Мат (1). Учебное пособие СанктПетербург Издательство спбгэту лэти 2013
 Скачать 0.66 Mb.
|
|
ε > 0 ∃ δ 1 > 0 : ∀ y ∈ ◦ K δ 1 (b) ∩ Y g(y) ∈ K ε (c); lim x→a f (x) = b ⇒ ∀ δ 1 > 0 ∃ δ 2 > 0 : ∀ x ∈ ◦ K δ 2 (a) ∩ X f (x) ∈ K δ 1 (b). По условию ∃ δ 3 > 0 : ∀ x ∈ ◦ K δ 3 (a) ∩ X f (x) 6= b. Возьмем δ = = min{ δ 2 , δ 3 }. Тогда ∀ x ∈ ◦ K δ (b) ∩ X ( f (x) ∈ K δ 1 (b) ∩ Y, f (x) 6= b. Значит, f (x) ∈ ∈ ◦ K δ 1 (b) ∩ Y , а потому g(f (x)) ∈ K ε (c). 10 Итак, ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : ∀ x ∈ ◦ K δ (a) ∩ X g(f (x)) ∈ K ε (c). По определе- нию предела lim x→a (g ◦ f )(x) = c. Если c = g(b), то формулировка и доказательство предыдущей теоре- мы упрощаются. Теорема 2.3. Если lim x→a f (x) = b и lim y→b g(x) = g(b), то lim x→a (g ◦ f )(x) = = g(b). Доказательство. Возьмем произвольное ε > 0. Тогда lim y→b g(y) = g(b) ⇒ ∀ ε > 0 ∃ δ 1 > 0 : ∀ y ∈ K δ 1 (b) ∩ Y g(y) ∈ K ε (g(b)); lim x→a f (x) = b ⇒ ∀ δ 1 > 0 ∃ δ > 0 : ∀ x ∈ ◦ K δ (a) ∩ X f (x) ∈ K δ 1 (b). Отсюда следует, что g(f (x)) ∈ K ε (g(b)). Итак, ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : ∀ x ∈ ◦ K δ (a) ∩ X g(f (x)) ∈ K ε (g(b)). По определению предела lim x→a (g ◦ f )(x) = g(b). 2.4. Арифметические свойства пределов Теорема 2.4. Пусть f, g : X → R. Если lim x→a f (x) = b, lim x→a g(x) = c, то 1) lim x→a (λf )(x) = λb ∀ λ ∈ R; 2) lim x→a (f ± g)(x) = b ± c; 3) lim x→a (f g)(x) = bc; 4) если c 6= 0, то lim x→a f g (x) = b c Доказательство. 1. Случай λ = 0 очевиден. Пусть λ 6= 0. Возьмем произвольное ε > 0. Положим ε 1 = ε |λ| . По определению предела lim x→a f (x) = b ⇒ ∀ ε 1 > 0 ∃ δ > 0 : ∀ x ∈ ◦ K δ (a) ∩ X |f (x) − b| < ε 1 Отсюда |λf (x) − λb| < ε Итак, ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : ∀ x ∈ ◦ K δ (a) ∩ X |λf (x) − λb| < ε . По определению предела имеем lim x→a (λf )(x) = λb. 2. Возьмем произвольное ε > 0. Положим ε 1 = ε /2. По определению предела: lim x→a f (x) = b ⇒ ∀ ε 1 > 0 ∃ δ 1 > 0 : ∀ x ∈ ◦ K δ 1 (a) ∩ X |f (x) − b| < ε 1 ; lim x→a g(x) = c ⇒ ∀ ε 1 > 0 ∃ δ 2 > 0 : ∀ x ∈ ◦ K δ 2 (a) ∩ X |g(x) − c| < ε 1 11 Положим δ = min{ δ 1 , δ 2 }. Тогда ∀ x ∈ ◦ K δ (a) ∩ X справедливы оба нера- венства ( |f (x) − b| < ε 1 , |g(x) − c| < ε 1 ; ∀ x ∈ ◦ K δ (a) ∩ X оценим |(f (x) ± g(x) − (b ± c)| = |(f (x) − b) ± (g(x) − c)| ≤ ≤ |f (x) − b| + |g(x) − c| < ε 1 + ε 1 = ε /2 + ε /2 = ε Итак, ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : ∀ x ∈ ◦ K δ (a) ∩ X |(f (x) ± g(x)) − (b ± c)| | < ε По определению предела имеем lim x→a (f ± g)(x) = b ± c. 3. Возьмем произвольное ε > 0. Положим ε 1 = min{ ε , 1} |c| + |b| + 1 . По опреде- лению предела: lim x→a f (x) = b ⇒ ∀ ε 1 > 0 ∃ δ 1 > 0 : ∀ x ∈ ◦ K δ 1 (a) ∩ X |f (x) − b| < ε 1 ; lim x→a g(x) = c ⇒ ∀ ε 1 > 0 ∃ δ 2 > 0 : ∀ x ∈ ◦ K δ 2 (a) ∩ X |g(x) − c| < ε 1 Положим δ = min{ δ 1 , δ 2 }. Тогда ∀ x ∈ ◦ K δ (a) ∩ X справедливы оба нера- венства ( |f (x) − b| < ε 1 , |g(x) − c| < ε 1 ; ∀ x ∈ ◦ K δ (a) ∩ X оценим |(f (x)g(x) − bc| = |c(f (x) − b) + b(g(x) − c) + (f (x) − b)(g(x) − c)| ≤ ≤ |c||f (x) − b| + |b||g(x) − c| + |f (x) − b||g(x) − c| < < |c| ε 1 + |b| ε 1 + ε 2 1 ≤ (|c| + |b| + 1) ε 1 ≤ ε Итак, ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : ∀ x ∈ ◦ K δ (a) ∩ X |f (x)g(x) − bc)| < ε . По определению предела имеем lim x→a (f g)(x) = bc. 4. Возьмем произвольное ε > 0. Положим ε 1 = 0.5|c| 2 ε |c| + |b| и ε 2 = |c| 2 . По определению предела: lim x→a f (x) = b ⇒ ∀ ε 1 > 0 ∃ δ 1 > 0 : ∀ x ∈ ◦ K δ 1 (a) ∩ X |f (x) − b| < ε 1 ; lim x→a g(x) = c ⇒ ∀ ε 1 > 0 ∃ δ 2 > 0 : ∀ x ∈ ◦ K δ 2 (a) ∩ X |g(x) − c| < ε 1 ; lim x→a g(x) = c ⇒ ∀ ε 2 > 0 ∃ δ 3 > 0 : ∀ x ∈ ◦ K δ 3 (a) ∩ X |g(x) − c| < ε 2 Отсюда ∀ x ∈ ◦ K δ 3 (a) ∩ X |g(x)| = |c + (g(x) − c)| ≥ |c| − |g(x) − c| > |c|/2. 12 Положим δ = min{ δ 1 , δ 2 , δ 3 }. Тогда ∀ x ∈ ◦ K δ (a) ∩ X справедливы 3 неравенства |f (x) − b| < ε 1 , |g(x) − c| < ε 1 , |g(x)| > |c|/2; ∀ x ∈ ◦ K δ (a) ∩ X оценим f (x) g(x) − b c = cf (x) − bg(x) g(x)c = c(f (x) − b) − b(g(x) − c) g(x)c ≤ ≤ |c||f (x) − b| + |b||g(x) − c| |g(x)||c| < |c| ε 1 + |b| ε 1 0.5|c| 2 = |c| + |b| 0.5|c| 2 ε 1 = ε Итак, ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : ∀ x ∈ ◦ K δ (a) ∩ X f (x) g(x) − b c < ε . По опреде- лению предела имеем lim x→a f g (x) = b c 2.5. Общие свойства пределов Пусть f, g, h : X → R, a – предельная точка X. Теорема 2.5. Функция, имеющая предел в точке, ограничена в неко- торой ее проколотой окрестности. Точнее, если lim x→a f (x) = b, то для любого ε > 0 существует проколотая окрестность точки a, в которой b − ε < f (x) < b + ε Доказательство. Возьмем произвольное ε > 0. Тогда lim x→a f (x) = b ⇒ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : ∀ x ∈ ◦ K δ (a) ∩ X |f (x) − b| < ε ◦ K δ (a) есть искомая проколотая окрестность, так как |f (x) − b| < ε равно- сильно b − ε < f (x) < b + ε Теорема 2.6 (о стабилизации знака). Если lim x→a f (x) = b > 0, то f (x) > 0 в некоторой проколотой окрестности точки a. Доказательство. По предыдущей теореме для ε = b/2 найдется про- колотая окрестность точки a, в которой f (x) > b − ε = b/2 > 0. Теорема 2.7 (о предельном переходе в неравенстве). Если lim x→a f (x) = b, lim x→a g(x) = c и в некоторой проколотой окрестности точки a справедливо неравенство f (x) ≤ g(x), то b ≤ c. 13 Доказательство. Допустим противное: b > c. Тогда lim x→a (f (x)− −g(x)) = b − c > 0 и по предыдущей теореме в некоторой проколотой окрестности ◦ K δ 1 (a) справедливо неравенство f (x) − g(x) > 0. По условию теоремы в некоторой проколотой окрестности ◦ K δ 2 (a) справедливо неравен- ство f (x) ≤ g(x). Пусть δ = min{ δ 1 , δ 2 }. Тогда в ◦ K δ (a) должны быть спра- ведливы оба неравенства f (x) > g(x) и f (x) ≤ g(x), что невозможно. Теорема 2.8 (о сжатой функции). Если lim x→a f (x) = lim x→a g(x) = b и в некоторой проколотой окрестности точки a справедливы неравенства f (x) ≤ h(x) ≤ g(x), то существует lim x→a h(x) = b. Доказательство. Возьмем произвольное ε > 0. По теореме 2.5 ( ∀ ε > 0 ∃ δ 1 > 0 : ∀ x ∈ ◦ K δ 1 (a) ∩ X ⇒ b − ε < f (x), ∀ ε > 0 ∃ δ 2 > 0 : ∀ x ∈ ◦ K δ 2 (a) ∩ X ⇒ g(x) < b + ε По условию ∃ δ 3 > 0 : ∀ x ∈ ◦ K δ 3 (a) ∩ X f (x) ≤ h(x) ≤ g(x). Возьмем δ = min{ δ 1 , δ 2 , δ 3 }. Тогда ∀ x ∈ ◦ K δ (a) ∩ X справедливы все 3 утверждения: b − ε < f (x), g(x) < b + ε , f (x) ≤ h(x) ≤ g(x) ⇒ b − ε < h(x) < b + ε ⇒ |h(x) − b| < ε Итак, ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : ∀ x ∈ ◦ K δ (a) ∩ X |h(x) − b| < ε . По определе- нию предела имеем lim x→a h(x) = b. Определение 2.4. Если lim x→a f (x) = 0, то говорят, что f есть беско- нечно малая функция в точке a или при x → a. Теорема 2.9 (о произведении бесконечно малой функции на ограниченную). Если lim x→a f (x) = 0, а g(x) ограничена в некоторой проко- лотой окрестности точки a, то существует lim x→a (f g)(x) = 0. Кратко теорему 2.9 можно сформулировать так: произведение беско- нечно малой функции на ограниченную есть бесконечно малая функция. Доказательство. Возьмем произвольное ε > 0. По условию ∃ δ 1 > 0, ∃ M > 0 : ∀ x ∈ ◦ K δ 1 (a) ∩ X |g(x)| ≤ M. 14 По определению предела lim x→a f (x) = 0 ⇒ для ε M > 0 ∃ δ 2 > 0 : ∀ x ∈ ◦ K δ 2 (a) ∩ X |f (x)| < ε M Возьмем δ = min{ δ 1 , δ 2 }. Тогда ∀ x ∈ ◦ K δ (a) ∩ X справедливы оба утвер- ждения: (|g(x)| ≤ M, |f (x)| < ε M ⇒ |f (x)g(x)| < ε Итак, ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : ∀ x ∈ ◦ K δ (a) ∩ X |f (x)g(x) − 0| < ε . По определению предела имеем lim x→a (f g)(x) = 0. 2.6. Понятие асимптотических оценок. Символы o, ∼, O Асимптотическими оценками называются соотношения вида f (x) = = o(g(x)), f (x) ∼ g(x), f (x) = O(g(x)) при x → a. Дадим точные определения. Определение 2.5. Пусть точка a – предельная точка множества X, заданы функции f, g : X → R, причем g(x) 6= 0 в некоторой проколо- той окрестности точки a. 1. Функция f есть o-малое от функции g при x → a, если lim x→a f g (x) = 