Методы анализа и расчета электронных схем - пособие. Учебное пособие Томск Эль Контент
 Скачать 1.73 Mb.
|
|
Глава 4. Анализ линейных электронных схем операторными методами Следовательно, можно записать: λ вx = [ π T вx 0 ] , λ выx = [ π T выx 0 ] . (4.20) В однородном узловом координатном базисе все контуры являются вырожден- ными, поэтому преобразующие векторы для узловых уравнений принимают вид: θ вx = −π вx , λ вx = π T вx , (4.21) θ выx = π выx , λ выx = π T выx . В канонической системе сечений входная и выходная ветви могут быть инци- дентными не более чем двум сечениям. Тогда в общем случае преобразующие век- торы содержат по два ненулевых элемента, один из которых равен +1, а другой — ( −1). Допустим, что входная ветвь инцидентна только сечениям с номерами a и c, а выходная ветвь — сечениям с номерами b и d, причем направления ветвей совпа- дают с направлениями a-го и b-го сечений (рис. 4.2). Рис. 4.2 – Четырехполюсник с задающими источниками тока и канонической системой независимых сечений Тогда: π вx = ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ . . . a 1 . . . c −1 . . . ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ , π выx = ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ . . . b 1 . . . d −1 . . . ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ , (4.22) а суммарные алгебраические дополнения матрицы проводимостей электронной схемы принимают вид: ∆ θвxλвыx = −∆ (a+c)(b+d) , (4.23) ∆ θвxλвx = −∆ (a+c)(a+c) , ∆ θвыxλвыx = ∆ (b+d)(b+d) , ∆ θвxλвx; θвыxλвыx = −∆ (a+c)(a+c); (b+d)(b+d) . 4.1 Определение схемных функций по матрично-векторным параметрам электронных схем 85 Формулы для схемных функций, записанные с учетом (4.23), представлены в таблице 4.1. Таблица 4.1 – Связь схемных функций с укороченной матрицей проводимостей в канонической системе независимых сечений Название Определение Формула Коэффициент переда- чи напряжения K U = U вых U вх ∆ (a+c)(b+d) ∆ (a+c)(a+c) + Y н ∆ (a+c)(a+c), (b+d)(b+d) Коэффициент переда- чи напряжения при холостом ходе K хх U = U вых U вх ∣ Y н = 0 ∆ (a+c)(b+d) ∆ (a+c)(a+c) Коэффициент передачи тока K I = I вых I вх Y н ∆ (a+c)(b+d) ∆ + Y н ∆ (b+d)(b+d) Коэффициент переда- чи тока при коротком замыкании K кз I = I вых I вх ∣ Y н → ∞ ∆ (a+c)(b+d) ∆ (b+d)(b+d) Входная проводимость Y вх = I вх U вх ∆ + Y н ∆ (b+d)(b+d) ∆ (a+c)(a+c) + Y н ∆ (a+c)(a+c), (b+d)(b+d) Входная проводи- мость при холостом ходе Y хх вх = I вх U вх ∣ Y н = 0 ∆ ∆ (a+c)(a+c) Входная проводи- мость при коротком замыкании Y кз вх = I вх U вх ∣ Y н → ∞ ∆ (b+d)(b+d) ∆ (a+c)(a+c), (b+d)(b+d) Проводимость передачи Y пер = I вых U вх Y н ∆ (a+c)(b+d) ∆ (a+c)(a+c) + Y н ∆ (a+c)(a+c), (b+d)(b+d) Сопротивление передачи Z пер = U вых I вх ∆ (a+c)(b+d) ∆ + Y н ∆ (b+d)(b+d) Выходная проводимость Y вых = − I кз вых U хх вых ∆ + Y c ∆ (a+c)(a+c) ∆ (b+d)(b+d) + Y c ∆ (a+c)(a+c), (b+d)(b+d) Наиболее простой вид соотношения для схемных функций принимают в част- ном случае, когда каждая внешняя ветвь четырехполюсника инцидентна только одному сечению и их направления совпадают с направлениями сечений. Тогда преобразующие векторы содержат только по одному ненулевому элементу, рав- ном y + 1. Вследствие этого суммарные