Методы анализа и расчета электронных схем - пособие. Учебное пособие Томск Эль Контент

• Название: Учебное пособие Томск Эль Контент
• Анкор: Методы анализа и расчета электронных схем - пособие
• Дата: 18.09.2021
• Размер: 1.73 Mb.
• Имя файла: Методы анализа и расчета электронных схем - пособие.pdf
• Тип: Учебное пособие; #233599
• страница: 16 из 18

Глава 5. Анализ электронных схем во временной области
где T
ks
(jω) = y
k
(jω)/f
s
(jω) — комплексная частотная функция для переменной реак- ции y
k
(jω) при переменной воздействия f
s
(jω).
При использовании комплексных частотных функций расчет амплитудно-час- тотных, фазочастотных, вещественных и мнимых частотных характеристик осу- ществляется по выражениям:
A
ks
(ω) = ∣T
ks
(jω)∣,
3
ks
(ω) = arg[T
ks
(jω)],
T
R, ks
(ω) = Re[T
ks
(jω)],
T
J , ks
(ω) = Im[T
ks
(jω)].
Численные методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений
Для решения во временном интервале 0
⩽ t ⩽ T задачи Коши с начальными условиями X
(0) = X
0
численными методами необходимо перейти от непрерывной,
или континуальной, формы записи системы дифференциальных уравнений:
dX
(t)
dt
= G(t, X (t))
(5.64)
к дискретной. С этой целью область интегрирования
[0, T] разбивается на отрезки
0
= t
0
< t
1
< . . . < t
k
< . . . < t
M
= T, и непрерывная область изменения аргумента t за- меняется дискретной областью:
(0 ⩽ t ⩽ T) → (t
0
, t
1
, . . ., t
M
). Величину h
k
= t
k
− t
k
−1
,
k
= 1, M называют шагом дискретизации (шагом интегрирования), а саму дискрет- ную область
(t
0
, t
1
, . . ., t
M
) — сеточной областью. Если h
k
= h = const, то сеточная область является равномерной. Моменты t
k
носят название узлов сеточной области.
Значения искомых функций в узлах сеточной области будем обозначать X
(t
k
) = X
k
В k-ом узле сеточной области систему (5.64) можно записать:
dX
k
dt
= G
k
,
(5.65)
где
dX
k
dt
=
dX
dt
∣
t
=tk
; G
k
= G(t
k
, X
k
).
При достаточной гладкости вектор-функции G
(t, X (t)) (то есть существовании производных нужного порядка по всем переменным) решение X
(t) системы диф- ференциальных уравнений можно разложить в ряд Тейлора в окрестности точки t
k
:
X
(t) =
∞
∑
i
=0
X
(i)
(t
k
)
i!
(t − t
k
)
i
.
(5.66)
Полагая в (5.66) t
= t
k
+1
= t
k
+ h, получим:
X
k
+1
= X
k
+
X
(1)
k
1!
h
+
X
(2)
k
2!
h
2
+ . . . +
X
(p)
k
p!
h
p
+ 0 ⋅ (h
p
+1
) =
(5.67)
= X
k
+ h[T
p
(X
k
, t
k
, h
) + 0(h
p
)],

