Методы анализа и расчета электронных схем - пособие. Учебное пособие Томск Эль Контент
 Скачать 1.73 Mb.
|
|
Глава 4. Анализ линейных электронных схем операторными методами многополюсников; параллельные однонаправленные дуги заменяют одной дугой с суммарной передачей; петли при одной вершине заменяют одной петлей с передачей a ii = a ii, пacc − M ∑ k =1 a ii, мпk , где a ii, пacc = 1 − Y ii, пacc — переда- ча петли графа пассивной части схемы, a ii, мп k — передача петли графа k-го многополюсника, M — число многополюсных компонентов схемы, полюса которых инцидентны i-му узлу); • в графе отображают независимые источники. Рассмотрим прямой способ построения сигнального U -графа Мэзона для схе- мы истокового повторителя с повышенным входным сопротивлением (рис. 2.22, а) в рабочем диапазоне частот. Схема замещения повторителя по переменному току для рабочего диапазона частот приведена на рис. 4.13. В схеме замещения (рис. 4.13) закорочены все конденсаторы, а параллельно включенные по переменному току резисторы R1, R2 и R4 представлены эквива- лентной ветвью с проводимостью: g э = 1 R 1 + 1 R 2 + 1 R 4 . Рис. 4.13 – Схема замещения истокового повторителя по переменному току в рабочем диапазоне частот Однородный сигнальный U -граф Мэзона пассивной части схемы имеет вид: Рис. 4.14 – Сигнальный U -граф Мэзона пассивной части схемы истокового повторителя 4.2 Определение схемных функций электронных схем методом сигнальных графов 101 Для полевого транзистора воспользуемся сигнальным U -графом Мэзона, пред- ставленным на рис. 4.12. Поскольку сток полевого транзистора в схеме замещения заземлен, затвор связан с узлом «1», а исток — с узлом «2», то граф полевого тран- зистора примет следующий вид (рис. 4.15). Рис. 4.15 – Сигнальный U -граф Мэзона полевого транзистора Составляем однородный суммарный сигнальный U -граф Мэзона истокового повторителя. Рис. 4.16 – Однородный суммарный сигнальный U -граф Мэзона истокового повторителя Принимая в качестве задающей переменной входной ток, получим неоднород- ный сигнальный U -граф Мэзона истокового повторителя (рис. 4.17). Рис. 4.17 – Неоднородный сигнальный U -граф Мэзона истокового повторителя 102 Глава 4. Анализ линейных электронных схем операторными методами Определение передач сигнальных графов Мэзона путем применения формулы Мэзона Формула Мэзона, определяющая передачу сигнального графа Мэзона из вер- шины-истока f j в смешанную вершину x i , имеет вид: F ij = x i f j = s ∑ k =1 p (xi, fj) k D M k D M , (4.40) где D M — определитель сигнального графа Мэзона; p (xi, fj) k — передача k-го простого пути, направленного из вершины-истока f j в смешанную вершину x i ; D M k — величи- на дополнения k-го простого пути, направленного из вершины-истока f j в смешан- ную вершину x i Определитель сигнального графа Мэзона может быть найден как сумма величин всех элементарных сигнальных графов Мэзона, которые можно выделить в составе исходного графа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Элементарный сигнальный граф Мэзона представляет собой со- вокупность одновременно не касающихся контуров. Число q кон- туров элементарного сигнального графа называют его фактором. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Исходный граф может содержать несколько элементарных графов с одним и тем же фактором. Кроме того, в составе сигнального графа Мэзона всегда су- ществует единственный элементарный граф с фактором q = 0, который следует считать множеством контуров, вырожденных в вершину, причем величина такого элементарного графа равна 1. Следовательно, выражение для определителя сигнального графа Мэзона можно записать в виде: D M = 1 + Q ∑ q =1 ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎣ (−1) q N q ∑ i =1 ( q ∏ r =1 L (i) r ) ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎦ , (4.41) где Q — максимально возможное значение фактора элементарных графов, равное максимально возможному числу одновременно не касающихся контуров графа; N q — число элементарных графов с фактором q; L (i) r — передача r-го контура i-го элементарного графа. Для практического использования формулу (4.41) целесообразно представить в виде: D M = 1 − N 1 ∑ i =1 L i + N 2 ∑ i =1 L (i) k L (i) s − N 3 ∑ i =1 L (i) k L (i) s L (i) q + . . ., (4.42) где L (i) k L (i) s — произведение передач i-ой пары некасающихся контуров; L (i) k L (i) s L (i) q — произведение передач i-ой тройки некасающихся контуров. 