Методы анализа и расчета электронных схем - пособие. Учебное пособие Томск Эль Контент
 Скачать 1.73 Mb.
|
|
Глава 4. Анализ линейных электронных схем операторными методами таблицы 4.4, в которых определитель и алгебраические дополнения вычисляют- ся по укороченной матрице сопротивлений, имеющей 5-ый порядок. Например, выражение для коэффициента передачи по напряжению будет иметь вид: k U = Z н ∆ 15 ∆ + Z н ∆ 55 . 4.2 Определение схемных функций электронных схем методом сигнальных графов Исследование электронных схем зачастую сводится к решению систем линей- ных уравнений. При этом существенный интерес представляет аналитическое ре- шение, поскольку только символьная форма записи результата позволяет эффек- тивно оценить влияние внутренних и внешних параметров на характеристики ана- лизируемой схемы. Получение решения в аналитической форме алгебраическими методами связано со значительной затратой времени и практически может быть достигнуто лишь в случаях невысокого порядка систем уравнений. Никаких пре- имуществ при решении систем уравнений не дает переход от скалярной формы записи уравнений к матричной, поскольку все известные операции матричной ал- гебры эффективны только в случае численного представления элементов матриц. Получение результата в аналитической форме значительно упрощается при пе- реходе к топологическим способам решения систем линейных уравнений. К топологическим методам анализа электронных схем относятся методы, кото- рые подразумевают представление модели электронной схемы в виде графа и по- лучение искомых результатов на основе операций, применяемых непосредственно к этому графу. В зависимости от характера графов топологические методы анализа электрон- ных схем можно разделить на две большие группы: • основанные на использовании взвешенных полюсных графов электронных схем, дугам которых приписаны веса, определяемые параметрами компо- нентов электронной схемы; • основанные на использовании ориентированных графов, отображающих систему линейных алгебраических уравнений, описывающих электронную схему (сигнальных графов). Понятие и виды сигнальных графов Сигнальным называют ориентированный граф, отображающий систему линейных алгебраических уравнений, сформированную для электронной схемы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . При этом вершины графа соответствуют искомым (x i ) и задающим (f j ) перемен- ным, дуги отражают связи переменных в уравнениях и характеризуются весами a ij , определяемыми коэффициентами уравнений. 4.2 Определение схемных функций электронных схем методом сигнальных графов 93 В зависимости от типа системы линейных уравнений различают: • однородные сигнальные графы, отображающие системы однородных ли- нейных уравнений (не содержащих задающих переменных); • неоднородные графы, отображающие системы неоднородных линейных уравнений (содержащих задающие переменные). В зависимости от формы представления системы линейных уравнений разли- чают следующие виды сигнальных графов: • сигнальные графы Мэзона; • сигнальные графы Коутса; • обобщенные сигнальные графы (сигнальные графы Анисимова); • ориентированные беспетлевые графы и др. Наибольшее распространение при анализе электронных схем по- лучили сигнальные графы Мэзона и обобщенные сигнальные графы. В зависимости от характера искомых и задающих переменных системы урав- нений выделяют: • гибридные сигнальные графы, переменными системы уравнений для кото- рых являются как токи, так и напряжения; • сигнальные U -графы, искомыми переменными системы уравнений для ко- торых являются узловые потенциалы, а задающими — задающие токи; • сигнальные I-графы, искомыми переменными системы уравнений для ко- торых являются контурные токи, а задающими — задающие ЭДС. При анализе электронных схем сигнальные I-графы практически не использу- ются. Существует два основных способа формирования сигнальных графов элек- тронных схем: • косвенный, который предполагает предварительную запись системы ли- нейных алгебраических уравнений в требуемой форме; • прямой, который заключается в построении сигнального графа непосред- ственно по схеме замещения электронной цепи, минуя этап записи системы уравнений. Передачей между вершинами сигнального графа называют отно- шение соответствующих переменных системы линейных алгебра- ических уравнений: F ij = x i f j , F ′ ij = x i x j . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Глава 4. Анализ линейных электронных схем операторными методами Существует два основных способа определения передач сигнальных графов: • путем эквивалентных преобразований исходного графа в граф, содержа- щий вершины x i и f j и одну дугу, направленную от f j к x i (либо вершины x i и x j и одну дугу, направленную от x j к x i ); • путем применения топологической формулы общей передачи: F ij = x i f j = s ∑ k =1 p (xi, fj) k D k D , (4.29) где D — определитель сигнального графа; p (xi, fj) k — передача k-го простого пути, на- правленного из вершины f j в вершину x i ; D k — величина дополнения k-го простого пути, направленного из вершины f j в вершину x i . Передача простого пути опреде- ляется как произведение передач дуг, входящих в этот путь. Величина дополнения простого пути находится как определитель части исходного графа, которая не каса- ется соответствующего пути (не имеет с ним общих вершин). Правила вычисления определителя зависят от используемого вида сигнального графа, поэтому для гра- фов каждого вида топологическая формула общей передачи имеет дополнительное название: формула Мэзона, формула Коутса, формула Анисимова и т. д. Сигнальные графы Мэзона Сигнальные графы Мэзона отображают системы линейных алгебраических уравнений, представленные в причинно-следственной форме, когда в каждом урав- нении одна из искомых переменных явно выражена через другие искомые и зада- ющие переменные: x i = n ∑ j =1 a ij x j + m ∑ j =1 a ′ ij f j , i = 1, n, (4.30) где x i — искомые переменные; f j — задающие переменные; a ij , a ′ ij — коэффициенты системы уравнений. Сигнальный граф Мэзона содержит: • вершины-истоки, соответствующие задающим переменным f j ; • смешанные вершины, соответствующие искомым переменным x i ; • дуги, направленные от вершин, соответствующих переменным в правой части, к вершинам, соответствующим переменным в левой части уравне- ний (4.30), и характеризумые весами (передачами), равными коэффициен- там a ij , a ′ ij Вершинам-истокам инцидентны только исходящие дуги, смешанным верши- нам — как исходящие, так и входящие дуги. Вершины, которым инцидентны только входящие дуги, называют вершинами-стоками. Вершины-стоки, как и смешанные вершины, отображают искомые переменные системы уравнений. 4.2 Определение схемных функций электронных схем методом сигнальных графов 95 Рассмотрим формирование сигнального графа Мэзона по системе уравнений, представленной в причинно-следственной форме: ⎧⎪⎪⎪ ⎨⎪⎪ ⎪⎩ x 1 = a 12 x 2 + a ′ 11 f 1 , x 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 , x 3 = a 32 x 2 . Сигнальный граф Мэзона приведен на рис. 4.8 и содержит одну вершину-исток f 1 , две смешанные вершины x 1 и x 2 , одну вершину-сток x 3 , пять дуг с весами a 12 , a ′ 11 , a 21 , a 22 , a 32 , одна из которых (дуга a 22 ) является петлей. Рис. 4.8 – Сигнальный граф Мэзона В общем случае системы линейных алгебраических уравнений электронных схем имеют вид: n ∑ j =1 w ij x j = m ∑ j =1 w ′ ij f j , i = 1, n. (4.31) Для представления системы уравнений (4.31) общего вида сигнальным графом Мэзона используют два основных способа приведения системы к причинно-след- ственной форме. Первый способ основан на нормализации системы уравнений (4.31) и приведе- нии ее к виду: x i = n ∑ j =1 j ≠i (− w ij w ii ) x j + m ∑ j =1 w ′ ij w ii f j . (4.32) Сигнальный граф Мэзона, построенный с использованием (4.32), называется нормализованным. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Из сопоставления (4.32) и (4.30) следует, что веса дуг нормализованного графа связаны с коэффициентами системы уравнений общего вида выражениями: a ii = 0, a ij = − w ij w ii (i ≠ j), a ′ ij = w ′ ij w ii , (4.33) которые показывают, что в нормализованном графе Мэзона отсутствуют петли. 96 Глава 4. Анализ линейных электронных схем операторными методами Второй способ заключается в том, что к обеим частям каждого i-го уравнения системы (4.31) прибавляется искомая переменная x i , а затем все слагаемые, кроме вершины x i , переносятся в правую часть уравнения: x i = (1 − w ii ) x i + n ∑ j =1 j ≠i w ij x j + m ∑ j =1 w ′ ij f j , i = 1, n. (4.34) Сигнальные графы Мэзона, построенные с использованием (4.34), называются ненормализованными. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Из сопоставления (4.34) с (4.30) следует, что веса дуг ненормализованных гра- фов связаны с коэффициентами системы уравнений общего вида выражениями: a ii = 1 − w ii , a ij = w ij (i ≠ j), a ′ ij = w ′ ij , (4.35) которые показывают, что в ненормализованных графах Мэзона при смешанных вершинах присутствуют петли. Рассмотрим построение нормализованного и ненормализованного сигнальных U -графов Мэзона косвенным способом для электронной схемы (рис. 4.9). Рис. 4.9 – Электронная схема Система операторных линейных алгебраических уравнений, сформированная для схемы (рис. 4.9) методом узловых потенциалов, имеет вид: ⎧⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎨ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎩ ( 1 R 1 + 1 R 2 ) 3 1 − 1 R 1 3 2 − 1 R 2 3 3 = J, − 1 R 1 3 1 + ( 1 R 1 + pC + 1 pL ) 3 2 − 1 pL 3 3 = 0, − 1 R 2 3 1 − 1 pL 3 2 + ( 1 R 2 + 1 R 3 + 1 pL ) 3 3 = y(3 1 − 3 2 ). (4.36) Систему уравнений (4.36) запишем в виде: ⎧⎪⎪⎪ ⎨⎪⎪ ⎪⎩ Y 11 3 1 − g 1 3 2 − g 2 3 3 = J, −g 1 3 1 + Y 22 3 2 − y L 3 3 = 0, − (g 2 + y) 3 1 − (y L − y) 3 2 + Y 33 3 3 = 0, (4.37) 4.2 Определение схемных функций электронных схем методом сигнальных графов 97 где g 1 = 1/R 1 , g 2 = 1/R 2 , g 3 = 1/R 3 , y L = 1/ (pL) — операторные проводимости ветвей схемы; Y 11 = g 1 + g 2 , Y 22 = g 1 + pC + y L , Y 33 = g 2 + g 3 + y L — собственные проводимости узлов схемы. Нормализуя систему уравнений (4.37), получаем: ⎧⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎨⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎩ 3 1 = g 1 Y 11 3 2 + g 2 Y 11 3 3 + 1 Y 11 J , 3 2 = g 1 Y 22 3 1 + y L Y 22 3 3 , 3 3 = g 2 + y Y 33 3 1 + y L − y Y 33 3 2 . (4.38) Системе уравнений соответствует нормализованный сигнальный U -граф Мэ- зона, приведенный на рис. 4.10. Рис. 4.10 – Нормализованный сигнальный U -граф Мэзона Прибавляя к обеим частям уравнений системы (4.37) переменные 3 1 , 3 2 , 3 3 в пер- вом, втором и третьем уравнениях соответственно и перенося все слагаемые, кроме 3 1 , 3 2 , 3 3 , в правые части соответствующих уравнений, получим: ⎧⎪⎪⎪ ⎨⎪⎪ ⎪⎩ 3 1 = (1 − Y 11 ) 3 1 + g 1 3 2 + g 2 3 3 + J, 3 2 = g 1 3 1 + (1 − Y 22 ) 3 2 + y L 3 3 , 3 3 = (g 2 + y) 3 1 + (y L − y) 3 2 + (1 − Y 33 ) 3 3 . (4.39) Системе уравнений соответствует ненормализованный сигнальный U -граф Мэ- зона, приведенный на рис. 4.11. Косвенный способ построения сигнальных графов Мэзона на базе систем урав- нений общего вида, записанных в однородных координатных базисах, обязатель- но включает этап преобразования исходной системы уравнений к причинно-след- ственной форме. 