5.2 Реализация математических моделей в базисе переменных состояния
135
где 0
(h
p
) = X
(p+1)
k
/((p + 1)!)h
p
+ . . . — величина, определяемая членами высших по- рядков, называемая бесконечно малой порядка h
p
;
T
p
(X
k
, t
k
, h
) =
X
(1)
k
1!
+
X
(2)
k
2!
h
+ . . . +
X
(p)
k
p!
h
p
−1
=
G
k
1!
+
G
(1)
k
2!
h
+ . . . +
G
(p−1)
k
p!
h
p
−1
.
Пренебрегая в (5.67) бесконечно малой величиной 0
(h
p
), получим систему разностных (алгебраических) уравнений:
X
k
+1
= X
k
+ hT
p
(X
k
, t
k
, h
),
(5.68)
которая представляет собой дискретную форму записи системы дифференциаль- ных уравнений (5.64). Так как системы (5.67) и (5.68) отличаются на слагаемое
0
(h
p
), то говорят, что система разностных уравнений аппроксимирует исходную систему дифференциальных уравнений с порядком 0
(h
p
) или с p-ым порядком
(p-ая степень h). Ошибка, вызванная переходом от системы дифференциальных уравнений (5.67) к системе разностных уравнений (5.68), ограничена величиной:
ε
k
⩽ K
p
h
p
,
где K
p
— некоторая постоянная, не зависящая от шага интегрирования. Система разностных уравнений (5.68) определяет явный численный метод Тейлора p-го порядка. Название «явный» следует из того, что (5.68) разрешимо явным образом относительно X
k
+1
Раскладывая решение X
(t) системы дифференциальных уравнений — можно в ряд Тейлора в окрестности точки t
k
+1
:
X
(t) =
∞
∑
i
=0
X
(i)
(t
k
+1
)
i!
(t − t
k
+1
)
i
и полагая t
= t
k
= t
k
+1
− h, получим:
X
k
= X
k
+1
−
X
(1)
k
+1 1!
h
+
X
(2)
k
+1 2!
h
2
− . . . +
X
(p)
k
+1
p!
h
p
+ 0 (h
p
+1
) =
(5.69)
= X
k
+1
− h[T
p
(X
k
+1
, t
k
+1
, h
) − 0 (h
p
)],
где:
T
p
(X
k
+1
, t
k
+1
, h
) =
X
(1)
k
+1 1!
−
X
(2)
k
+1 2!
h
+ . . . −
X
(p)
k
+1
p!
h
p
−1
=
=
G
k
+1 1!
−
G
(1)
k
+1 2!
h
+ . . . −
G
(p−1)
k
+1
p!
h
p
−1
.
Пренебрегая в (5.69) бесконечно малой величиной 0
(h
p
), получим систему разностных (алгебраических) уравнений вида:
X
k
+1
= X
k
+ hT
p
(X
k
+1
, t
k
+1
, h
),
(5.70)
которая определяет неявный численный метод Тейлора p-го порядка. Название
«неявный» объясняется тем, что (5.70) не разрешено явным образом относительно X
k
+1

136
Глава 5. Анализ электронных схем во временной области
Следует отметить существенное отличие уравнений (5.67), (5.69) и (5.68), (5.70).
Уравнения (5.67) и (5.69) образуют систему нелинейных (трансцендентных) урав- нений относительно вектора X
k
, но поскольку они содержат неопределенное сла- гаемое 0
(h
p
), то и решить их не представляется возможным. Уравнения (5.68)
и (5.70) не содержат неопределенного слагаемого 0
(h
p
) и, следовательно, могут быть решены. Векторы X
k
в (5.67), (5.69) и (5.68), (5.70) различны: в (5.67), (5.69) —
это решения системы дифференциальных уравнений в k-ом узле сеточной области,
а в (5.68), (5.70) — решения систем разностных уравнений. В случае h
→ 0 систе- ма (5.68) стремится принять вид (5.67), а система (5.70) стремится к (5.69). При этом решения систем нелинейных уравнений (5.67), (5.69) сближаются с решения- ми соответствующих систем разностных уравнений (5.68), (5.70) и при достаточно малых h будут мало различаться.
Простейшим численным методом интегрирования обыкновенных дифферен- циальных уравнений является явный метод Тейлора первого порядка, получив- ший название явного метода Эйлера, для которого p
= 1, T
1
(X
k
, t
k
, h
) = G
k
и тогда из (5.67) следует:
X
k
+1
= X
k
+ hG
k
.
(5.71)
Эта рекуррентная зависимость позволяет определять X
k
+1
по известному X
k
Система разностных уравнений (5.71) аппроксимирует исходную систему диффе- ренциальных уравнений с порядком 0
(h).
Из (5.70) при p
= 1 следует неявный метод Эйлера, для которого,
T
1
(X
k
+1
, t
k
+1
, h
) = G
k
+1
, и
X
k
+1
= X
k
+ hG
k
+1
,
(5.72)
который также имеет порядок аппроксимации 0
(h). Таким образом, явный и неявный методы Эйлера обладают наименьшей точностью из всех численных методов интегрирования дифференциальных уравнений. Для получения требуе- мой точности методами Эйлера необходимо уменьшать шаг интегрирования, что вызывает значительное увеличение времени счета.
Выбор той или иной схемы численного интегрирования систем дифферен- циальных уравнений определяется не только соображениями точности (порядок аппроксимации), удобства и экономичности (явные схемы), но и соображениями устойчивости.
Пусть на некотором шаге интегрирования допущена погрешность вычисления
ε
k
. Возмущенное решение разностного уравнения (5.68) представим в виде X
k
=
= X
k
+ ε
k
и подставим в (5.68):
X
k
+1
+ ε
k
+1
= X
k
+ ε
k
+ hT
p
(X
k
+ ε
k
, t
k
, h
).
(5.73)
Вычитая (5.73) из (5.68), получим уравнение для возмущений:
ε
k
+1
= ε
k
+ h(T
p
(X
k
+ ε
k
, t
k
, h
) − T
p
(X
k
, t
k
, h
)).
(5.74)

