Мат (1). Учебное пособие СанктПетербург Издательство спбгэту лэти 2013
 Скачать 0.66 Mb.
|
|
Z x cos(t) t dt = lim A→+∞ A Z x cos(t) t dt = 73 = lim A→+∞ sin(t) t A x + A Z x sin(t) t 2 dt = − sin(x) x + +∞ Z x sin(t) t 2 dt. Учитывая оцен- ку | sin(t)| ≤ 1 и сходимость интеграла +∞ Z x 1 t 2 dt при x > 0 видим, что для x > 0 интеграл +∞ Z x cos(t) t dt сходится. Согласно теореме 6.8 Ci 0 (x) = cos(x) x и Ci 0 (x) = 0⇔x = − π 2 + π k, k ∈ N. Очевидно, Ci 00 (x) = − x sin(x) + cos(x) x 2 ⇒Ci 00 (− π 2 + π k) = (−1) k − π 2 + π k , k ∈ N, следовательно, в точках π 2 + 2 π k, где k ≥ 0, функция Ci имеет максимумы; в точках − π 2 + 2 π k, где k > 0, функция Ci имеет минимумы. Точками перегиба функции Ci являются корни уравнения ctg(x) = −x. Можно показать, что lim x→+∞ Ci(x) = 0 и lim x→0+0 Ci(x) = −∞. Более подробную информацию о функциях Si(x) и Ci(x) можно найти в справочнике [ 9 ]. 8. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА В 8 и 9 произвольный промежуток будем обозначать ha, bi (см. заме- чание 6.2). 8.1. Определение. Свойства Рассмотрим функцию f (x, t), зависящую от параметра x ∈ hc, d) f : ha, bi → R (a, b, c, d ∈ R). Пусть ∀ x ∈ hc, di функция f интегрируема на ha, bi по переменной t. Определение 8.1. Функция I : hc, di → R I(x) = b R a f (x, t) dt назы- вается интегралом, зависящим от параметра x. 74 Рассмотрим теперь условия, при которых можно осуществить предель- ный переход по параметру. Теорема 8.1. Пусть x 0 ∈ hc, di и пусть существует интегрируемая на ha, bi функция ϕ , такая, что для любого x ∈ ◦ K ε (x 0 ) ∩ hc, di |f (x, t)| ≤ ≤ ϕ (t). Предположим также, что для любых t ∈ ha, bi lim x→x 0 f (x, t) = g(t). Тогда функция g интегрируема на ha, bi и lim x→x 0 I(x) = b R a g(t) dt. Без доказательства. Доказательство теоремы см. в [ 7 ] (т. 7.2). Следствие 8.1. Пусть x 0 ∈ hc, di) и пусть существует интегри- руемая на ha, bi функция ϕ , такая, что для любых x ∈ ◦ K ε (x 0 ) ∩ hc, di |f (x, t)| ≤ ϕ (t). Предположим также, что для любого t ∈ ha, bi lim x→x 0 f (x, t) = g(t). Тогда функция I непрерывна в точке x 0 , т. е. I(x 0 ) = lim x→x 0 b Z a f (x, t) dt = b Z a f (t, x 0 ) dt. Доказательство следует из теоремы 8.1 , если взять g(t) = f (t, x 0 ). Следствие 8.2. Пусть a, b – конечные числа и ∀ x ∈ hc, di f непре- рывна и ограничена на ha, bi, тогда I непрерывна на hc, di. Вытекает из следствия 8.1 , так как |f (x, t)| ≤ C < +∞ и ϕ (t) = C интегрируема на ha, bi. Приведем условия, при которых интеграл, зависящий от параметра, будет дифференцируемой функцией. Теорема 8.2 (правило Лейбница). Пусть для любого x ∈ hc, di и t ∈ ha, bi существует f 0 x (x, t) и существует интегрируемая на ha, bi функция ϕ , такая, что для любых x ∈ ◦ K ε (x 0 ) ∩ hc, di |f 0 x (x, t)| ≤ ϕ (t). Тогда существует I 0 (x 0 ) = b R a f 0 x (x 0 , t) dt. Доказательство теоремы см. в [ 7 ] (т. 7.4). Пример 8.1. Рассмотрим интеграл I(x) = +∞ R 0 e −xt sin(t) t dt, x > 0. Покажем, что ∀ x 0 > 0 можно осуществить предельный переход под знаком интеграла. 