Мат (1). Учебное пособие СанктПетербург Издательство спбгэту лэти 2013
 Скачать 0.66 Mb.
|
|
В 2.4 доказаны арифметические свойства пределов. Они справедливы и в том случае, когда a, b, c ∈ R, с одной оговоркой: для b и c должна быть определена в R соответствующая арифметическая операция (в противном случае говорят, что предел представляет собой неопределенность, и указы- вают ее тип). Например, если lim x→a f (x) = +∞, lim x→a g(x) = −∞, то lim x→a (f − g)(x) = lim x→a f (x) − lim x→a g(x) = (+∞) − (−∞) = +∞; lim x→a (f g)(x) = lim x→a f (x) lim x→a g(x) = (+∞)(−∞) = −∞. Но lim x→a (f +g)(x) есть неопределенность типа ∞−∞ (так как сумма (+∞)+ +(−∞) не определена в R), lim x→a f g (x) есть неопределенность типа ∞ ∞ (так как частное +∞ −∞ не определено в R). Аналогично надо понимать слова неопределенности типа 0∞, 0 0 19 Замечание 2.5. 1. Для пределов на бесконечности и бесконечных пределов остаются в силе теоремы о пределе суперпозиции. 2. В дальнейшем, если не оговорено противное, будем предполагать, что если существует lim x→a f (x) = b, то b ∈ R, т. е. предел может быть как конечным, так и бесконечным. 3. Если множество X ⊂ R не ограничено сверху (снизу), то будем считать, что sup X = +∞, inf X = −∞. ⊗ 2.9. Предел последовательности Пусть f : N → R, f (n) = y n – последовательность. О пределе последовательности можно говорить только в точке +∞ – единственной предельной точке N. Если этот предел существует и конечен, то говорят, что последовательность сходится. Кроме общего обозначения lim n→+∞ f (n) = = b используется также обозначение lim y n = b или y n → b. По определению предела lim y n = b ⇔ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : ∀ n ∈ N, n > δ y n ∈ K ε (b) ⇔ |y n − b| < ε Ясно, что δ всегда можно выбрать из N. Для последовательностей рассматриваются и бесконечные пределы, например: lim y n = +∞ ⇔ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : ∀ n ∈ N, n > δ y n > ε Теорема 2.11 (Больцано–Коши). Для сходимости последова- тельности {y n } необходимо и достаточно, чтобы ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : ∀ n, m ∈ N, n > m > δ |y n − y m | < ε Доказательство теоремы 2.11 можно найти в [ 6 ] (т. 3.18). Теорема 2.12 (Гейне). Пусть f : X → R, a – предельная точка X. Тогда для существования предела lim x→a f (x) = b необходимо и достаточ- но, чтобы для любой последовательности {x n } ⊂ X, x n → a, x n 6= a, было выполнено f (x n ) → b. Доказательство теоремы 2.12 можно найти в [ 6 ] (т. 3.19). Теоремой Гейне удобно пользоваться при доказательстве того, что пре- дел lim x→a f (x) = b не существует. Для этого достаточно указать две последо- вательности {x n } ⊂ X, x n → a, x n 6= a и {x 0 n } ⊂ X, x 0 n → a, x 0 n 6= a, такие, что f (x n ) и f (x 0 n ) либо не имеют пределов, либо их пределы различны. На- пример, покажем, что не существует предел lim x→0 2 1/x . Рассмотрим две по- следовательности: x n = 1/n и x 0 n = −1/n. Тогда условия x n → 0, x n 6= 6= 0, x 0 n → 0, x 0 n 6= 0 выполнены. Но lim n→+∞ 2 1/x n = lim n→+∞ 2 n = +∞, lim n→+∞ 2 −1/x n = lim n→+∞ 2 −n = 0. 