0. При этом пишут f (x) = o(g(x)) при x → a. Если f и g являются бес- конечно малыми при x → a и f (x) = o(g(x)), то функция f называется бесконечно малой более высокого порядка, чем g при x → a. 2. Функции f и g эквивалентны (асимптотически равны) при x → a, если lim x→a f g (x) = 1. При этом пишут f (x) ∼ g(x) при x → a. 3. Функция f есть O-большое от функции g при x → a (f ограничена по сравнению с g при x → a), если в некоторой проколотой окрестности точки a для некоторого K > 0 выполнено неравенство |f (x)| ≤ K|g(x)|. При этом пишут f (x) = O(g(x)) при x → a. По определению lim x→a o(g(x)) g(x) = 0, а O(g(x)) g(x) – ограниченная функция в некоторой проколотой окрестности точки a. Применяются также обозначения: f (x) = h(x) + O(g(x)), x → a, если f (x) − h(x) = O(g(x)), x → a; f (x) = h(x) + o(g(x)), x → a, если f (x) − h(x) = o(g(x)), x → a. 15 Замечание 2.3. При x → a имеем: 1) f (x) = O(1) ⇔ f ограничена в некоторой проколотой окрестности точки a; 2) f (x) = o(1) ⇔ f есть бесконечно малая; 3) f (x) = o(g(x)) ⇒ f (x) = O(g(x)). ⊗ Правила действия с асимптотическими оценками при x → a: 1) o(g(x)) + o(g(x)) = o(g(x)); 7) O(f (x))O(g(x)) = O(f (x)g(x)); 2) f (x)o(g(x)) = o(f (x)g(x)); 8) O(O(g(x))) = O(g(x)); 3) o(f (x))o(g(x)) = o(f (x)g(x)); 9) o(g(x)) + O(g(x)) = O(g(x)); 4) o(o(g(x))) = o(g(x)); 10) o(f (x))O(g(x)) = o(f (x)g(x)); 5) O(g(x)) + O(g(x)) = O(g(x)); 11) O(o(g(x))) = o(g(x)); 6) f (x)O(g(x)) = O(f (x)g(x)); 12) o(O(g(x))) = o(g(x)); 13) f (x) ∼ g(x) ⇔ f (x) = g(x) + o(g(x)); 14) F (x) ∼ f (x), G(x) ∼ g(x) ⇒ a) lim x→a (F G)(x) = lim x→a (f g)(x); b) lim x→a F G (x) = lim x→a f g (x); c) F (x) ± G(x) = f (x) ± g(x) + o(f (x)) + o(g(x)). Докажем, например, правила 1, 5, 10, 14a: 1) очевидно, lim x→a o(g(x)) + o(g(x)) g(x) = lim x→a o(g(x)) g(x) + lim x→a o(g(x)) g(x) = 0; 5) из неравенств |O(g(x))| ≤ K 1 |g(x)| и |O(g(x))| ≤ K 2 |g(x)|, верных в некоторой проколотой окрестности точки a, следует, что |O(g(x)) + O(g(x))| ≤ |O(g(x))| + |O(g(x))| ≤ (K 1 + K 2 )|g(x)|. Это и означает, что O(g(x)) + O(g(x)) = O(g(x)); 10) по теореме 2.9 о произведении бесконечно малой функции на огра- ниченную имеем lim x→a o(f (x))O(g(x)) f (x)g(x) = lim x→a o(f (x)) f (x) O(g(x)) g(x) = 0, следовательно, o(f (x))O(g(x)) = o(f (x)g(x)); 14a) lim x→a (F G)(x) = lim x→a F f G g f g (x) = = lim x→a F f (x) lim x→a G g (x) lim x→a (f g)(x) = lim x→a (f g)(x). 