75 Так как x 0 > 0, ∃ ε > 0, такое, что x 0 − ε > 0. Тогда ∀ x ∈ ◦ K ε (x 0 ) e −xt sin(t) t ≤ e −(x 0 −ε)t = ϕ (t). Функция ϕ (t) интегрируема на (0, +∞). Следовательно, по теореме 8.1 можно осуществить предельный пере- ход под знаком интеграла. В частности, если x 0 = +∞ ( ◦ K ε (x 0 ) = ( ε , +∞)), то lim x→+∞ e −xt sin(t) t = 0 и lim x→+∞ I(x) = 0. Рассмотрим теперь вопрос о дифференцируемости интеграла I(x) по параметру x: так как f (x, t) = e −xt sin(t) t , то f 0 x (x, t) = −e −xt sin(t). Если x 0 > 0, то ∀ x ∈ ◦ K ε (x 0 ) |f 0 x (x, t)| ≤ e −xt ≤ e −(x 0 −ε)t = ϕ (t). Функция ϕ (t) интегрируема на (0, +∞). Следовательно, по теореме 8.2 , при x > 0 I 0 (x) = = − +∞ R 0 e −xt sin(t) dt. Применяя 2 раза интегрирование по частям, получаем I 0 (x) = −1 + x 2 +∞ Z 0 e −xt sin(t) dt = −1 − x 2 I 0 (x). Значит, I 0 (x) = −1 1 + x 2 и I(x) = − arctg(x) + C. Окончательно, учитывая, что lim x→+∞ I(x) = 0, получаем, что C = π 2 и I(x) = π 2 − arctg(x). Посмотрим теперь, можно ли осуществить предельный переход при x → 0. Для этого представим интеграл в виде суммы двух интегралов: I(x) = 1 Z 0 e −xt sin(t) t dt + +∞ Z 1 e −xt sin(t) t dt = I 1 (x) + I 2 (x). Первый интеграл имеет конечные пределы интегрирования, функция f (x, t) при t ∈ (0, 1] и ∀ x ∈ [0, +∞) непрерывна и ограничена (|f (x, t)| ≤ ≤ 1). Тогда по следствию 8.2 lim x→0 I 1 (x) = 1 Z 0 sin(t) t dt. Рассмотрим второй интеграл. Интегрируем по частям (следствие 6.3 ), при этом обозначим v = R e −xt sin(t) dt = −e −xt 1 + x 2 (cos(t) + x sin(t)) и u = 1 t , 76 в результате получим A Z 1 e −xt sin(t) t dt = − e −xt (cos(t) + x sin(t)) t(1 + x 2 ) A 1 − A Z 1 e −xt (cos(t) + x sin(t)) t 2 (1 + x 2 ) dt = = − e −xA (cos(A) + x sin(A)) A(1 + x 2 ) + e −x (cos(1) + x sin(1)) (1 + x 2 ) − − 1 1 + x 2 A Z 1 e −xt cos(t) t 2 dt − x 1 + x 2 A Z 1 e −xt sin(t) t 2 dt. Так как e −xt cos(t) t 2 ≤ 1 t 2 , e −xt sin(t) t 2 ≤ 1 t 2 ∀ x ≥ 0 (1/t 2 – интегриру- ема на [1, +∞), пример 7.1), то по теореме 7.7 ∀ x ≥ 0 интегралы +∞ Z 1 e −xt cos(t) t 2 dt и +∞ Z 1 e −xt sin(t) t 2 dt сходятся абсолютно. Следовательно, +∞ Z 1 e −xt sin(t) t dt = e −x cos(1) (1 + x 2 ) + + e −x x sin(1) (1 + x 2 ) − 1 1 + x 2 +∞ Z 1 e −xt cos(t) t 2 dt− x 1 + x 2 +∞ Z 1 e −xt sin(t) t 2 dt. В силу при- веденных ранее оценок в интегралах +∞ Z 1 e −xt cos(t) t 2 dt и +∞ Z 1 e −xt sin(t) t 2 dt мож- но переходить к пределу под знаком интеграла при x → 0. Следовательно, lim x→0 I 2 (x) = cos 1 − +∞ Z 1 cos(t) t 2 dt = cos 1 + cos(t) t +∞ 1 + + +∞ Z 1 sin(t) t dt = +∞ Z 1 sin(t) t dt. Таким образом, lim x→0 I(x) = 