5.2 Реализация математических моделей в базисе переменных состояния
137
Численный метод является устойчивым, если решение уравнения для возмущений (5.74) удовлетворяет условию:
lim
k
→∞
ε
k
= 0.
Для явного метода Эйлера в случае системы линейных дифференциальных уравнений с постоянной матрицей A уравнение для возмущений принимает вид:
ε
k
+1
= (E + hA)ε
k
.
(5.75)
Общее решение этого разностного уравнения:
ε
k
= (E + hA)
k
ε
0
.
(5.76)
где
ε
0
— начальное возмущение.
Очевидно, что поведение
ε
k
при k
→ ∞ определяется свойствами матрицы A.
Общее решение разностного уравнения (5.76) можно записать в виде:
ε
k
= S(E + hΛ)
k
S
−1
ε
0
.
(5.77)
где S — матрица, составленная из собственных векторов матрицы A.
Тогда условием устойчивости явного метода Эйлера является требование:
∣1 + hλ
i
∣ < 1, i = 1, n,
(5.78)
где
λ
i
— собственные числа матрицы A.
Неравенство (5.78) можно переписать в виде:
∣
1
h
+ λ
i
∣ <
1
h
.
(5.79)
На комплексной
λ-плоскости оно определяет внутреннюю часть круга с цен- тром в точке
(−1/h, 0) и радиусом 1/h (рис. 5.5, а), которая носит название об- ласти устойчивости явного метода Эйлера. Условием устойчивости явного метода
Эйлера является такой выбор шага интегрирования h, который бы обеспечивал попадание всех собственных чисел матрицы A внутрь указанного круга.
Для линейных дифференциальных уравнений с постоянной матрицей A и неяв- ного метода Эйлера разностное уравнение (5.74) для возмущений имеет вид:
ε
k
+1
= (E − hA)
−1
ε
k
.
(5.80)
Решение уравнения (5.58) можно представить в виде:
ε
k
= (E − hA)
−k
ε
0
,
(5.81)
или
ε
k
= S(E − hΛ)
−k
S
−1
ε
0
,
(5.82)

138
Глава 5. Анализ электронных схем во временной области
где S — матрица, составленная из собственных векторов матрицы A.
Условие устойчивости для неявного метода Эйлера примет вид:
∣
1
h
− λ
i
∣ >
1
h
.
(5.83)
Данное неравенство определяет область устойчивости, которая представляет собой внешнюю часть круга с центром
(1/h, 0) и радиусом 1/h (рис. 5.5, б).
Рис. 5.5 – Области устойчивости явного (а) и неявного численных методов Эйлера
Для систем уравнений устойчивых электронных схем собственные числа мат- рицы A системы дифференциальных уравнений локализованы в левой полуплос- кости комплексной
λ-плоскости, хотя могут располагаться в ней достаточно про- извольно. Для интегрирования этих систем уравнений целесообразно применять численные схемы, область устойчивости которых включает всю левую полуплос- кость
λ-плоскости независимо от шага интегрирования h. Такие схемы называются абсолютно устойчивыми (А-устойчивыми). К ним относятся, например, неявный метод Эйлера. Явные же методы Эйлера и Рунге—Кутта относятся к разряду услов- но устойчивых численных схем, так как выполнение условий устойчивости для них зависит от выбора шага интегрирования h.
Выводы
По отношению к абсолютно и условно устойчивым численным схемам спра- ведливо утверждение, что не существует А-устойчивого неявного линейного мно- гошагового метода с порядком аппроксимации p
> 2.

