Методы анализа и расчета электронных схем - пособие. Учебное пособие Томск Эль Контент
 Скачать 1.73 Mb.
|
|
Глава 2. Математическое описание электронных схем где n y — количество компонентов графа, полученного из исходного путем размыкания всех z-ребер. В результате размерность СГКБ уменьшается по отношению к ПКБ на величину µ в и составляет: µ CГКБ = µ ПКБ − µ в = ℓ z + υ − 2n y + n. В СГКБ формируются только КК-уравнения. 3) Контурный координатный базис (ККБ), образованный только контурными токами независимых циклов. Поскольку все координаты базиса имеют оди- наковую физическую природу (все относятся к токам циклов), ККБ явля- ется однородным координатным базисом. Контурный базис представляет собой предельный случай СГКБ, когда все ребра полюсного графа отне- сены к z-ребрам (все сечения оказываются вырожденными). Размерность ККБ определяется выражением µ ККБ = σ = ℓ − υ + n. В ККБ формируются только КК-уравнения. 4) Узловой координатный базис (УКБ), образованный только узловыми напря- жениями независимых сечений. Узловой координатный базис, как и кон- турный, является однородным и также представляет собой предельный случай СГКБ, когда все ребра полюсного графа отнесены к y-ребрам (все циклы оказываются вырожденными). Размерность УКБ определяется вы- ражением µ УКБ = ν = υ − n. В УКБ формируются только КК-уравнения. 5) Расширенная система координат (РСК), образованная узловыми напряже- ниями и контурными токами главных сечений и циклов, соответствующих покрывающему дереву, которое удовлетворяет специальным требованиям. Такое покрывающее дерево должно содержать все y-ребра полюсного гра- фа и только их (все z-ребра должны входить в дополнение дерева). В об- щем случае размерность РСК увеличивается по сравнению с ПКБ, если полюсный граф содержит вырожденные сечения и циклы. Использование РСК обусловливает приведение КВ-, КК- и ВК-уравнений к единой фор- ме, которая имеет наиболее простые соотношения для матрично-векторных параметров. 6) Базис переменных состояния (БПС), образованный напряжениями всех ем- костей, не образующих особых циклов, и токами всех индуктивностей, не образующих особых сечений. Количество особых сечений и циклов опре- деляется соотношением µ 0 = σ C +ν L = l C −v C +n C +v L −n L . Тогда размерность БПС равна разности между числом реактивных дуг и числом особых цик- лов и сечений, то есть: µ БПC = l C + l L − µ 0 = l C + l L − (l C − v C + n C + v L − n L ) = = (v C − n C ) + (l L − v L + n L ) = ν C + σ L . Базис переменных состояния применяется при математическом описании электронных схем во временной области. 2.4 Полные уравнения электронных схем и их преобразования 49 Координатные уравнения для координат в узловом координатном базисе (узловые уравнения) При использовании узлового координатного базиса полюсный граф схемы со- держит только y-ребра, поэтому все контуры вырождаются, что приводит к вы- рождению матриц N , M , Z в , E в , Π z , P = [P y P z ], Θ 1 . В результате компонентные и топологические матрицы, а также задающие векторы принимают вид: V = Y в = Y y , F = J в , (2.50) Π = Π y , Θ = Π y = Π. В этом случае матрично-векторные параметры в уравнениях типа КК запишутся: W = Y = ΠY в Π T ; Q = J = −ΠJ в , (2.51) где Y — матрица эквивалентных проводимостей схемы; J — вектор задающих то- ков сечений. Вектор искомых переменных X содержит узловые напряжения (X = U), а сами уравнения типа КК называются узловыми уравнениями и записываются в виде: YU = J. (2.52) Узловое уравнение соответствует ν = υ − n скалярным уравнениям, а вектор U играет роль вектора состояния и содержит ν узловых напряжений. Определив из (2.52) узловые напряжения: U = Y −1 J , (2.53) можно найти напряжения и токи ветвей схемы по формулам: U в = Π T U , (2.54) I в = Y в U в + J в . (2.55) В общем случае матрица проводимостей Y несимметрична. Для обратимых схем, компонентные матрицы Y в которых симметричны (Y в = Y T в ), матрица Y также симметрична (Y = Y T ). Наиболее простой вид матрично-векторные параметры принимают в канониче- ской системе сечений. Поскольку в канонической системе сечений между верши- нами графа и независимыми сечениями существует взаимно однозначное соответ- ствие, для выбора канонической системы сечений достаточно выбрать базисную вершину и пронумеровать остальные вершины от 1 до ν. Для канонической системы сечений матрица сечений Π совпадает с сокращен- ной структурной матрицей A 0 , образованной из структурной матрицы A вычерки- ванием строки, которая соответствует базисной вершине ( Π = A 0 ). 50 Глава 2. Математическое описание электронных схем Координатные уравнения для координат в контурном координатном базисе (контурные уравнения) При использовании контурного координатного базиса полюсный граф схемы содержит только z-ребра, поэтому все сечения вырождаются, что приводит к вы- рождению матриц N , M, Y в , J в , P y , Π = [Π y Π z ], Θ 1 . В результате компонентные и топологические матрицы, а также задающие векторы принимают вид: V = Z в = Z z , F = E в , P = P z , Θ = P z = P. (2.56) В этом случае матрично-векторные параметры в уравнениях типа КК запишутся: W = Z = PZ в P T ; Q = E = −PE в , (2.57) где Z — матрица сопротивлений схемы; E — вектор задающих контурных ЭДС. Вектор искомых переменных X содержит контурные токи (X = I), а сами урав- нения типа КК называются контурными уравнениями и записываются в виде: ZI = E. (2.58) Контурное уравнение соответствует σ = ℓ−v+n скалярным уравнениям, а вектор I играет роль вектора состояния и содержит σ контурных токов. Определив из (2.58) контурные токи: I = Z −1 E, (2.59) можно найти напряжения и токи ветвей схемы по формулам: I в = P T I, (2.60) U в = Z в I в + E в . (2.61) В общем случае матрица сопротивлений Z несимметрична. Для обратимых схем, компонентные матрицы Z в которых симметричны (Z в = Z T в ), матрица Z также симметрична (Z = Z T ). Наиболее простой вид матрично-векторные параметры принимают в канони- ческой системе циклов. Методы формирования узловых и контурных уравнений Матрично-векторные параметры узловых и контурных уравнений могут быть сформированы непосредственно по схемам замещения электронных цепей. Для этого находят применение два метода: метод эквивалентных схем в матричной форме и обобщенный матричный метод. Метод эквивалентных схем в матричной форме предполагает формирование матрично-векторных параметров по схемам замещения, содержащим только двух- полюсные компоненты. При этом в качестве моделей активных многополюсных 2.4 Полные уравнения электронных схем и их преобразования 51 компонентов используют линейные малосигнальные эквивалентные схемы. Обобщен- ный матричный метод основан на формировании матрично-векторных параметров по схеме замещения, содержащей активные многополюсники, в качестве моделей которых выступают неопределенные матрицы проводимостей или сопротивлений. Метод эквивалентных схем в матричной форме Формирование матрично-векторных параметров узловых и контурных уравне- ний методом эквивалентных схем включает следующие этапы: • составление схемы замещения электронной цепи; • замещение активных многополюсных компонентов схемы замещения ли- нейными малосигнальными эквивалентными схемами, содержащими пас- сивные двухполюсники и зависимые источники; • преобразование зависимых источников к требуемому типу; • выбор однородной системы координат (независимых сечений или конту- ров); • формирование матрицы эквивалентных параметров (проводимостей или сопротивлений); • формирование вектора эквивалентных воздействий (задающих токов сече- ний или контурных ЭДС). Выбор типа координатного базиса определяется стремлением минимизировать количество координат, а следовательно, и размерность матрично-векторных пара- метров. В случае, если ν < σ, целесообразно использовать узловой координатный базис, в противном случае — контурный. Другим фактором, влияющим на выбор типа координатного базиса, является планарность исследуемой схемы. Для непла- нарных схем выбор узлового базиса является предпочтительным. Кроме того, при выборе типа координатного базиса целесообразно учитывать характер активных электронных компонентов схемы. Так, например, физические эквивалентные схе- мы биполярных транзисторов являются более удобными для применения контур- ного координатного базиса. В то же время физические эквивалентные схемы поле- вых транзисторов предпочтительнее для применения узлового базиса. В узловом координатном базисе