2.7. Односторонние пределы Определение 2.6. Пусть a, ε ∈ R, ε > 0. Множества K − ε = = (a − ε , a) и K + ε = (a, a + ε ) называются, соответственно, левой и правой ε -окрестностями точки a. 16 Очевидно, K − ε ∪ K + ε = (a − ε , a) ∪ (a, a + ε ) = ◦ K ε (a). Определение 2.7. Точка a называется предельной слева (справа) точкой множества X, если пересечение любой ее левой (правой) ε -окре- стностью с X не пусто. Кратко это определение можно записать так: a – предельная слева точка множества X ⇔ ∀ ε > 0 K − ε ∩ X 6= ∅; a – предельная справа точка множества X ⇔ ∀ ε > 0 K + ε ∩ X 6= ∅. Пример 2.2. Пусть X = (0, 1]. Точка 1 – предельная слева (но не справа) точка X; 0 – предельная справа (но не слева) точка X; 1/2 – пре- дельная слева и справа точка X. • Определение 2.8. Пусть a – предельная слева (справа) точка мно- жества X, f : X → R. Точка b ∈ R называется пределом слева (справа) функции f в точке a, если для любой ε -окрестности b существует такая левая (правая) δ -окрестность a, что для всех x из пересечения ее с X значения функции принадлежат выбранной ε -окрестности точки b. Обозначения: для предела слева lim x→a−0 f (x) = b или f (a − 0) = b; для предела справа lim x→a+0 f (x) = b или f (a + 0) = b. Кратко определение предела можно записать так: lim x→a−0 f (x) = b ⇔ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : ∀ x ∈ K − δ (a) ∩ X f (x) ∈ K ε (b); lim x→a+0 f (x) = b ⇔ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : ∀ x ∈ K + δ (a) ∩ X f (x) ∈ K ε (b). Теорема 2.10. Пусть a – предельная слева и справа точка множе- ства X. Тогда lim x→a f (x) = b ⇔ lim x→a−0 f (x) = b и lim x→a+0 f (x) = b. Доказательство. ⇒ Так как K − δ (a) ∪ K + δ (a) = ◦ K δ (a), то lim x→a−0 f (x) = b ⇔ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : ∀ x ∈ (K − δ (a)∪K + δ (a))∩X f (x) ∈ K ε (b). По определению 2.8 имеем lim x→a−0 f (x) = b и lim x→a+0 f (x) = b. ⇐ Возьмем произвольное ε > 0. Тогда: lim x→a−0 f (x) = b ⇒ ∀ ε > 0 ∃ δ 1 > 0 : ∀ x ∈ K − δ 1 (a) ∩ X f (x) ∈ K ε (b); lim x→a+0 f (x) = b ⇒ ∀ ε > 0 ∃ δ 2 > 0 : ∀ x ∈ K + δ 2 (a) ∩ X f (x) ∈ K ε (b). Возьмем δ = min{ δ 1 , δ 2 }. Тогда ∀ x ∈ K − δ (a) ∩ X f (x) ∈ K ε (b) и ∀ x ∈ K + δ (a) ∩ X f (x) ∈ K ε (b), а потому ∀ x ∈ ◦ K δ (a) ∩ X f (x) ∈ K ε (b). 17 Итак, ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : ∀ x ∈ ◦ K δ (a) ∩ X f (x) ∈ K ε (b). По определению предела lim x→a f (x) = b. Замечание 2.4. Если a есть предельная точка слева (но не справа) множества X, то понятия предела и предела слева в точке a совпадают, так как ◦ K δ (a) ∩ X = K − δ (a) ∩ X при малых δ . Аналогично, если a есть предельная точка справа (но не слева) множества X, то понятия предела и предела справа в точке a совпадают. ⊗ 2.8. Бесконечные пределы и пределы на бесконечности Расширим множество вещественных чисел