20 2.10. Предел и монотонность Выделим класс функций, для которых сложный вопрос о существова- нии предела в точке решается относительно легко. Это класс монотонных функций. При изучении пределов монотонных функций в точке a следует рассмотреть 4 основных случая: функция задана левее (правее) точки a и не убывает (не возрастает). Сформулируем и докажем теорему для первого случая. Теорема 2.13. Пусть a = sup(X) – предельная точка множества X, a 6∈ X, функция f : X → R не убывает и ограничена сверху. Тогда существует и конечен lim x→a f (x) = lim x→a−0 f (x) = sup f (X). Доказательство. По условию A = sup f (X) < +∞. Пусть сначала a < +∞. Так как a = sup(X) – предельная слева (но не справа) точка X, то достаточно показать, что lim x→a−0 f (x) = A. Поскольку ∀ ε > 0 A − ε не является верхней границей для f (X), ∃ c ∈ X, f (c) > A − ε . Положим δ = a−c > 0. Тогда K − δ (a) = (c, a). Так как f не убывает, то ∀ x ∈ K − δ (a)∩X верны неравенства A − ε < f (c) ≤ f (x) ≤ A, т. е. |f (x) − A| < ε . По определению предела слева имеем lim x→a−0 f (x) = A. Для случая a = +∞ в качестве δ следует взять c, которое можно выбрать положительным, и далее повторить рассуждение, приведенное ранее. Аналогично доказывается следующая теорема. Теорема 2.14. Пусть a = sup(X) – предельная точка множества X, a 6∈ X, функция f : X → R не возрастает и ограничена снизу. Тогда существует и конечен lim x→a f (x) = lim x→a−0 f (x) = inf f (X). Для частного случая X = N получаем следующую теорему. Теорема 2.15 (Вейерштрасса). Неубывающая (невозрастающая) ограниченная сверху (снизу) последовательность имеет конечный предел. Предложение 2.3. Если f не убывает (не возрастает) на (a, b), то для любого x 0 ∈ (a, b) существуют f (x 0 − 0), f (x 0 + 0) и f (x 0 − 0) ≤ f (x 0 ) ≤ f (x 0 + 0) (f (x 0 − 0) ≥ f (x 0 ) ≥ f (x 0 + 0)). Доказательство. Рассмотрим только первый случай. Функция f на (a, x 0 ) ограничена сверху, так как ∀ x ∈ (a, x 0 ) f (x) ≤ f (x 0 ). По теореме 2.13 существует f (x 0 − 0) = lim x→a−0 f (x) = sup f ((a, x 0 )) ≤ f (x 0 ). Аналогично доказывается, что существует f (x 0 + 0) = lim x→a+0 f (x) = inf f ((x 0 , b)) ≥ f (x 0 ). 21 2.11. Число e Лемма 2.1. Существует и конечен lim 1 + 1 n n Доказательство. Будем пользоваться неравенством Бернулли ∀ t ≥ −1, ∀ m ∈ N (1 + t) m ≥ 1 + mt, которое легко доказывается по индукции. Очевидно, y n = 1 + 1 n n+1 > 1. Покажем, что для n > 1 y n−1 ≥ y n Имеем y n−1 y n = 1 + 1 n − 1 n 1 + 1 n n+1 = n n − 1 n n + 1 n n+1 = n n − 1 n+1 n + 1 n n+1 n − 1 n = = n 2 n 2 − 1 n+1 n − 1 n = 1 + 1 n 2 − 1 n+1 n − 1 n ≥ ≥ 1 + n + 1 n 2 − 1 n − 1 n = 1. Здесь применено неравенство Бернулли с t = 1/(n 2 − 1) и m = n + 1. Итак, y n−1 y n ≥ 1 ⇔ y n−1 ≥ y n . По теореме 2.15 , невозрастающая ограниченная снизу последовательность {y n } имеет конечный предел. Следовательно, су- ществует и lim 1 + 1 n n = lim y n 1 + 1/n = lim y n Определение 2.13. Числом e называется предел lim 1 + 1 n n Число e вычислено с большой точностью: e = 2.718281828459 . . . . По- казательная функция y = e x называется экспонентой и имеет специальное обозначение e x = exp(x). Теорема 2.16. 1) lim x→±∞ 1 + 1 x x = e. 2) lim x→0 (1 + x) 1/x = e. 22 Доказательство. 