Методы анализа и расчета электронных схем - пособие. Учебное пособие Томск Эль Контент
 Скачать 1.73 Mb.
|
|
Глава 1. Общие положения моделирования, анализа и расчета электронных схем Рис. 1.1 – Этапы формирования математической модели На первом этапе формирования математической модели применяют элементы абстракции (допущения), направленные на выделение существенных свойств объ- екта. Использование тех или иных допущений определяется целью исследования, рассматриваемыми условиями функционирования и требуемой точностью. В зави- симости от перечисленных факторов для одного и того же реального объекта могут быть сформированы различные модели. На основе принятых допущений в составе реального объекта выделяют отдельные компоненты и определяют связи между ними, то есть формируют топологическую модель реального объекта. На втором этапе получения модели, применяя физические законы, формируют функциональную математическую модель, которая отражает поведение реального объекта в заданных условиях. Используемые физические законы выражаются уравнениями двух типов: компонентными уравнениями и топологическими уравне- ниями. Компонентные уравнения характеризуют свойства отдельных компонентов то- пологической модели реального объекта. Для электронных схем компонентные уравнения выражают связь между токами и напряжениями на полюсах электрон- ных компонентов. Топологические уравнения характеризуют только связи между компонентами безотносительно к свойствам самих компонентов. Для электронных цепей к топологическим уравнениям относятся уравнения равновесия для токов (уравнения первого закона Кирхгофа) и уравнения непрерывности для напряже- ний (уравнения второго закона Кирхгофа). Под реализацией математической модели понимается совокупность действий, направленных на получение необходимой информации о свойствах математиче- ской модели. Основными этапами реализации математических моделей являются выбор цели реализации, выбор метода расчета и численной схемы, разработка ал- горитма и программы расчета, обработка полученных результатов. Многократная реализация математической модели, направлен- ная на получение полной информации об объекте, носит название «анализ математической модели». . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Методы реализации математических моделей 13 На последнем этапе математического моделирования выполняют проверку адек- ватности и точности математической модели. Для этого используют различные подходы. Чаще всего результаты, полученные при помощи модели, сравнивают с данными наблюдения реальной системы или выборочно проведенных экспери- ментов. 1.5 Методы реализации математических моделей Все разнообразие методов реализации математических моделей можно свести к четырем основным видам: аналитическим, численным, численно-аналитическим и графическим. Аналитические методы реализации математических моделей подразумевают получение зависимостей выходных параметров моделируемого объекта от внут- ренних и внешних параметров в явной форме. Это позволяет проводить исследо- вания в общем виде, независимо от численных значений параметров. Аналити- ческие методы применимы только при использовании относительно простых, как правило, линейных, математических моделей. Численные методы являются наиболее общими. Схема вычислений задается формулой или алгоритмом, выполнение которых приводит к требуемому результа- ту [3]. В зависимости от характера вычислительного процесса численные методы подразделяются на прямые и итерационные. При использовании прямых методов результат получается путем последовательных операций над числами, и его точ- ность зависит исключительно от точности промежуточных вычислений. В ите- рационных методах результат получается путем последовательных приближений, начиная от некоторых начальных значений. Каждое последующее значение (ите- рация) вычисляется по одной и той же численной схеме, представляющей собой цикл вычислительного процесса. Необходимым условием работоспособности ите- рационного метода является сходимость последовательности итераций к искомой величине или совокупности величин, то есть возможность получения результата с требуемой точностью. Практически от итерационных методов требуется также достаточная скорость сходимости, то есть достижение требуемой точности таким количеством итераций, которое является приемлемым в данных конкретных условиях. Численно-аналитические методы основаны на совмещении элементов анали- тических и численных методов реализации математических моделей. При этом получение искомых результатов носит численный характер, а используемая чис- ленная схема задана соотношениями в аналитической форме. Графические методы направлены на реализацию математических моделей, представленных в форме графических образов. Эти методы обладают наглядно- стью и особенно удобны, если не требуется высокая точность или если интерес представляет качественная картина протекающих процессов. В практике инженер- ных расчетов графические методы часто используются совместно с аналитически- ми методами. В таких случаях их называют графоаналитическими. 