Методы анализа и расчета электронных схем - пособие. Учебное пособие Томск Эль Контент
 Скачать 1.73 Mb.
|
|
Глава 2. Математическое описание электронных схем Замещая в схеме рис. 2.26 биполярный транзистор эквивалентной схемой рис. 2.25, б, получаем схему замещения усилителя, содержащую только двухпо- люсные z-компоненты, которая приведена на рис. 2.27. Рис. 2.27 – Операторная схема замещения усилителя низкой частоты Схема замещения содержит ℓ = 10 ветвей и υ = 6 узлов, поэтому система независимых контуров содержит σ = ℓ − υ + 1 = 10 − 6 + 1 = 5 контуров. Поскольку схема является планарной, выберем каноническую систему контуров, показанную на рис. 2.27. Порядок укороченной матрицы сопротивлений равен σ = 5. Главную диагональ матрицы заполняем собственными сопротивлениями соответствующих контуров, а недиагональные элементы — взаимными сопротивлениями, взятыми со знаком «минус». Зависимый источник входит в состав контура 3, а управляющая ветвь — в контуры 2 и 3. Поэтому управляющее сопротивление αr к добавляется к эле- ментам укороченной матрицы сопротивлений, расположенным на пересечении 3-й строки и 2-го и 3-го столбцов. Зависимый источник направлен против направления обхода контура 3, а управляющий ток — по направлению обхода контура 2 и против направления обхода контура 3, следовательно, при добавлении к элементу матрицы y 32 знак управляющего сопротивления не изменится, а при добавлении к элементу y 33 — изменится на противоположный. В результате укороченная матрица Z ∗ сопро- тивлений принимает вид: 1 2 3 4 5 1 Z C1 + R э −R э 0 0 0 2 −R э R э + r б + + r э + Z э −r э −Z э 0 3 0 −r э + αr к r э + r к (1 − α) + + R 4 + Z C2 −Z C2 −R 4 4 0 −Z э −Z C2 Z э + Z C2 + R 3 −R 3 5 0 0 −R 4 −R 3 R 3 +R 4 +Z C4 2.4 Полные уравнения электронных схем и их преобразования 57 Обобщенный матричный метод Процедуру формирования матрично-векторных параметров электронных схем в однородных системах координат можно дополнительно упростить за счет пред- варительного отдельного составления матрицы схемы без учета многополюсных компонентов, обобщенной матрицы многополюсников и их последующего сумми- рования. В узловом координатном базисе матрица проводимостей электронной схемы формируется в соответствии с выражением: Y = Y пacc + Y м = Y пacc + M ∑ i =1 Y м i , (2.62) где Y пacc — матрица проводимостей схемы без учета многополюсных компонентов (матрица проводимостей пассивной части схемы); Y м — обобщенная матрица про- водимостей многополюсников схемы; Y м i — матрица проводимостей, отражающая отдельный многополюсник в выбранной системе независимых сечений; M — коли- чество многополюсных компонентов в схеме. Матрица проводимостей электронной схемы без учета многополюсных компо- нентов формируется по методике, изложенной для метода эквивалентных схем. В качестве исходной модели i-го многополюсного компонента используется его неопределенная матрица проводимостей y i , по которой формируется матрица Y мi с помощью топологической матрицы Π мi независимых сечений для полюсов этого многополюсника: Y мi = Π мi y i Π T мi . (2.63) Строки топологической матрицы Π мi соответствуют независимым сечениям, выбранным в графе схемы, а столбцы — полюсам i-го многополюсного компонента. Элемент этой матрицы, расположенный на пересечении q-ой строки и s-го столб- ца равен +1, если s-ый полюс многополюсника инцидентен q-ому сечению и их направления совпадают; равен ( −1), если s-ый полюс многополюсника инциден- тен q-ому сечению и их направления противоположны; равен 0, если s-ый полюс многополюсника не инцидентен q-ому сечению. В контурном координатном базисе матрица сопротивлений схемы составляется в соответствии с выражением: Z = Z пacc + Z м = Z пacc + M ∑ i =1 Z м i , (2.64) где Z пacc — матрица сопротивлений