Методы анализа и расчета электронных схем - пособие. Учебное пособие Томск Эль Контент
 Скачать 1.73 Mb.
|
|
Глава 4. Анализ линейных электронных схем операторными методами −k G выx ), L 4 (3 3 , 3 4 ) = g 2 3 , L 5 (3 2 , 3 4 , 3 3 ) = g 2 g 3 (pC 1 − kG выx ), L 6 (3 2 , 3 3 , 3 4 ) = = g 2 g 3 pC 1 , а также одну пару некасающихся контуров L 1 (3 1 , 3 2 ) = g 2 1 и L 4 (3 3 , 3 4 ) = = g 2 3 . Таким образом, в формуле (4.49) границы индексов суммирования принимают значения Q = 2, N 1 = 6, N 2 = 1, а формула может быть записана в виде: D A = Y 11 Y 22 Y 33 Y 44 − (L 1 Y 33 Y 44 + L 2 Y 11 Y 44 + L 3 Y 11 Y 33 + L 4 Y 11 Y 22 + L 5 Y 11 + (4.51) + L 6 Y 11 ) + L 1 L 4 . Из графа (рис. 4.25) следует p (34Iвx) 1 (I вx , 3 1 , 3 2 , 3 3 , 3 4 ) = g 1 g 2 g 3 , p (34Iвx) 2 (I вx , 3 1 , 3 2 , 3 4 ) = g 1 (pC 1 − kG выx ) . Так как путь p (34Iвx) 1 проходит через все вершины, D A 1 = 1. Величину дополнения D A 2 можно получить, устраняя из выражения (4.51) для определителя графа слагаемые, содержащие передачи всех контуров, поскольку они касаются пути p (34Iвx) 2 , и устраняя в оставшемся слагаемом веса Y 11 , Y 22 , Y 44 вершин 3 1 , 3 2 , 3 4 , входящих в состав пути p (34Iвx) 2 : D A 2 = Y 33 . Тогда Z пep = g 1 g 2 g 3 + g 1 (pC 1 − kG выx ) Y 33 D A . При определении коэффициента передачи по напряжению вершина, соответ- ствующая задающей переменной U вx = 3 1 , не является вершиной-истоком, поэтому используется формула (4.50): k U = U н U вx = 3 4 3 1 = 2 ∑ k =1 p (34Iвx) k D A k p (31Iвx) 1 D ′ A 1 . (4.52) Числитель коэффициента передачи по напряжению совпадает с ранее найден- ным числителем передаточного сопротивления. Из графа следует: p (31Iвx) 1 (I вx , 3 1 ) = 1. Величину дополнения D ′ A 1 можно полу- чить, устраняя из выражения (4.51) для определителя графа слагаемые, содержа- щие передачу контура L 1 , касающегося пути p (31Iвx) 1 , а в оставшихся слагаемых — вес Y 11 вершины 3 1 , которая входит в состав пути p (31Iвx) 1 : D ′ A 1 = Y 22 Y 33 Y 44 − (L 2 Y 44 + L 3 Y 33 + L 4 Y 22 + L 5 + L 6 ) . Подставляя полученные выражения в формулу (4.52), окончательно получаем: k U = g 1 g 2 g 3 + g 1 (pC 1 − kG выx ) Y 33 Y 22 Y 33 Y 44 − (L 2 Y 44 + L 3 Y 33 + L 4 Y 22 + L 5 + L 6 ) . Контрольные вопросы по главе 4 111 Следует отметить, что непосредственно по сигнальному U -графу можно опре- делить только такие схемные функции, как Z пep , k U , Z вx . Для определения осталь- ных схемных функций необходимо использовать соотношения, связывающие схем- ные функции, например: k I = Y н Z пep , Y пep = Y н k U , Y вx = 1 Z вx . Контрольные вопросы по главе 4 1) Укажите, какие схемные функции определяет выражение F ξвыxξвx = ξ выx /ξ вx = = −w н w 21 /(∣w∣ − w 11 w н ) при представлении схемы как проходного четырех- полюсника в системах y- и z-параметров? 2) Приведите соотношение, выражающее определитель матрицы [ W θ λ 0 ] , через суммарное алгебраическое дополнение матрицы W , где W — матрица эквивалентных параметров схемы, а θ и λ — преобразующие векторы. 3) Вычислите суммарное алгебраическое дополнение ∆ (1/2, 3)(1, 3/0) матрицы ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ 1 2 1 2 3 1 3 2 3 ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ 4) Вычислите двухкратное суммарное алгебраическое дополнение матрицы ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ 1 2 1 2 3 1 3 2 3 ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ относительно преобразующих векторов θ 1 = [ 1 0 1 ] T , λ 1 = = [− 1 0 1 ] T , θ 2 = [− 1 0 −1 ] T , λ 2 = [ 1 0 0 ] T 5) Определите численные значения индексов алгебраических дополнений в формуле Z н ∆ (a+c)(b+d) /(∆ + Z н ∆ (b+d)(b+d) ) применительно к схеме замеще- ния вида: 6) Дайте определение сигнального графа. 7) Укажите основные виды сигнальных графов. 8) Назовите основные способы определения передач сигнальных графов. 112 Глава 4. Анализ линейных электронных схем операторными методами 9) Для системы уравнений ⎧⎪⎪⎪ ⎨⎪⎪ ⎪⎩ 2x 1 − 3x 2 − 4x 3 = 2f 1 , 3x 2 − 2x 3 = 0, −2x 1 + 5x 3 = f 2 сформируйте ненорма- лизованный сигнальный граф Мэзона. 