4.2 Определение схемных функций электронных схем методом сигнальных графов 103 Передачи сигнальных графов Мэзона между смешанными вершинами опреде- ляются на основе формулы Мэзона (4.40): F ′ ij = x i x j = x i /f j x j /f j = s ∑ k =1 p (xi, fj) k D M k D M ⋅ D M s ′ ∑ k =1 p (xj, fj) k D ′ M k = s ∑ k =1 p (xi, fj) k D M k s ′ ∑ k =1 p (xj, fj) k D ′ M k , (4.43) где p (xi, fj) k — передача k-го простого пути, направленного из вершины-истока f j в сме- шанную вершину x i ; p (x j , fj) k — передача k-го простого пути, направленного из верши- ны-истока f j в смешанную вершину x j ; D M k , D ′ M k — величины дополнений путей p (xi, fj) k и p (xj, fj) k соответственно. При определении передач сигнальных графов по формуле Мэзона каждая пет- ля образует дополнительный контур, что приводит к росту объема вычислений определителей и величин дополнений простых путей. С целью упрощения поиска передач сигнальные графы Мэзона рекомендуется нормализовывать путем исклю- чения петель. В первую очередь это относится к сигнальным U -графам Мэзона, формируемым прямым способом. Обобщенные сигнальные графы Обобщенные сигнальные графы отображают системы линейных алгебраиче- ских уравнений, представленные в обобщенной причинно-следственной форме, когда в каждом уравнении одна из искомых переменных со своим весовым ко- эффициентом выражена через другие искомые и задающие переменные: a ii x i = n ∑ j =1 j ≠i a ij x j + m ∑ j =1 a ′ ij f j , i = 1, n. (4.44) Обобщенный сигнальный граф содержит: • невзвешенные вершины-истоки, соответствующие задающим переменным f j ; • взвешенные вершины, соответствующие искомым переменным x i и харак- теризуемые весами, равными весовым коэффициентам a ii ; • дуги, направленные от вершин, соответствующих переменным в правой части, к вершинам, соответствующим переменным в левой части уравне- ний (4.44), и характеризумые весами (передачами), равными коэффициен- там a ij , a ′ ij Рассмотрим формирование обобщенного сигнального U -графа электронной схемы (рис. 4.9). Представим систему уравнений (4.37) в обобщенной причинно- следственной форме: ⎧⎪⎪⎪ ⎨⎪⎪ ⎪⎩ Y 11 3 1 = g 1 3 2 + g 2 3 3 + J, Y 22 3 2 = g 1 3 1 + y L 3 3 , Y 33 3 3 = (g 2 + y) 3 1 + (y L − y) 3 2 . (4.45) 104 Глава 4. Анализ линейных электронных схем операторными методами Системе уравнений (4.45) соответствует обобщенный сигнальный U -граф, при- веденный на рис. 4.18. Рис. 4.18 – Обобщенный сигнальный U -граф При использовании обобщенных сигнальных графов наибольшее распростра- нение получил прямой способ формирования U -графов. Прямое построение обобщенных сигнальных U -графов электронных схем вы- полняют по правилам: • в схеме замещения выбирается базисный узел и обозначаются остальные узлы; • на поле графа наносятся взвешенные вершины 3 1 , 3 2 , . . ., 3 ν , соответству- ющие узловым потенциалам (число вершин определяется числом ν неза- висимых сечений) и обладающие весами Y ii , равными собственным прово- димостям соответствующих узлов; • пассивный двухполюсный компонент, инцидентный узлам i и j отображается двумя противоположными по направлению дугами, инцидентными верши- нам 3 i и 3 j , с передачами, равными операторной проводимости компонента; • зависимый источник тока, управляемый напряжением (ИТУН), отобража- ется дугами, направленными из вершин, соответствующих узлам управля- ющего двухполюсника, в вершины, соответствующие узлам ИТУН, и име- ющими передачи, равные управляющей проводимости; если направление ИТУН относительно i-го узла и направление управляющего напряжения относительно j-го узла характеризуются различно, то в передачу дуги, на- правленной из вершины 3 j в вершину 3 i , управляющая проводимость