желательно использовать эквивалентные схе- мы активных электронных компонентов, которые не содержат внутренних узлов, а в качестве зависимых источников содержат только зависимые источники тока, управляемые напряжением. В контурном координатном базисе целесообразно ис- пользовать эквивалентные схемы активных электронных компонентов, которые не содержат внутренних контуров, а в качестве зависимых источников содержат толь- ко зависимые источники напряжения, управляемые током. В узловом координатном базисе все компоненты схемы замещения должны быть представлены как y-компоненты: независимые источники — как источники тока, зависимые источники — как источники тока, управляемые напряжением, пас- сивные двухполюсники — операторными проводимостями. В контурном коорди- натном базисе все компоненты схемы замещения должны быть представлены как z-компоненты: независимые источники — как источники напряжения, зависимые 52 Глава 2. Математическое описание электронных схем источники — как источники напряжения, управляемые током, пассивные двухпо- люсники — операторными сопротивлениями. Для упрощения формирования матрично-векторных параметров рекомендует- ся выбирать канонические системы независимых сечений и контуров. При этом необходимо учитывать, что каноническая система сечений может быть выбрана для любой электронной схемы, а каноническая система контуров — только для пла- нарных схем. Матрица проводимостей электронной схемы является квадратной матрицей ν- го порядка, строки и столбцы которой соответствуют независимым сечениям. Эле- менты y ii главной диагонали матрицы проводимостей в канонической системе се- чений представляют собой собственные проводимости соответствующих узлов. Собственная проводимость узла по величине равна сумме проводимостей ветвей, инцидентных данному узлу. Недиагональные элементы матрицы проводимостей в канонической системе сечений представляют собой взаимные проводимости уз- лов, взятые со знаком «минус». Взаимная проводимость y ij определяется как сумма проводимостей ветвей, включенных между узлами i и j. Зависимый источник то- ка, управляемый напряжением, отображается в матрице проводимостей его управ- ляющей проводимостью. Управляющая проводимость располагается на пересече- нии строк, определяемых номерами узлов, между которыми включен сам зависи- мый источник тока, и столбцов, определяемых номерами узлов, между которыми действует управляющее напряжение. При добавлении управляющей проводимости к элементу матрицы y ks знак проводимости изменяется на противоположный, если направление зависимого источника относительно k-го узла и направление управ- ляющей величины (напряжения) относительно s-го узла характеризуются одина- ково. Если направление зависимого источника относительно k-го узла и направле- ние управляющей величины (напряжения) относительно s-го узла характеризуются различно, то знак управляющей проводимости остается без изменений. Вектор задающих токов сечений содержит ν элементов. Элемент J i вектора представляет собой алгебраическую сумму задающих токов независимых источ- ников, инцидентных i-му узлу схемы. Если задающий ток направлен от i-го узла, то знак задающего тока изменяется на противоположный. Матрица сопротивлений электронной схемы является квадратной матрицей σ- го порядка, строки и столбцы которой соответствуют независимым контурам. Эле- менты z ii главной диагонали матрицы сопротивлений представляют собой соб- ственные сопротивления соответствующих контуров. Собственное сопротивле- ние контура по величине равно сумме сопротивлений ветвей, входящих в контур. Недиагональные элементы z ij матрицы сопротивлений представляют собой взаим- ные сопротивления контуров. Взаимное сопротивление z ij определяется как сумма сопротивлений ветвей, одновременно принадлежащих контурам i и j. Знак, с кото- рым взаимное сопротивление вводится в матрицу, определяется взаимной ориента- цией положительных направлений обхода контуров i и j относительно взаимного сопротивления. При различных направлениях контуров относительно взаимного сопротивления оно вводится в матрицу со знаком «минус», в противном случае — со знаком «плюс». Зависимый источник напряжения, управляемый током, отобра- жается