Контрольные вопросы по главе 5
139
Контрольные вопросы по главе 5 1) Переменные математической модели в базисе переменных состояния, ха- рактеризующие реакцию схемы на внешние воздействия, относятся:
• 1 — к входным переменным,
• 2 — к выходным переменным,
• 3 — к переменным состояния.
2) В представленной модели линейной электронной схемы в базисе перемен- ных состояния укажите матрицу состояния:
dX
(t)
dt
= A(t)X (t) + B(t)F(t) +
s
∑
i
=1
B
i
(t)
d
i
F
(t)
dt
i
,
Y
(t) = K(t)X (t) + K
f
(t)F(t) +
p
∑
i
=1
K
f , i
(t)
d
i
F
(t)
dt
i
,
3) Сформируйте матрицу управления электронной схемы, если вектор пере- менных состояний имеет вид X
= [ i
L
u
C
]
T
:
4) При каком значении параметра
α матрица A = [ −
1 1
α −3 ]
имеет сложный спектр?
5) Запишите аналитическое решение линейного обыкновенного дифференци- ального уравнения dx
(t) /dt = −2x (t) + 4f (t) + df (t) /dt, если x (0) = 0,
f
(t) = η (t).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Методы анализа и расчета электронных схем составляют теоретическую базу процесса схемотехнического проектирования. Усложнение функций электронных устройств и повышение уровня технических требований привело к возникнове- нию нового научно-технического направления — автоматизированного проектиро- вания, основанного на применении средств электронно-вычислительной техники.
Данное направление диктует необходимость развития методов анализа и расчета электронных схем по пути их максимальной формализации и оптимизации.
Адаптация методов анализа электронных схем к машинной реализации связана с широким использованием математического аппарата матричной алгебры и мето- дов вычислительной математики.
Центральным этапом теоретического исследования широкого класса квазили- нейных электронных схем является определение схемных функций, обеспечива- ющих дальнейший расчет характеристик и параметров электронных схем во вре- менной и частотной областях. Поэтому до настоящего времени сохраняют свою актуальность методы, основанные на линейных операторных математических мо- делях.
В то же время высокая производительность вычислительной техники позво- ляет с достаточной точностью моделировать процессы в сравнительно сложных электронных цепях на основе численных методов реализации существенно нели- нейных математических моделей во временной форме. Такие методы являются наиболее перспективными на современном этапе развития методологии анализа электронных схем и зачастую опираются на математическое описание электрон- ных цепей в базисе переменных состояния.

ЛИТЕРАТУРА
[1] Белецкий А. Ф. Теория линейных электрических цепей / А. Ф. Белецкий. —
М.
:
Лань,
2009. — 544
с.
:
ил. — ISBN
978-5-8114-0905-1.
URL:
http://e.lanbook.com/viem/book/710.
[2] Глотов А. Ф. Математическое моделирование электронных схем : учеб. посо- бие / А. Ф. Глотов; Томский политехнический университет. — Томск : изд-во
Томского политехнического университета, 2012. — 168 с. — ISBN 978-5-4387-
0005-0.
[3] Довгун В. П. Компьютерное моделирование электронных цепей и уст- ройств: метод. указ. по самостоятельной работе [Электронный ре- сурс]
/
В. П. Довгун,
В. Б. Лыкова,
П. А. Барыбин. — Красноярск
:
Сибирский федеральный ун-т,
2008. — 75
с. — URL:
http://ikit.edu.sfu- kras.ru/files/5/samost_work.pdf доступ свободный.
[4] Федеральный государственный образовательной стандарт высшего профес- сионального образования по направлению подготовки 210100 Электроника и наноэлектроника (квалификация (степень) «бакалавр») : утвержден при- казом Министерства образования и науки Российской Федерации от 27 де- кабря 2009 г. №743.

Приложение А
ОТВЕТЫ НА КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Глава 1. Общие положения моделирования, анализа и расчета электронных схем
1) К внутренним параметрам относятся сопротивления резисторов, электри- ческие емкости конденсаторов, физические параметры транзисторов и ста- билитрона и т. д.; к выходным параметрам относятся коэффициенты уси- ления по напряжению, по току, по мощности и др., токи ветвей схемы,
входное и выходное напряжения, нестабильности коэффициентов усиле- ния, входное и выходное сопротивления и т. д.; к внешним параметрам
относятся напряжение питания, температура окружающей среды, сопро- тивление нагрузки и т. д.
2) Синтез — создание описания еще не существующего технического объек- та на основе требований к выходным параметрам при заданных внешних параметрах.
3) Расчет статического режима (режима покоя), расчет частотных характери- стик, расчет переходных процессов.
4) Под математической моделью электронной схемы обычно понимается лю- бое математическое описание, отражающее с требуемой точностью пове- дение электронной цепи в заданных условиях и позволяющее определить все интересующие свойства данной цепи.
5) Адекватность, универсальность, экономичность, продуктивность, робаст- ность, наглядность.
6) Формирование математической модели, реализация и анализ математиче- ской модели, проверка адекватности и точности модели.