Методы анализа и расчета электронных схем - пособие. Учебное пособие Томск Эль Контент
 Скачать 1.73 Mb.
|
|
Глава 2. Математическое описание электронных схем то система ν = υ−n уравнений, соответствующих первому закону Кирхгофа, может быть записана с использованием матрицы независимых сечений Π графа схемы: ΠI в = 0. (2.9) Система σ = ℓ−υ+n независимых уравнений, соответствующих второму закону Кирхгофа, представляется матричным уравнением, записанным на основе матрицы P независимых контуров графа схемы: PU в = 0, (2.10) где U в = ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ U в1 U в2 . . . U вℓ ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ — вектор напряжений всех ℓ ветвей схемы (дуг графа). Поскольку топологические уравнения записываются относительно системы неза- висимых сечений и циклов, то сечения и циклы можно рассматривать как некото- рую систему координат. Каждому независимому сечению можно привести в соот- ветствие напряжение ребра фундаментального дерева (узловое напряжение), а каж- дому независимому циклу — контурный ток. Упорядоченная совокупность узловых напряжений образует ν-мерный вектор узловых напряжений U = ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ U 1 U 2 . . . U ν ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ , а упо- рядоченная совокупность контурных токов образует σ-мерный вектор контурных токов I = ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ I 1 I 2 . . . I σ ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ Для главных сечений и контуров U — это вектор напряжений ребер дерева гра- фа, а I — вектор токов хорд. Токи и напряжения всех ребер графа могут быть определены через узловые напряжения и контурные токи с использованием топологических матриц графа электронной схемы. Поскольку каждое ребро графа образует с ребрами фундаментального дерева замкнутый контур, напряжения ребер можно выразить по второму закону Кирх- гофа через узловые напряжения. Совокупность ребер фундаментального дерева, образующих контур с некоторым ребром графа, определяется совокупностью се- чений, инцидентных данному ребру, то есть ненулевыми элементами соответству- ющего столбца матрицы сечений. Следовательно, U в = Π T U . (2.11) Если фундаментальное дерево является деревом графа, то вектор напряжений ребер можно разбить на субвектор напряжений ребер дерева U T и субвектор напря- жений хорд U N , то есть U в = [ U T U N ]. На основании (2.11) с учетом (2.4) получаем: [ U T U N ] = [ 1 π T ] U = [ U π T U ] . 2.2 Топологические модели электронных схем 33 Так как U T = U, то U N = π T U T , (2.12) то есть напряжения хорд выражаются через напряжения ребер дерева с помощью матрицы главных сечений для хорд. Ток ребра графа равен алгебраической сумме контурных токов, инцидентных данному ребру. Совокупность циклов, инцидентных данному ребру, определяется ненулевыми элементами соответствующего столбца матрицы независимых циклов, следовательно: I в = P T I. (2.13) Если совокупность независимых циклов образована главными циклами отно- сительно некоторого дерева графа, то вектор токов ребер можно разбить на суб- вектор токов ребер дерева I T и субвектор токов хорд I N , то есть I в = [ I T I N ]. На основании (2.13) с учетом (2.7) получаем: [ I T I N ] = [ ρ T 1 ] I = [ ρ T I I ] . Так как I N = I, то I T = ρ T I N , (2.14) то есть токи ребер дерева выражаются через токи хорд с помощью матрицы глав- ных циклов для ребер дерева. Между матрицами сечений и циклов имеется взаимная связь, позволяющая по одной из них определить другую. Подставляя (2.13) в (2.9), получим ΠP T I = 0 при произвольных значениях контурных токов. Следовательно, ΠP T = 0. (2.15) Подставляя (2.11) в (2.10), получим P Π T U = 0 при произвольных значениях узловых напряжений. Следовательно, P Π T = 0. (2.16) Соотношения (2.15) и (2.16) справедливы в общем случае, если под Π и P понимать соответственно матрицы произвольных независимых сечений и циклов, но при условии, что для обеих матриц принят один и тот же порядок следования ребер. Для матриц главных сечений и главных циклов, сформированных по одному и то- му же покрывающему дереву, выражение (2.15) с учетом (2.4) и (2.7) принимает вид: [ 1 π ] [ ρ T 1 ] = 0, откуда следует: π = −ρ T . (2.17) Транспонируя (2.17), получаем: ρ = −π T . (2.18) 34 Глава 2. Математическое описание электронных схем 2.3 Математические модели компонентов электронных схем Электромагнитные процессы в электронных устройствах в общем случае ха- рактеризуются величинами, зависящими как от времени, так и от пространствен- ных координат. Если размеры устройства