14 Глава 1. Общие положения моделирования, анализа и расчета электронных схем Контрольные вопросы по главе 1 1) Какие параметры представленной схемы относятся к внутренним, выход- ным и внешним параметрам? 2) Сформулируйте постановку задачи синтеза. 3) Перечислите основные виды расчета электронных схем. 4) Что понимают под математической моделью электронной схемы? 5) Укажите основные требования, предъявляемые к математическим моделям. 6) Укажите основные этапы математического моделирования. 7) Укажите основное отличие функциональных математических моделей от топологических моделей. 8) Назовите основные формы представления топологических моделей. 9) Получите аналитическую математическую модель электронной цепи, ин- вариантная модель которой имеет вид: τ 2 d 2 u выx (t) dt 2 + τ du выx (t) dt + u выx (t) = U вx , U вx = const, u выx (0) = 0, du выx (t) dt ∣ t =0 = 0. 10) Укажите основные этапы реализации математических моделей. Глава 2 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЭЛЕКТРОННЫХ СХЕМ 2.1 Задачи проектирования электронных схем Реальные зависимости между токами и напряжениями электронных схем в об- щем случае нелинейные, достаточно сложные и носят в определенной степени вероятностный характер. В то же время режим работы устройства и требуемая точность анализа зачастую позволяют пренебречь нелинейностью характеристик и статистическим характером параметров входящих в него компонентов и прово- дить исследования по упрощенным математическим моделям. Это вызвало появ- ление классификации электронных схем по типу математических моделей, исполь- зуемых при анализе. Линейные схемы Математические модели линейных электронных схем представляют собой ли- нейные алгебраические и дифференциальные уравнения с постоянными коэффи- циентами [1]. В соответствии с теорией линейных дифференциальных уравне- ний линейные схемы обладают двумя очень важными с практиче- ской точки зрения свойствами: свойством наложения (суперпози- ции) и инвариантности отношений реакции к воздействию к опе- рациям интегрирования и дифференцирования. 16 Глава 2. Математическое описание электронных схем Согласно свойству суперпозиции реакция линейной схемы на сумму воздей- ствий равна сумме реакций на каждое воздействие в отдельности: X (t) = FQ(t) = F n ∑ i =1 q i (t) = n ∑ i =1 Fq i (t) = n ∑ i =1 x i (t), где q i (t) — отдельное воздействие; Q(t) = n ∑ i =1 q i (t) — суммарное воздействие; x i (t) = = Fq i (t) — реакция на отдельное воздействие. Согласно свойству инвариантности, если воздействию q (t) соответствует реак- ция x (t) = Fq(t), то воздействию dq(t)/dt будет соответствовать реакция dx(t)/dt = = Fdq(t)/dt, а воздействию ∫ q(t)dt — реакция ∫ x(t)dt = F∫ q(t)dt. Выводы Из свойств суперпозиции и инвариантности следует, что реакции линейных электронных схем не содержат новых спектральных составляющих по отношению к спектрам воздействующих на схему сигналов. К линейным схемам относят схемы, содержащие пассивные линейные компо- ненты с постоянными параметрами, а также схемы, содержащие активные много- полюсные компоненты, работающие в линейной области вольт-амперных характе- ристик в режиме малого сигнала (квазилинейные схемы). Кроме того, существует целый ряд нелинейных электронных схем, которые на отдельных интервалах ра- боты могут рассматриваться как линейные (кусочно-линейные схемы). Линейные параметрические схемы Математическими моделями линейных параметрических схем являются линей- ные алгебраические и дифференциальные уравнения с переменными коэффици- ентами, зависящими от времени [1]. Будучи линейными, параметрические схемы обладают свойством суперпозиции: X (t) = F(t)Q(t) = F(t) n ∑ i =1 q i (t) = n ∑ i =1 F (t)q i (t) = n ∑ i =1 x i (t). В то же время свойство инвариантности отношения реакции к воздействию к операциям интегрирования и дифференцирования для линейных параметриче- ских схем не выполняется: dx (t) dt = d (F(t)q(t)) dt = dF (t) dt q (t) + F(t) dq (t) dt ≠ F(t) dq (t) dt , ∫ x(t)dt = ∫ F(t)q(t)dt = F(t)∫ q(t)dt − ∫ q(t)dF(t) ≠ F(t)∫ q(t)dt. 2.2 Топологические модели электронных схем 17 Выводы Из-за нарушения принципа инвариантности при гармонических воздействиях и изменениях параметров в реакциях линейных параметрических схем возникают новые спектральные составляющие. К линейным параметрическим схемам относятся схемы, содержащие компо- ненты, параметры которых изменяются во времени под действием дополнительных управляющих сигналов: преобразователи частоты, малошумящие параметрические усилители, магнито-транзисторные параметроны и т. п. Нелинейные схемы Математические модели нелинейных электронных схем представляют собой нелинейные алгебраические и дифференциальные уравнения, параметры (коэф- фициенты) которых зависят от фазовых переменных. Принципиальным отличием нелинейных схем от линейных является неприменимость к ним принципов на- ложения и инвариантности, вследствие чего в реакциях схем появляются новые спектральные составляющие относительно спектрального состава воздействий. К нелинейным схемам относятся схемы, содержащие хотя бы один компонент, токи и напряжения на полюсах которого связаны нелинейной зависимостью: уси- лители в режиме большого сигнала, генераторы гармонических колебаний, умно- жители частоты и т. д. Нелинейные параметрические схемы Математическими моделями нелинейных параметрических схем являются нели- нейные алгебраические и дифференциальные уравнения, параметры (коэффициен- ты) которых зависят и от фазовых переменных, и от времени. К ним относятся схемы, содержащие нелинейные компоненты и компоненты с переменными во времени параметрами: устройства частотной модуляции, пара- метрические генераторы и др. 2.2 Топологические модели электронных схем По форме представления различают следующие виды топологических моделей электронных цепей: электрические схемы (схемы замещения), полюсные графы электронных схем, топологические матрицы и уравнения. 18 Глава 2. Математическое описание электронных схем Схемы замещения электронных цепей Схема замещения электронной цепи — это геометрическая аб- стракция цепи, отражающая ее структуру и характер входящих в нее компонентов с учетом режима работы, постановки задачи исследования и требуемой точности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Для обеспечения требования достаточной простоты математической модели широко распространен подход, связанный с формированием для одной и той же электронной цепи нескольких схем замещения, каждая из которых соответствует определенному режиму работы (состоянию) электронной цепи. Для электронных цепей непрерывного действия принято задачу анализа разде- лять на две независимые задачи: анализ цепи по постоянному току и анализ цепи по переменному току, для решения каждой из которых применяют соответствую- щие схемы замещения. Схему замещения электронной цепи по постоянному току получают из схемы электрической принципиальной, используя следующие правила: • ветви с емкостными элементами размыкают; • идеальные индуктивности закорачивают; • ветви идеальных источников переменного тока размыкают; • идеальные источники переменных ЭДС закорачивают; • активные электронные компоненты представляют соответствующими услов- ными графическими обозначениями либо замещают нелинейными экви- валентными схемами для постоянного тока; • источники питания постоянного тока принято представлять источниками постоянных ЭДС или постоянных токов с внутренними сопротивлениями. При анализе измерительных цепей иногда учитывают паразитные омические сопротивления реактивных компонентов с целью исследования погрешностей, вно- симых реактивными компонентами. Для удобства дальнейшего использования схемы замещения по постоянному току рекомендуется по возможности изображать без пересечений ветвей. В качестве примера рассмотрим формирование схемы замещения по постоян- ному току однокаскадного усилителя низкой частоты на биполярном транзисторе с цепью низкочастотной коррекции (рис. 2.1). В соответствии с правилами построения схем замещения по постоянному то- ку в схеме рис. 2.1 размыкаем ветви, содержащие конденсаторы C1, C2, C3, C4. Источник питания E представляем идеальным источником ЭДС E с последователь- но включенным внутренним сопротивлением r. Активный электронный компонент (транзистор VT ) представляем соответствующим условным графическим обозначе- нием. Полученная схема замещения усилителя по постоянному току представлена на рис. 2.2. Схему замещения электронной цепи по переменному току получают из схемы электрической принципиальной, используя следующие правила: 2.2 Топологические модели электронных схем 19 • ветви источников постоянного тока размыкают; • источники