10) Определите передачу сигнального графа Мэзона из вершины f 1 в вершину x 2 : 11) Определите величины всех элементарных сигнальных графов Мэзона с фактором, равным двум, для графа: 12) Для системы уравнений ⎧⎪⎪⎪ ⎨⎪⎪ ⎪⎩ 2x 1 − 3x 2 − 4x 3 = 2f 1 , 3x 2 − 2x 3 = 0, −2x 1 + 5x 3 = f 2 сформируйте обобщенный сигнальный граф. 13) Найдите определитель обобщенного сигнального графа: 14) По обобщенному сигнальному графу определите передачу F 31 = x 3 /f 1 : Контрольные вопросы по главе 4 113 15) По обобщенному сигнальному графу определите передачу F ′ 31 = x 3 /x 1 : Глава 5 АНАЛИЗ ЭЛЕКТРОННЫХ СХЕМ ВО ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТИ Анализ электронных цепей во временной области основан на использовании математических моделей, переменные которых представлены как функции време- ни. Среди методов анализа цепей во временной области можно выделить класси- ческий метод и метод временных характеристик. В классическом методе анализа математическая модель представляет собой си- стему дифференциальных уравнений, которые описывают состояние электронной цепи в различные моменты времени и называются уравнениями состояния. Реали- зация математической модели при этом предполагает, что на первом этапе произ- водится расчет мгновенных значений фазовых переменных путем интегрирования уравнений состояния, на основе которых определяются все интересующие вторич- ные выходные параметры электронной цепи (средние и действующие значения, гармонический состав, входные и выходные сопротивления, длительности фрон- тов реакций схемы и т. д.). Метод временных характеристик состоит в определении реакций электронных схем на произвольные воздействия на основе пере- ходных и импульсных характеристик путем применения интегра- лов наложения (интегралов Дюамеля). Следует отметить, что метод временных характеристик пригоден для анализа только линейных электронных схем, тогда как классический метод анализа являет- ся наиболее универсальным, позволяя проводить исследования как линейных, так и нелинейных, в том числе дискретных, электронных схем. 5.1 Математическое описание электронных схем в базисе переменных состояния 115 5.1 Математическое описание электронных схем в базисе переменных состояния Для формирования уравнений состояния все переменные, характеризующие электронную схему, распределяют на три множества: • входные переменные F = {f 1 , . . ., f m }, характеризующие внешние воздей- ствия на электронную схему; • выходные переменные Y = {y 1 , . . ., y r }, отражающие реакцию схемы на внешние воздействия; • переменные состояния X = {x 1 , . . ., x n }, к которым относятся линейно неза- висимые переменные, однозначно определяющие состояние электронной схемы в каждый момент времени. Совокупность всех значений, которые могут принять переменные состояния в любой момент времени, называют пространством состояния, а сами переменные состояния образуют базис этого пространства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Уравнения состояния электронных схем могут быть представлены в различных формах. Наибольшее практическое применение нашло представление уравнений состо- яния в виде систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, записанных в нормальной форме (форме Коши), наиболее приспособленной к при- менению явных методов интегрирования. Математическое описание электронной цепи в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, за- писанных в нормальной форме (форме Коши) относительно про- изводных от переменных состояния, представляет собой мате- матическую модель в базисе переменных состояния, а метод анализа, основанный на реализации такой модели, носит название метода переменных состояния. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . К переменным состояния могут относиться любые линейно независимые токи и напряжения, однако наиболее обоснованным с физической точки зрения являет- ся выбор в качестве переменных состояния величин, характеризующих энергети- ческий запас электронной схемы, который, в свою очередь, определяется напряже- ниями емкостных и токами индуктивных компонентов. 