Методы анализа и расчета электронных схем - пособие. Учебное пособие Томск Эль Контент
 Скачать 1.73 Mb.
|
|
Глава 5. Анализ электронных схем во временной области I LT = −π LL I LN − π LJ J. (5.21) Векторы напряжений емкостей и токов индуктивностей с учетом соотношений (5.20) и (5.21) могут быть представлены в виде: U C = [ U CT U CN ] = [ 1 π T CC ] U CT + [ 0 π T EC ] E = Π T CC U CT + Π T EC E, (5.22) I L = [ I LT I LN ] = [ −π LL 1 ] I LN + [ −π LJ 0 ] J = P T LL I LN + P T LJ J. (5.23) Подставляя выражения (5.22) и (5.23) в (5.18) и (5.19), получаем: q = (Π CC C Π T CC ) U CT + (Π CC C Π T EC ) E, ψ = (P LL LP T LL ) I LN + (P LL LP T LJ ) J, на основании чего можно записать: ˜x = [ q ψ ] = [ Π CC C Π T CC 0 0 P LL LP T LL ] [ U CT I LN ] + (5.24) + [ Π CC C Π T EC 0 0 P LL LP T LJ ] [ E J ] = W x X + Θ 3 F. Дифференцируя уравнение (5.24), находим: d ˜x dt = W x dX dt + Θ 3 dF dt . Подстановка полученного выражения для производной d ˜x /dt в уравнение (5.17) дает: W x dX dt = Θ ′ 1 X + Θ ′ 2 F − Θ 3 dF dt , откуда получаем уравнение переменных состояния линейной электронной схемы в виде: dX dt = AX + BF + B 1 dF dt , (5.25) где A = W −1 x Θ ′ 1 , B = W −1 x Θ ′ 2 , B 1 = −W −1 x Θ 3 Появление производной вектора F в уравнении переменных состояния обу- словлено особыми циклами и сечениями с задающими источниками. Если зада- ющие источники в особых циклах и сечениях отсутствуют, то π EC = 0 и π LJ = 0, следовательно, Θ 3 = 0. При отсутствии особых циклов и сечений все дифференциальные переменные независимы и входят в векторы U CT и I LN , а в составе топологических матриц отсутствуют подматрицы π CC и π LL . Тогда Π CC = 1 и P LL = 1, вследствие чего матрица W x имеет квазидиагональную структуру: W x = [ C 0 0 L ] , а при отсутствии индуктивных связей W x представляет собой диагональную мат- рицу, элементами которой являются параметры реактивных двухполюсников. 5.1 Математическое описание электронных схем в базисе переменных состояния 121 Уравнения переменных состояния нелинейных электронных схем При формировании покрывающего дерева из дуг безреактивных компонентов (x-дуг) выделяются дуги нелинейных двухполюсников, причем управляемые то- ком дуги включают в дерево после e-дуг и C-дуг, а управляемые напряжением — в дополнение дерева перед L-дугами и j-дугами. Уравнение для безреактивных линейных компонентов и дифференциальное уравнение для зарядов и потокосцеплений отличаются от аналогичных уравне- ний (5.12) и (5.16) линейной схемы только наличием в правой части слагаемых, которые зависят от вектора переменных нелинейных безреактивных компонентов X H = [ U HT I HN ]: W 0 X 0 = Q 1 X + Q 2 F + Q 3 X H , (5.26) d ˜x dt = Θ 0 X 0 + Θ 1 X + Θ 2 F + Θ 3 X H , (5.27) где Q 3 = [ −V UN π T HX V IT π XH ]; Θ 3 = [ 0 −π CH π T HL 0 ]. В качестве топологических уравнений, связывающих переменные нелинейных безреактивных компонентов, используются уравнение для главных сечений, опре- деляемых дугами нелинейных компонентов, входящих в дерево: I HT = −π HX I XN − π HL I LN − π HJ J − π HH I HN (5.28) и уравнение для главных циклов, определяемых дугами нелинейных компонентов, входящих в дополнение дерева: U HT = π T X H U XT + π T CH U CT + π T EH E + π T HH U HT . (5.29) Объединяя (5.28) и (5.29), получаем матричное топологическое уравнение для нелинейных безреактивных компонентов вида: [ I HT U HN ] = [ 0 −π HX π T X H 0 ] [ U XT I XN ] + [ 0 −π HL π T CH 0 ] [ U CT I LN ] + + [ 0 −π HJ π T EH 0 ] [ E J ] + [ 0 −π HH π T HH 0 ] [ U HT I HN ] , которое в сокращенной записи принимает форму: Y H = Ω 0 X 0 + Ω 1 X + Ω 2 F + Ω 3 X H , (5.30) где Y H = [ I HT U HN ]. Решив уравнение (5.26) относительно вектора X 0 и подставив найденное реше- ние X 0 = W −1 0 (Q 1 X + Q 2 F + Q 3 X H ) = Q ′ 1 X + Q ′ 2 F + Q ′ 3 X H в (5.27) и (5.30), получим: d ˜x dt = (Θ 0 Q ′ 1 + Θ 1 ) X + (Θ 0 Q ′ 2 + Θ 2 ) F + (Θ 0 Q ′ 3 + Θ 3 ) X H = (5.31) = Θ ′ 1 X + Θ ′ 2 F + Θ ′ 3 X H , 122 Глава 5. Анализ электронных схем во временной области Y H = (Ω 0 Q ′ 1 + Ω 1 ) X + (Ω 0 Q ′ 2 + Ω 2 ) F + (Ω 0 Q ′ 3 + Ω 3 ) X H = (5.32) = Ω ′ 1 X + Ω ′ 2 F + Ω ′ 3 X H . Уравнения (5.31) и (5.32) дополняются компонентными уравнениями нелиней- ных безреактивных компонентов 3(X H , Y H ) = 0, в результате чего математическая модель нелинейной электронной схемы в базисе переменных состояния принимает вид: dx dt = Θ ′ 1 X + Θ ′ 2 F + Θ ′ 3 X H , Y H = Ω ′ 1 X + Ω ′ 2 F + Ω ′ 3 X H , (5.33) X 0 = Q ′ 1 X + Q ′ 2 F + Q ′ 3 X H , 3 (X H , Y H ) = 0, где 3 (X H , Y H ) — нелинейная вектор-функция. Если нелинейными являются только безреактивные компоненты, то дифферен- циальное уравнение математической модели нелинейной электронной схемы мо- жет быть приведено к канонической форме. Для этого уравнение (5.24), которое остается справедливым, необходимо подставить в дифференциальное уравнение математической модели: W x dX dt = Θ ′ 1 X + Θ ′ 2 F − Θ 3 dF dt + Θ ′ 3 X H , (5.34) dX dt = (W −1 x Θ ′ 1 ) X + (W −1 x Θ ′ 2 ) F − (W −1 x Θ 3 ) dF dt + (W −1 x Θ ′ 3 ) X H , dX dt = AX + BF + B ′ dF dt + DX H . Остальные уравнения математической модели (5.33) остаются без изменений. При наличии нелинейных реактивных компонентов используется дифферен- циальное уравнение математической модели, разрешенное относительно произ- водной d ˜x /dt, а вектор ˜x определяется в процессе решения на основе заданных нелинейных функций q C (u C ), ψ L (i L ) или C(u C ), L(i L ). Рассмотренным алгоритмам формирования уравнений переменных состояния присущи следующие ограничения: • управляемые и управляющие дуги являются дугами безреактивных компо- нентов; • управляющие параметры являются постоянными величинами. Ограничения на характер управляющих двухполюсников снимаются за счет введения дополнительных дуг, фиксирующих управляющие переменные: последо- вательно с управляющими по току двухполюсниками вводятся короткозамкнутые дуги, а параллельно с управляющими по напряжению двухполюсниками — разо- мкнутые дуги. Обобщение на случаи нелинейных зависимостей между управляемыми и управ- ляющими величинами достигается введением дуг, фиксирующих управляющие переменные, и отнесением их к множеству дуг нелинейных компонентов. При этом в векторе X H следует положить равными нулю компоненты, соответствующие управляющим дугам, что равносильно их удалению совместно с соответствующи- ми столбцами матриц Θ ′ 3 , Ω ′ 3 , Q ′ 3 5.1 Математическое описание электронных схем в базисе переменных состояния 123 При математическом описании нелинейных электронных схем по изложенным алгоритмам дуги всех нелинейных компонентов, управляемых током, должны вой- ти в дерево, а дуги всех нелинейных компонентов, управляемых напряжением, — в дополнение дерева. Это требование является топологическим ограничением, ко- торое служит одним из условий детерминированности схемы, то есть возможности получения для искомых переменных однозначного решения при заданных воздей- ствиях и начальных условиях. Невыполнение этого требования служит признаком того, что схема может оказаться недетерминированной. Порядок системы дифференциальных уравнений определяется числом переменных состояния как разность между числом всех дифференциальных переменных и числом зависимых дифферен- циальных переменных. В состав зависимых дифференциальных переменных входят топологически