постоянных напряжений закорачивают; • активные электронные компоненты представляют соответствующими услов- ными графическими обозначениями либо замещают линеаризованными эк- вивалентными схемами для переменных сигналов; • реактивные элементы закорачивают, если в рассматриваемом диапазоне ча- стот их сопротивления переменому току сравнительно малы, и размыкают, если их сопротивления переменому току велики. Рис. 2.1 – Схема однокаскадного усилителя низкой частоты на биполярном транзисторе с цепью низкочастотной коррекции Рис. 2.2 – Схема замещения однокаскадного усилителя низкой частоты по постоянному току 20 Глава 2. Математическое описание электронных схем Для упрощения анализа иногда целесообразно составлять отдель- ные схемы замещения по переменному току для областей нижних, рабочих и верхних частот. При формировании схем замещения по переменному току для областей рабо- чих и верхних частот, как правило, закорачивают блокировочные, разделительные (входные, выходные, межкаскадные) конденсаторы, конденсаторы сглаживающих фильтров и другие, из назначения которых следует, что их сопротивление пере- менному току в рассматриваемом диапазоне частот должно быть мало. При составлении схемы замещения по переменному току необходимо стре- миться к максимально возможному упрощению и наглядности. Это имеет суще- ственное значение для ускорения анализа и расчета электронных схем. Рассмотрим формирование схем замещения по переменному току для однокас- кадного усилителя низкой частоты с цепью низкочастотной коррекции, приведен- ного на рис. 2.1. При составлении схемы замещения по переменному току исключаем из прин- ципиальной схемы источник питания E (так как это источник постоянного напря- жения) путем закорачивания. Источник входного сигнала в схеме замещения по переменному току представлен идеальным источником переменной ЭДС e c с по- следовательным внутренним сопротивлением r c , а нагрузка — ветвью с сопротив- лением Z н . В схеме замещения усилителя по переменному току для полного диа- пазона частот (рис. 2.3) учтены все реактивные элементы. Активный электронный компонент (транзистор VT ) представлен соответствующим условным графическим обозначением. Рис. 2.3 – Схема замещения усилителя низкой частоты по переменному току для полного диапазона частот Из назначения конденсаторов C1, C2, C3 и C4 следует, что они должны иметь малое сопротивление переменному току в области рабочих частот. В связи с этим, в схеме замещения по переменному току для рабочего диапазона частот (рис. 2.4) 2.2 Топологические модели электронных схем 21 ветви, содержащие эти конденсаторы, можно закоротить. При закорачивании кон- денсаторов C2 и C3 ветви с сопротивлениями R1, R2 образуют одну эквивалентную ветвь с сопротивлением R э = R 1 R 2 / (R 1 + R 2 ). Рис. 2.4 – Схема замещения усилителя низкой частоты по переменному току для рабочего диапазона частот Полюсные графы Наиболее компактно структура электронной цепи отображается с помощью полюсных графов электронных схем. Граф G (X , A, Γ) представляет собой совокупность непустого множества вершин X (X ≠ ∅), не пересекающегося с ним мно- жества ребер A (A ∩ X = ∅) и закона Γ, устанавливающего взаи- мосвязь между элементами множества вершин с помощью эле- ментов множества ребер. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Геометрически граф принято изображать совокупностью точек, взаимно одно- значно соответствующих вершинам, и связывающих их линий произвольной кри- визны, взаимно однозначно соответствующих ребрам графа [2]. При необходимости учета направлений связей между вершинами графа соот- ветствующим ребрам приписываются направления, отмечаемые стрелками, а сами ребра называют дугами. Графы, содержащие только ненаправленные ребра, назы- вают ненаправленными графами. Графы, включающие только направленные ребра (дуги), называют направленными или ориентированными графами, а также оргра- фами. Графы, содержащие как направленные, так и ненаправленные ребра, носят название смешанных. Полюсный граф электронной схемы представляет собой граф, вершины ко- торого соответствуют узлам схемы, ребра — ветвям схемы, а в качестве закона Γ выступает порядок связей ветвей схемы между собой. Ребрам полюсного графа приписывают направления, совпадающие с положительными направлениями то- ков соответствующих ветвей. При этом в ветви, содержащей источник ЭДС, поло- жительное направление тока следует выбирать противоположным направлению ЭДС. Последовательно и параллельно включенные ветви схемы в полюсном графе могут быть объединены в эквивалентные дуги. |