Мат (1). Учебное пособие СанктПетербург Издательство спбгэту лэти 2013
 Скачать 0.66 Mb.
|
|
∆ = h Z 0 (f (x) − y) dx ≤ h Z 0 M 2 2 |x(x − h)| dx = M 2 2 h Z 0 x(h − x) dx = M 2 h 3 12 Рассмотрим теперь промежуток [a, b], разобьем его на n частей h = b − a n и применим на каждом промежутке [x k , x k+1 ] полученную ранее оценку: S n тр − J ≤ n−1 X k=0 M 2 12 (b − a) 3 n 3 = M 2 (b − a) 3 12n 3 n−1 X k=0 1 = M 2 (b − a) 3 12n 2 7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 7.1. Несобственный интеграл по бесконечному промежутку Определение 7.1. Пусть функция f кусочно-непрерывна на [ a, +∞). Если существует конечный lim A→+∞ A R a f (x) dx, то он называется несобст- венным интегралом от функции f по [ a, +∞) и обозначается +∞ Z a f (x) dx = lim A→+∞ A Z a f (x) dx. При этом говорят, что несобственный интеграл сходится, а функция f интегрируема на [ a, +∞). Если lim A→+∞ A R a f (x) dx не существует или беско- нечен, то говорят, что несобственный интеграл расходится. 62 Пусть функция f кусочно-непрерывна на (−∞, a ]. Если существует конечный lim B→−∞ a R B f (x) dx, то он называется несобственным интегралом от функции f по (−∞, a ] и обозначается a Z −∞ f (x) dx = lim B→−∞ a Z B f (x) dx. При этом говорят, что несобственный интеграл сходится, а функция f интегрируема на (−∞, a ]. Если lim B→−∞ a R B f (x) dx не существует или беско- нечен, то говорят, что несобственный интеграл расходится. Пример 7.1. +∞ R 1 dx x λ сходится при λ > 1 и расходится при λ ≤ 1. Действительно, при λ 6= 1 A R 1 dx x λ = x 1−λ 1 − λ A 1 = A 1−λ − 1 1 − λ . Следователь- но: 1. Если λ > 1, то lim A→+∞ A 1−λ = 0 ⇒ lim A→+∞ A Z 1 dx x λ = 1 λ − 1 и, значит, +∞ R 1 dx x λ сходится. 2. Если λ < 1, то lim A→+∞ A 1−λ = +∞ ⇒ lim A→+∞ A Z 1 dx x λ = +∞ и +∞ R 1 dx x λ расходится. 3. Если λ = 1, имеем lim A→+∞ A Z 1 dx x = lim A→+∞ ln |x| A 1 = lim A→+∞ ln A = +∞, значит, +∞ R 1 dx x расходится. • 63 Теорема 7.1. Пусть функции f и g интегрируемы на [ a, +∞) и α , β ∈ R, тогда функция α f + β g интегрируема на [ a, +∞) и справед- ливо равенство +∞ Z a ( α f + β g) (x) dx = α +∞ Z a f (x) dx + β +∞ Z a g(x) dx. Доказательство следует из определения 7.1 и линейности определен- ного интеграла и предела. Теорема 7.2. Пусть b > a, тогда несобственные интегралы +∞ R a f (x) dx и +∞ R b f (x) dx сходятся или расходятся одновременно. Если они сходятся, то справедливо равенство +∞ Z a f (x) dx = b Z a f (x) dx + +∞ Z b f (x) dx. Доказательство следует из аддитивности определенного интеграла по промежутку. Теорема 7.3. 1. Если F – первообразная к функции f на [ a, +∞), то остается справедливой формула Ньютона–Лейбница в виде +∞ Z a f (x) dx = F (x) +∞ a = lim x→+∞ F (x) − F (a). 2. Пусть функции u и v – непрерывно дифференцируемы на [ a, +∞). Если сходятся несобственные интегралы +∞ R a u(x)v 0 (x) dx и +∞ R a u 0 (x)v(x) dx, то справедлива формула интегрирования по частям +∞ Z a u(x)v 0 (x) dx = lim x→+∞ (u(x)v(x)) − u(a)v(a) − +∞ Z a u 0 (x)v(x) dx. Доказательство следует из формулы Ньютона–Лейбница и формулы интегрирования по частям для определенного интеграла. Определение 7.2. Если сходится несобственный интеграл +∞ R a |f (x)| dx, то говорят, что несобственный интеграл +∞ R a f (x) dx схо- дится абсолютно. Функция f называется абсолютно интегрируемой на [ a, +∞). 64 Можно показать, что если несобственный интеграл сходится абсолют- но, то он и просто сходится, а обратное утверждение неверно. Определение 7.3. Пусть функция f кусочно-непрерывна на R. Если ∀ a ∈ R несобственные интегралы a R −∞ f (x) dx и +∞ R a f (x) dx сходятся, то говорят, что сходится несобственный интеграл +∞ R −∞ f (x) dx, и полагают по определению +∞ Z −∞ f (x) dx = a Z −∞ f (x) dx + +∞ Z a f (x) dx. При этом функция f называется интегрируемой на R. Если же существует a ∈ R, такое, что хотя бы один из несобствен- ных интегралов a R −∞ f (x) dx или +∞ R a f (x) dx расходится, то говорят, что несобственный интеграл +∞ R −∞ f (x) dx расходится. Замечание 7.1. Теоремы 7.1 , 7.3 и определение 7.2 остаются справед- ливыми при соответствующих изменениях формулировок и для несобствен- ных интегралов a R −∞ f (x) dx, +∞ R −∞ f (x) dx, а теорема 7.2 справедлива и для несобственного интеграла a R −∞ f (x) dx. ⊗ Определение 7.4. Пусть f кусочно-непрерывна на R. Если сущест- вует конечный lim A→+∞ A R −A f (x) dx, то он называется главным значением несобственного интеграла +∞ R −∞ f (x) dx и обозначается v.p. +∞ R −∞ f (x) dx. Замечание 7.2. Из определений 7.3 и 7.4 следует, что если сходится несобственный интеграл +∞ R −∞ f (x) dx, то существует и главное значение этого несобственного интеграла, причем v.p. +∞ R −∞ f (x) dx = +∞ R −∞ f (x) dx. Обратное неверно. 65 Например, для функции f : R → R f (x) = 1/x, x ∈ (−∞, −1], x, x ∈ (−1, 1), 1/x, x ∈ [1, +∞) v.p. +∞ R −∞ f (x) dx = lim A→+∞ −1 Z −A 1 x dx + 1 Z −1 x dx + A Z 1 1 x dx = = lim A→+∞ ln | − 1| − ln | − A| + 1 2 − 1 2 + ln |A| − ln |1| = 0 и главное значение существует. С другой стороны, несобственный интеграл +∞ R 1 f (x) dx = +∞ R 1 dx x расходится (пример 7.1) и, следовательно, расходится +∞ R −∞ f (x) dx. ⊗ 7.2. Несобственный интеграл по конечному промежутку Определение 7.5. Пусть функция f кусочно-непрерывна на [ a, b). Если существует конечный lim β →b−0 β R a f (x) dx, то он называется несобст- венным интегралом от функции f по [ a, b) и обозначается b Z a f (x) dx = lim β →b−0 β Z a f (x) dx. При этом говорят, что несобственный интеграл сходится, а функция f интегрируема на [ a, b). Если lim β →b−0 β R a f (x) dx не существует или бесконе- чен, то говорят, что несобственный интеграл расходится. Пусть функция f кусочно-непрерывна на (a, b ]. Если существует ко- нечный lim α →a+0 b R α f (x) dx, то он называется несобственным интегралом от функции f на (a, b ] и обозначается b Z a f (x) dx = lim α →a+0 b Z α f (x) dx. При этом говорят, что несобственный интеграл сходится, а функция f 66 интегрируема на (a, b ]. Если lim α →a+0 b R α f (x) dx не существует или бесконе- чен, то говорят, что несобственный интеграл расходится. Пример 7.2. Интегралы b Z a dx (x − a) λ , b Z a dx (b − x) λ сходятся при λ < 1 и расходятся при λ ≥ 1. Покажем это для первого несобственного интеграла: b Z α dx (x − a) λ = (x − a) 1−λ 1 − λ b α , λ 6= 1 ln |x − a| b α , λ = 1 = (b − a) 1−λ − ( α − a) 1−λ 1 − λ , λ 6= 1 ln(b − a) − ln( α − a), λ = 1. Следовательно, lim α →a+0 b Z α dx (x − a) λ = (b − a) 1−λ 1 − λ , λ < 1 +∞, λ ≥ 1 и, значит, b Z a dx (x − a) λ сходится при λ < 1 и расходится при λ ≥ 1. • Теорема 7.4. Пусть функции f и g интегрируемы на [ a, b) и α , β ∈ R, тогда функция α f + β g интегрируема на [ a, b) и справедли- во равенство b Z a ( α f + β g) (x) dx = α b Z a f (x) dx + β b Z a g(x) dx. Теорема 7.5. Пусть a < d < b и функция f кусочно-непрерывна на [a, b), тогда несобственные интегралы b R a f (x) dx и b R d f (x) dx сходятся или расходятся одновременно, и если они сходятся, то b Z a f (x) dx = d Z a f (x) dx + b Z d f (x) dx. Теорема 7.6. 1. Если F – первообразная к функции f на [a, b), то остается справедливой формула Ньютона–Лейбница в виде b Z a f (x) dx = F (x) b a = lim x→b−0 F (x) − F (a). 67 2. Пусть функции u и v непрерывно дифференцируемы на [ a, b). Ес- ли сходятся несобственные интегралы b R a u(x)v 0 (x) dx и b R a u 0 (x)v(x) dx, то справедлива формула интегрирования по частям b Z a u(x)v 0 (x) dx = lim x→b−0 (u(x)v(x)) − u(a)v(a) − b Z a u 0 (x)v(x) dx. 3. Пусть функция f непрерывна на [ a, b) (b может быть +∞), a функция ϕ : [ α , β ) → [ a, b) непрерывно дифференцируема на [ α , β ) ( β может быть +∞), причем ϕ ( α ) = a, lim t→β ϕ (t) = b. Тогда справедлива формула замены переменной b Z a f (x) dx = β Z α f ( ϕ (t)) ϕ 0 (t) dt. Доказательства этих теорем повторяют доказательства аналогичных теорем из 7.1. Замечание 7.3. Теоремы 7.4 , 7.5 и 7.6 остаются справедливыми при соответствующих переформулировках и для несобственных интегралов по (a, b]. ⊗ Определение 7.6. Пусть функция f кусочно-непрерывна на (a, b). Если при всех c ∈ (a, b) несобственные интегралы c R a f (x) dx и b R c f (x) dx сходятся, то говорят, что сходится несобственный интеграл b R a f (x) dx, и полагают b Z a f (x) dx = c Z a f (x) dx + b Z c f (x) dx. При этом функция f называется интегрируемой на (a, b). Если же су- ществует c ∈ (a, b), такое, что хотя бы один из интегралов c R a f (x) dx и b R c f (x) dx расходится, то говорят, что несобственный интеграл b R a f (x) dx расходится. Определение 7.7. Пусть функция f кусочно-непрерывна на [a, b]\ \{c}, где c ∈ (a, b). Если сходятся несобственные интегралы c R a f (x) dx и 68 b R c f (x) dx, то говорят, что сходится несобственный интеграл b R a f (x) dx, и полагают b Z a f (x) dx = c Z a f (x) dx + b Z c f (x) dx. При этом функция f называется интегрируемой на [a, b] \ {c}. Если же хотя бы один из несобственных интегралов c R a f (x) dx и b R c f (x) dx расхо- дится, то говорят, что несобственный интеграл b R a f (x) dx расходится. Если существует конечный lim ε →0+0 c−ε R a f (x) dx+ b R c+ε f (x) dx , то он на- зывается главным значением несобственного интеграла b R a f (x) dx и обозначается v.p. b R a f (x) dx. Как и в случае несобственного интеграла по бесконечному промежут- ку, из сходимости несобственного интеграла b R a f (x) dx следует существова- ние главного значения, а обратное неверно. 