Методы анализа и расчета электронных схем - пособие. Учебное пособие Томск Эль Контент
 Скачать 1.73 Mb.
|
|
Глава 2. Математическое описание электронных схем На рис. 2.5 приведен пример построения полюсного графа для схемы, содер- жащей двухполюсные компоненты. Рис. 2.5 – Формирование полюсного графа электронной схемы: а — электронная схема; б — полюсный граф В полюсном графе на рис. 2.5, б источник тока J и резистор R3 представле- ны одной эквивалентной дугой, направление которой совпадает с направлением задающего тока J . Ребро, граничные вершины которого совпадают, называется петлей. В общем случае граф может содержать изолированные вершины, которые не являются кон- цами ребер и не связаны с другими вершинами. Ребро графа и его граничная вершина называются инцидентными друг другу: вершина инцидентна ребру, ребро инцидентно вершине. Число ребер, инцидент- ных i-ой вершине, называют степенью вершины t ii , при этом петля учитывается дважды. Граничные вершины какого-либо ребра называют смежными. Количество ре- бер, соединяющих смежные вершины i и j, называют взаимной степенью t ij этих вершин. Например, в полюсном графе на рис. 2.5, б инцидентными вершине 1 являются дуги I, II, III; вершине 2 — дуги II, IV, V и т. д. Смежными вершинами являются 1 и 2, 1 и 3, 2 и 3 и т. д. Степени всех вершин графа на рис. 2.5, б равны 3, а взаимные степени — равны 1. Маршрут длины m определяется как последовательность m ребер графа (не обязательно различных) и инцидентных им вершин, таких, что граничные верши- ны двух соседних ребер совпадают. Замкнутый маршрут начинается и заканчива- ется в одной и той же вершине. Маршрут, все ребра которого различны, называ- ется цепью, а маршрут, для которого различны все вершины, называется простой цепью. Примером простых цепей в полюсном графе на рис. 2.5, б являются после- довательности ребер I, II (длина цепи равна 2); I, V, IV (длина цепи равна 3); II, IV, VI (длина цепи равна 3) и т. д. Замкнутая цепь называется циклом, а простая замкнутая цепь — простым цик- лом. Понятия цепи и циклов применимы и к орграфам, при этом направления дуг не учитываются (вместо орграфа рассматривается неориентированный соотне- сенный ему граф). Простыми циклами полюсного графа на рис. 2.5, б являются 2.2 Топологические модели электронных схем 23 последовательности ребер I, V, II (длина цикла равна 3); I, V, IV, III (длина цикла равна 4) и т. д. Применительно к орграфам дополнительно рассматриваются ориентирован- ные маршруты, когда начальная вершина каждой последующей дуги маршрута совпадает с конечной вершиной предыдущей дуги. Ориентированный маршрут, не содержащий повторяющихся дуг, называется путем, а не содержащий повторяю- щихся вершин — простым путем. Замкнутый путь называется контуром, а про- стой замкнутый путь — простым контуром. Граф называется циклическим, если он содержит хотя бы один цикл, в противном случае он называется ациклическим. Применительно к орграфу используют понятия — контурный и бесконтурный со- ответственно. Примером простых путей в полюсном графе на рис. 2.5, б являются последо- вательности дуг I, VI (длина пути равна 2); II, V (длина пути равна 2); III (длина пути равна 1) и т. д. Полюсный граф на рис. 2.5, б не содержит контуров, то есть является бесконтурным. В то же время граф на рис. 2.5, б является циклическим, так как содержит простые циклы. Ребрам и дугам графов могут быть приписаны количественные значения, ка- чественные признаки или характерные свойства, характеризующие связи между вершинами. Вес может быть приписан и вершинам графа, означая некоторую ха- рактеристику соответствующего ей объекта. Часть графа — это граф, вершины и ребра которого являются подмножествами вершин и ребер исходного графа. Часть графа, содержащая некоторое подмноже- ство ребер исходного графа и все инцидентные им вершины, называется подгра- фом. Совокупность всех ребер и вершин исходного графа, не принадлежащих его подграфу, образует дополнение подграфа. Пример подграфа и его дополнения для графа на рис. 2.5, б представлены на рис. 2.6. Рис. 2.6 – Подграф (а) и дополнение подграфа (б) Часть графа, содержащая некоторое подмножество ребер и все вершины ис- ходного графа, называется суграфом. Пример суграфа для графа на рис. 2.5, б приведен на рис. 2.7. Две вершины графа называются связанными, если между ними существует маршрут. Граф, любая пара вершин которого связана, называют связным графом 24 Глава 2. Математическое описание электронных схем (рис. 2.5, б). В противном случае граф называется несвязным. Несвязный граф представляет собой совокупность отдельных частей (подграфов), называемых ком- понентами. Рис. 2.7 – Суграф полюсного графа Связный ациклический граф называют деревом. Очевидно, количество ребер дерева на единицу меньше количества его вершин. Несвязный граф, компоненты которого являются деревьями, называется лесом. Примеры дерева и леса представ- лены на рис. 2.8. Рис. 2.8 – Дерево (а) и лес (б) Любая связная совокупность ребер графа, не содержащая контуров, вместе с инцидентными им вершинами образует дерево графа. Если такое дерево являет- ся суграфом, то оно называется покрывающим деревом или остовом. Ребра дерева называют ветвями. Ребра графа, не входящие в покрывающее дерево (остов), обра- зуют дополнение дерева и называются хордами. Дерево, содержащее все вершины исходного графа, называют фундаментальным деревом этого графа. При этом реб- ра фундаментального дерева в общем случае не совпадают с ребрами исходного графа. Частным случаем фундаментального дерева является покрывающее дерево графа. На рис. 2.9 приведены дерево, покрывающее дерево и дополнение дерева гра- фа, представленного на рис. 2.5. 2.2 Топологические модели электронных схем 25 Рис. 2.9 – Дерево (а), покрывающее дерево (б) и дополнение дерева (в) Граф называют плоским (планарным), если он может быть представлен на плоскости без пересечения ребер (рис. 2.5, б). Топологические матрицы и уравнения Пронумеровав вершины и ребра графа, его структурные свойства можно отоб- разить с помощью топологических матриц инциденций (структурной матрицы), сечений, циклов. Матрица инциденций (структурная матрица) представляет собой матрицу, строки которой соответствуют вершинам, а столбцы — ребрам графа. Для оргра- фов элемент (ij) равен +1 (−1), если i-ая вершина является начальной (конечной) для j-ой дуги и равен 0, если i-ая вершина и j-ая дуга не инцидентны. Каждый столбец матрицы инцидентностей обязательно содержит два ненулевых элемента (для орграфа эти элементы всегда имеют различные знаки), следовательно, сумма всех строк по mod 2 равна нулю, а это значит, что без потери информации одна из строк (чаще всего последняя) может быть удалена, что приводит к получению сокращенной матрицы инцидентностей. Структурная матрица полюсного графа на рис. 2.5 имеет вид: A = ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ I II III IV V VI 1 1 1 1 0 0 0 2 0 −1 0 1 1 0 3 0 0 −1 −1 0 −1 0 −1 0 0 0 −1 1 ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ . Удаляя строку, соответствующую вершине 0, получим один из возможных ва- риантов сокращенной структурной матрицы: A 0 = ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ I II III IV V VI 1 1 1 1 0 0 0 2 0 −1 0 1 1 0 3 0 0 −1 −1 0 −1 ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ . (2.1) 26 Глава 2. Математическое описание электронных схем Сечением связного графа называется совокупность ребер, удале- ние которых делает граф несвязным. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ребра, образующие сечение, называют инцидентными этому сечению. Графи- чески сечение обычно выделяют замкнутой линией, которая пересекает инцидент- ные сечению ребра. При выделении сечения замкнутой линией необходимо иметь в виду, что данному сечению принадлежат только те ребра, которые пересекаются этой линией нечетное число раз (ребра, имеющие с выделяющей линией четное число пересечений, сечению не принадлежат). Для упрощения выделяющую се- чение линию часто обрывают, условно считая, что она замыкается во внешней области графа. Совокупность ребер, инцидентных некоторой вершине графа, яв- ляется сечением с центром в этой вершине и называется цен- тральным сечением. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . В графе с υ вершинами имеется υ центральных сечений, причем каждому из них соответствует строка матрицы инциденций. На рис. 2.10 показаны примеры сечений связного графа, причем сечение C1 яв- ляется центральным. Рис. 2.10 – Сечения связного графа В общем случае первый закон Кирхгофа справедлив не только для узлов схемы, но и для любой замкнутой области, ограниченной некоторым сечением. Совокупность сечений графа, обеспечивающая линейную незави- симость системы уравнений по первому закону Кирхгофа, пред- ставляет собой систему независимых сечений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Топологические модели электронных схем 27 Число независимых сечений графа определяется выражением: ν = υ − n, (2.2) где υ — количество вершин графа; n — количество компонентов (частей) графа (для связного графа n = 1). В самом общем случае систему независимых сечений выбирают так, чтобы каждому сечению было инцидентно только одно ребро фундаментального дерева. Система независимых центральных сечений носит название ка- нонической. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . В канонической системе сечений все сечения направляют изнутри. Сечение, которому инцидентно только одно ребро покрывающего дерева графа, называют главным сечением. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Между ребрами покрывающего дерева и главными сечениями имеет место вза- имнооднозначное соответствие, поэтому каждому главному сечению принято при- сваивать номер и направление соответствующего ребра дерева. Система главных сечений является независимой. На рис. 2.11 представлены примеры канонической системы сечений и системы главных сечений графа. Рис. 2.11 – Системы независимых сечений: а — каноническая система; б — система главных сечений Матричной формой представления системы независимых сечений является мат- рица независимых сечений Π. Строки матрицы соответствуют сечениям, а столбцы 28 Глава 2. Математическое описание электронных схем ребрам графа. Элемент π ij матрицы Π равен +1 (−1), если j-ое ребро инцидентно i-ому сечению и направлено с ним согласно (противоположно), и 0, если j-ая ветвь не инцидентна i-ому сечению. В канонической системе сечений матрица незави- симых сечений соответствует сокращенной структурной матрице. Например, для канонической системы сечений, представленной на рис. 2.11, а, матрица независимых сечений совпадает с сокращенной структурной матрицей (2.1). Матрица главных сечений, соответствующая выбранной на рис. 2.11, б системе главных сечений, имеет вид: Π = ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ I II III IV V VI I 1 1 1 0 0 0 IV 0 0 1 1 0 1 V 0 −1 −1 0 1 −1 ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ . (2.3) Располагая в матрице главных сечений сначала столбцы, соответствующие всем ребрам дерева, а затем столбцы, соответствующие хордам, матрицу Π можно привести к канонической форме: Π = [1, π] , (2.4) где 1 — единичная матрица ν-го порядка; π — матрица главных сечений для хорд. Матрица π полностью определяет матрицу Π главных сечений, причем ее раз- мерность [ν × (ℓ − ν)]. Каноническая форма матрицы (2.3) главных сечений имеет вид: Π = ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ I IV V II III VI I 1 0 0 1 1 0 IV 0 1 0 0 1 1 V 0 0 1 −1 −1 −1 ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ , где матрица π главных сечений для хорд: π = ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ II III VI I 1 1 0 IV 0 1 1 V −1 −1 −1 ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ . Известно, что второй закон Кирхгофа справедлив для простых циклов графа. Совокупность простых циклов графа, обеспечивающая линейную независимость системы уравнений по второму закону Кирхгофа, называют системой независимых циклов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Каждому простому циклу системы независимых контуров приписывают на- правление (по часовой либо против часовой стрелки). Число независимых простых циклов графа определяется цикломатическим числом σ графа: σ = ℓ − υ + n, (2.5) 2.2 Топологические модели электронных схем 29 где ℓ — число ребер графа; υ — количество вершин графа; n — количество компонен- тов (частей) графа (для связного графа n = 1). Система независимых простых циклов, каждый из которых охва- тывает только одну ячейку графа, носит название канонической. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . В канонической системе контуров все независимые циклы направ- ляют одинаково. Простой цикл, которому инцидентна только одна хорда, называ- ют главным контуром. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Между хордами графа и главными контурами имеет место взаимнооднознач- ное соответствие, поэтому каждому главному контуру принято присваивать номер и направление соответствующей хорды. Система главных контуров является неза- висимой. На рис. 2.12 представлены примеры канонической системы циклов и системы главных циклов графа. Рис. 2.12 – Системы независимых контуров: а — каноническая система; б — система главных контуров Матричной формой представления системы независимых контуров является матрица P независимых контуров. Строки матрицы соответствуют циклам, а столб- цы ребрам графа. Элемент ρ ij матрицы P равен +1 (−1), если j-ое ребро инцидентно i-ому циклу и направлено с ним согласно (противоположно), и 0, если j-ое ребро не инцидентно i-ому циклу. 30 Глава 2. Математическое описание электронных схем Для канонической системы контуров, представленной на рис. 2.12, а, матрица независимых контуров имеет вид: P = ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ I II III IV V VI 1 −1 1 0 0 1 0 2 0 −1 1 −1 0 0 3 0 0 0 1 −1 −1 ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ . Матрица главных контуров, соответствующая выбранной на рис. 2.12, б систе- ме главных контуров, имеет вид: P = ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ I II III IV V VI 1 −1 1 0 0 1 0 2 −1 0 1 −1 1 0 3 0 0 0 −1 1 1 ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ . (2.6) Располагая в матрице главных контуров сначала столбцы, соответствующие всем ребрам дерева, а затем всем хордам, можно привести матрицу P к канониче- ской форме: P = [ρ, 1] (2.7) где 1 — единичная матрица σ-го порядка; ρ — матрица главных контуров для ребер покрывающего дерева графа. Матрица ρ полностью определяет матрицу P главных контуров, причем ее раз- мерность [σ × (ℓ − ν)]. Каноническая форма матрицы (2.6) главных контуров имеет вид: P = ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ I IV V II III VI II −1 0 1 1 0 0 III −1 −1 1 0 1 0 VI 0 −1 1 0 0 1 ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ , где матрица ρ главных контуров для ребер дерева: ρ = ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ II III VI II −1 0 1 III −1 −1 1 VI 0 −1 1 ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ . Циклы, образованные только ребрами задающих источников на- пряжения и ребрами емкостей, называют особыми циклами (рис. 2.13, а). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Сечения, образованные только ребрами задающих источников то- ка и ребрами индуктивностей, называют особыми сечениями (рис. 2.13, б). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Топологические модели электронных схем 31 Рис. 2.13 – Особый цикл (а) и особое сечение (б) Число особых циклов и сечений можно установить из рассмотрения графа схе- мы. Для определения числа особых циклов формируется C-граф путем закорачива- ния всех независимых источников напряжения и короткозамкнутых дуг и удаления всех остальных ветвей, кроме емкостных ветвей. Число особых циклов совпадает с числом независимых циклов C-графа: σ c = ℓ c − v c + n c , где ℓ c , v c , n c — число дуг, вершин и частей C-графа соответственно. Для определения числа особых сечений формируется L-граф путем удале- ния всех независимых источников тока и разомкнутых дуг и закорачивания всех остальных ветвей, кроме индуктивных ветвей. Число особых сечений совпадает с числом независимых сечений L-графа: ν L = v L − n L , где v L , n L — число вершин и частей L-графа соответственно. Структура полюсного графа электронной схемы может быть описана алгебра- ически с использованием топологических уравнений. Топологические уравнения полюсных графов электронных схем выражаются законами Кирхгофа. Топологи- ческие уравнения в матричной форме записываются с использованием топологи- ческих матриц полюсных графов электронных схем. Матричная форма системы ν = υ−n независимых уравнений, соответствующих первому закону Кирхгофа, имеет вид: A 0 I в = 0, (2.8) где A 0 — сокращенная структурная матрица графа; I в = ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ I в1 I в2 . . . I вl ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ — вектор токов всех l ветвей схемы (дуг графа). Так как первый закон Кирхгофа справедлив не только для узлов схемы, но и для произвольной замкнутой области, которая включает некоторое число узлов, |