98 Глава 4. Анализ линейных электронных схем операторными методами Рис. 4.11 – Ненормализованный сигнальный U -граф Мэзона Сопоставляя структуру сигнальных графов Мэзона с видом электронной схе- мы, можно установить правила, которые позволяют формировать граф непосред- ственно по схеме замещения, минуя этап записи системы линейных уравнений. Наиболее простыми являются правила прямого построения ненормализованного сигнального U -графа Мэзона: • в схеме замещения выбирается базисный узел и обозначаются остальные узлы; • на поле графа наносятся вершины 3 1 , 3 2 , . . ., 3 ν , соответствующие узловым потенциалам (число вершин определяется числом ν независимых сечений); • в вершинах графа строятся петли с передачами a kk = 1 − Y kk , где Y kk — соб- ственная проводимость k-го узла схемы; • пассивный двухполюсный компонент, инцидентный узлам i и j, отображается двумя противоположными по направлению дугами, инцидентными вершинам 3 i и 3 j , с передачами, равными операторной проводимости компонента; • зависимый источник тока, управляемый напряжением (ИТУН), отобража- ется дугами, направленными из вершин, соответствующих узлам управля- ющего двухполюсника, в вершины, соответствующие узлам ИТУН, и име- ющими передачи, равные управляющей проводимости; если направление ИТУН относительно i-го узла и направление управляющего напряжения относительно j-го узла характеризуются различно, то в передачу дуги, на- правленной из вершины 3 j в вершину 3 i , управляющая проводимость вхо- дит с противоположным знаком; • зависимые источники других типов (ИНУН, ИНУТ, ИТУТ) предварительно преобразуются в ИТУН; • многополюсные компоненты предварительно замещаются эквивалентны- ми схемами либо отображаются сигнальными U -графами Мэзона, которые берут готовыми из научно-технической литературы либо формируют по эквивалентным схемам или неопределенным матрицам проводимостей; • независимый источник тока, направленный от узла c к узлу a, отобража- ется вершиной-истоком, которая соответствует задающему току J , и двумя дугами, направленными от вершины J к вершинам 3 a и 3 c и имеющими передачи «1» и « −1» соответственно; • независимые источники напряжения предварительно преобразуются в ис- точники тока. 4.2 Определение схемных функций электронных схем методом сигнальных графов 99 Формирование сигнальных U -графов Мэзона многополюсных компонентов по неопределенным матрицам проводимостей выполняют по следующим правилам: • на поле графа наносятся вершины 3 1 , 3 2 , . . ., 3 N , соответствующие потен- циалам всех полюсов N -полюсника; • в вершинах графа строятся петли с передачами, равными диагональным элементам неопределенной матрицы проводимостей a ii = y ii , i = 1, N; • недиагональные элементы y ij (i ≠ j) отображаются дугами, направленными из вершин 3 j в вершины 3 i и имеющими передачи a ij = −y ij Например, неопределенной матрице проводимостей полевого транзистора с управляющим p-n-переходом: з с и з pC зи + pC зс −pC зс −pC зи Y ПТ = с −pC зс + S pC зс + G си − (G си + S) и − (pC зи + S) −G си G си + pC зи + S соответствует сигнальный U -граф Мэзона, приведенный на рис. 4.12. Рис. 4.12 – Сигнальный U -граф Мэзона полевого транзистора с управляющим p-n-переходом Для схем с активными электронными компонентами сигнальные U -графы Ме- зона, как правило, формируют по схемам замещения, в которых активные компо- ненты представлены как многополюсники, используя следующий алгоритм: • составляют схему замещения электронной цепи; • формируют однородный сигнальный U -граф Мэзона пассивной части схемы; • из научно-технической литературы выбирают (или составляют самостоя- тельно) сигнальные U -графы Мэзона активных электронных компонентов; собственные обозначения вершин этих графов заменяют обозначениями узлов, которым инцидентны соответствующие полюса активных компонен- тов; из графов активных компонентов исключаются вершины, соответству- ющие заземленным полюсам, и все инцидентные этим вершинам дуги; • формируют однородный суммарный сигнальный U -граф Мэзона (совме- щают одноименные вершины графов пассивной части схемы и активных |