Методы анализа и расчета электронных схем - пособие. Учебное пособие Томск Эль Контент
 Скачать 1.73 Mb.
|
|
Глава 2. Математическое описание электронных схем циентов этих уравнений представляет собой особенную (неопределенную) матрицу сопротивлений N -полюсного компонента: z = ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ z 11 z 12 . . . z 1N z 21 z 22 . . . z 2N . . . . . . . . . . . . z N 1 z 2N . . . z NN ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ (2.29) Рис. 2.19 – Токи и напряжения многополюсника для неопределенной матрицы проводимостей (а) и неопределенной матрицы сопротивлений (б) Сумма всех элементов в каждой строке и каждом столбце этой матрицы тож- дественно равна нулю. Таким образом, из N 2 элементов особенной матрицы со- противлений только (N − 1) 2 элементов независимы. Эквивалентные схемы электронных компонентов Электронные компоненты цепей (транзисторы, диоды, тиристоры, резисторы, конденсаторы и т. п.) могут быть представлены эквивалентными схемами, состоя- щими из идеальных схемных компонентов. В зависимости от режима работы элек- тронной схемы и задачи исследования эквивалентные схемы можно подразделить на следующие группы: • низкочастотные линейные малосигнальные для квазилинейного режима на низких частотах; • нелинейные постоянного тока для статического режима и больших низко- частотных сигналов; • высокочастотные линейные малосигнальные для квазилинейного режима на высоких частотах; • нелинейные универсальные для переходных режимов при больших сигналах. Применение той или иной эквивалентной схемы чаще всего является резуль- татом выбора наилучшего компромисса между двумя противоречивыми требова- ниями: достаточно высокой степенью точности отображения реальных процессов и предельной простотой модели. Использование при анализе электронных схем 2.3 Математические модели компонентов электронных схем 41 универсальных эквивалентных схем снимает этот вопрос, но при этом решение сравнительно простых задач неоправданно усложняется. Поэтому представление электронных компонентов их эквивалентными схемами различных уровней явля- ется оправданным. Компонентные уравнения Каждому из ребер полюсного графа электронной схемы соответствует уравне- ние двухполюсного или многополюсного компонента (компонентное уравнение). В зависимости от вида компонентных уравнений ребра разбива- ют на два подмножества: y-ребра (уравнения выражают токи) и z-ребра (уравнения выражают напряжения). Ребра, уравнения которых записываются как для токов, так и для напряжений, на- зывают взаимно определенными. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Отнесение ребра к одному из двух подмножеств зависит от его характера, связи с другими ребрами и процедуры формирования уравнений схемы. В общем случае токи y-ребер и напряжения z-ребер могут зависеть от токов и напряжений любых ребер графа, а также от задающих токов и напряжений. Поэтому компонентные уравнения ребер графа электронной схемы можно записать в виде: { I y = Y в U y + NI z + N ′ I y + G ′ U z + J в , U z = MU y + Z в I z + R ′ I y + M ′ U z + E в , (2.30) где I y , I z — векторы токов y-ребер и z-ребер; U y , U z — векторы напряжений y-ребер и z-ребер; J в — вектор задающих токов; E в — вектор задающих ЭДС. Уравнения (2.30) можно объединить в одно обобщенное компонентное уравнение: X ′′ = VX ′ + V ′ X ′′ + F или (1 − V ′ ) X ′′ = VX ′ + F (2.31) где векторы X ′ и X ′′ выражаются через векторы токов и напряжений y- и z-ребер: X ′ = [ U y I z ] ; X ′′ = [ I y U z ] . (2.32) Обобщенные компонентные матрицы V , V ′ и задающий вектор F имеют вид: V = [ Y в N M Z в ] , V ′ = [ N ′ G ′ R ′ M ′ ] , F = [ J в E в ] . (2.33) Элементами компонентных матриц являются параметры компонентов схемы. При этом в подматрицу Y в входят проводимости y-двухполюсников и управляющие проводимости зависимых источников тока, управляемых напряжениями y-ребер, 42 Глава 2. Математическое описание электронных схем а в подматрицу Z в -сопротивления z-двухполюсников и управляющие сопротивле- ния зависимых источников напряжения, управляемых токами z-ребер. Элементами остальных подматриц являются