R, добавив к нему 2 „ не- собственных “ элемента: −∞ (минус бесконечность) и +∞ (плюс бесконеч- ность). Множество R = R∪{−∞, +∞} называется расширенным множест- вом вещественных чисел. При этом считаем, что выполнены неравенства −∞ < +∞ и −∞ < x < +∞ для любого x ∈ R. Пусть x ∈ R. Арифметические операции в R определим так. Сложение: x + (+∞) = +∞; (+∞) + x = +∞; x + (−∞) = −∞; (−∞) + x = −∞; (+∞) + (+∞) = +∞; (−∞) + (−∞) = −∞. Не опреде- лены (+∞) + (−∞) и (−∞) + (+∞). Вычитание: (+∞) − x = +∞; (−∞) − x = −∞; x − (+∞) = −∞; x − (−∞) = +∞; (+∞) − (−∞) = +∞; (−∞) − (+∞) = −∞. Не опреде- лены (+∞) − (+∞) и (−∞) − (−∞). Умножение: 1(+∞) = +∞; 1(−∞) = −∞; (−1)(+∞) = −∞; (−1)(−∞) = +∞; тогда ∀ ˜ x ∈ R \ {0} положим ˜ x(±∞) = (±∞)˜ x = = sign(˜ x)(±∞), где sign(±∞) = ±1 . Не определены 0(±∞) и (±∞)0. Деление: x/(±∞) = 0; (±∞)/x = sign(x)(±∞), если x 6= 0. Не опреде- лены (±∞)/(±∞) и деление на 0. Определение 2.9. Пусть ε > 0. Множества K ε (+∞) = ( ε , +∞] и K ε (−∞) = [−∞, − ε ) называются ε -окрестностями точек +∞ и −∞. Множества ◦ K ε (+∞) = ( ε , +∞) и ◦ K ε (−∞) = (−∞, − ε ) называются про- колотыми ε -окрестностями точек +∞ и −∞. Ясно, что K ε 1 (±∞) ∩ K ε 2 (±∞) = K ε (±∞), где ε = max{ ε 1 , ε 2 }. Определение 2.10. Точка +∞ (−∞) называется предельной точ- кой множества X ⊂ R, если пересечение любой ее проколотой ε -окрест- ности с X не пусто, т. е. для любого ε > 0 выполнено ◦ K ε (+∞) ∩ X 6= 6= ∅ ( ◦ K ε (−∞) ∩ X 6= ∅). Для множества Z целых чисел +∞ и −∞ есть предельные точки. 18 Определение 2.11. Пусть X ⊂ R, a ∈ R, a – предельная точка X, f : X → R. Точка b ∈ R называется пределом функции f в точке a, если для любой ее ε -окрестности существует такая проколотая δ - окрестность a, что для всех x из пересечения ее с X значения функции принадлежат выбранной ε -окрестности точки b. Например, для a = −∞ и b = +∞ имеем: lim x→−∞ f (x) = +∞ ⇔ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : ∀ x ∈ ◦ K δ (−∞) ∩ X f (x) ∈ K ε (+∞), или иначе lim x→−∞ f (x) = +∞ ⇔ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : ∀ x ∈ X, x < − δ f (x) > ε Приведем без доказательства следующее простое утверждение. Предложение 2.2. 1. Если lim x→a f (x) = 0 и f (x) 6= 0 в некоторой проколотой окрестности точки a, то lim x→a 1 |f (x)| = +∞. 2. Если lim x→a |f (x)| = +∞, то lim x→a 1 f (x) = 0. Определение 2.12. Если lim x→a |f (x)| = +∞, то функция f (x) назы- вается бесконечно большой в точке a. Предложение 2.2 можно кратко сформулировать так: f (x) бесконечно большая (бесконечно малая) в точке a ⇔ 1/f (x) бесконечно малая (беско- нечно большая) в точке a. |