за- висимые и компонентно зависимые переменные. Компонентно зависимые пере- менные имеются только в схемах с необратимыми компонентами при определен- ных значениях управляющих параметров зависимых источников. Наличие компо- нентно зависимых дифференциальных переменных делает матрицу W 0 особенной, а их число определяется дефектом d этой матрицы. Дефект матрицы W 0 пред- ставляет собой разность между порядком и рангом матрицы. Компонентно зависи- мые дифференциальные переменные исключаются из числа переменных состояния в процессе приведения матрицы W 0 к единичной матрице. При этом в дифферен- циальных уравнениях математической модели появляются производные высших порядков d i F (t)/dt i от вектора входных переменных. Общее количество независимых переменных состояния выражается соотноше- нием: α 0 = ν C + σ L − d. (5.35) Рассмотрим формирование математической модели в базисе переменных со- стояния для схемы однокаскадного избирательного усилителя, приведенной на рис. 5.1, а. Схема замещения усилителя по переменному току, в которой полевой транзи- стор представлен эквивалентной схемой (рис. 5.1, б), приведена на рис. 5.2. Полюсный граф избирательного усилителя, соответствующий схеме замеще- ния (рис. 5.2), представлен на рис. 5.3. Полюсный граф избирательного усилителя содержит ℓ E = 1 e-дуг (U x ); ℓ C = 6 C- дуг (C1, C2, C3, C4, C зи , C зc ); ℓ L = 1 L-дуг (L1) и ℓ X = 5 x-дуг (дуг безреактивных компонентов). При этом дуга x2 отображает параллельно включенные в схеме за- мещения зависимый источник тока SU зи и ветвь с проводимостью G cи . Поскольку при использовании рассмотренного алгоритма формирования математических мо- делей в базисе переменных состояния управляющими могут быть только безреак- тивные дуги, в граф введена разомкнутая дуга x5, управляющая по напряжению U зи . В полюсном графе отсутствуют j-дуги. Для определения числа топологически зависимых дифференциальных пере- менных сформируем C- и L-графы (рис. 5.4). 124 Глава 5. Анализ электронных схем во временной области Рис. 5.1 – Схема избирательного усилителя (а) и эквивалентная схема полевого транзистора с управляющим p-n-переходом Рис. 5.2 – Схема замещения избирательного усилителя по переменному току Определяем число особых контуров σ C = ℓ C − υ C + n C = 6 − 5 + 1 = 2 и особых сечений ν L = υ L − n L = 1 − 1 = 0. Для исключения топологически зависимых дифференциальных переменных в состав покрывающего дерева последовательно включены ℓ E = 1 e-дуга (U вx ) и l CT = 4 C-дуг (C1, C2, C3, C4). В дополнение покрывающего дерева входят ℓ L = 1 L-дуга (L1), ℓ XN = 5 x-дуг (x1, x2, x3, x4, x5) и ℓ CN = 2 C-дуг (C зи , C зc ). Выбранное покрывающее дерево определяет систему ν = υ − n = 6 − 1 = 5 глав- ных сечений. При этом ℓ E = 1 сечение (сечение CE) определяется e-дугой дерева, а ℓ CT = 4 сечений (сечений CC1, CC2, CC3, CC4) — C-дугами дерева. Сечения, определяемые x-дугами и L-дугами, в графе (рис. 5.3) отсутствуют. Следователь- но, (5.7), (5.8) и (5.9) принимают вид: [ 1 0 π EC π EX π EL 0 1 π CC π CX π CL ] ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ I E I CT I CN I XN I LN ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ = 0, (5.36) 5.1 Математическое описание электронных схем в базисе переменных состояния 125 Рис. 5.3 – Полюсный граф избирательного усилителя Рис. 5.4 – C-граф (а) и L-граф (б) избирательного усилителя ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ −π T EC −π T CC 1 0 0 −π T EX −π T CX 0 1 0 −π T EL −π T CL 0 0 1 ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ E U CT U CN U XN U LN ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ = 0. (5.37) [ V UN V IN ] [ U