схемы без учета многополюсных компонентов (матрица сопротивлений пассивной части схемы); Z м — обобщенная матрица со- противлений многополюсников схемы; Z м i — матрица сопротивлений, отражающая отдельный многополюсник в выбранной системе независимых контуров; M — ко- личество многополюсных компонентов в схеме. Матрица сопротивлений электронной схемы без учета многополюсных компо- нентов формируется по методике, изложенной для метода эквивалентных схем. В качестве исходной модели i-го многополюсного компонента используется его неопределенная матрица сопротивлений z i , по которой формируется матрица 58 Глава 2. Математическое описание электронных схем Z м i с помощью топологической матрицы P мi независимых контуров для сторон этого многополюсника: Z мi = P мi z i P T мi . (2.65) Строки топологической матрицы P мi соответствуют независимым контурам, выбранным в графе схемы, а столбцы — сторонам i-го многополюсного компонен- та. Элемент этой матрицы, расположенный на пересечении q-ой строки и s-го столбца, равен +1, если s-ая сторона многополюсника инцидентна q-ому конту- ру и их направления совпадают; равен ( −1), если s-ая сторона многополюсника инцидентна q-ому контуру и их направления противоположны; равен 0, если s-ая сторона многополюсника не инцидентна q-ому контуру. Для схем, содержащих небольшое количество многополюсных компонентов, можно рекомендовать следующий порядок формирования матриц схемы. При использовании узлового координатного базиса: • формируется матрица проводимостей схемы без учета многополюсных ком- понентов; • в неопределенных матрицах проводимостей многополюсников собствен- ные номера (обозначения) полюсов заменяют номерами независимых се- чений, которым инцидентны эти полюса; если какие-либо полюса много- полюсника не инцидентны ни одному сечению, то соответствующие им строки и столбцы неопределенной матрицы проводимостей не учитываются; • формируется матрица проводимостей схемы путем добавления элементов неопределенных матриц проводимостей многополюсных компонентов к эле- ментам матрицы Y пacc с учетом нумерации строк и столбцов неопределен- ных матриц, соответствующей системе независимых сечений. При использовании контурного координатного базиса: • формируется матрица сопротивлений схемы без учета многополюсных ком- понентов; • в неопределенных матрицах сопротивлений многополюсников собствен- ные номера (обозначения) сторон заменяют номерами независимых кон- туров, которым инцидентны эти стороны; если какие-либо стороны мно- гополюсника не инцидентны ни одному контуру, то соответствующие им строки и столбцы неопределенной матрицы сопротивлений не учитываются; • формируется матрица сопротивлений схемы путем добавления элементов неопределенных матриц сопротивлений многополюсных компонентов к эле- ментам матрицы Z пacc с учетом нумерации строк и столбцов неопределен- ных матриц, соответствующей системе независимых контуров. Рассмотрим применение обобщенного матричного метода для формирования укороченной матрицы проводимостей применительно к схеме истокового повтори- теля, представленной на рис. 2.22, а. Схема замещения повторителя по переменно- му току, содержащая многополюсный компонент, приведена на рис. 2.23. Восполь- зуемся канонической системой сечений, соответствующей указанной на рис. 2.23 нумерации узлов. Укороченная матрица проводимостей пассивной части схемы имеет вид: 2.4 Полные уравнения электронных схем и их преобразования 59 1 2 3 4 5 1 pC 1 −pC 1 0 0 0 2 −pC 1 pC 1 + g 3 −g 3 0 0 Y ∗ пасс = 3 0 −g 3 g 3 + g э + pC 2 −pC 2 0 4 0 0 −pC 2 pC 2 + pC 3 + g 4 −pC 3 5 0 0 0 −pC 3 pC 3 Неопределенная матрица проводимостей полевого транзистора, соответствую- щая эквивалентной схеме рис. 2.22, б, имеет вид: з с и з pC зи + pC зс −pC зс −pC зи Y ПТ = с −pC зс + S pC зс + G си − (G си + S) и − (pC зи + S) −G си G си + pC зи + S Матрица независимых сечений для полюсов полевого транзистора имеет раз- мерность (5 × 3): Π пт = ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ з с и 1 0 0 0 2 1 0 0 3 0 0 0 4 0 0 1 5 0 0 0 ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ . Используя выражение (2.63), найдем обобщенную матрицу проводимостей мно- гополюсных компонентов схемы: 1 2 3 4 5 1 0 0 0 0 0 2 0 pC зи + pC зс 0 −pC зи 0 Y м = Π пт Y пт Π T пт = 3 0 0 0 0 0 4 0 − (pC зи + S) 0 G си + pC зи + S 0 5 0 0 0 0 0 Суммируя матрицу проводимостей пассивной части схемы с обобщенной мат- рицей проводимостей многополюсных компонентов, получим укороченную матри- цу проводимостей схемы повторителя, которая совпадает с укороченной матрицей проводимостей, составленной методом эквивалентных схем: 1 2 3 4 5 1 pC 1 −pC 1 0 0 0 2 −pC 1 pC 1 + pC зс + pC зи + g 3 −g 3 −pC зи 0 Y ∗ = 3 0 −g 3 g 3 + g э + + pC 2 −pC 2 0 4 0 −pC зи − S −pC 2 pC 2 +pC 3 +pC зи + + G си + g 4 + S −pC 3 5 0 0 0 −pC 3 pC 3 Применение обобщенного матричного метода для формирования укороченной матрицы сопротивлений рассмотрим на примере схемы усилителя низкой частоты 60 Глава 2. Математическое описание электронных схем с низкочастотной коррекцией, представленной на рис. 2.25, а. Схема замещения усилителя, содержащая активный многополюсный компонент, с выбранной кано- нической системой независимых контуров приведена на рис. 2.28. Рис. 2.28 – Выбор канонической системы независимых контуров Укороченная матрица сопротивлений пассивной части схемы: 1 2 3 4 5 1 Z C1 + R э −R э 0 0 0 2 −R э R э + Z э 0 −Z э 0 Z ∗ пасс = 3 0 0 R 4 + Z C2 −Z C2 −R 4 4 0 −Z э −Z C2 Z э + Z C2 + R 3 −R 3 5 0 0 −R 4 −R 3 R 3 + R 4 + Z C4 Неопределенная матрица сопротивлений биполярного транзистора, соответ- ствующая эквивалентной схеме (рис. 2.25, б) и выбору токов сторон, показанному на рис. 2.29, имеет вид: б-э к-э б-к б-э r э + r б −r э −r б Z БТ = к-э r т − r э r э + r к − r т −r к б-к − (r т + r б ) r т − r к r к + r б Матрица независимых контуров для сторон биполярного транзистора имеет размерность (5 × 3): P БТ = ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ бэ кэ бк 1 0 0 0 2 1 0 0 3 0 1 0 4 0 0 0 5 0 0 0 ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ . 2.4 Полные уравнения электронных схем и их преобразования 61 Рис. 2.29 – Токи сторон биполярного транзистора для формирования неопределенной матрицы сопротивлений Используя выражение (2.65), найдем обобщенную матрицу сопротивлений мно- гополюсных компонентов схемы: 1 2 3 4 5 1 0 0 0 0 0 2 0 r б + r э −r э 0 0 Z м = P БТ Z БТ P T БТ 3 0 −r э + αr к r э + r к (1 − α) 0 0 4 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 Суммируя матрицу сопротивлений пассивной части схемы с обобщенной мат- рицей сопротивлений многополюсных компонентов, получим укороченную матри- цу сопротивлений схемы усилителя, которая совпадает с укороченной матрицей сопротивлений, составленной методом эквивалентных схем: 1 2 3 4 5 1 Z C1 + R э −R э 0 0 0 2 −R э R э + r б + + r э + Z э −r э −Z э 0 Z ∗ = 3 0 −r э + αr к r э + r к (1 − α) + + R 4 + Z C2 −Z C2 −R 4 4 0 −Z э −Z C2 Z э + Z C2 + R 3 −R 3 5 0 0 −R 4 −R 3 R 3 + R 4 + Z C4 62 Глава 2. Математическое описание электронных схем Контрольные вопросы по главе 2 1) Укажите основные свойства линейных электронных схем. 2) Сформируйте схему замещения усилителя низкой частоты по постоянному току 3) Сформируйте схему замещения усилителя низкой частоты по переменному току для рабочего диапазона частот: Контрольные вопросы по главе 2 63 4) Сформируйте полюсный граф эмиттерного повторителя для малосигналь- ного режима работы в рабочем диапазоне частот, используя Т-образную физическую