Мат (1). Учебное пособие СанктПетербург Издательство спбгэту лэти 2013
 Скачать 0.66 Mb.
|
|
0 f (c) = lim c→x 0 f (c) = f (x 0 ). Значит, ∃ F 0 (x 0 ) = f (x 0 ). Замечание 6.2. Через ha, bi будем обозначать промежуток, когда он может быть и открытым и замкнутым, при этом a может равняться −∞, а b может равняться +∞. Определение 6.7. Пусть функция f кусочно-непрерывна на ha, bi. Всякая непрерывная на ha, bi функция G, такая, что G 0 (x) = f (x) в каж- дой точке непрерывности функции f , называется первообразной к функ- ции f на ha, bi. Теорема 6.9. Если функция f кусочно-непрерывна на [ a, b ], то она имеет на [ a, b ] первообразную. Доказательство. Рассмотрим на [ a, b ] функцию F (x) = x R a f (t) dt. По теоремам 6.7 и 6.8 F – первообразная к f на [ a, b ]. Теорема 6.10. Пусть функции Φ и G – первообразные к непрерыв- ным на ha, bi функциям f и g, α , β – постоянные. Тогда функция α Φ+ β G – первообразная к функции α f + β g на ha, bi. Доказательство. Функция α Φ+ β G непрерывна как линейная комби- нация непрерывных функций, и для любого x ∈ ha, bi выполнено ( α Φ + β G) 0 (x) = α Φ 0 (x) + β G 0 (x) = α f (x) + β g(x) = ( α f + β g) (x). 53 Теорема 6.11. Пусть функция Φ – первообразная к f на ha, bi. Тогда: 1. ∀ C ∈ R функция Φ + C есть первообразная к f на ha, bi. 2. Если G – тоже первообразная к f на ha, bi, то ∃ C ∈ R, такая, что G = Φ + C. Доказательство. 1. Очевидно, что Φ + C непрерывна на ha, bi и в точках непрерывности функции f выполнено равенство (Φ + C) 0 (x) = = Φ 0 (x) + (C) 0 = f (x) + 0 = f (x). Следовательно, Φ + C – первообразная к f на ha, bi. 2. Функция G − Φ непрерывна на ha, bi как разность непрерывных функций. В каждой точке непрерывности функции f выполнено (G− −Φ) 0 (x) = G 0 (x) − Φ 0 (x) = f (x) − f (x) = 0. Следовательно, точки разрыва функции f разбивают ha, bi на интервалы, на каждом из которых G − Φ постоянна, и так как G − Φ непрерывна на ha, bi, то она постоянна на всем промежутке ha, bi, т. е. ∃ C ∈ R, такое, что G − Φ = C или G = Φ + C на ha, bi. Замечание 6.3. Множество первообразных функций к f на ha, bi при- нято называть неопределенным интегралом от функции f и обозначать R f (x) dx. Итак, R f (x) dx = G(x) + C, где G – некоторая первообразная к f на ha, bi, C ∈ R (произвольная постоянная). ⊗ 6.4. Формула Ньютона–Лейбница Теорема 6.12 (Ньютона–Лейбница). Пусть G – некоторая пер- вообразная на отрезке [ a, b ] к кусочно-непрерывной функции f , тогда b Z a f (x) dx = G(b) − G(a) (формула Ньютона–Лейбница). Доказательство. Пусть F (x) = x R a f (t) dt. По теореме 6.9 F – перво- образная к f на [ a, b ], и по теореме 6.11 ∃ C ∈ R, такое, что F (x) = G(x)+ + C. По определению 6.5 F (a) = 0. Следовательно, G(a) + C = 0 и C = = −G(a). Значит, b R a f (x) dx = F (b) = G(b) − G(a). Замечание 6.4. Удобно писать G(b) − G(a) = G(x) b a . ⊗ Определение 6.8. Функция f называется непрерывно дифференци- руемой на множестве X, если она дифференцируема в каждой точке X и функция f 0 непрерывна на X. 54 Следствие 6.3 (формула интегрирования по частям). Если функции u и v непрерывно дифференцируемы на [ a, b ], то справедливо равенство b Z a u(x)v 0 (x) dx = u(b)v(b) − u(a)v(a) − b Z a u 0 (x)v(x) dx. Доказательство. Как известно, (uv) 0 (x) = u 0 (x)v(x) + u(x)v 0 (x). Все входящие в это равенство функции непрерывны, а значит, и интегрируемы на [ a, b ]. Функция uv – первообразная к (uv) 0 на [a, b]. Тогда по теоремам 6.12 и 6.3 b R a (uv) 0 (x) dx = b R a u 0 (x)v(x) dx + b R a u(x)v 0 (x) dx, b R a (uv) 0 (x) dx = u(b)v(b) − u(a)v(a). Следовательно, b Z a u(x)v 0 (x) dx = u(x)v(x) b a − b Z a u 0 (x)v(x) dx. Следствие 6.4 (формула замены переменной в интеграле). Пусть f – непрерывная функция на [ a, b ], а функция ϕ : [ α , β ] → [ a, b ] непрерывно дифференцируема и ϕ ( α ) = a, ϕ ( β ) = b (или наоборот, ϕ ( α ) = = b, ϕ ( β ) = a ). Тогда b Z a f (x) dx = β Z α f ( ϕ (t)) ϕ 0 (t)dt ( или b R a f (x) dx = α R β f ( ϕ (t)) ϕ 0 (t) dt). Доказательство. Пусть G – первообразная к f на [ a, b ] и ϕ ( α ) = a, ϕ ( β ) = b. Тогда функция G ◦ ϕ есть первообразная к (f ◦ ϕ ) ϕ 0 на [ α , β ]. По формуле Ньютона–Лейбница (теорема 6.12 ) имеем b Z a f (x) dx = G(b) − G(a) = G ( ϕ ( β )) − G ( ϕ ( α )) = β Z α f ( ϕ (t)) ϕ 0 (t) dt. 55 6.5. Геометрические приложения определенного интеграла I. Площадь криволинейной трапеции. Пусть f – функция, непре- x k ξ k f (ξ k ) x k+1 x b x = b a x = a 0 y y = f (x) Рис. 6.1 рывная на [ a, b ]. Фигуру на плоско- сти, ограниченную графиком функ- ции f и прямыми y = 0, x = a, x = b, называют криволинейной трапецией (рис. 6.1). Будем счи- тать, что ∀ x ∈ [ a, b ] f (x) ≥ 0. Построим разбиение Π отрезка [ a, b ]: a = x 0 < x 1 <. . . = b. Вы- берем в каждом промежутке [x k , x k+1 ] точку ξ k , k = 0, 1, ..., n − 1, т. е. по- строим разбиение с отмеченными точками Π ξ . Рассмотрим прямоуголь- ники с основаниями [x k , x k+1 ] и высотами f ( ξ k ), k = 0, 1, ..., n − 1. Площади этих прямоугольников равны f ( ξ k )∆x k , а сумма их площадей равна n−1 X k=0 f ( ξ k )∆x k По определению площадью криволинейной трапеции указанного типа будем считать такое число S, что ∀ ε > 0 ∃ δ > 0, такое, что ∀ Π c d(Π) < δ справедливо неравенство n−1 X k=0 f ( ξ k )∆x k − S < ε И так как n−1 P k=0 f ( ξ k )∆x k есть интегральная сумма для функции f , то такому же условию удовлетворяет интеграл b R a f (x) dx. Тогда по теореме 6.2 S = b Z a f (x) dx. II. Площадь криволинейного сектора. Рассмотрим фигуру, огра- ниченную кривой, заданной в полярных координатах уравнением r = f ( ϕ ) (функция f непрерывна на [ α , β ]) и лучами ϕ = α , ϕ = β . Такую фигуру называют криволинейным сектором (рис. 6.2). Построим разбиение Π от- резка [ α , β ]: α = ϕ 0 < ϕ 1 < ... < ϕ n−1 < ϕ n = β . Рассмотрим разбиение 56 с отмеченными точками Π ω , т. е. выберем ω k ∈ [ ϕ k , ϕ k+1 ], k = = 0, 1, ..., n−1. Рассмотрим круговые секторы с углами ∆ ϕ k = ϕ k+1 − ϕ k и радиусами f ( ω k .) Площади та- ких секторов равны 1 2 f 2 ( ω k )∆ ϕ k , а сумма их площадей равна n−1 P k=0 1 2 f 2 ( ω k )∆ ϕ k Рис. 6.2 α β f (ω k ) r = f (ϕ) ϕ = ω k ϕ = ϕ k+1 ϕ = ϕ k По определению площадью криволинейного сектора будем считать та- кое число S, что ∀ ε > 0 ∃ δ > 0, такое, что ∀ Π c d(Π) < δ справедливо неравенство n−1 P k=0 1 2 f 2 ( ω k )∆ ϕ k − S < ε Так как n−1 P k=0 1 2 f 2 ( ω k )∆ ϕ k есть интегральная сумма для функции 1 2 f 2 ( ϕ ), то такому же условию удовлетворяет интеграл β R α 1 2 f 2 ( ϕ ) d ϕ . Тогда по теоре- ме 6.2 S = 1 2 β Z α f 2 ( ϕ ) d ϕ III. Длина кривой. Пусть кривая в пространстве R 3 задана в пара- метрической форме x = ϕ (t), y = ψ (t), z = γ (t), t ∈ [ α , β ], причем функции ϕ , ψ , γ непрерывно дифференцируемы на [ α , β ]. Построим разбиение Π отрезка [ α , β ]: α = t 0 < t 1 < ... < t n−1 < t n = β . Рассмотрим разбиение Π τ с отме- ченными точками, т. е. выберем τ k ∈ [ t k , t k+1 ],k = 0, 1, ..., n − 1. Проведем через точку ( ϕ ( τ k ), ψ ( τ k ), γ ( τ k )) касательную к кривой. Параметрическое уравнение касательной x = ϕ ( τ k ) + ϕ 0 ( τ k )(t − τ k ), y = ψ ( τ k ) + ψ 0 ( τ k )(t − τ k ), z = γ ( τ k ) + γ 0 ( τ k )(t − τ k ). Рассмотрим отрезок касательной, соответствующий t ∈ [ t k , t k+1 ]. Координаты концов этого от- резка равны: x(t k ) = ϕ ( τ k ) + ϕ 0 ( τ k )(t k − τ k ), y(t k ) = ψ ( τ k ) + ψ 0 ( τ k )(t k − τ k ), z(t k ) = γ ( τ k ) + γ 0 ( τ k )(t k − τ k ); x(t k+1 ) = ϕ ( τ k ) + ϕ 0 ( τ k )(t k+1 − τ k ), y(t k+1 ) = ψ ( τ k ) + ψ 0 ( τ k )(t k+1 − τ k ), z(t k+1 ) = γ ( τ k ) + γ 0 ( τ k )(t k+1 − τ k ). 57 Тогда длина этого отрезка касательной равна: q (x(t k+1 ) − x(t k )) 2 + (y(t k+1 ) − y(t k )) 2 + (z(t k+1 ) − z(t k )) 2 = = q ( ϕ 0 ( τ k )(t k+1 − t k )) 2 + ( ψ 0 ( τ k )(t k+1 − t k )) 2 + ( γ 0 ( τ k )(t k+1 − t k )) 2 = = q ( ϕ 0 ( τ k )) 2 + ( ψ 0 ( τ k )) 2 + ( γ 0 ( τ k )) 2 ∆t k По определению число L считается длиной кривой, если ∀ ε > 0 ∃ δ > 0, такое, что ∀ Π c d(Π) < δ справедливо неравенство n−1 X k=0 q ( ϕ 0 ( τ k )) 2 + ( ψ 0 ( τ k )) 2 + ( γ 0 ( τ k )) 2 ∆t k − L < ε Так как n−1 P k=0 q ( ϕ 0 ( τ k )) 2 + ( ψ 0 ( τ k )) 2 + ( γ 0 ( τ k )) 2 ∆t k – интегральная сумма для функции q ( ϕ 0 (t)) 2 + ( ψ 0 (t)) 2 + ( γ 0 (t)) 2 , то такому же условию удовлетво- ряет β R α q ( ϕ 0 (t)) 2 + ( ψ 0 (t)) 2 + ( γ 0 (t)) 2 dt. Тогда по теореме 6.2 L = β Z α q ( ϕ 0 (t)) 2 + ( ψ 0 (t)) 2 + ( γ 0 (t)) 2 dt. IV. Объем тела вращения. Пусть криволинейная трапеция, опре- деленная в п. I, вращается вокруг оси абсцисс. Полученное тело назы- вается телом вращения. Построим разбиение Π отрезка [ a, b ]: a = x 0 < < x 1 < ... < x n−1 < x n = b и разбиение Π ξ с отмеченными точками ξ k ∈ ∈ [ x k , x k+1 ], k = 0, 1, ..., n − 1. Рассмотрим прямые круговые цилиндры с высотами [ x k , x k+1 ], в основаниях которых лежат круги с радиусами f ( ξ k ). Объем такого цилиндра равен π f 2 ( ξ k )∆x k По определению объемом тела вращения будем считать такое число V , что ∀ ε > 0 ∃ δ > 0, такое, что ∀ Π c d(Π) < δ справедливо неравенство n−1 X k=0 π f 2 ( ξ k )∆x k − V < ε Так как n−1 P k=0 π f 2 ( ξ k )∆x k – интегральная сумма для функции π f 2 (x), то та- кому же условию удовлетворяет интеграл b R a π f 2 (x) dx. Тогда по теореме 58 6.2 V = π b R a f 2 (x) dx. 6.6. Приближенное вычисление интегралов Если функция f непрерывна на отрезке [ a, b ] и известна ее первообраз- ная F (x), то интеграл от этой функции может быть вычислен по формуле Ньютона–Лейбница b R a f (x) dx = F (b) − F (a), где F 0 (x) = f (x) (см. теорему 6.12 ). Однако во многих случаях первообразная функция не может быть най- дена в виде элементарной функции (например, см. 7.4). Поэтому ставится задача приближенного вычисления интеграла J = b R a f (x) dx с любой за- данной точностью ε > 0. Определение 6.9. Пусть U – некоторое множество интегрируе- мых на [ a, b ] функций. Квадратурной формулой на множестве U назы- вается приближенная формула b R a f (x) dx ≈ n−1 P k=0 c k f ( ξ k ), где числа ξ k на- зываются узлами, а c k – коэффициентами квадратурной формулы. При этом ∀ ε > 0 и любой функции f ∈ U найдется N ∈ N, такое, что для любых n > N выполнено b Z a f (x) dx − n−1 X k=0 c k f ( ξ k ) < ε Сначала построим простейшие квадратурные формулы, исходя из оп- ределения интеграла. Рассмотрим разбиение Π : a = x 0 < x 1 < ... < x n−1 < x n = b отрезка [a, b] равноотстоящими узлами, т. е. ∆x k = x k+1 − x k = b − a n . Ранг раз- биения Π обозначим h = d(Π) = max k=0,1,...,n−1 ∆x k = b − a n . Выберем точки ξ k ∈ [ x k , x k+1 ]. Соответствующая интегральная сумма имеет вид S Π ξ (f ) = n−1 X k=0 f ( ξ k )∆x k = h n−1 X k=0 f ( ξ k ). По определению интеграла ∀ ε > 0 ∃ δ > 0, такое, что как только h < < δ (или, что то же самое, как только n > (b − a)/ δ ), так |S Π ξ (f ) − J | < 59 < ε . Отсюда следует, что при любом способе выбора точек ξ k ∈ [ x k , x k+1 ] формула S Π ξ (f ) = h n−1 X k=0 f ( ξ k ) есть квадратурная формула. Выбирая ξ r следующими тремя способами: 1) ξ k = x k (рис. 6.3); 2) ξ k = x k+1 (рис. 6.4); 3) ξ k = x 0 k = x k + x k+1 2 (рис. 6.5), получим 3 x k x k+1 x 0 y f (x k ) Рис. 6.3 x k x k+1 x 0 y f (x k+1 ) Рис. 6.4 x k x k+1 x 0 y f (x 0 k ) x 0 k Рис. 6.5 квадратурные формулы: 1) S