алгебраические дополнения обращаются в простые алгебраические дополнения матрицы проводимостей электронной схе- мы. Допустим, что входная ветвь инцидентна только сечению с номером a (c = 0), а выходная ветвь — сечению с номером b (d = 0). Соответствующие формулы для 86 Глава 4. Анализ линейных электронных схем операторными методами схемных функций являются частным случаем формул, приведенных в таблице 4.1, и, в свою очередь, представлены в таблице 4.2. В канонической системе сечений выражения для схемных функций (табли- ца 4.2) применимы, если схему можно привести к четырехполюснику с коротко- замкнутой стороной, у которого вход и выход имеют общий узел, являющийся одновременно базисным узлом. При этом числа a и b означают номера входного и выходного узлов четырехполюсника соответственно. Таблица 4.2 – Связь схемных функций с укороченной матрицей проводимостей при инцидентности входной ветви одному входному сечению и выходной ветви одному выходному сечению Название Определение Формула Коэффициент передачи напряжения K U = U вых U вх ∆ ab ∆ aa + Y н ∆ aa, bb Коэффициент передачи напряжения при холостом ходе K хх U = U вых U вх ∣ Y н = 0 ∆ ab ∆ aa Коэффициент передачи тока K I = I вых I вх Y н ∆ ab ∆ + Y н ∆ bb Коэффициент передачи тока при коротком замыкании K кз I = I вых I вх ∣ Y н → ∞ ∆ ab ∆ bb Входная проводимость Y вх = I вх U вх ∆ + Y н ∆ bb ∆ aa + Y н ∆ aa, bb Входная проводимость при холостом ходе Y хх вх = I вх U вх ∣ Y н = 0 ∆ ∆ aa Входная проводимость при коротком замыкании Y кз вх = I вх U вх ∣ Y н → ∞ ∆ bb ∆ aa, bb Проводимость передачи Y пер = I вых U вх Y н ∆ ab ∆ aa + Y н ∆ aa, bb Сопротивление передачи Z пер = U вых I вх ∆ ab ∆ + Y н ∆ bb Выходная проводимость Y вых = − I кз вых U хх вых ∆ + Y c ∆ aa ∆ bb + Y c ∆ aa, bb Рассмотрим пример определения схемных функций для схемы фильтра нижних частот, приведенной на рис. 4.3, а. Используя эквивалентную схему операционного усилителя, приведенную на рис. 4.3, б, получим схему замещения фильтра по переменному току, представив входную и выходную ветви источниками тока (рис. 4.4). При использовании канонической системы независимых сечений, которой со- ответствует указанная на рис. 4.4 нумерация узлов a = 1, b = 4, c = d = 0 (схема приводится к четырехполюснику с короткозамкнутой стороной), схемные функции 4.1 Определение схемных функций по матрично-векторным параметрам электронных схем 87 определяются выражениями таблицы 4.2, в которых определитель и алгебраиче- ские дополнения вычисляются по укороченной матрице проводимостей, имеющей 4-ый порядок. Например, выражение для коэффициента передачи по напряжению будет иметь вид: k U = ∆ 14 ∆ 11 + Y н ∆ 11, 44 . Рис. 4.3 – Схема фильтра нижних частот (а) и эквивалентная схема операционного усилителя (б) Рис. 4.4 – Схема фильтра нижних частот с задающими источниками тока Внешние ветви можно представить источниками напряжения, причем так, что- бы направления этих ветвей соответствовали направлениям входного и выходного токов четырехполюсника (рис. 4.5). Тогда: ξ вx = U вx , ξ выx = U выx , y вx = I вx , y выx = I выx , 88 Глава 4. Анализ линейных электронных схем операторными методами а схемные функции определяются выражениями: k U = − z н ∆ θвxλвыx ∆ + z н ∆ θвыxλвыx , k I = ∆ θвxλвыx ∆ θвxλвx + z н ∆ θвxλвx; θвыxλвыx , Z пep = z н ∆ θвxλвыx ∆ θвxλвx + z н ∆ θвxλвx; θвыxλвыx , Y пep = − ∆ θвxλвыx ∆ + z н ∆ θвыxλвыx , Z вx = ∆ + z н ∆ θвыxλвыx ∆ θвxλвx + z н ∆ θвxλвx; θвыxλвыx , Z выx = − ∆ − z c ∆ θвxλвx ∆ θвыxλвыx − z c ∆ θвxλвx; θвыxλвыx . (4.24) Рис. 4.5 – Четырехполюсник с задающими источниками напряжения Для КК-уравнений в соответствии с правилом формирования задающего векто- ра Q, учитывая, что напряжение U вx противоположно направлению входной ветви, получаем: θ вx = [ 0 −ρ вx ] , θ выx = [ 0 ρ выx ] , (4.25) где ρ вx и ρ выx — векторы-столбцы матрицы невырожденных контуров для входной и выходной ветвей. Вектор X содержит в качестве составляющих узловые напряжения U ′ и контур- ные токи I ′ невырожденных координат, причем y вx = I вx = ρ T вx I ′ , y выx = I выx = ρ T выx I ′ Следовательно, можно записать: λ вx = [ 0 ρ T вx ] , λ выx = [ 0 ρ T выx ] . (4.26) В однородном контурном координатном базисе все сечения являются вырож- денными, поэтому преобразующие векторы для контурных уравнений принимают вид: θ вx = −ρ вx , λ вx = ρ T вx , (4.27) θ выx = ρ выx , λ выx = ρ T выx . В канонической системе контуров входная и выходная ветви могут быть инци- дентными не более чем двум контурам. Тогда в общем случае преобразующие век- торы содержат по два ненулевых элемента, один из которых равен +1, а другой — 4.1 Определение схемных функций по матрично-векторным параметрам электронных схем 89 ( −1). Допустим, что входная ветвь инцидентна только контурам с номерами a и c, а выходная ветвь — контурам с номерами b и d, причем направления ветвей совпа- дают с направлениями a-го и b-го контуров (рис. 4.6). Рис. 4.6 – Четырехполюсник с задающими источниками напряжения и канонической системой независимых контуров Тогда: ρ вx = ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ . . . a 1 . . . c −1 . . . ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ , ρ выx = ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ . . . b 1 . . . d −1 . . . ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ , (4.28) а суммарные алгебраические дополнения матрицы сопротивлений электронной схемы принимают вид (4.23). Формулы для схемных функций, записанные с учетом (4.23), представлены в таблице 4.3. Таблица 4.3 – Связь схемных функций с укороченной матрицей сопротивлений в канонической системе независимых контуров Название Определение Формула Коэффициент передачи тока K I = I вых I вх ∆ (a+c)(b+d) ∆ (a+c)(a+c) + Z н ∆ (a+c)(a+c), (b+d)(b+d) Коэффициент переда- чи тока при коротком замыкании K кз I = I вых I вх ∣ Z н = 0 ∆ (a+c)(b+d) ∆ (a+c)(a+c) Коэффициент переда- чи напряжения K U = U вых U вх Z н ∆ (a+c)(b+d) ∆ + Z н ∆ (b+d)(b+d) Коэффициент переда- чи напряжения при холостом ходе K хх U = U вых U вх ∣ Z н → ∞ ∆ (a+c)(b+d) ∆ (b+d)(b+d) Входное сопротивление Z вх = U вх I вх ∆ + Z н ∆ (b+d)(b+d) ∆ (a+c)(a+c) + Z н ∆ (a+c)(a+c), (b+d)(b+d) продолжение на следующей странице 90 Глава 4. Анализ линейных электронных схем операторными методами Таблица 4.3 – Связь схемных функций с укороченной матрицей сопротивлений в канонической системе независимых контуров Название Определение Формула Входное сопротив- ление