соответствующие управляющие параметры зави- симых источников. Обобщенное компонентное уравнение (2.31) можно упростить, если предполо- жить, что y-ребра могут быть управляющими только по напряжению, а z-ребра — управляющими только по току. Тогда V ′ = 0 и (2.31) приводится к виду X ′′ = VX ′ + F. (2.34) Если искомые токи и напряжения не совпадают с токами и напряжениями каких-либо ветвей схемы, вводят специальные ребра искомых величин — корот- козамкнутые для токов (рис. 2.20, б) и разомкнутые для напряжений (рис. 2.20, а). Их уравнения имеют вид: U z = 0; I y = 0. (2.35) Рис. 2.20 – Условные изображения разомкнутого (а) и короткозамкнутого (б) ребер полюсных графов Следует отметить, что выражения (2.30) могут применяться для описания нели- нейных компонентных уравнений: { I y = f (U y , I z , I y , U z , J в ); U z = 3(U y , I z , I y , U z , E в ). (2.36) их линеаризацией, при этом элементы компонентных матриц V , V ′ определяются частными производными выражений (2.36) и являются переменными величинами. Рассмотрим формирование компонентных уравнений на примере схемы заме- щения электронной цепи, представленной на рис. 2.21. Компонентные уравнения для y-ребер: I y 1 = y 1 U y 1 ; I y 2 = y 2 U y 2 + J; I y 3 = y 3 U y 3 + yU y 1 ; I y 4 = y 4 U y 4 + nI z 1 или в матричной форме ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ I y 1 I y 2 I y 3 I y 4 ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ = ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ y 1 0 0 0 0 y 2 0 0 y 0 y 3 0 0 0 0 y 4 ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ U y 1 U y 2 U y 3 U y 4 ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ + ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 n 0 0 0 ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ I z 1 I z 2 I z 3 I z 4 ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ + ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ 0 J 0 0 ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ . (2.37) 2.3 Математические модели компонентов электронных схем 43 Рис. 2.21 – Схема замещения электронной цепи Компонентные уравнения для z-ребер: U z 1 = z 1 I z 1 + E; U z 2 = z 2 I z 2 ; U z 3 = z 3 I z 3 + zI z 2 ; U z 4 = z 4 I z 3 + mU y 1 или в матричной форме: ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ U z 1 U z 2 U z 3 U z 4 ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ = ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 m 0 0 0 ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ U y 1 U y 2 U y 3 U y 4 ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ + ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ z 1 0 0 0 0 z 2 0 0 0 z z 3 0 0 0 0 z 4 ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ I z 1 I z 2 I z 3 I z 4 ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ + ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ E 0 0 0 ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ . (2.38) Из уравнений (2.37) и (2.38) следует, что I y = ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ I y 1 I y 2 I y 3 I y 4 ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ , U y = ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ U y 1 U y 2 U y 3 U y 4 ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ , U z = ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ U z 1 U z 2 U z 3 U z 4 ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ , I z = ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ I z 1 I z 2 I z 3 I z 4 ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ , Y в = ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ y 1 0 0 0 0 y 2 0 0 y 0 y 3 0 0 0 0 y 4 ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ , N = ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 n 0 0 0 ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ , J в = ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ 0 J 0 0 ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ , M = ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 m 0 0 0 ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ , Z в = ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ z 1 0 0 0 0 z 2 0 0 0 z z 3 0 0 0 0 z 4 ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ , E в = ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ E 0 0 0 ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ , а обобщенное компонентное уравнение имеет вид (2.34). 44 Глава 2. Математическое описание электронных схем 2.4 Полные уравнения электронных схем и их преобразования Если столбцы топологических матриц расположить в таком порядке, чтобы сначала следовали столбцы y-ребер, а затем — столбцы z-ребер, то топологические матрицы можно представить через подматрицы для каждого из подмножеств ребер в виде: Π = [Π y Π z ] , P = [P y P z ] . При этом топологические уравнения (2.9) и (2.10) будут иметь вид: [Π y Π z ] [ I y I z ] = 0, [P y P z ] [ U y U z ] = 0. Эти два уравнения можно объединить в одно матричное уравнение: [ Π y 0 0 P z ] [ I y U z ] + [ 0 Π z P y 0 ] [ U y I z ] = 0 или ΘX ′′ + Θ 1 X ′ = 0, (2.39) где топологические матрицы имеют вид: Θ = [ Π y 0 0 P z ] , Θ 1 = [ 0 Π z P y 0 ] . (2.40) Уравнение (2.39) является обобщенным топологическим уравнением графа, отоб- ражающим его структуру в алгебраической матричной форме. Независимо от ха- рактера компонентов схемы оно всегда линейное. Матрицы Θ и Θ 1 , называемые обобщенными топологическими матрицами, являются квадратными матрицами ℓ- го порядка с элементами, равными +1, −1, 0. Вместе с обобщенным компонентным уравнением (2.34) обобщенное тополо- гическое уравнение (2.39) образует полную систему уравнений графа: { X ′′ = VX ′ + F, ΘX ′′ + Θ 1 X ′ = 0. (2.41) Эта система уравнений соответствует 2ℓ скалярным уравнениям, причем пер- вое уравнение отражает ℓ компонентных уравнений, а второе ℓ уравнений равно- весия относительно выбранной системы координат (независимых сечений и кон- туров). Решив систему (2.41), можно определить векторы X ′ и X ′′ , то есть токи и на- пряжения всех ребер графа. Недостатком полной системы уравнений является высокий порядок. В ряде случаев систему (2.41) целесообразно свести к системе более низкого порядка. 2.4 Полные уравнения электронных схем и их преобразования 45 В зависимости от используемого способа понижения порядка можно получить системы уравнений трех видов: координатные уравнения для ветвей (КВ-уравнения), координатные уравнения для координат (КК-уравнения), уравнения ветвей для координат (ВК-уравнения). Координатные уравнения для ветвей Для получения КВ-уравнений необходимо обобщенное компонентное уравне- ние полной системы уравнений подставить в обобщенное топологическое уравне- ние. В результате получим: Θ (VX ′ + F) + Θ 1 X ′ = 0 или W ′ X ′ = Q ′ , (2.42) где W ′ = ΘV + Θ 1 , Q ′ = −ΘF. (2.43) Матрица W ′ называется матрицей эквивалентных параметров в системе КВ- уравнений. Она является квадратной матрицей ℓ-го порядка, отображает как свой- ства компонентов, так и способ их соединения и, по существу, является обобщен- ным матричным параметром схемы. Вектор Q ′ носит название вектора эквивалентных внешних воздействий, явля- ется обобщенным матричным параметром схемы и характеризует воздействие на схему задающих источников. Определив из системы КВ-уравнений вектор X ′ , можно при необходимости найти вектор X ′′ . Таким образом, задача сводится к решению системы ℓ скаляр- ных уравнений, то есть использование КВ-уравнений позволяет вдвое сократить размерность математической модели по сравнению с полной системой уравнений. Название «координатные уравнения для ветвей» обусловлено тем, что сами уравнения записаны относительно выбранной системы координат (сечений и кон- туров), а искомые переменные связаны с ветвями схемы. Координатные уравнения для координат Для получения КК-уравнений необходимо элементы вектора X ′ в КВ-уравне- ниях выразить через координатные переменные (узловые напряжения и контурные токи). Вектор X ′′ выражается через координатные переменные с помощью соотноше- ний (2.11), (2.13): X ′ = [ U y I z ] = [ Π T y U P T z I ] = [ Π T y 0 0 P T z ] [ U I ] = Θ T X , (2.44) 46 Глава 2. Математическое описание электронных схем где X = [ U I ] — вектор координатных переменных. Подставляя вектор X ′′ из (2.44) в (2.42), получаем: W ′ Θ T X = Q ′ , то есть приходим к уравнению: WX = Q, (2.45) где: W = W ′ Θ T = ΘVΘ T + Θ 1 Θ T = ΘVΘ T + Θ 0 ; Q = Q ′ = −ΘF. (2.46) Матрица W носит название матрицы эквивалентных параметров схемы в си- стеме КК-уравнений и является, как и матрица W ′ , обобщенным матричным пара- метром схемы. КК-уравнения позволяют найти узловые напряжения и контурные токи (вектор X ), по которым в свою очередь можно определить токи и напряжения всех ветвей схемы. При этом элементы вектора X ′′ связаны с координатными переменными соотношением: X ′′ = [ I y U z ] = [ P T y U Π T z I ] = [ 0 P T y Π T z 0 ] [ U I ] = Θ T 1 X , (2.47) а составляющие вектора X ′ — соотношением (2.44). Название «координатные уравнения для координат» обусловлено тем, что и урав- нения, и искомые переменные связаны с выбранной системой координат (сечений и контуров). Таким образом, как и в случае КВ-уравнений, использование КК-уравнений обеспечивает сокращение числа переменных по сравнению с полной системой уравнений. При этом существуют специальные приемы выбора системы коорди- нат, позволяющие уменьшить размерность КК-уравнений более чем в два раза по отношению к полной системе уравнений. Уравнения ветвей для координат Для получения ВК-уравнений необходимо в обобщенном компонентном урав- нении системы (2.41) элементы векторов X ′′ и X ′ выразить через координатные переменные (узловые напряжения и контурные токи), используя выражения (2.44) и (2.47): Θ T 1 X = VΘ T X + F, откуда после элементарных преобразований имеем: (VΘ T − Θ T 1 ) X = −F. Таким образом, приходим к уравнению схемы в виде: W ′′ X = Q ′′ , (2.48) 2.4 Полные уравнения электронных схем и их преобразования 47 где: W ′′ = VΘ T − Θ T 1 , Q ′′ = −F. (2.49) Матрица W ′′ называется матрицей эквивалентных параметров в системе ВК- уравнений. Она является квадратной матрицей ℓ-го порядка, отображает как свой- ства компонентов, так и способ их соединения и, по существу, является обобщен- ным матричным параметром схемы. Вектор Q ′′ носит название вектора эквивалентных внешних воздействий, явля- ется обобщенным матричным параметром схемы и характеризует воздействие на схему задающих источников. ВК-уравнения позволяют найти узловые напряжения и контурные токи (век- тор X ), по которым в свою очередь можно определить токи и напряжения всех ветвей схемы, используя выражения (2.44) и (2.47). Название «уравнения ветвей для координат» обусловлено тем, что уравнения представляют собой компонентные уравнения ребер графа, а искомые переменные связаны с выбранной системой координат (сечений и контуров). При этом пер- вые ℓ y уравнений являются компонентными уравнениями y-ветвей, а последние ℓ z уравнений — компонентными уравнениями z-ветвей. Понятие и виды координатного базиса Координатный базис представляет собой систему независимых фазовых переменных, называемых координатами, через линейную комбинацию которых может быть выражена любая фазовая пе- ременная моделируемого объекта. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Количество координат базиса определяет его размерность µ. При математическом описании электронных схем в качестве координат исполь- зуют узловые напряжения, контурные токи и переменные состояния. Комбинации указанных координат образуют различные типы координатных базисов: 1) Полный координатный базис (ПКБ), образованный всеми независимыми узловыми напряжениями и контурными токами. Размерность ПКБ опреде- ляется выражением µ ПКБ = ν + σ = ℓ. При математическом моделировании ПКБ применяется для формирования всех видов уравнений электронных схем: КВ-уравнений, КК-уравнений и ВК-уравнений. 2) Сокращенный гибридный координатный базис (СГКБ), образованный уз- ловыми напряжениями всех независимых невырожденных сечений и кон- турными токами всех независимых невырожденных циклов. При этом вы- рожденными называют сечения, образованные только z-дугами (z-сечения), и циклы, образованные только y-дугами (y-циклы). Количество вырожден- ных сечений ν в и циклов σ в определяется соотношениями: ν в = n y − n, σ в = ℓ y − υ + n y , µ в = ν в + σ в = ℓ y + 2n y − υ − n, |