7.3. Признаки сходимости несобственных интегралов Сходимость или расходимость несобственного интеграла от неотри- цательной функции можно установить, сравнивая его с каким-нибудь дру- гим несобственным интегралом от неотрицательной функции, о сходимости которого все известно. Теорема 7.7 (признак сравнения). Пусть функции f и g кусочно- непрерывны на [ a, +∞) и пусть ∀ x ∈ [ a, +∞) 0 ≤ f (x) ≤ g(x), тогда: 1) если сходится +∞ R a g(x) dx, то сходится +∞ R a f (x) dx; 2) если расходится +∞ R a f (x) dx, то расходится +∞ R a g(x) dx. Доказательство. Функции F (A) = A R a f (x) dx и G(A) = A R a g(x) dx не убывают. Если сходится +∞ R a g(x) dx, то из неравенства A R a f (x)dx ≤ 69 ≤ A R a g(x) dx (теорема 6.5 ) и теоремы 2.13 о пределе монотонной функ- ции следует существование предела lim A→+∞ F (A), что по определению 7.1 означает сходимость интеграла +∞ R a f (x) dx. Если интеграл +∞ R a f (x) dx расходится, то, предположив сходимость интеграла +∞ R a g(x) dx, придем к противоречию с доказанным ранее. Теорема 7.8 (предельный признак сравнения). Пусть функции f и g кусочно-непрерывны на [ a, +∞) и пусть ∀x ∈ [ a, +∞) справедливы неравенства f (x) > 0, g(x) > 0. Если существует конечный lim x→+∞ f (x) g(x) 6= 6= 0, то +∞ R a f (x) dx сходится тогда и только тогда, когда сходится +∞ R a g(x) dx (интегралы сходятся или расходятся одновременно). Доказательство. Обозначим k = lim x→+∞ f (x) g(x) . Ясно, что k > 0. Возь- мем ε > 0 таким, чтобы k − ε > 0. По определению предела ∃ b ∈ [ a, +∞), такое, что ∀x > b выполняется неравенство k − ε < f (x) g(x) < k + ε , откуда (k − ε )g(x) < f (x) < (k + ε )g(x). Пусть сходится +∞ R a f (x) dx, тогда по теореме 7.2 сходится и +∞ R b f (x) dx. Из полученного выше неравенства, по теореме 7.7 , следует сходимость +∞ R b (k − ε )g(x) dx. Далее, по теореме 7.1 сходится +∞ R b g(x) dx, а по теореме 7.2 – +∞ R a g(x) dx. Обратно, пусть сходится +∞ R a g(x) dx, тогда по теореме 7.2 сходится +∞ R b g(x) dx, а по теореме 7.1 – +∞ R b (k + ε )g(x) dx. Отсюда по теореме 7.7 сходится +∞ R b f (x) dx, а по теореме 7.2 – +∞ R a f (x) dx. 70 Замечание 7.4. Теоремы 7.7 и 7.8 с соответствующими переформу- лировками справедливы и для несобственного интеграла a R −∞ f (x) dx, а тео- рема 7.7 – и для несобственного интеграла +∞ R −∞ f (x) dx. ⊗ Для несобственных интегралов на конечном промежутке справедливы аналогичные теоремы, которые доказываются так же, как теоремы 7.7 , 7.8 . Теорема 7.9 (признак сравнения). Пусть функции f и g кусочно- непрерывны на [ a, b) и ∀ x ∈ [ a, b) справедливо неравенство 0 ≤ f (x) ≤ ≤ g(x), тогда: 1) если сходится b R a g(x) dx, то сходится b R a f (x) dx; 2) если расходится b R a f (x) dx, то расходится b R a g(x) dx. Теорема 7.10 (предельный признак сравнения). Пусть функ- ции f и g кусочно-непрерывны на [ a, b) и пусть ∀ x ∈ [ a, b) справедливы неравенства f (x) > 0, g(x) > 0. Если существует конечный lim x→b−0 f (x) g(x) 6= 6= 0, то b R a f (x) dx сходится тогда и только тогда, когда сходится b R a g(x) dx (интегралы сходятся или расходятся одновременно). Замечание 7.5. Теоремы 7.9 и 7.10 с соответствующими переформу- лировками справедливы для несобственного интеграла по (a, b ] и [ a, b ]\ \{c}, а теорема 7.9 – и для несобственного интеграла по (a, b). ⊗ 7.4. Функции erf(x), Si(x), Ci(x) В математике и приложениях часто используются функции, заданные с помощью интегралов с переменным верхним или нижним пределом. Рас- смотрим некоторые из них, исследуем их поведение и построим графики. 1. Интеграл вероятностей erf : R → R определяется формулой erf(x) = 2 √ π x Z 0 e −t 2 dt. Из теоремы 6.7 следует, что функция erf непрерывна всюду. В силу определения 6.5 x = 0 есть корень функции erf. Функция erf нечетная: 71 действительно, если сделать замену t = −s, то получим erf(−x) = 2 √ π −x Z 0 e −t 2 dt = − 2 √ π x Z 0 e −s 2 ds = −erf(x). По теореме 6.8 erf 0 (x) = 2 √ π e −x 2 > 0, следовательно, функция возрастает. Так как erf 00 (x) = − 4 √ π xe −x 2 > 0, то x = 0 – точка перегиба и на (−∞, 0) функция выпукла вниз, а на (0, +∞) – выпукла вверх. Так как e −x 2 ≤ e −x для x ∈ [1, +∞) и +∞ R 0 e −x dx = 1 сходится, то по x 1 −1 −1 1 0 y Рис. 7.1 признаку сравнения (теоре- ма 7.7 ) сходится +∞ R 0 e −x 2 dx и lim x→+∞ erf(x) конечен. Функция erf нечетная, следовательно, lim x→+∞ erf(x) = − lim x→−∞ erf(x). Можно показать, что lim x→±∞ erf(x) = ±1. График функции y = erf(x) изображен на рис. 7.1. Функция erf называется интегралом вероятностей или, иногда, интег- ралом ошибок. Существуют подробные таблицы ее значений [ 9 ]. В теории вероятностей чаще используется функция Φ(x) = 1 √ 2 π x R −∞ e −t 2 /2 dt, ясно, что Φ(−x) = 1 − Φ(x) и Φ(x) = erf(x/ √ 2) + 1 2 2. Интегральный синус Si : R → R определяется формулой Si(x) = x Z 0 sin(t) t dt. Заметим, что функция f (t) под интегралом непрерывна, если доопределить ее и в точке 0 так: f (0) = lim x→0 sin(t) t = 1. Функция Si непрерывна всюду по теореме 6.7 . Точка x = 0 – корень 72 функции в силу определения 6.5 . Если сделать замену t = −s, то получим Si(−x) = −x Z 0 sin(t) t dt = − x Z 0 sin(−s) −s ds = − x Z 0 sin(s) s ds = −Si(x), следовательно, функция Si нечетная. Согласно теореме 6.8 Si 0 (x) = sin(x) x и Si 0 (x) = 0⇔x = π k, k ∈ Z \ {0}. Очевидно, Si 00 (x) = x cos(x) − sin(x) x 2 ⇒Si 00 ( π k) = (−1) k π k , следовательно, в точках π k, где k > 0 и четные, и k < 0 и нечетные, функция Si имеет минимумы; в точках π k, где k > 0 и нечетные, и k < 0 и четные, функция Si имеет максимумы. Точками перегиба функции Si являются корни уравнения tg(x) = x. В примере 8.1 будет доказано, что существует lim x→+∞ Si(x) = +∞ Z 0 sin(t) t dt = π 2 График функции Si изображен на рис. 7.2. x π −π 2π −2π 3π −3π − π 2 π 2 0 y Рис. 7.2 3. Интегральный косинус Ci : (0, +∞) → R определяется формулой Ci(x) = − +∞ Z x cos(t) t dt. Проинтегрировав по частям, получаем +∞ |