вхо- дит с противоположным знаком; • зависимые источники других типов (ИНУН, ИНУТ, ИТУТ) предварительно преобразуются в ИТУН; • многополюсные компоненты предварительно замещаются эквивалентными схемами либо отображаются обобщенными сигнальными U -графами, кото- рые берут готовыми из научно-технической литературы либо формируют по эквивалентным схемам или неопределенным матрицам проводимостей; • независимый источник тока, направленный от узла c к узлу a, отобража- ется вершиной-истоком, которая соответствует задающему току J , и двумя дугами, направленными от вершины J к вершинам 3 a и 3 c и имеющими передачи «1» и « −1» соответственно; 4.2 Определение схемных функций электронных схем методом сигнальных графов 105 • независимые источники напряжения предварительно преобразуются в ис- точники тока. Формирование обобщенных сигнальных U -графов многополюсных компонентов по неопределенным матрицам проводимостей выполняют по следующим правилам: • на поле графа наносятся взвешенные вершины 3 1 , 3 2 , . . ., 3 N , соответству- ющие потенциалам всех полюсов N -полюсника и имеющие веса, равные диагональным элементам неопределенной матрицы проводимостей a ii = y ii , i = 1, N; • недиагональные элементы y ij (i ≠ j) отображаются дугами, направленными из вершин 3 j в вершины 3 i и имеющими передачи a ij = −y ij Например, для операционного усилителя с заземленным базисным выводом (рис. 4.19), Рис. 4.19 – Операционный усилитель с заземленным базисным выводом используя неопределенную матрицу проводимостей: и н в о и G д + G сф1 −G д 0 −G сф1 Y оу = н −G д G д + G сф2 0 −G сф2 в kG вых −kG вых G вых −G вых в −G сф1 − kG вых kG вых − G сф2 −G вых G вых + G сф1 + G сф2 построим обобщенный сигнальный U -граф (рис. 4.20). Рис. 4.20 – Обобщенный сигнальный U -граф операционного усилителя 106 Глава 4. Анализ линейных электронных схем операторными методами Для схем с активными электронными компонентами обобщенные сигнальные U -графы, как правило, формируют по схемам замещения, в которых активные ком- поненты представлены как многополюсники, используя следующий алгоритм: • составляют схему замещения электронной цепи; • формируют однородный обобщенный сигнальный U -граф пассивной части схемы; • из научно-технической литературы выбирают (или составляют самостоя- тельно) обобщенные сигнальные U -графы активных электронных компо- нентов; собственные обозначения вершин этих графов заменяют обозна- чениями узлов, которым инцидентны соответствующие полюса активных компонентов; из графов активных компонентов исключаются вершины, со- ответствующие заземленным полюсам, и все инцидентные этим вершинам дуги; • формируют однородный суммарный обобщенный сигнальный U -граф (сов- мещают одноименные вершины графов пассивной части схемы и активных многополюсников и суммируют их веса a ii = a ii, пacc + M ∑ k =1 a ii, мпk ; параллельные однонаправленные дуги заменяют одной дугой с суммарной передачей); • в графе отображают независимые источники. Рассмотрим прямой способ построения обобщенного сигнального U -графа для схемы фильтра нижних частот, приведенной на рис. 4.3, а. Схема замещения филь- тра по переменному току, в которой операционный усилитель представлен как многополюсный компонент, представлена на рис. 4.21. Рис. 4.21 – Схема замещения фильтра нижних частот по переменному току Однородный обобщенный сигнальный U -граф пассивной части схемы пред- ставлен на рис. 4.22. Операционный усилитель представим обобщенным сигнальным U -графом, при- веденным на рис. 4.20. Поскольку неинвертирующий вход операционного усилите- 4.2 Определение схемных функций электронных схем методом сигнальных графов 107 ля в схеме замещения заземлен, инвертирующий вход подключен к узлу «2», а вы- ход — к узлу «4», граф операционного усилителя примет следующий вид (рис. 4.23). Рис. 4.22 – Однородный обобщенный сигнальный U -граф пассивной части схемы фильтра нижних частот Рис. 4.23 – Обобщенный сигнальный граф операционного усилителя Формируем суммарный однородный обобщенный сигнальный U -граф фильтра (см. рис. 