a f (x) dx, a R a f (x) dx = 0. Замечание 6.1. Для интегралов от b до a остаются справедливыми предложение 6.1 и теоремы 6.3, 6.6. Из теоремы 6.4 следует, что при любом взаимном расположении точек α , β , γ ∈ [ a, b ] справедлива формула β Z α f (x) dx = γ Z α f (x) dx + β Z γ f (x) dx. 51 Пусть, например, α < β < γ , тогда по теореме 6.4 и определению 6.5 имеем γ Z α f (x) dx = β Z α f (x) dx + γ Z β f (x) dx = β Z α f (x) dx − β Z γ f (x) dx и, следовательно, β R α f (x) dx = γ R α f (x) dx + β R γ f (x) dx. ⊗ 6.3. Интеграл с переменным верхним пределом. Первообразная Определение 6.6. Пусть функция f кусочно-непрерывна на [ a, b ]. Функция F : [ a, b ] → R, F (x) = x R a f (t) dt называется интегралом с пере- менным верхним пределом. Теорема 6.7. Функция F непрерывна на [ a, b ]. Доказательство. Пусть x 0 ∈ [ a, b ], тогда по определению 6.5 и заме- чанию 6.1 F (x) − F (x 0 ) = x Z a f (t) dt − x 0 Z a f (t) dt = x Z a f (t) dt + a Z x 0 f (t) dt = x Z x 0 f (t) dt. Пусть M = sup x∈[a,b] |f (x)|, тогда по следствиям 6.1 и 6.2 при x > x 0 F (x) − F (x 0 ) = x Z x 0 f (t) dt ≤ x Z x 0 |f (t)| dt ≤ M (x − x 0 ), а при x < x 0 F (x) − F (x 0 ) = x Z x 0 f (t) dt = − x 0 Z x f (t) dt ≤ x 0 Z x |f (t)| dt ≤ M (x 0 − x). Следовательно, ∀ x 6= x 0 верно 0 ≤ F (x) − F (x 0 ) ≤ M |x − x 0 |. По теореме о пределе сжатой функции 2.8 lim x→x 0 F (x) − F (x 0 ) = 0, т. е. lim x→x 0 F (x) = = F (x 0 ) и F непрерывна в точке x 0 52 Теорема 6.8 (Барроу). Пусть x 0 – точка непрерывности функции f , тогда F 0 (x 0 ) = f (x 0 ), т. е. x Z a f (t) dt 0 (x 0 ) = f (x 0 ). Доказательство. Так как f кусочно-непрерывна и x 0 – точка непре- рывности функции f , то можно выбрать ε > 0 так, что на интервале (x 0 − − ε , x 0 + ε ) функция f будет непрерывна. Возьмем произвольное x ∈ (x 0 − − ε , x 0 + ε ) . По теореме 6.6 F (x) − F (x 0 ) = x Z x 0 f (t)dt = f (c)(x − x 0 ), где c лежит между x 0 и x. По теореме 2.8 о пределе сжатой функции c → x 0 при x → x 0 и, следовательно, lim x→x 0 F (x) − F (x 0 ) x − x 0 = lim x→x |