при коротком замыкании Z кз вх = U вх I вх ∣ Z н = 0 ∆ ∆ (a+c)(a+c) Входное сопротив- ление при холостом ходе Z хх вх = U вх I вх ∣ Z н → ∞ ∆ (b+d)(b+d) ∆ (a+c)(a+c), (b+d)(b+d) Сопротивление передачи Z пер = U вых I вх Z н ∆ (a+c)(b+d) ∆ (a+c)(a+c) + Z н ∆ (a+c)(a+c), (b+d)(b+d) Проводимость передачи Y пер = I вых U вх ∆ (a+c)(b+d) ∆ + Z н ∆ (b+d)(b+d) Выходное сопротивление Z вых = − U хх вых I кз вых ∆ + Z c ∆ (a+c)(a+c) ∆ (b+d)(b+d) + Z c ∆ (a+c)(a+c), (b+d)(b+d) Наиболее простой вид соотношения для схемных функций принимают в част- ном случае, когда каждая внешняя ветвь четырехполюсника инцидентна только одному контуру и их направления совпадают с направлениями контуров. Тогда преобразующие векторы содержат только по одному ненулевому элементу, рав- ному +1. Вследствие этого суммарные алгебраические дополнения обращаются в простые алгебраические дополнения матрицы сопротивлений электронной схе- мы. Допустим, что входная ветвь инцидентна только контуру с номером a (c = 0), а выходная ветвь — контуру с номером b (d = 0). Соответствующие формулы для схемных функций являются частным случаем формул, приведенных в таблице 4.3, и, в свою очередь, представлены в таблице 4.4. В канонической системе контуров условие применимости выражений для схем- ных функций (таблица 4.4) сводится к тому, чтобы электронная схема была пла- нарной, а входная и выходная ветви были внешними ветвями схемы, причем числа a и b означают номера ячеек, инцидентных входной и выходной ветвям соответ- ственно. Таблица 4.4 – Связь схемных функций с укороченной матрицей сопротивлений при инцидентности входной ветви одному входному контуру и выходной ветви одному выходному контуру Название Определение Формула Коэффициент передачи тока K I = I вых I вх ∆ ab ∆ aa + Z н ∆ aa, bb Коэффициент передачи тока при коротком замыкании K кз I = I вых I вх ∣ Z н = 0 ∆ ab ∆ aa продолжение на следующей странице 4.1 Определение схемных функций по матрично-векторным параметрам электронных схем 91 Таблица 4.4 – Связь схемных функций с укороченной матрицей сопротивлений при инцидентности входной ветви одному входному контуру и выходной ветви одному выходному контуру Название Определение Формула Коэффициент передачи напряжения K U = U вых U вх Z н ∆ ab ∆ + Z н ∆ bb Коэффициент передачи напряжения при холостом ходе K хх U = U вых U вх ∣ Z н → ∞ ∆ ab ∆ bb Входное сопротивление Z вх = U вх I вх ∆ + Z н ∆ bb ∆ aa + Z н ∆ aa, bb Входное сопротивление при коротком замыкании Z кз вх = U вх I вх ∣ Z н = 0 ∆ ∆ aa Входное сопротивление при холостом ходе Z хх вх = U вх I вх ∣ Z н → ∞ ∆ bb ∆ aa, bb Сопротивление передачи Z пер = U вых I вх Z н ∆ ab ∆ aa + Z н ∆ aa, bb Проводимость передачи Y пер = I вых U вх ∆ ab ∆ + Z н ∆ bb Выходное сопротивление Z вых = − U хх вых I кз вых ∆ + Z c ∆ aa ∆ bb + Z c ∆ aa, bb Рассмотрим пример определения схемных функций для схемы фильтра ниж- них частот, приведенной на рис. 4.3, а, представив входную и выходную ветви источниками напряжения (рис. 4.7). Рис. 4.7 – Схема фильтра нижних частот с задающими источниками напряжения При использовании канонической системы независимых контуров, показанной на рис. 4.7, a = 1, b = 5, c = d = 0, схемные функции определяются выражениями |