116 Глава 5. Анализ электронных схем во временной области Выводы Таким образом, переменными состояния электронных цепей чаще всего явля- ются напряжения емкостей и токи индуктивностей, к входным переменным отно- сятся задающие токи и напряжения независимых источников, а в качестве выход- ных переменных рассматриваются токи и напряжения, подлежащие определению. В общем случае математическая модель электронной схемы в базисе перемен- ных состояния включает: • систему уравнений состояния dX (t) dt = G(t, X (t), F(t)), (5.1) • систему выходных уравнений Y (t) = Ψ(X (t), F(t)), (5.2) где X = [x 1 , . . ., x n ] T , F = [f 1 , . . ., f m ] T , Y = [y 1 , . . ., y r ] T — векторы переменных со- стояния, входных и выходных переменных соответственно; G (t, X (t), F(t)) — n- мерная вектор-функция; Ψ (X (t), F(t)) — r-мерная вектор-функция. Для линейных электронных схем системы уравнений (5.1) и (5.2) принимают вид: dX (t) dt = A(t)X (t) + B(t)F(t) + s ∑ i =1 B i (t) d i F (t) dt i , (5.3) Y (t) = K(t)X (t) + K f (t)F(t) + p ∑ i =1 K f , i (t) d i F (t) dt i , (5.4) где A (t) — матрица системы (матрица состояния) n-го порядка; B(t), B i (t) — матри- цы управления размерности (n × m); K(t) — матрица выхода размерности (r × n); K f (t), K f , i (t) — матрицы входа размерности (r × m). С целью получения математической модели электронной схемы в дифферен- циальной форме относительно переменных состояния необходимо использовать компонентные уравнения емкостных и индуктивных компонентов, выражающие токи и напряжения через производные. Для емкостных компонентов в общем случае: i C = dq (u C ) dt = dq (u C ) du C du C dt = C дифф (u C ) du C dt , (5.5) Для линейных постоянных емкостей с учетом C дифф (u C ) = const = C выраже- ние (5.5) принимает вид: i C = C du C dt . 5.1 Математическое описание электронных схем в базисе переменных состояния 117 Для индуктивных компонентов в общем случае: u L = d ψ(i L ) dt = d ψ(i L ) di L di L dt = L дифф (i L ) di L dt . (5.6) Для линейных постоянных индуктивностей с учетом L дифф (i L ) = const = L вы- ражение (5.6) принимает вид u L = L di L dt . На основании вида используемых компонентных уравнений (5.5) и (5.6) дуги емкостных компонентов следует отнести к y-дугам, а дуги индуктивных компонен- тов — к z-дугам. Совокупность переменных состояния электронной схемы должна содержать только независимые дифференциальные переменные u C и i L При формировании уравнений в базисе переменных состояния принято мно- жество всех дуг компонентов схемы разбивать на подмножества: емкостных дуг (C-дуг), индуктивных дуг (L-дуг), дуг независимых источников напряжения (e- дуг), дуг независимых источников тока (j-дуг) и дуг безреактивных компонентов (x-дуг). Для исключения топологически зависимых дифференциальных переменных, обусловленных наличием особых циклов и сечений, необходимо при выборе по- крывающего дерева включить в него все независимые источники напряжения и мак- симально возможное число C-дуг, а все задающие источники тока и максимально возможное число L-дуг отнести к дополнению дерева. Тогда переменные состоя- ния представляются векторами U CT напряжений на емкостных дугах дерева и век- торами токов I LN в индуктивных хордах. Таким образом, указанное требование о распределении реактивных дуг между деревом и дополнением обеспечивается, если в покрывающее дерево включаются в следующем порядке: • дуги всех независимых источников ЭДС; • максимально возможное число C-дуг; • максимально возможное число безреактивных x-дуг; • минимально необходимое число L-дуг. Топологические уравнения в системе координат, определяемой выбором по- крывающего дерева в соответствии с принятой иерархией дуг, имеют вид: ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎣ 1 0 0 0 π EC π EX π EL π EJ 0 1 0 0 π CC π CX π CL π CJ 0 0 1 0 0 π XX π XL π XJ 0 0 0 1 0 0 π LL π LJ ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎦ ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎣ I E I CT I XT I LT I CN I XN I LN J ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎦ = 0; (5.7) 118 Глава 5. Анализ электронных схем во временной области ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎣ −π T EC −π T CC 0 0 1 0 0 0 −π T EX −π T CX −π T XX 0 0 1 0 0 −π T EL −π T CL −π T XL −π T LL 0 0 1 0 −π T EJ −π T CJ −π T XJ −π T LJ 0 0 0 1 ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎦ ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎣ E U CT U XT U LT U CN U XN U LN U J ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎦ = 0. (5.8) Компонентное уравнение для x-дуг целесообразно представить в неявной форме: [ V UT V UN V IT V IN ] ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ U XT U XN I XT I XN ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ = 0. (5.9) Из топологического уравнения (5.7) выразим вектор токов I XT x-дуг дерева: I XT = −π XX I XN − π XL I LN − π XJ J , (5.10) а из топологического уравнения (5.8) — вектор напряжений U XN x-хорд: U XN = π T XX U XT + π T CX U CT + π T EX E. (5.11) Подставив (5.10) и (5.11) в (5.9), получим уравнение для безреактивных ком- понентов: [ V UT + V UN π T XX V IN − V IT π XX ] [ U XT I XN ] = = [ −V UN π T CX V IT π XL ] [ U CT I LN ] + [ −V UN π T EX V IT π XJ ] [ E J ] , которое можно представить в краткой записи: W 0 X 0 = Q 1 X + Q 2 F, (5.12) где X 0 = [ U XT I XN ]; X = [ U CT I LN ]; F = [ E J ]. Формирование уравнений состояния производится на основе топологического уравнения для главных сечений, определяемых C-дугами дерева: I CT + π CC I CN = −π CX I XN − π CL I LN − π CJ J , (5.13) и топологического уравнения для главных циклов, определяемых L-хордами: U LN − π T LL U LT = π T XL U XT + π T CL U CT + π T EL E. (5.14) Введение вектора q = q CT + π CC q CN для зарядов и вектора ψ = ψ LN − π T LL ψ LT для потокосцеплений позволяет представить левые части уравнений (5.13) и (5.14) в виде: I CT + π CC I CN = dq CT dt + π CC dq CN dt = d dt (q CT + π CC q CN ) = dq dt , (5.15) U LN − π T LL U LT = d ψ LN dt − π T LL d ψ LT dt = d dt (ψ LN − π T LL ψ LT ) = d ψ dt . 5.1 Математическое описание электронных схем в базисе переменных состояния 119 Объединяя уравнения (5.13) и (5.14), получаем дифференциальное матричное уравнение вида: d dt [ q ψ ] = [ 0 −π CX π T XL 0 ] [ U XT I XN ] + [ 0 −π CL π T CL 0 ] [ U CT I LN ] + [ 0 −π CJ π T EL 0 ] [ E J ] , которое в сокращенной записи принимает форму: d ˜x dt = Θ 0 X 0 + Θ 1 X + Θ 2 F, (5.16) где ˜x = [ q ψ ] Решив уравнение (5.12) относительно вектора X 0 и подставив найденное ре- шение X 0 = W −1 0 (Q 1 X + Q 2 F ) = Q ′ 1 X + Q ′ 2 F в (5.16), получим дифференциальное матричное уравнение: d ˜x dt = (Θ 0 Q ′ 1 + Θ 1 ) X + (Θ 0 Q ′ 2 + Θ 2 ) F = Θ ′ 1 X + Θ ′ 2 F (5.17) Дальнейшее преобразование уравнения (5.17) в уравнение относительно пере- менных состояния требует перехода от вектора ˜x к вектору переменных состояния X , что имеет свои особенности для линейных и нелинейных электронных схем. Уравнения переменных состояния линейных электронных схем Для линейных электронных схем заряды емкостей и потокосцепления индук- тивностей могут быть представлены матричными уравнениями: q C = [ q CT q CN ] = CU C = C [ U CT U CN ] , ψ L = [ ψ LT ψ LN ] = LI L = L [ I LT I LN ] , где C — диагональная матрица емкостей, L — матрица индуктивностей. При отсутствии индуктивно-связанных двухполюсников матрица L является диагональной, в противном случае — недиагональной, но симметричной. Дифференциальные переменные q и ψ системы уравнений (5.16) можно выра- зить следующим образом: q = q CT + π CC q CN = [ 1 π CC ] [ q CT q CN ] = Π CC q C = Π CC CU C (5.18) ψ = ψ LN − π T LL ψ LT = [ −π T LL 1 ] [ ψ LT ψ LN ] = P LL ψ L = P LL LI L . (5.19) Из топологического уравнения для главных циклов, определяемых C-хордами, и из топологического уравнения для главных сечений, определяемых L-дугами де- рева, следует соответственно: U CN = π T CC U CT + π T EC E, (5.20) |