1. Обозначим через [x] целую часть x, т. е. наиболь- шее целое число, не превосходящее x. Тогда для x > 1 имеем: [x] ≤ x < [x] + 1 ⇒ 1 + 1 [x] + 1 < 1 + 1 x ≤ 1 + 1 [x] ⇒ ⇒ 1 + 1 [x] + 1 [x] < 1 + 1 x x ≤ 1 + 1 [x] [x]+1 Так как lim 1 + 1 n + 1 n = lim 1 + 1 n + 1 n+1 1 + 1 n + 1 = e и lim 1 + 1 n n+1 = e, то по теореме о суперпозиции lim x→+∞ 1 + 1 [x] + 1 [x] = e; lim x→+∞ 1 + 1 [x] [x]+1 = e. По теореме о пределе сжатой функции lim x→+∞ 1 + 1 x x = e. Сделав замену x = −y − 1, вычислим предел, используя теорему о пределе суперпозиции: lim x→−∞ 1 + 1 x x = lim y→+∞ y + 1 y y+1 = lim y→+∞ 1 + 1 y y 1 + 1 y = e. 2. Сделав замену x = 1/y, вычислим предел, используя теорему о пределе суперпозиции: lim x→0+0 (1 + x) 1/x = lim y→+∞ 1 + 1 y y = e. Аналогично, lim x→0−0 (1 + x) 1/x = e. Следовательно, lim x→0 (1 + x) 1/x = e. 3. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ Рассмотрим класс функций, для которых сложный вопрос о существо- вании и вычислении предела в точке решается наиболее просто: он равен значению функции в этой точке. 23 3.1. Определение и свойства непрерывных функций Определение 3.1. Функция f : X → R называется непрерывной в точке a ∈ X, если или a – изолированная точка X, или a – предельная точка X и lim x→a f (x) = f (a). Если f непрерывна в каждой точке множе- ства X, то f непрерывна на X. Далее будем считать, что a – предельная точка X, так как в изолиро- ванной точке любая функция, по определению, непрерывна. Теорема 3.1. Пусть функции f : X → Y, g : Y → R непрерывны в точках a и f (a) соответственно. Тогда их суперпозиция g ◦ f непрерывна в точке a. Доказательство. По определению непрерывности lim x→a f (x) = f (a) и lim y→f (a) g(y) = g(f (a)). По теореме 2.3 о пределе суперпозиции lim x→a (g◦f )(x) = = (g ◦ f )(a), т. е. g ◦ f непрерывна в точке a. Теорема 3.2. Пусть функции f, g : X → R непрерывны в точке a. Тогда f + g, f − g, f g, f /g (при g(a) 6= 0) непрерывны в точке a. Доказательство. По определению непрерывности lim x→a f (x) = f (a) и lim x→a g(x) = g(a). Отсюда lim x→a (f ± g)(x) = lim x→a f (x) ± lim x→a g(x) = (f ± g)(a). Непрерывность f g и f /g проверяется аналогично. Так как простейшие функции, введенные в школьном курсе (степен- ная, показательная, логарифмическая, тригонометрические и обратные тригонометрические), непрерывны в любой точке своей области определе- ния, то из теорем 3.1 , 3.2 следует, что этим свойством обладают и все элементарные функции. Наряду с понятием непрерывности дополнительно вводятся понятия непрерывности слева и справа. Определение 3.2. Функция f : X → R называется непрерывной слева (справа) в точке a ∈ X, если или a – изолированная точка X, или a – предельная слева (справа) точка X и lim x→a−0 f (x) = f (a) ( lim x→a+0 f (x) = = f (a)). Теорема 3.3. Пусть a ∈ X – предельная слева и справа точка X. Функция f : X → R непрерывна в точке a тогда и только тогда, когда f непрерывна слева и справа (одновременно) в точке a. Доказательство. По теореме 2.10 о связи понятий предела и одно- сторонних пределов имеем lim x→a f (x) = f (a) ⇔ lim x→a−0 f (x) = f (a) и lim x→a+0 f (x) = f (a). 