Методы анализа и расчета электронных схем - пособие. Учебное пособие Томск Эль Контент
 Скачать 1.73 Mb.
|
|
Глава 3. Схемные функции и их анализ 3) Укажите основные алгебраические формы представления схемных функций. 4) Получите дробно-рациональную форму представления коэффициента пе- редачи по напряжению для схемы: 5) Для схемной функции F (p) = (4p 2 + 12p + 8)/(2p 2 + 12p + 18) укажите мас- штабный коэффициент, нули и полюса. 6) Представьте схемную функцию F (p) = (p 2 + 4p + 4)/(p 2 + 4p + 3) в виде суммы простых слагаемых. 7) Что представляют собой временные характеристики и как они связаны со схемными функциями? 8) Получите выражение переходной характеристики, если схемная функция имеет вид: F (p) = p (p + 1) (p + 2) . 9) Запишите выражение импульсной переходной характеристики по схемной функции: F (p) = 2 p + 1 + 1 (p + 1) 2 . 10) Укажите, как связаны переходная и импульсная переходная характеристики в операторной и во временной формах? Глава 4 АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ СХЕМ ОПЕРАТОРНЫМИ МЕТОДАМИ Основным этапом исследования линейных электронных схем на основе опера- торных математических моделей является определение выражений схемных функ- ций, по которым далее производится расчет частотных и временных характери- стик, определяются параметры последних, исследуется параметрическая чувстви- тельность, устойчивость и т. д. В зависимости от используемого языка математического описания выделяют три группы методов определения схемных функций: • матричные методы; • топологические методы; • теоретико-множественные методы. Алгебраический язык основан на представлении информации в виде матриц, является удобным для автоматизации анализа и служит теоретической базой для обоснования методов, основанных на других языках описания. Топологический язык основан на представлении математических моделей в ви- де взвешенных графов и получении выражений для схемных функций непосред- ственно по виду графов путем применения к нему специальных операций. В основе теоретико-множественного языка описания методов определения схемных функций лежит отображение матричных или топологических моделей электронных схем совокупностью множеств, содержащих коды их ненулевых эле- ментов, с последующим преобразованием этих множеств на основе теоретико- множественных операций. 78 Глава 4. Анализ линейных электронных схем операторными методами 4.1 Определение схемных функций по матрично-векторным параметрам электронных схем Как отмечалось, схемные функции характеризуют электронную схему, приве- денную к проходному четырехполюснику относительно пары входов, к одному из которых приложено внешнее воздействие, а на другом определяется реакция на это воздействие. Используя какой-либо тип уравнений четырехполюсника совместно с соотно- шениями, которые связывают входные и выходные токи и напряжения с парамет- рами источника сигнала и нагрузки, схемные функции можно выразить через па- раметры проходного четырехполюсника. В свою очередь, параметры четырехполюсника непосредственно связаны с мат- рицами эквивалентных параметров схемы. В каждом конкретном случае опреде- лять схемные функции через параметры четырехполюсника неудобно, поэтому целесообразно установить непосредственную связь между схемными функциями и матрицами эквивалентных параметров схемы для уравнений различных типов (КВ, КК, ВК) в различных системах координат. Определение схемных функций через параметры проходного четырехполюсника Электронная схема как проходной четырехполюсник характеризуется двумя уравнениями, выражающими две второстепенные величины через две основные. В общем случае уравнения, называемые основными уравнениями проходного че- тырехполюсника, имеют вид: { ξ вx = w 11 y вx + w 12 y выx , ξ выx = w 21 y вx + w 22 y выx . (4.1) Связь основных и второстепенных величин с параметрами источника сигнала и нагрузки в общем случае можно представить в виде: { ξ вx = ξ c − w c y вx , ξ выx = w н y выx , (4.2) где ξ c — задающая величина источника сигнала (задающая ЭДС или задающий ток); w c , w н — иммитансы источника сигнала и нагрузки соответственно. Совместное решение (4.1) и (4.2) дает выражения для отношений основных и второстепенных величин: F ξ выx ξ вx = ξ выx ξ вx = − w н w 21 ∣w∣ − w 11 w н , F ξ выx y вx = ξ выx y вx = − w н w 21 w 22 − w н , (4.3) F y выx ξ вx = y выx ξ вx = − w 21 ∣w∣ − w 11 w н , F y выx y вx = y выx y вx = − w 21 w 22 − w н , F вx = ξ вx y вx = ∣w∣ − w 11 w н w 22 − w н , F выx = ξ выx ∣ w н →∞ y выx ∣ w н =0 = ∣w∣ + w 22 w c w 11 + w c , 4.1 Определение схемных функций по матрично-векторным параметрам электронных схем 79 где ∣w∣ = ∣ w 11 w 12 w 21 w 22 ∣. Подставляя в выражения (4.3) конкретные физические величины, можно полу- чить выражения для конкретных видов схемных функций, соответствующие раз- личным системам параметров проходного четырехполюсника. В системе y-параметров: y вx = U вx , ξ вx = I вx , ξ c = J c , w н = y н y выx = U выx , ξ выx = I выx , w c = y c , (4.4) откуда следует: k I = I выx I вx = − y н y 21 ∣y∣ − y 11 y н , k U = U выx U вx = − y 21 y 22 − y н , Z пep = U выx I вx = − y 21 ∣y∣ − y 11 y н , Y пep = I выx U вx = − y н y 21 y 22 − y н , Y вx = I вx U вx = ∣y∣ − y 11 y н y 22 − y н , Y выx = I выx ∣ y н →∞ U выx ∣ y н =0 = ∣y∣ + y 22 y c y 11 + y c . (4.5) В системе z-параметров: y вx = I вx , ξ вx = U вx , ξ c = e c , w н = z н y выx = I выx , ξ выx = U выx , w c = z c , (4.6) откуда следует: k U = U выx U вx = − z н z 21 ∣z∣ − z 11 z н , k I = I выx I вx = − z 21 z 22 − z н , Y пep = I выx U вx = − z 21 ∣z∣ − z 11 z н , Z пep = U выx I вx = − z н z 21 z 22 − z н , Z вx = U вx I вx = ∣z∣ − z 11 z н z 22 − z н , Z выx = U выx ∣ z н →∞ I выx ∣ z н =0 = ∣z∣ + z 22 z c z 11 + z c . (4.7) Связь параметров проходного четырехполюсника с матрицами эквивалентных параметров схемы Представим входную и выходную ветви четырехполюсника независимыми ис- точниками, задающими величинами которых являются ξ вx и ξ выx В зависимости от характера этих источников (источники тока или напряже- ния) получим одну из форм уравнений (4.1). Инцидентность внешних (входной и выходной) ветвей четырехполюсника системе независимых сечений и контуров определяется соответствующими столбцами топологических матриц Π независи- мых сечений и P независимых контуров. Полагая, что внутри четырехролюсника независимые источники отсутствуют, уравнение схемы можно представить в виде: WX = − [θ вx θ выx ] [ ξ вx ξ выx ] 80 Глава 4. Анализ линейных электронных схем операторными методами или [ W θ вx θ выx ] ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ X ξ вx ξ выx ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ = 0, (4.8) где W — матрица эквивалентных параметров схемы, соответствующая любому ти- пу уравнений, а θ вx и θ выx — матрицы-столбцы, описывающие задающий вектор Q. Основные величины y вx и y выx четырехполюсника могут быть выражены че- рез вектор состояния X : [ y вx y выx ] = [ λ вx λ выx ] X , (4.9) где λ вx , λ выx — векторы-строки, образуемые из столбцов топологических матриц Θ и (или) Θ 1 , которые соответствуют внешним ветвям четырехполюсника. Объединив (4.8) и (4.9) в одно матричное уравнение: ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ W θ вx θ выx λ вx 0 0 λ выx 0 0 ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ X ξ вx ξ выx ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ = ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ 0 y вx y выx ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ (4.10) и решив его относительно ξ вx и ξ выx , получим: ⎧⎪⎪⎪ ⎪⎨ ⎪⎪⎪⎪ ⎩ ξ вx = 1 ∆ ′′ (∆ ′′ n +1, n+1 y вx + ∆ ′′ n +2, n+1 y выx ) , ξ выx = 1 ∆ ′′ (∆ ′′ n +1, n+2 y вx + ∆ ′′ n +2, n+2 y выx ) , (4.11) где ∆ ′′ = det W ′′ = det ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ W θ вx θ выx λ вx 0 0 λ выx 0 0 ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ , а ∆ ′′ n +1, n+1 , ∆ ′′ n +1, n+2 , ∆ ′′ n +2, n+1 , ∆ ′′ n +2, n+2 — ал- гебраические дополнения матрицы W ′′ относительно элементов двух последних строк и столбцов. Сравнивая уравнения (4.11) с основными уравнениями четырехполюсника (4.1), можно записать матрицу четырехполюсника в виде: w = 1 ∆ ′′ [ ∆ ′′ n +1, n+1 ∆ ′′ n +2, n+1 ∆ ′′ n +1, n+2 ∆ ′′ n +2, n+2 ] . (4.12) Алгебраические дополнения, входящие в матрицу четырехполюсника (4.12), представляют собой определители матриц (n + 1)-го порядка: ∆ ′′ n +1, n+1 = det [ W θ выx λ выx 0 ] , ∆ ′′ n +2, n+1 = − det [ W θ выx λ вx 0 ] , (4.13) ∆ ′′ n +1, n+2 = − det [ W θ вx λ выx 0 ] , ∆ ′′ n +2, n+2 = det [ W θ вx λ вx 0 ] . Таким образом, определение выражений параметров проходного четырехпо- люсника сводится к отысканию определителей матриц вида: W ′ = [ W θ λ 0 ] , W ′′ = ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ W θ 1 θ 2 λ 1 0 0 λ 2 0 0 ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ , 4.1 Определение схемных функций по матрично-векторным параметрам электронных схем 81 где W — матрица n-го порядка, θ, λ, θ 1 , θ 2 , λ 1 , λ 2 — n-мерные векторы. Элементы векторов θ и λ равны +1, −1 или 0, поэтому определитель матри- цы W ′ можно привести к определителю (n − 1)-го порядка, используя операции разложения по столбцу θ и строке λ: det W ′ = θ p λ q ∆ ′ p, n +1; n+1, q = −θ p λ q ∆ ′ p, q; n +1, n+1 = −θ p λ q ∆ Ω pq , (4.14) где θ p и λ q — опорные элементы столбца θ и строки λ; ∆ Ω pq — алгебраическое допол- нение матрицы Ω, полученной из матрицы W путем алгебраического суммирова- ния строк и столбцов. Величину ∆ θλ = θ p λ q ∆ Ω pq называют суммарным алгебраическим до- полнением матрицы W относительно векторов θ и λ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Векторы θ и λ называют преобразующими векторами. Обычно векторы θ и λ со- держат значительное число нулевых составляющих, поэтому удобно отображать эти векторы множеством номеров их ненулевых составляющих, разбивая каж- дое из них на подмножество номеров положительных (α + , β + ) и отрицательных (α − , β − ) составляющих, то есть: ∆ θλ = ∆ (α + /α − )(β + /β − ) . Например, суммарное алгебраическое дополнение матрицы W = ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ 1 1 3 4 2 3 4 3 3 4 5 2 4 5 6 1 ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ относительно преобразующих векторов θ = [ 0 1 1 −1 ] T и λ = [ −1 0 0 −1 ] равно: ∆ θλ = ∆ [ 0 1 1 −1 ][ −1 0 0 −1 ] = ∆ (2, 3/4)(0/1, 4) = = − RRRRR RRRRR RRRRR RRRRR RRR 1 1 3 4 0 2 3 4 3 1 3 4 5 2 1 4 5 6 1 −1 −1 0 0 −1 0 RRRRR RRRRR RRRRR RRRRR RRR = −18. Определитель ∆ ′′ матрицы W ′′ можно выразить через определитель (n − 2)-го порядка матрицы W , то есть: ∆ ′′ = det W ′′ = ∆ θ 1 λ 1 ; θ 2 λ 2 = ∆ θ 2 λ 2 ; θ 1 λ 1 . (4.15) Величина ∆ θ 1 λ 1 ; θ 2 λ 2 = ∆ θ 2 λ 2 ; θ 1 λ 1 = θ p 1 λ q 1 θ p 2 λ q 2 ∆ Ω p 1 q 1 ; p 2 q 2 представляет собой двух- кратное суммарное алгебраическое дополнение матрицы W относительно преоб- разующих векторов θ 1 , λ 1 и θ 2 , λ 2 82 Глава 4. Анализ линейных электронных схем операторными методами Например, двукратное суммарное алгебраическое дополнение матрицы W = = ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ 1 1 3 4 2 3 4 3 3 4 5 2 4 5 6 1 ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ относительно преобразующих векторов θ 1 = [ 0 1 1 −1 ] T , λ 1 = [ −1 0 0 −1 ] и θ 2 = [ 0 0 1 1 ] T , λ 2 = [ 1 0 0 0 ] равно: ∆ θ1λ1, θ2λ2 = ∆ (2, 3/4)(0/1, 4),(3, 4/0)(1/0) = RRRRR RRRRR RRRRR RRRRR RRRRR RRR 1 1 3 4 0 0 2 3 4 3 1 0 3 4 5 2 1 1 4 5 6 1 −1 1 −1 0 0 −1 0 0 1 0 0 0 0 0 RRRRR RRRRR RRRRR RRRRR RRRRR RRR = −12. Выводы Таким образом, параметры четырехполюсника можно выразить через суммар- ные алгебраические дополнения матрицы эквивалентных параметров схемы. Согласно (4.14) и (4.17) имеем: w = 1 ∆ θвxλвx; θвыxλвыx [ −∆ θвыxλвыx ∆ θвыxλвx ∆ θвxλвыx −∆ θвxλвx ] . (4.16) Используя соотношения (4.16) для параметров четырехполюсника, выразим от- ношения (4.3) основных и второстепенных величин проходного четырехполюсника через определитель и суммарные алгебраические дополнения матриц эквивалент- ных параметров схемы: F ξвыxξвx = − w н ∆ θвxλвыx ∆ + w н ∆ θвыxλвыx , F yвыxyвx = ∆ θвxλвыx ∆ θвxλвx + w н ∆ θвxλвx; θвыxλвыx , F ξвыxyвx = w н ∆ θвxλвыx ∆ θвxλвx + w н ∆ θвxλвx; θвыxλвыx , F yвыx ξвx = − ∆ θвxλвыx ∆ + w н ∆ θвыxλвыx , F вx = − ∆ + w н ∆ θвыxλвыx ∆ θвxλвx + w н ∆ θвxλвx; θвыxλвыx , F выx = − ∆ − w c ∆ θвxλвx ∆ θвыxλвыx − w c ∆ θвxλвx; θвыxλвыx . (4.17) 4.1 Определение схемных функций по матрично-векторным параметрам электронных схем 83 Связь схемных функций с матрицами эквивалентных параметров схемы Схемные функции могут быть найдены через определитель и алгебраические дополнения матрицы эквивалентных параметров схемы W , соответствующей урав- нениям любого типа: КВ, ВК, КК. Соотношения для схемных функций, соответ- ствующие уравнениям разных типов, будут отличаться только видом преобразую- щих векторов. Пусть внешние ветви представлены источниками тока, причем направления этих ветвей выбраны противоположными внешним напряжениям четырехполюс- ника (рис. 4.1). Рис. 4.1 – Четырехполюсник с задающими источниками тока Тогда ξ вx = I вx , ξ выx = I выx , y вx = U вx , y выx = U выx , а схемные функции определя- ются выражениями: k I = − y н ∆ θвxλвыx ∆ + y н ∆ θвыxλвыx , k U = ∆ θвxλвыx ∆ θвxλвx + y н ∆ θвxλвx; θвыxλвыx , y пep = y н ∆ θвxλвыx ∆ θвxλвx + y н ∆ θвxλвx; θвыxλвыx , z пep = − ∆ θвxλвыx ∆ + y н ∆ θвыxλвыx , y вx = ∆ + y н ∆ θвыxλвыx ∆ θвxλвx + y∆ θвxλвx; θвыxλвыx , y выx = − ∆ − y c ∆ θвxλвx ∆ θвыxλвыx − y c ∆ θвxλвx; θвыxλвыx . (4.18) Для КК-уравнений в соответствии с правилом формирования задающего векто- ра Q, учитывая, что ток I вx противоположен направлению входной ветви, получаем: θ вx = [ −π вx 0 ] , θ выx = [ π выx 0 ] , (4.19) где π вx и π выx — векторы-столбцы матрицы невырожденных сечений для входной и выходной ветвей. Вектор X содержит в качестве составляющих узловые напряжения U ′ и кон- турные токи I ′ невырожденных координат, причем y вx = U вx = π T вx U ′ , y выx = U выx = = π T выx U ′ |