эквивалентную схему биполярного транзистора: 5) Определите количество покрывающих деревьев графа: 6) Составьте сокращенную структурную матрицу полюсного графа: 64 Глава 2. Математическое описание электронных схем 7) Для заданного покрывающего дерева графа сформируйте матрицу главных сечений: 8) Для заданного покрывающего дерева графа сформируйте матрицу главных циклов: 9) Сформируйте укороченную матрицу проводимостей по приведенной схеме замещения: 10) Дайте классификацию электронных схем по математическому описанию. Глава 3 СХЕМНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ АНАЛИЗ 3.1 Понятие и виды схемных функций электронных схем В общем случае электронная схема может рассматриваться как 2n-полюсник (n-входник), на часть входов которого подаются внешние воздействия, а на остав- шихся входах определяются реакции на эти воздействия (рис. 3.1). Электрическое состояние линейной электронной схемы как 2n-полюсника опре- деляется системой уравнений: WY = Ξ, (3.1) где W — матрица эквивалентных параметров 2n-полюсника; Y = [ y 1 . . . y n ] T — вектор основных величин 2n-полюсника; Ξ = [ ξ 1 . . . ξ n ] T — вектор второсте- пенных величин 2n-полюсника. При этом второстепенные величины характеризуют воздействия на входы мно- гополюсника, а основные — реакции на эти воздействия. Решая систему уравнений (3.1), получаем переменные реакций многополюс- ника на внешние воздействия в виде: y i = n ∑ j =1 ∆ ji ∆ ξ j = n ∑ j =1 F ij ξ j , i = 1, n, (3.2) где ∆ = det W — определитель матрицы эквивалентных параметров 2n-полюсника; ∆ ji — алгебраические дополнения матрицы эквивалентных параметров 2n-полюсни- ка; F ij = ∆ ji /∆ — схемная функция электронной схемы. Выражение (3.2) отражает принцип суперпозиции, который позволяет свести линейную электронную схему к проходному четырехполюснику относительно про- извольной пары входов и анализировать его независимо от воздействий на других входах. 66 Глава 3. Схемные функции и их анализ Рис. 3.1 – Электронная схема как 2n-полюсник Для определения реакции электронной схемы на внешние воздей- ствия, одновременно подаваемые на несколько входов, необходимо рассматривать ряд проходных четырехполюсников. Наибольшее распространение получили способы приведения электронной схе- мы к четырехполюснику, основанные на использовании систем z- и y-параметров (рис. 3.2 и 3.3). Рис. 3.2 – Электронная схема как проходной четырехполюсник в системе z-параметров 3.1 Понятие и виды схемных функций электронных схем 67 Рис. 3.3 – Электронная схема как проходной четырехполюсник в системе y-параметров Схемной функцией называют отношение операторных изобра- жений токов и напряжений, характеризующих электрическое со- стояние электронной схемы как проходного четырехполюсника, при нулевых начальных условиях. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Основными схемными функциями проходного четырехполюсника являются: • передаточные k U (p) = U выx (p) U вx (p) , k I (p) = I выx (p) I вx (p) , Z пep (p) = U выx (p) I вx (p) , Y пep (p) = I выx (p) U вx (p) , (3.3) • входные Z вx (p) = 1 Y вx (p) = U вx (p) I вx (p) . (3.4) • выходные Z выx (p) = 1 Y выx (p) = − U xx выx (p) I кз выx (p) = − U выx (p)∣ Z н →∞ I выx (p)∣ Z н =0 . (3.5) Помимо схемных функций проходного четырехполюсника в практике анализа электронных схем находят применение полные схемные функции, определяемые с учетом внутренних иммитансов источников сигналов: • схемные функции цепи передачи k E (p) = U выx (p) E c (p) , k J (p) = I выx (p) J c (p) , Z пep. J (p) = U выx (p) J c (p) , Y пep. E (p) = I выx (p) E c (p) , (3.6) • схемные функции входной цепи Z вx. J (p) = U вx (p) J c (p) , Y вx. E (p) = I вx (p) E c (p) , k U , вx (p) = U вx (p) E c (p) , k I, вx (p) = I вx (p) J c (p) . (3.7) |