4.24). Рис. 4.24 – Суммарный однородный обобщенный сигнальный U -граф фильтра нижних частот 108 Глава 4. Анализ линейных электронных схем операторными методами На рис. 4.24 веса вершин определяются выражениями: Y 11 = g 1 , Y 22 = g 1 + g 2 + pC 1 + G д + G cф.1 , Y 33 = g 2 + g 3 + pC 2 , Y 44 = g 3 + pC 1 + Y н + G выx . Принимая в качестве задающей переменной входной ток, получим неоднород- ный обобщенный сигнальный U -граф (рис. 4.25). Рис. 4.25 – Неоднородный обобщенный сигнальный U -граф фильтра нижних частот Определение передач обобщенных сигнальных графов Основным способом определения передач обобщенных сигнальных графов яв- ляется применение топологической формулы Анисимова: F ij = x i f j = s ∑ k =1 p (xi, fj) k D A k D A , (4.46) где D A — определитель обобщенного сигнального графа; p (xi, fj) k — передача k-го про- стого пути, направленного из вершины-истока f j во взвешенную вершину x i ; D A k — величина дополнения простого пути p (xi, fj) k Определитель обобщенного сигнального графа может быть найден непосред- ственно по графу как сумма величин δ A i всех элементарных обобщенных сигналь- ных графов, которые можно выделить в составе исходного графа: D A = ∑ i δ A i . (4.47) Элементарный обобщенный сигнальный граф представляет со- бой совокупность одновременно не касающихся контуров и всех не входящих в них взвешенных вершин исходного графа. Число q кон- туров элементарного обобщенного сигнального графа называют его фактором. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Определение схемных функций электронных схем методом сигнальных графов 109 Величина δ A i элементарного обобщенного сигнального графа с фактором q определяется произведением передач его контуров и весов взвешенных вершин, не входящих в эти контуры: δ A i = (−1) q q ∏ r =1 L r ⋅ m ∏ t =1 B t , (4.48) где L r — передача r-го контура элементарного графа, определяемая произведением входящих в него дуг; B t — вес t-ой взвешенной вершины; m — число взвешенных вершин элементарного графа. Исходный граф может содержать несколько элементарных графов с одним и тем же фактором. Кроме того, в составе обобщенного сигнального графа все- гда существует единственный элементарный граф с фактором q = 0, который не содержит контуров и содержит все взвешенные вершины исходного графа. Следо- вательно, выражение (4.47) с учетом (4.48) можно записать: D A = n ∏ t =1 B t + Q ∑ q =1 ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎣ (−1) q Nq ∑ i =1 ( q ∏ r =1 L (i) r ⋅ m ∏ r =1 B (i) t ) ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎦ , (4.49) где n — число взвешенных вершин исходного графа, равное числу искомых пере- менных системы уравнений; Q — максимально возможное значение фактора эле- ментарных графов, равное максимально возможному числу одновременно не ка- сающихся контуров графа; N q — число элементарных графов с фактором q; L (i) r — передача r-го контура i-го элементарного графа; B (i) t — вес t-ой взвешенной верши- ны i-го элементарного графа. Передачи обобщенных сигнальных графов между смешанными вершинами определяются на основе формулы (4.46): F ′ ij = x i x j = x i /f j x j /f j = s ∑ k =1 p (xi, fj) k D А k D А ⋅ D А s ′ ∑ k =1 p (xj, fj) k D ′ А k = s ∑ k =1 p (xi, fj) k D А k s ′ ∑ k =1 p (xj, fj) k D ′ А k , (4.50) где p (xi, fj) k — передача k-го простого пути, направленного из вершины-истока f j в сме- шанную вершину x i ; p (xj, fj) k — передача k-го простого пути, направленного из верши- ны-истока f j в смешанную вершину x j ; D A k , D ′ A k — величины дополнений путей p (xi, fj) k и p (xj, fj) k соответственно. В качестве примера рассмотрим определение схемных функций фильтра ниж- них частот, используя обобщенный сигнальный граф (рис. 4.25). Передаточное сопротивление определяется по формуле Анисимова (4.46): Z пep = U выx I вx = 3 4 I вx = 2 ∑ k =1 p (34, Iвx) k D A k D A . Обобщенный сигнальный граф (рис. 4.25) содержит n = 4 взвешенных вершин; 6 контуров с передачами L 1 (3 1 , 3 2 ) = g 2 1 , L 2 (3 2 , 3 3 ) = g 2 2 , L 3 (3 2 , 3 4 ) = pC 1 (pC 1 − |