в матрице сопротивлений его управляющим сопротивлением. Управляющее сопротивление располагается на пересечении строк, определяемых номерами кон- 2.4 Полные уравнения электронных схем и их преобразования 53 туров, в которые входит сам зависимый источник напряжения, и столбцов, опреде- ляемых номерами контуров, в которые входит управляющая ветвь. При добавлении управляющего сопротивления к элементу матрицы z ks знак сопротивления изменя- ется на противоположный, если направление зависимого источника относительно k-го контура и направление управляющей величины (тока) относительно s-го кон- тура характеризуются одинаково. Если направление зависимого источника отно- сительно k-го контура и направление управляющей величины (тока) относитель- но s-го контура характеризуются различно, то знак управляющего сопротивления остается без изменений. Вектор контурных ЭДС содержит σ элементов. Элемент E i вектора представ- ляет собой алгебраическую сумму задающих ЭДС независимых источников, ин- цидентных i-му контуру схемы. Если задающая ЭДС направлена против положи- тельного направления обхода i-го контура, то знак задающей ЭДС изменяется на противоположный. Рассмотрим применение метода эквивалентных схем для формирования мат- рично-векторных параметров узловых уравнений на примере схемы истокового повторителя с повышенным входным сопротивлением, представленной на рис. 2.22, а. Рис. 2.22 – Схема истокового повторителя с повышенным входным сопротивлением (а) и эквивалентная схема полевого транзистора с управляющим p-n-переходом (б) Операторная схема замещения повторителя по переменному току для полного диапазона частот приведена на рис. 2.23. Замещая в схеме рис. 2.23 полевой транзистор эквивалентной схемой рис. 2.22, б, получаем схему замещения повторителя, содержащую только двухполюсные y- компоненты, которая приведена на рис. 2.24. Схема замещения содержит υ = 6 узлов, поэтому система независимых сечений содержит ν = υ − 1 = 6 − 1 = 5 сечений. Выберем каноническую систему сечений, для чего в схеме замещения рис. 2.24 выбран базисный узел и пронумерованы остальные узлы. 54 Глава 2. Математическое описание электронных схем Рис. 2.23 – Схема замещения истокового повторителя по переменному току Рис. 2.24 – Операторная схема замещения истокового повторителя Порядок укороченной матрицы проводимостей равен ν = 5. Главную диаго- наль матрицы заполняем собственными проводимостями соответствующих узлов, а недиагональные элементы — взаимными проводимостями, взятыми со знаком «ми- нус». Зависимый источник включен между базисным узлом и узлом 4, а его управ- ляющее напряжение действует между узлами 2 и 4. Поэтому управляющая прово- димость S добавляется к элементам укороченной матрицы проводимостей, распо- ложенным на пересечении 4-й строки и 2-го и 4-го столбцов. Зависимый источник направлен к узлу 4, а управляющее напряжение — от узла 4 к узлу 2, следователь- но, при добавлении к элементу матрицы y 44 знак управляющей проводимости S не изменится, а при добавлении к элементу y 42 — изменится на противоположный. В результате укороченная матрица Y ∗ проводимостей принимает вид: 1 2 3 4 5 1 pC 1 −pC 1 0 0 0 2 −pC 1 pC 1 +pC зс + + pC зи + g 3 −g 3 −pC зи 0 3 0 −g 3 g 3 + g э + + pC 2 −pC 2 0 4 0 −pC зи −pC 2 pC 2 +pC 3 +pC зи + + G си + g 4 + S −pC 3 5 0 0 0 −pC 3 pC 3 2.4 Полные уравнения электронных схем и их преобразования 55 Применение метода эквивалентных схем для формирования матрично-векторных параметров контурных уравнений рассмотрим на примере схемы усилителя низкой частоты с низкочастотной коррекцией, представленной на рис. 2.25, а. Рис. 2.25 – Схема усилителя низкой частоты с низкочастотной коррекцией (а) и эквивалентная схема биполярного транзистора (б) Схема замещения усилителя по переменному току представлена на рис. 2.26. Рис. 2.26 – Схема замещения усилителя низкой частоты по переменному току С целью уменьшения количества независимых контуров параллельно вклю- ченные ветви с сопротивлениями R1 и R2 представлены эквивалентной ветвью с сопротивлением R э = R 1 R 2 / (R 1 + R 2 ), а параллельно включенные резистор R5 и конденсатор C3 — эквивалентной ветвью с операторным сопротивлением Z э = = R 5 / (R 5 C 3 p + 1). |