24 Еще раз напомним, что функция f : X → R непрерывна в точке a, предельной для множества X, если выполнены 3 условия: 1) f определена в a; 2) существует lim x→a f (x); 3) lim x→a f (x) = f (a). Определение 3.3. Если в точке a, предельной для множества X, нарушено хотя бы одно из условий 1, 2, 3, то a называется точкой раз- рыва функции f . Точки разрыва классифицируются следующим образом. Определение 3.4. Точки разрыва a функции f называются: 1) точ- кой устранимого разрыва, если существует конечный lim x→a f (x); 2) точкой разрыва первого рода, если существуют конечные, но различные lim x→a−0 f (x) и lim x→a+0 f (x); 3) точкой разрыва второго рода, если она не является точ- кой разрыва первых двух типов, т. е. если хотя бы один из односторонних пределов не существует или бесконечен. 3.2. Функции, непрерывные на отрезке Рассмотрим наиболее важные теоремы о функциях, непрерывных на отрезке. Первые две теоремы приводятся без доказательства. Теорема 3.4 (Вейерштрасса). Пусть f непрерывна на [a, b]. Тог- да f ограничена и достигает своих наибольшего и наименьшего значе- ний на [a, b], т. е. существуют точки x 1 , x 2 ∈ [a, b], такие, что f (x 1 ) = = sup x∈[a,b] f (x) – наибольшее значение функции, f (x 2 ) = inf x∈[a,b] f (x) – наиме- ньшее значение функции (рис. 3.1). Доказательство теоремы можно найти в [ 6 ] (т. 4.15). x y b = x 2 x 1 a 0 f (x 2 ) f (x 1 ) Рис. 3.1 a 0 f (a) c b x f (b) y Рис. 3.2 a 0 C c b x y Рис. 3.3 Теорема 3.5 (Больцано–Коши). Пусть f непрерывна на [a, b] и на концах промежутка принимает значения разных знаков, т. е. f (a)f (b) < < 0. Тогда существует точка c ∈ [a, b], такая, что f (c) = 0 (рис. 3.2). Доказательство теоремы можно найти в [ 6 ] (т. 4.12). 25 Теорема 3.6. Пусть функция f непрерывна на [a, b] и inf x∈[a,b] f (x) < < C < sup x∈[a,b] f (x). Тогда существует точка c ∈ [a, b], такая, что f (c) = C (рис. 3.3). Доказательство. По теореме 3.4 ∃ x 1 , x 2 ∈ [a, b] : f (x 1 ) = sup x∈[a,b] f (x), f (x 2 ) = inf x∈[a,b] f (x). Предположим, для определенности, что x 1 < x 2 . Функ- ция ϕ (x) = f (x) − C непрерывна на [x 1 , x 2 ] и принимает на концах отрезка значения разных знаков: ϕ (x 1 ) = f (x 1 ) − C > 0, ϕ (x 2 ) = f (x 2 ) − C < 0. По теореме 3.5 существует c ∈ (x 1 , x 2 ) ⊂ (a, b), такая, что ϕ (c) = 0, т. е. f (c) = C. Предложение 3.1. Если функция f монотонна на [a, b] и ее значе- ния заполняют некоторый отрезок, то f непрерывна на [a, b]. Доказательство. Пусть, например, f – неубывающая функция. По- кажем, что f непрерывна слева в любой точке x ∈ (a, b]. Допустим против- ное. Тогда по предложению 2.3 f (x 0 − 0) < f (x 0 ). Так как f (x 0 − 0) = = sup x∈[a,x 0 ) f (x) (теорема 2.13 ), то ∀ x ∈ [a, x 0 ) f (x) ≤ f (x 0 − 0). Так как f – не убывает, то ∀ x ∈ [x 0 , b] f (x) ≥ f (x 0 ) > f (x 0 − 0). Следователь- но, ∀ x ∈ [a, b] f (x) 6∈ (f (x 0 − 0), f (x 0 )), что противоречит условию, что f ([a, b]) есть отрезок. Значит, f (x 0 − 0) = f (x 0 ). Аналогично доказывает- ся непрерывность справа. Следовательно, по теореме 2.3 f непрерывна на [a, b]. Следствие 3.1. Если функция f непрерывна и строго монотонна на [a, b], то обратная функция f −1 также непрерывна на f ([a, b]). Доказательство. Существование и строгая монотонность f −1 на f ([a, b]) были доказаны в теореме 1.2 . Из теорем 3.4 и 3.6 следует, что f ([a, b]) = [ inf x∈[a,b] f (x), sup x∈[a,b] f (x)]. Для завершения доказательства остается применить предложение 3.1 . 