n лев (f ) = h n−1 P k=0 f (x k ) – формула левых прямоугольников; 2) S n пр (f ) = h n−1 P k=0 f (x k+1 ) – формула правых прямоугольников; 3) S n ср (f ) = h n−1 P k=0 f ( x k + x k+1 2 ) – формула средних прямоугольников. Названия эти связаны с тем, что для положительной функции f фор- мулы S n лев (f ), S n пр (f ), S n ср (f ) дают площади ступенчатых фигур (рис. 6.3–6.5). Другой способ получения квадратурной формулы заключается в заме- не интеграла x k+1 R x k f (x) dx на интеграл от линейной функции, задающей уравнение прямой, которая проходит через точки (x k , f (x k )) и (x k+1 , f (x k+1 )): x k+1 Z x k f (x k ) + (f (x k+1 ) − f (x k ))(x − x k ) x k+1 − x k dx = f (x k ) + f (x k+1 ) 2 h = s k тр Суммируя эти интегралы, получим формулу S n тр = h f (x 0 ) + f (x n ) 2 + n−1 X k=1 f (x k ) ! 60 Полученная формула называет- ся формулой трапеций, так как (при f (x) > 0) s k тр = f (x k ) + f (x k+1 ) 2 h есть площадь трапеции, боковую сторону которой образует отрезок, соединяющий точки (x k , f (x k )) и (x k+1 , f (x k+1 )) (рис. 6.6). x k x k+1 x 0 y f (x k ) Рис. 6.6 f (x k+1 ) Полученная формула является квадратурной, поскольку S n тр = 1 2 (S n лев + S n пр ), а формулы S n лев (f ) и S n пр (f ) являются квадратурными и, следовательно, ∀ ε > 0 ∃ δ > 0, такое, что ∀ n > b − a δ ⇒ |S n тр − J| < ε Если подынтегральная функция дважды непрерывно дифференцируе- ма на промежутке [a, b], то справедливо следующее предложение. Предложение 6.2. Пусть J = b R a f (x) dx, M 2 = sup x∈[a,b] |f 00 (x)|. Тогда S n тр − J ≤ M 2 (b − a) 3 12n 2 Доказательство. Сначала оценим ∆-модуль разности между инте- гралом J = h R 0 f (x) dx и S тр = h f (0) + f (h) 2 . Напишем уравнение прямой, проходящей через точки (0, f (0)) и (h, f (h)): y = f (0) + (f (h) − f (0)) x h и рассмотрим дважды дифференцируемую функцию ϕ (x) = f (x) − y − Kx(x − h) = f (x) − f (0) − (f (h) − f (0)) x h − Kx(x − h). Подстановкой легко проверяется, что ϕ (0) = ϕ (h) = 0. Возьмем произволь- ную точку ξ ∈ (0, h) и потребуем, чтобы ϕ ( ξ ) = 0. Это справедливо, если K( ξ ) = h (f ( ξ ) − f (0)) − ξ (f (h) − f (0)) h ξ ( ξ − h) Итак, для 0 < ξ < h ϕ (0) = ϕ ( ξ ) = ϕ (h) = 0. Применяя к функции ϕ (x) теорему Ролля 4.5 на отрезках [0, ξ ] и [ ξ , h], получаем, что существуют точки c 1 ∈ (0, ξ ) и c 2 ∈ ( ξ , h), такие, что ϕ 0 (c 1 ) = ϕ 0 (c 2 ) = 0. Так как 61 ϕ 0 (x) – дифференцируемая функция, то по теореме Ролля 4.5 получим, что ∃ c ∈ (c 1 , c 2 ) ⊂ (0, h), такая, что ϕ 00 (c) = 0. Значит, 0 = ϕ 00 (c) = f 00 (c) − 2K, откуда K = f 00 (c) 2 и, следовательно, ∃ c ∈ (0, h): f ( ξ ) − y = ϕ ( ξ ) + K( ξ ) ξ ( ξ − h) = K( ξ ) ξ ( ξ − h) = f 00 (c) 2 ξ ( ξ − h). Тогда, в силу произвольности ξ , ∀ x ∈ (0, h) |f (x) − y| = |f 00 (c)| 2 |x(x − h)| ≤ M 2 2 |x(x − h)| и |