много меньше длины волны электромаг- нитных колебаний, то можно считать, что всякие изменения во времени электриче- ских и магнитных величин распространяются в пределах устройства практически мгновенно. В этом случае свойства элементов устройства характеризуются сосре- доточенными параметрами, само устройство рассматривают как электронную цепь с сосредоточенными параметрами, а состояние цепи описывают электрическими токами и напряжениями на отдельных участках. Если размеры устройства и дли- на волны электромагнитных колебаний соизмеримы, то временем распространения изменений электромагнитного поля пренебрегать нельзя, а электронное устройство необходимо рассматривать как электронную цепь с распределенными параметрами. Существует большое разнообразие элементов электронных цепей, отличаю- щихся принципом действия и характеристиками. Для упрощения и формализации анализа широко используется подход, состоящий в замене всего многообразия ре- альных элементов цепи сравнительно небольшим числом идеальных схемных ком- понентов, различные соединения которых отображают с необходимой степенью точности электронные цепи и их элементы. Идеальные схемные компоненты Идеальные схемные компоненты подразделяются на активные и пассивные. К активным компонентам относят независимые и управляемые источники энергии и сигналов. К пассивным компонентам относят компоненты, рассеивающие или накапливающие энергию. Схемные компоненты могут быть двухполюсными и многополюсными, причем многополюсные могут представлять собой объединение более простых компонентов. Если токи и напряжения на компонентах схемы связаны линейными зависимо- стями, то такие компоненты называют линейными, а постоянные коэффициенты в этих зависимостях — их параметрами. Линейные компоненты, параметры кото- рых являются функциями времени, получили отдельное название — параметриче- ские. Компоненты, токи и напряжения которых связаны нелинейными зависимо- стями, называют нелинейными. Идеальными активными двухполюсными компонентами являются идеальный источник ЭДС и идеальный источник тока. Их условные графические обозначе- ния показаны на рис. 2.14. Идеальный источник ЭДС характеризуется задающей ЭДС e (t), значение кото- рой в любой момент времени не зависит от тока, протекающего через источник. Идеальный источник тока характеризуется задающим током j (t), значение ко- торого в любой момент времени не зависит от напряжения на его полюсах. Существует три типа пассивных двухполюсных схемных компонентов: сопро- тивление, емкость и индуктивность. 2.3 Математические модели компонентов электронных схем 35 Рис. 2.14 – Условное графическое обозначение идеального источника ЭДС (а) и идеального источника тока (б) Сопротивление определяется вольт-амперной характеристикой, представляю- щей зависимость между током и напряжением для каждого момента времени: f R (u, i) = 0. (2.19) Характеристика может иметь различный характер (рис. 2.15). Рис. 2.15 – Вольт-амперные характеристики сопротивлений: а — управляемого током; б — управляемого напряжением; в — взаимно определенного Характеристика (рис. 2.15, а) является однозначной относительно изменения тока. Соответствующее ей сопротивление называется сопротивлением, управля- емым током. Характеристика (рис. 2.15, б) является однозначной относительно изменения напряжения. Соответствующее ей сопротивление называется сопротив- лением, управляемым напряжением. И, наконец, характеристика (рис. 2.15, в) яв- ляется взаимно определенной относительно изменений и тока, и напряжения, а со- противление, соответствующее этой характеристике, называют взаимно опреде- ленным. Емкость определяется вольт-кулонной характеристикой, связывающей заряд и напряжение для каждого момента времени: f C (q, u) = 0. (2.20) Индуктивность определяется вебер-амперной характеристикой, связывающей потокосцепление с током для каждого момента времени: f L (ψ, i) = 0. (2.21) По аналогии с характером зависимостей (рис. 2.15, а, б) различают емкости, управляемые зарядом или напряжением, а также индуктивности, управляемые по- током или током. 36 Глава 2. Математическое описание электронных схем Статические параметры двухполюсных компонентов (статические сопротивле- ния, емкости и индуктивности) определяются через координаты точек характери- стик (2.19)–(2.21), а дифференциальные параметры (дифференциальные сопротив- ления, емкости и индуктивности) через тангенсы углов наклона этих характери- стик к осям абсцисс. Для линейных пассивных двухполюсных компонентов вольт-амперные харак- теристики являются линейными функциями, статические и дифференциальные па- раметры совпадают и называются сопротивлениями, емкостями и индуктивностя- ми без уточнения характера параметров (статический или дифференциальный). В достаточно малой окрестности некоторой точке характеристик дифференци- альные параметры можно считать постоянными величинами, то есть для малых изменений токов, напряжений, зарядов и потоков относительно этой точки нели- нейный двухполюсник можно рассматривать как линейный. Вольт-амперные характеристики некоторых схемных компонентов могут не проходить через начало координат (рис. 2.15, а, в). Соответствующие компонен- ты получили название автономных двухполюсников. Идеальными схемными компонентами, отображающими необратимость реаль- ных компонентов электронных цепей, являются зависимые источники тока и на- пряжения. Различают четыре основных типа зависимых источников (рис. 2.16), каждый из которых управляется только одной величиной (током или напряжени- ем): источник тока, управляемый током (ИТУТ); источник тока, управляемый напряжением (ИТУН); источник напряжения, управляемый током (ИНУТ); ис- точник напряжения, управляемый напряжением (ИНУН). Рис. 2.16 – Зависимые источники: а — ИТУТ; б — ИТУН; в — ИНУТ; г — ИНУН Зависимые источники являются многополюсными компонентами, включающи- ми собственно источник и управляющий двухполюсник. Роль управляющего двух- полюсника может играть любой двухполюсный компонент схемы, ток или напря- жение которого управляет током или напряжением зависимого источника. В об- щем случае зависимым источником может управлять напряжение между любой парой узлов схемы, при этом управляющим двухполюсником является включенная между этими узлами разомкнутая ветвь, сопротивление которой стремится к бес- конечности. Аналогично управляющим по току двухполюсником, может служить короткозамкнутая ветвь, сопротивление которой равно нулю. Величина (ток или напряжение), характеризующая зависимый источник, но- сит название управляемой величины, величина (ток или напряжение), связанная с управляющим двухполюсником, называется управляющей величиной. Коэффици- енты n, g, r, m являются управляющими параметрами зависимых источников. 2.3 Математические модели компонентов электронных схем 37 Любую электронную схему или ее часть, рассматриваемую относительно опре- деленного количества полюсов, можно обобщенно представить одним идеальным схемным компонентом — многополюсником. Многополюсник, у которого выделено N полюсов, называют N -полюсником. Любая пара полюсов многополюсника об- разует его сторону. Стороны, к которым приложены внешние воздействия в виде задающих токов или напряжений, называют входами. Стороны, на которых опре- деляются реакции в виде искомых токов и напряжений, называют выходами. Элек- трическое состояние многополюсника характеризуется токами и напряжениями на его сторонах. Совокупность сторон, токи и напряжения которых являются линей- но независимыми, называется независимой. Из N полюсов многополюсника можно образовать всего N (N −1)/2 различных сторон. Но только совокупности из n = N −1 сторон, не образующих замкнутых контуров, являются совокупностями независи- мых сторон. Многополюсник, у которого все независимые стороны имеют общий (базисный) полюс, называют (n + 1)-полюсник (рис. 2.17). Положительными для (n + 1)-полюсника полагают токи, втекающие в полюсы, и напряжения, направлен- ные от общего полюса к остальным. Рис. 2.17 – Токи и напряжения (n + 1)-полюсника В общем случае многополюсники можно рассматривать как N ×M-полюсники, полюсы которые разбиты на M групп по N полюсов, причем каждая из групп содержит свой общий полюс. Среди многополюсников этого типа наиболее рас- пространены (2n)-полюсники (n-входники) и (n × 2)-полюсники (рис. 2.18). Рис. 2.18 – Токи и напряжения (2n)-полюсника (а) и (n × 2)-полюсника (б) 38 Глава 2. Математическое описание электронных схем Частным случаем таких многополюсников являются (2 × 2)-полюсники (про- ходные четырехполюсники). Число независимых сторон для N × M-полюсника определяется формулой n = (N −1)M. Следовательно, (2×2)-полюсник имеет толь- ко две независимые стороны. Для описания многополюсного компонента с n независимыми сторонами тре- буется n независимых уравнений, включающих 2n связанных с его сторонами пе- ременных (токов и напряжений): ⎧⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎨⎪⎪ ⎪⎪⎪⎩ 3 1 (i 1 , i 2 , . . ., i n , u 1 , u 2 , . . ., u n ) = 0; 3 2 (i 1 , i 2 , . . ., i n , u 1 , u 2 , . . ., u n ) = 0; . . . 3 n (i 1 , i 2 , . . ., i n , u 1 , u 2 , . . ., u n ) = 0. (2.22) Множество n токов i 1 , i 2 , , . . ., i n и n напряжений u 1 , u 2 , . . ., u n независимых сто- рон многополюсника разбивают на два подмножества y 1 , y 2 , . . ., y n и ξ 1 , ξ 2 , . . ., ξ n так, что в каждом из подмножеств каждая из независимых сторон представле- на только одной своей переменной (током или напряжением). При этом систему уравнений (2.22) представляют в форме, разрешенной относительно переменных ξ 1 , ξ 2 , . . ., ξ n ⎧⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎨⎪⎪ ⎪⎪⎪⎩ ξ 1 = f 1 (y 1 , y 2 , . . ., y n ); ξ 2 = f 1 (y 1 , y 2 , . . ., y n ); . . . ξ n = f 1 (y 1 , y 2 , . . ., y n ). (2.23) Переменные y 1 , y 2 , . . ., y n называют основными, а переменные ξ 1 , ξ 2 , . . ., ξ n — второстепенными. В соответствии с принятым разбиением переменных на две группы разбивают и стороны многополюсника. При этом стороны, для которых ос- новными переменными являются токи, называют токовыми сторонами, а стороны, для которых основными переменными являются напряжения, — потенциальными сторонами. Для линейных многополюсников система уравнений (2.23) имеет вид: ⎧⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎨⎪⎪ ⎪⎪⎪⎩ ξ 1 = w 11 y 1 + w 12 y 2 + . . . + w 1n y n + ξ 10 ; ξ 2 = w 21 y 1 + w 22 y 2 + . . . + w 2n y n + ξ 20 ; ⋯ ξ n = w n1 y 1 + w n2 y 2 + . . . + w nn y n + ξ n0 (2.24) и может быть представлена в матричной форме: ξ = wy + ξ 0 , (2.25) где ξ = ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ξ 1 ξ 2 . . . ξ n ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ — вектор второстепенных переменных; y = ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ y 1 y 2 . . . y n ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ — вектор основ- ных переменных; ξ 0 = ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ξ 10 ξ 20 . . . ξ n0 ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ — вектор начальных значений второстепенных пе- ременных, определяемых в режимах короткого замыкания потенциальных сторон 2.3 Математические модели компонентов электронных схем 39 и холостого хода на токовых сторонах; w = ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ w 11 w 12 . . . w 1n w 21 w 22 . . . w 2n . . . . . . . . . . . . w n1 w n2 ⋯ w nn ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ — матрица экви- валентных параметров многополюсника. Если все основные величины являются токами, а второстепенные — напряже- ниями, то все эквивалентные параметры w ij являются сопротивлениями, а матрицу w называют матрицей сопротивлений многополюсника. Если все основные величины являются напряжениями, а второстепенные — то- ками, то все эквивалентные параметры w ij являются проводимостями, а матрицу w в этом случае называют матрицей проводимостей многополюсника. Часто для описания N -полюсника удобно пользоваться системой уравнений, выражающих полюсные токи всех N полюсов i 1 , i 2 , . . ., i N через напряжения полю- сов, отсчитываемых от некоторой точки 0, лежащей вне N -полюсника (рис. 2.19, а): ⎧⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎨⎪⎪ ⎪⎪⎪⎩ i 1 = y 11 u 1 + y 12 u 2 + . . . + y 1N u N ; i 2 = y 21 u 1 + y 22 u 2 + . . . + y 2N u N ; . . . i N = y N 1 u 1 + y N 2 u 2 + . . . + y NN u N . (2.26) В соответствии с первым законом Кирхгофа для сечения, содержащего N - полюсник внутри, алгебраическая сумма токов всех N полюсов равна нулю, по- этому уравнения системы (2.26) являются линейно зависимыми. Матрица коэффи- циентов этих уравнений представляет собой особенную (неопределенную) матрицу проводимостей N -полюсного компонента: y = ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ y 11 y 12 . . . y 1N y 21 y 22 . . . y 2N . . . . . . . . . . . . y N 1 y 2N ⋯ y NN ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ . (2.27) Сумма всех элементов в каждой строке и каждом столбце этой матрицы тож- дественно равна нулю. Таким образом, из N 2 элементов особенной матрицы про- водимостей только (N − 1) 2 элементов независимы. В качестве величин, характеризующих состояние N -полюсника, можно вы- брать напряжения e 1 , e 2 , . . ., e N и токи j 1 , j 2 , . . ., j N на N его сторонах, как указано на рис. 2.19, б. При этом система уравнений N -полюсника имеет вид: ⎧⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎨⎪⎪ ⎪⎪⎪⎩ e 1 = z 11 j 1 + z 12 j 2 + . . . + z 1N j N ; e 2 = z 21 j 1 + z 22 j 2 + . . . + z 2N j N ; . . . e N = z N 1 j 1 + z N 2 j 2 + . . . + z NN j N . (2.28) В соответствии со вторым законом Кирхгофа для контура, содержащего все N сторон N -полюсника, алгебраическая сумма напряжений N сторон равна нулю, по- этому уравнения системы (2.28) являются линейно зависимыми. Матрица коэффи- |