1 Z 0 sin(t) t dt + + +∞ Z 1 sin(t) t dt = +∞ Z 0 sin(t) t dt. 77 С другой стороны, lim x→0 I(x) = lim x→0 π 2 − arctg(x) = π 2 . Итак, получи- ли, что +∞ Z 1 sin(t) t dt = π 2 , т. е. lim x→+∞ Si(x) = π 2 (см. 7.4). • 8.2. Гамма-функция Определение 8.2. Функция Γ : (0, +∞) → R, Γ(x) = +∞ R 0 t x−1 e −t dt называется гамма-функцией. Интеграл, определяющий гамма-функцию, несобственный по беско- нечному промежутку, кроме того, при x < 1 подынтегральная функция терпит разрыв при t = 0. Теорема 8.3. Гамма-функция определена и непрерывна для любых x ∈ (0, +∞). Доказательство. Разобьем интеграл на сумму двух интегралов: Γ(x) = 1 Z 0 t x−1 e −t dt + +∞ Z 1 t x−1 e −t dt = Γ 1 (x) + Γ 2 (x). Рассмотрим сначала Γ 1 . Для любого x 0 > 0 существует ε > 0, такое, что x 0 − ε > 0. Тогда ∀ t ∈ (0, 1] и ∀ x ∈ ◦ K ε (x 0 ) выполнено |t x−1 e −t | ≤ ≤ 1 t 1−x 0 +ε . Функция ϕ (t) = 1 t 1−x 0 +ε интегрируема на (0, 1] (пример 7.2). Следовательно, по теореме 7.9 для любого x 0 > 0 интеграл 1 R 0 t x 0 −1 e −t dt сходится и по следствию 8.1 функция Γ 1 непрерывна ∀ x 0 > 0. Рассмотрим теперь Γ 2 . Из формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа для e t : e t = 1 + t 1! + · · · + t n n! + e c (n + 1)! t n+1 , c ∈ (0, t), следует, что при t ≥ 0, e t ≥ t n n! ∀ n ∈ N. Подберем n так, чтобы n > > x + 1. Тогда, так как t ≥ 1, e t ≥ t x+1 n! и e −t ≤ n! t x+1 . Значит, при t ≥ 1 справедливо неравенство t x−1 e −t ≤ n! t 2 . Функция ϕ (t) = n! t 2 интегрируема на [1, +∞) (пример 7.1). Следовательно, по теореме 7.7 для любого x > 0 интеграл +∞ R 1 t x−1 e −t dt сходится и по следствию 8.1 функция Γ 2 непрерывна 78 ∀ x > 0. Окончательно имеем, что функция Γ определена и непрерывна ∀ x ∈ (0, +∞). Предложение 8.1. Гамма-функция дифференцируема ∀ x ∈ (0, +∞) и Γ 0 (x) = +∞ R 0 t x−1 e −t ln t dt. Доказательство. Так как f (x, t) = t x−1 e −t , то f 0 x (x, t) = t x−1 e −t ln t. Дальнейшие рассуждения аналогичны рассуждениям, проведенным в до- казательстве теоремы 8.3 . Для любого x 0 > 0 существует ε > 0, такое, что x 0 − ε > 0. При t ∈ (0, 1] и x ∈ ◦ K ε (x 0 ) имеем |f 0 x (x, t)| ≤ − ln t t 1−x 0 +ε = ϕ 1 (t). При t ∈ [1, +∞) имеем |f 0 x (x, t)| ≤ n! ln t t 2 = ϕ 2 (t). Для доказательства дифференцируемости функций Γ 1 и Γ 2 надо показать, что функции ϕ 1 и ϕ 2 интегрируемы на соответствующих промежутках. Применяем для этого интегрирование по частям. Тогда: 1 Z 0 ϕ 1 (t) dt = − 1 Z 0 t x 0 −ε−1 ln t dt = − t x 0 −ε ln t x 0 − ε 1 0 + 1 x 0 − ε 1 Z 0 t x 0 −ε−1 dt = = 1 x 0 − ε lim t→0+0 (t x 0 −ε ln t) + t x 0 −ε (x 0 − ε ) 2 1 0 = 0 + 1 (x 0 − ε ) 2 = 1 (x 0 − ε ) 2 (при вычислении предела использовали правило Лопиталя): +∞ Z 1 ϕ 2 (t) dt = +∞ Z 1 ln t t 2 dt = − ln t t +∞ 1 + +∞ Z 1 dt t 2 = = − lim t→+∞ ln t t − 1 t +∞ 1 = 0 + 1 = 1 (опять при вычислении предела использовали правило Лопиталя). Следо- вательно, по теореме 8.2 для любого x > 0 функции Γ 1 и Γ 2 дифференци- руемы и Γ 0 (x) = +∞ R 0 t x−1 e −t ln t dt. Предложение 8.2. Справедливы следующие утверждения: 1) ∀ x ∈ (0, +∞) Γ(x + 1) = xΓ(x); 2) Γ(1) = 1; 3) ∀ n ∈ N Γ(n + 1) = n!; 4) lim x→0+0 Γ(x) = +∞. 79 Доказательство. 1) Применяем интегрирование по частям: Γ(x + 1) = +∞ Z 0 t x e −t dt = −t x e −t +∞ 0 + x +∞ Z 0 t x−1 e −t dt = 0 + xΓ(x) = xΓ(x); 2) Γ(1) = +∞ Z 0 e −t dt = −e −t +∞ 0 = 1; 3) используем 1) и 2), тогда Γ(n + 1) = nΓ(n) = n(n − 1)Γ(n − 1) = · · · = n(n − 1) · · · 2 · 1Γ(1) = n!; 4) используем 1) и непрерывность гамма-функции, тогда lim x→0+0 Γ(x+ +1) = Γ(1) = 1 и, следовательно, lim x→0+0 Γ(x) = lim x→0+0 Γ(x + 1) x = +∞. 9. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В 9 используются комплекснозначные функции вещественной пере- менной. Дадим необходимые определения и приведем (необходимые в даль- нейшем) свойства таких функций. Определение 9.1. Функция f : < a, b >⊂ R → C называется ком- плекснозначной функцией вещественной переменной, если f (x) = ϕ (x)+ +i ψ (x), где ϕ , ψ : < a, b >→ R, а i – мнимая единица. Обычно функция ϕ называется вещественной частью f , а ψ – мнимой частью f . При этом используются обозначения: ϕ = = =m(f ). Дадим определение интеграла от комплекснозначной функции веще- ственной переменной. Определение 9.2. Пусть f : < a, b >⊂ R → C (допускается, что a = −∞, а b = +∞), тогда f = ϕ + i ψ , где ϕ , ψ : < a, b >→ R. Пусть ϕ , ψ интегрируемы на < a, b >. Тогда f интегрируема на < a, b > и, по определению, b Z a f (x) dx = b Z a ϕ (x) + i b Z a ψ (x) dx. Для интеграла от комплекснозначной функции вещественной перемен- ной можно доказать следующее предложение (см. [ 3 ]). 80 Предложение 9.1. 1. Для b R a f (x) dx справедливы формулы Ньютона– Лейбница и интегрирования по частям. 2. Справедливо неравенство b R a f (x) dx ≤ b R a |f (x)| dx. 9.1. Функция-оригинал Определение 9.3. Функцией-оригиналом называется комплексно- значная функция вещественного переменного f : R → C, удовлетво- ряющая условиям: 1) f интегрируема на любом конечном промежутке; 2) для любых t < 0 f (t) = 0; 3) существуют вещественные постоянные M > 0 и σ ≤ 0, такие, что для любых t ∈ R |f (t)| ≤ M e σ t Пример 9.1. Все описанные ниже функции являются функциями- оригиналами. Первые 2 условия определения 9.3 очевидны, а для третьего укажем константы M > 0 и σ ≥ 0: 1) функция Хевисайда δ 1 : R → C δ 1 (t) = ( 1, если t ≥ 0, 0, если t < 0, σ = 0, M = 1; 2) f (t) = t n δ 1 (t) (в качестве σ можно взять любое положительное число, а существование M > 0 следует из ограниченности функции t n e −σt ); 3) f (t) = sin(kt + ω ) δ 1 (t), σ > 0, M = 1; 4) f (t) = e at δ 1 (t), σ = 1) для любого λ ∈ C λf – функция-оригинал; 2) f ± g – функция-оригинал; 3) f g – функция-оригинал; 4) Φ(t) = t R 0 f ( τ ) d τ – функция-оригинал. Доказательство. Выполнение свойств 1, 2 определения 9.3 очевидно. Необходимо проверять выполнение свойства 3. Так как f , g – функции- оригиналы, то существуют M 1 , M 2 > 0; σ 1 , σ 2 ≥ 0, такие, что |f (t)| ≤ ≤ M 1 e σ 1 t и |g(t)| ≤ M 2 e σ 2 t . Тогда: 1) |λf (t)| ≤ |λ|M 1 e σ 1 t , следовательно λf – функция-оригинал; 2) пусть, для определенности, σ 1 ≥ σ 2 , тогда |f (t) ± g(t)| ≤ |f (t)|+ +|g(t)| ≤ M 1 e σ 1 t +M 2 e σ 2 t ≤ (M 1 +M 2 )e σ 1 t . Следовательно, f ±g – функция- оригинал; 81 3) |f (t)g(t)| ≤ |f (t)||g(t)| ≤ M 1 M 2 e (σ 1 +σ 2 )t . Значит, f g – функция-ори- гинал; 4) |Φ(t)| ≤ t R 0 |f ( τ |) d τ ≤ M 1 t R 0 e σ 1 τ d τ = M 1 σ 1 (e σ 1 t − 1) ≤ M 1 σ 1 e σ 1 t , если σ 1 > 0. Если же σ 1 = 0, то |Φ(t)| ≤ M 1 t ≤ M 1 e t . Следовательно, |Φ(t)| – функция-оригинал. 9.2. Преобразование Лапласа Теорема 9.2. Если f – функция-оригинал, то +∞ R 0 f (t)e −st dt сходит- ся абсолютно для всех s ∈ C, удовлетворяющих условию σ (см. свойство 3 определения 9.3 ). Доказательство. Из определения функции-оригинала получаем: |f (t)e −st | = |f (t)||e −st | = |f (t)|e −t −t( −t( σ интегрируема на [0, +∞) и +∞ Z 0 M e −t( M , значит, функция f (t)e −st имеет интегрируемую мажоранту. Следовательно, по теореме об абсолютной интегрируемости интеграл +∞ R 0 f (t)e −st dt сходит- ся абсолютно при σ Определение 9.4. Пусть f – функция-оригинал и задана область D = {s ∈ C | σ } ⊂ C, тогда функция комплексного переменного F : D → C F (s) = +∞ Z 0 f (t)e −st dt называется изображением по Лапласу оригинала f . При этом применяются следующие обозначения: F = L(f ) и f = = L −1 (F ). Соответствие между оригиналами и изображениями называют преобразованием Лапласа. Пример 9.2. Для любых s ∈ C, δ 1 ) = +∞ R 0 e −st dt = 1 s 82 9.3. Теоремы линейности, запаздывания и смещения Пусть f , g – функции-оригиналы. Тогда по определению 9.3 сущест- вуют M 1 , M 2 > 0 и σ 1 , σ 2 ≥ 0, такие, что |f (t)| ≤ M 1 e σ 1 t , |g(t)| ≤ M 2 e σ 2 t Справедливы следующие теоремы. Теорема 9.3. (Линейности.) Для любых c 1 , c 2 ∈ C L(c 1 f + c 2 g) = c 1 L(f ) + c 2 L(g) при σ 1 , σ 2 ). Доказательство, очевидно, следует из свойств линейности интеграла и теоремы 9.1 . Теорема 9.4. (Смещения.) L(f (t)e at ) = L(f )(s − a) при > 1 Доказательство. Из примера 9.1 и теоремы 9.1 f (t)e at – функция- оригинал, 1 . Следовательно, для таких s: L(f (t)e at ) = +∞ Z 0 f (t)e −(s−a)t dt = F (s − a) = L(f )(s − a). Пример 9.3. 1) При δ 1 (t)) = 1 s − a ; 2) при ω t) δ 1 (t)) = L e at e iωt + e −iωt 2 δ 1 (t) = 1 2 L(e (a+iω)t δ 1 (t))+ + 1 2 L(e (a−iω)t δ 1 (t)) = 1 2 1 s − (a + i ω ) + 1 2 1 s − (a − i ω ) = s − a (s − a) 2 + ω 2 , в частности, L(cos( ω t) δ 1 (t)) = |