3.3. Нахождение корня уравнения методом половинного деления Пусть функция f непрерывна на [a, b] и f (a)f (b) < 0. По теореме Больцано–Коши на [a, b] лежит корень (может быть, не единственный) уравнения f (x) = 0. Разделим [a, b] пополам. Если f a + b 2 = 0, то 26 a + b 2 – корень. В противном случае обозначим через [a 1 , b 1 ] тот из отрез- ков [a, (a + b)/2] и [(a + b)/2, b], на концах которого функция f принимает значения разных знаков. По построению b 1 − a 1 = b − a 2 . К промежутку [a 1 , b 1 ] применим описанный процесс деления пополам. Если на некотором этапе f a n + b n 2 = 0, то a n + b n 2 – корень. В противном случае процесс продолжается до тех пор, пока не будет выполнено неравенство b n − a n = b − a 2 n ≤ ε |a n + b n | 2 , где ε – заданная относительная погрешность. В качестве приближенного значения корня обычно берут a n + b n 2 – середину последнего отрезка. 4. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИЙ 4.1. Определения дифференцируемости функций, производной, касательной Пусть x 0 ∈ X – предельная точка множества X, f : X → R. Напомним (см. определение 2.5 ), что символом o(x−x 0 ) обозначается любая функция, являющаяся бесконечно малой более высокого порядка, чем x − x 0 , при x → x 0 , т. е. lim x→x 0 o(x − x 0 ) x − x 0 = 0. Определение 4.1. Функция f дифференцируема в точке x 0 , если су- ществует A ∈ R, такое, что f (x) = f (x 0 )+A(x−x 0 )+o(x−x 0 ). Функция A(x − x 0 ) называется дифференциалом функции f и обозначается d x 0 f . По определению функция f дифференцируема в x 0 , если она отличает- ся от некоторого многочлена первой степени f (x 0 )+A(x−x 0 ) на бесконечно малую более высокого порядка, чем x − x 0 при x → x 0 Пример 4.1. Функция f : R \ {0} → R, f (x) = 1 x дифференцируема в любой точке x 0 6= 0, так как 1 x = 1 x 0 − 1 x 2 0 (x − x 0 ) + o(x − x 0 ) (здесь A = − 1 x 2 0 . В самом деле, 1 x − 1 x 0 − 1 x 2 0 (x − x 0 ) = (x − x 0 ) 2 xx 2 0 = o(x − x 0 ) при x → x 0 . • 27 Определение 4.2. Если существует и конечен lim x→x 0 f (x) − f (x 0 ) x − x 0 , то он называется производной функции f в точке x 0 и обозначается f 0 (x 0 ). Предложение 4.1. Если f дифференцируема в точке x 0 , т. е. пред- ставима в виде f (x) = f (x 0 ) + A(x − x 0 ) + o(x − x 0 ), то существует f 0 (x 0 ) = A. Доказательство. Так как существует предел lim x→x 0 f (x) − f (x 0 ) x − x 0 = lim x→x 0 A(x − x 0 ) + o(x − x 0 ) x − x 0 = A + lim x→x 0 o(x − x 0 ) x − x 0 = A, то существует и производная f 0 (x 0 ) и она равна A. Пример 4.1 показывает, что для функции f (x) = 1/x в любой точке x 0 6= 0 производная f 0 (x 0 ) = −1/x 2 0 Предложение 4.2. Если существует f 0 (x 0 ), то f дифференцируема в точке x 0 и верно равенство f (x) = f (x 0 ) + f 0 (x 0 )(x − x 0 ) + o(x − x 0 ) (формула Тейлора первого порядка для функции f в точке x 0 ). Доказательство. Из определения 4.2 производной следует, что α (x) = f (x) − f (x 0 ) x − x 0 − f 0 (x 0 ) есть бесконечно малая при x → x |