XN I XN ] = 0. (5.38) 126 Глава 5. Анализ электронных схем во временной области По полюсному графу (рис. 5.3) определяем: π EC = [ 1 1 ] , π EX = [ 1 0 0 0 1 ] , π EL = [0] , π CC = ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ −1 −1 0 −1 −1 0 0 0 ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ , π CX = ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ −1 0 0 0 −1 0 1 0 1 0 0 −1 1 0 −1 0 0 0 −1 0 ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ , π CL = ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ 0 1 0 0 ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ . Компонентные уравнения для x-дуг имеют вид: U x1 = R 1 I x1 , I x2 = SU x5 + G cи U x2 , U x3 = R 2 I x3 , U x4 = R н I x4 , I x5 = 0. (5.39) Преобразовав уравнения (5.39) к виду: U x1 − R 1 I x1 = 0, − G cи U x2 − SU x5 + I x2 = 0, U x3 − R 2 I x3 = 0, U x4 − R н I x4 = 0, I x5 = 0, их можно записать в матричной форме (5.38): ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ 1 0 0 0 0 −R 1 0 0 0 0 0 −G cи 0 0 −S 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 −R 2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 −R н 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ U x1 U x2 U x3 U x4 U x5 I x1 I x2 I x3 I x4 I x5 ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ = ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ 0 0 0 0 0 ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ , откуда V UN = ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ 1 0 0 0 0 0 −G cи 0 0 −S 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ , V IN = ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ −R 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 −R 2 0 0 0 0 0 −R н 0 0 0 0 0 1 ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ Выразив из топологического уравнения (5.37) вектор напряжений U XN x-хорд и подставив его в компонентное уравнение (5.38), после преобразования получим уравнение для безреактивных дуг: V IN I XN = −V UN π T CX U CT − V UN π T EX E, (5.40) сопоставляя которое с (5.12), находим: W 0 = V IN , Q 1 = [ −V UN π T CX 0 ], Q 2 = −V UN π T EX , 5.1 Математическое описание электронных схем в базисе переменных состояния 127 причем: X 0 =I XN = [ I x1 I x2 I x3 I x4 I x5 ] T , U CT = [ U C1 U C2 U C3 U C4 ] T , I LN = [I L1 ] , X = [ U CT I LN ] T = [ U C1 U C2 U C3 U C4 I L1 ] T , F =E = [U вx ] . Поскольку матрица W 0 не является особенной, то ее дефект d = 0, поэтому в математической модели отсутствуют компонентно зависимые дифференциаль- ные переменные. Дифференциальное матричное уравнение (5.16) имеет вид: d dt [ q ψ ] = [ −π CX 0 ] I XN + [ 0 −π CL π T CL 0 ] [ U CT I LN ] + [ 0 π T EL ] E, (5.41) откуда следует: Θ 0 = [ −π CX 0 ] = ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ −1 0 0 0 −1 0 1 0 1 0 0 −1 1 0 −1 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ , Θ 1 = [ 0 −π CL π T CL 0 ] = ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ , Θ 2 = [ 0 π T EL ] = ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ 0 0 0 0 0 ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ . Решая (5.40) относительно X 0 = I XN и подставляя в (5.41), найдем уравне- ние (5.17): d ˜x dt = d dt [ q ψ ] = Θ ′ 1 X + Θ ′ 2 F, где: Θ ′ 1 = Θ 0 W −1 0 Q 1 + Θ 1 = ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ − 1 R 1 0 0 0 0 S − (G cи + 1 R н ) G cи + S 1 R н −1 −S G cи − (G cи + S + 1 R 2 ) 0 0 0 1 R н 0 − 1 R н 0 0 1 0 0 0 ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ , Θ ′ 2 = Θ 0 W −1 0 Q 2 + Θ 2 = ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ 1 R 1 −S S 0 0 ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ . |