Методы анализа и расчета электронных схем - пособие. Учебное пособие Томск Эль Контент
 Скачать 1.73 Mb.
|
|
Глава 5. Анализ электронных схем во временной области Дифференциальные переменные q и ψ представляем в виде: q = q CT + π CC q CN = [ 1 π CC ] [ q CT q CN ] = Π CC q C = Π CC CU C , (5.42) ψ = ψ LN = ψ L = LI L = L 1 i L1 , (5.43) где Π CC = [ 1 π CC ] = ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ 1 0 0 0 −1 −1 0 1 0 0 0 −1 0 0 1 0 −1 0 0 0 0 1 0 0 ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ , C = diag (C 1 , C 2 , C 3 , C 4 , C зи , C зc ); U C = [ u C1 u C2 u C3 u C4 u C зи u C зc ] T Векторы напряжений емкостей и токов индуктивностей с учетом соотношений (5.22) и (5.23) могут быть представлены в виде: U C = [ U CT U CN ] = [ 1 π T CC ] U CT + [ 0 π T EC ] E = Π T CC U CT + Π T EC E, (5.44) I L = I LN = i L1 , (5.45) где: Π EC = [ 0 π EC ] = [ 0 0 0 0 1 1 ]. Подставляя выражения (5.44) и (5.45) в (5.42) и (5.43), получаем: ˜x = [ q ψ ] = [ Π CC C Π T CC 0 0 L ] [ U CT I LN ] + [ Π CC C Π T EC 0 ] E = W x X + Θ 3 F, (5.46) где: W x = [ Π CC C Π T CC 0 0 L ] = ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ C 1 + C зи + C зc C зc C зи 0 0 C зc C 2 + C зc 0 0 0 C зи 0 C 3 + C зи 0 0 0 0 0 C 4 0 0 0 0 0 L 1 ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ , Θ 3 = [ Π CC C Π T EC 0 ] = ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ −(C зи + C зc ) −C зc −C зи 0 0 ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ . Дифференцируя уравнение (5.46) и подставляя в (5.17), находим: W x dX dt = Θ ′ 1 X + Θ ′ 2 F − Θ 3 dF dt , откуда получаем уравнение переменных состояния линейной электронной схемы в виде: dX dt = AX + BF + B 1 dF dt , где: A = W −1 x Θ ′ 1 , B = W −1 x Θ ′ 2 , B 1 = −W −1 x Θ 3 , 5.2 Реализация математических моделей в базисе переменных состояния 129 причем матрица A является квадратной матрицей ℓ CT + ℓ LN = 5 порядка, матрицы B и B 1 имеют размерность (ℓ CT + ℓ LN ) × ℓ E = 5 × 1. Например, при численных значениях внутренних параметров избирательного усилителя R 1 = 1 МОм, R 2 = 500 Ом, C 1 = 10 мкФ, C 2 = 100 пФ, C 3 = 50 мкФ, C 4 = 10 мкФ, L 1 = 300 мкГн, S = 1 мА/В, C зи = C зc = 10 пФ, R cи = 100 кОм матрица состояния A и матрицы управления B и B 1 принимают вид: A = ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ −9.191 0.91 −9.092 −0.909 9.091 × 10 3 9.091 × 10 6 −9.1 × 10 5 9.092 × 10 6 9.091 × 10 5 −9.091 × 10 9 −20 2 × 10 −3 −60.002 1.818 × 10 −7 −1.818 × 10 −3 0 10 0 −10 0 0 3.333 × 10 3 0 0 0 ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ . B = ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ 9.191 −9.091 × 10 6 20 0 0 ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ . B1 = ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ 1.909 × 10 −6 0.091 2 × 10 −7 0 0 ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ . 5.2 Реализация математических моделей в базисе переменных состояния Основу реализации математических моделей в базисе переменных состояния составляет решение задачи Коши, то есть интегрирова- ние систем обыкновенных дифференциальных уравнений с задан- ными начальными условиями X (t 0 ) = X 0 Задача Коши для систем линейных дифференциальных уравнений может ре- шаться как аналитически, так и с использованием методов численного интегриро- вания дифференциальных уравнений. Для систем нелинейных дифференциальных уравнений общие аналитические методы решения отсутствуют, поэтому задача Коши решается преимущественно путем численного интегрирования дифференциальных уравнений. Аналитическое решение систем линейных дифференциальных уравнений Аналитическое решение системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка (5.3) с начальными условиями X (t 0 ) = X 0 имеет вид: X (t) = Φ(t) ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎣ X 0 + t ∫ t 0 Φ −1 (ξ) (B(ξ)F(ξ) + s ∑ i =1 B i (ξ) d i F (ξ) d ξ i ) dξ ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎦ , где Φ(t) — фундаментальная матрица, определяемая решением матричного уравнения: d Φ(t) dt = A(t)Φ(t), Φ(t 0 ) = 1. (5.47) 130 Глава 5. Анализ электронных схем во временной области Из (5.47) следует выражение для фундаментальной матрицы: Φ(t) = exp ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎣ t ∫ t 0 A (ξ)dξ ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎦ . (5.48) Для линейных электронных схем с постоянными параметрами (линейных ста- ционарных систем) при отсутствии компонентно зависимых дифференциальных переменных справедливо A (t) = const = A, B(t) = const = B, B i (t) = const = B i , d i F (ξ)/dξ i = 0 (i = 2, s), поэтому фундаментальная матрица определяется выражением: Φ(t) = exp[A(t − t 0 )], а аналитическое решение принимает вид: X (t) = exp[A(t − t 0 )] ⋅ X 0 + (5.49) + t ∫ t 0 exp [A(t − ξ)] (B(ξ)F(ξ) + B 1 (ξ) dF (ξ) d ξ ) dξ. Экспоненциальная матрица (матричная экспонента) exp A от квадратной мат- рицы A n-го порядка представляет собой квадратную матрицу n-го порядка, опре- деляемую рядом Тейлора: exp A = ∞ ∑ k =0 [ 1 k! A k ], (5.50) где k! = k ∏ i =1 i = 1 ⋅ 2 ⋅ . . . ⋅ (k − 1) ⋅ k — факториал числа k (по определению 0! = 1); A k = = k ∏ i =1 A = A ⋅ A ⋅ . . . ⋅ A ´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ k paз — k-ая степень матрицы A (по определению A 0 = 1 — единичная матрица n-го порядка). Для практических расчетов матричной экспоненты широко применяется интер- поляционный полином Лагранжа—Сильвестра, согласно которому функция f (A) от матрицы A может быть представлена в виде: f (A) = q ∑ k =1 mk ∑ s =1 f (s−1) (λ k )B ks , (5.51) где f (s−1) (λ k ) = d (s−1) f (x) dx (s−1) ∣ x =λk , f 0 (λ k ) = f (λ k ); B ks — квадратные матрицы n-го по- рядка, называемые компонентами матрицы A; λ k — собственные числа матрицы A, определяемые из решения характеристического уравнения: det (A − λ1) = 0. Множество собственных чисел {λ k } называется спектром матрицы A. Если соб- ственные числа матрицы A различны, то говорят, что спектр этой матрицы простой, в противном случае — сложный. 5.2 Реализация математических моделей в базисе переменных состояния 131 Если матрица A n-го порядка имеет сложный спектр, причем ее собственные числа λ k имеют кратность m k , k = 1, q ( q ∑ k =1 m k = n), то ее компоненты определяются соотношением: B ks = (A − λ k 1 ) (s−1) q ∏ j =1 j ≠k (A − λ j 1 ) (s − 1)! q ∏ j =1 j ≠k (λ k − λ j ) , s = 1, m k . (5.52) Таким образом, каждому собственному числу λ k соответствует m k компонент матрицы A: B k1 , B k2 , . . ., B km k . При этом матрицы B k1 (k = 1, q) называются проек- торами матрицы A и обозначаются B k1 = P k . Все компоненты матриц, обладающих простым спектром, являются проекторами. Проекторы матриц определяются соот- ношением: P k = q ∏ j =1 j ≠k (A − λ j 1 ) q ∏ j =1 j ≠k (λ k − λ j ) , k = 1, q. (5.53) Компоненты B k2 , . . ., B km k могут быть выражены через соответствующие про- екторы: B ks = (A − λ k 1 ) (s−1) (s − 1)! P k , s = 2, m k . (5.54) В свою очередь, компоненты матрицы удовлетворяют условиям: q ∑ k =1 P k = 1, P 2 k = P k , B ks B rl = 0, k, r = 1, q; l, s = 1, m k ; r ≠ k; s ≠ l. (5.55) В случае простого спектра матрицы A интерполяционный полином Лагранжа— Сильвестра упрощается: f (A) = n ∑ k =1 P k f (λ k ). (5.56) Рассмотрим вычисление матричной экспоненты exp (At) для матрицы A = = [ − 3 −1 2 0 ] с помощью интерполяционного полинома Лагранжа—Сильвестра. Характеристическое уравнение матрицы A имеет вид: ∣ − 3 − λ −1 2 −λ ∣ = λ 2 + 3λ + 2 = 0, откуда определяем собственные числа λ 1 = −1, λ 2 = −2. Поскольку спектр матрицы A простой, матричная экспонента выражается соотношением (5.56), в котором: P 1 = A − λ 2 1 λ 1 − λ 2 = 1 −1 − (−2) ([ − 3 −1 2 0 ] − (−2) [ 1 0 0 1 ]) = [ − 1 −1 2 2 ] , P 2 = A − λ 1 1 λ 2 − λ 1 = 1 −2 − (−1) ([ − 3 −1 2 0 ] − (−1) [ 1 0 0 1 ]) = [ 2 1 −2 −1 ] . 132 Глава 5. Анализ электронных схем во временной области Согласно (5.56): exp ([ − 3 −1 2 0 ] t) = P 1 e λ1t + P 2 e λ2t = [ − 1 −1 2 2 ] e −t + [ 2 1 −2 −1 ] e −2t . Для матрицы A = [ − 1 −1 0.25 0 ] характеристическое уравнение имеет вид: ∣ − 1 − λ −1 0.25 −λ ∣ = λ 2 + λ + 0.25 = 0, корни которого: λ 1 = λ 2 = −0.5. Таким образом, матрица A имеет одно собственное число λ 1 = −0.5 кратности m 1 = 2, то есть обладает сложным спектром. Согласно условиям (5.55): B 11 = P 1 = 1 = [ 1 0 0 1 ] , а в соответствии с (5.54): B 12 = 1 1! (A − λ 1 1 )P 1 = [ − 1 −1 0.25 0 ] − (−0.5) [ 1 0 0 1 ] = [ − 0.5 −1 0.25 0.5 ] . Далее по (5.51) находим: exp ([ − 1 −1 0.25 0 ] t) = B 11 e λ1t + B 12 d d λ (e λt )∣ λ=λ1 = = [ 1 0 0 1 ] e −0.5t + [ − 0.5 −1 0.25 0.5 ] te −0.5t . Расчет временных характеристик линейных электронных схем Для расчета переходных характеристик вектор входных переменных математи- ческой модели в базисе переменных состояния может быть представлен в виде: F (t) = [ η 1 (t 0 ) . . . η k (t 0 ) . . . η m (t 0 ) ] T , (5.57) где η k (t 0 ) — функция Хэвисайда, выражающая единичное ступенчатое изменение k-ой входной (задающей) переменной. Тогда при нулевых начальных условиях (X 0 = 0) из аналитического решения (5.49) следует: X (t) = A −1 [exp(A (t − t 0 )) − 1] ⋅ B + exp(A (t − t 0 )) ⋅ B 1 . (5.58) Подставляя (5.58) в выходное уравнение Y (t) = KX(t)+K f F (t)+K f 1 dF (t)/dt по- лучим матричную переходную функцию H (t): H (t) = K[A −1 [exp(A (t − t 0 )) − 1] ⋅ B + exp(A (t − t 0 )) ⋅ B 1 ] + K f + K f 1 δ (t 0 ) . (5.59) 5.2 Реализация математических моделей в базисе переменных состояния 133 Матричная переходная функция в общем случае представляет собой матрицу, которая имеет размерность r × m: H (t) = ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ h 11 (t) . . . h 1s (t) . . . h 1m (t) . . . . . . . . . . . . . . . h k1 (t) . . . h ks (t) . . . h km (t) . . . . . . . . . . . . . . . h r1 (t) . . . h rs (t) . . . h rm (t) ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ , где h ks (t) — переходная функция (характеристика) для переменной реакции y k (t) при переменной воздействия f s (t). Расчет частотных характеристик Для расчета частотных характеристик вектор входных переменных математи- ческой модели в базисе переменных состояния может быть представлен в виде: F (t) = F m exp (jωt) , (5.60) где F m — вектор амплитуд гармонических воздействий. Тогда из аналитического решения (5.49) следует: X (t) = exp[A (t − t 0 )] ⋅ X 0 + (5.61) + [jω ⋅ 1 − A] −1 [exp (jωt) − exp((jω ⋅ 1 − A) t 0 + At)] ⋅ [B + jωB 1 ] ⋅ F m . Для устойчивых электронных схем собственные числа матрицы A лежат в ле- вой комплексной полуплоскости, поэтому: lim t →∞ exp (At) = 0. (5.62) Вектор переменных состояния в стационарном режиме определяется из (5.61) с учетом (5.62): X cт (t) = lim t →∞ X (t) = [jω ⋅ 1 − A] −1 ⋅ [B + jωB 1 ] ⋅ F m ⋅ exp (jωt) . (5.63) Подставляя (5.63) в выходное уравнение Y (t) = KX(t) + K f F (t) + K f 1 dF (t)/dt, получим: Y cт (t) = (K[jω ⋅ 1 − A] −1 ⋅ [B + jωB 1 ] + K f + jωK f 1 ) ⋅ F m ⋅ exp (jωt) = T (jω) F (t) , где T (jω) = K[jω ⋅ 1 − A] −1 ⋅[B + jωB 1 ]+K f +jωK f 1 — матричная комплексная частот- ная функция. Матричная комплексная частотная функция в общем случае представляет со- бой комплексную матрицу, которая имеет размерность r × m: T (jω) = ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ T 11 (jω) . . . T 1s (jω) . . . T 1m (jω) . . . . . . . . . . . . . . . T k1 (jω) . . . T ks (jω) . . . T km (jω) . . . . . . . . . . . . . . . T r1 (jω) . . . T rs (jω) . . . T rm (jω) ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ , |