Методы анализа и расчета электронных схем - пособие. Учебное пособие Томск Эль Контент
 Скачать 1.73 Mb.
|
|
Глава 3. Схемные функции и их анализ Между схемными функциями проходного четырехполюсника существует связь, определяемая соотношениями: k U k I = Z пep Y пep , Z вx = Z пep k U = k I Y пep = Z н k I k U = k I Y н k U , Y вx = k U Z пep = Y пep k I = k U Z н k I = Y н k U k I , (3.8) Z пep = Z н k I , Y пep = Y н k U . 3.2 Формы представления схемных функций Схемные функции электронных схем определяются только параметрами ком- понентов схемы (внутренними параметрами), а также способом их соединения и в общем случае являются функциями комплексной переменной p = σ + jω. Алгебраические формы представления схемных функций Основной алгебраической формой представления схемных функций является отношение двух полиномов комплексной переменной p = σ + jω, то есть дробно- рациональная форма: F (p) = A (p) B (p) = m ∑ i =0 a i p i n ∑ i =0 b i p i , (3.9) где A (p) = m ∑ i =0 a i p i — полином m-ой степени; B (p) = n ∑ i =0 b i p i — полином n-ой степени. В выражении (3.9) все коэффициенты при переменной p являются вещественными и определяются только параметрами компонентов схемы. Для передаточных схемных функций реальных электронных схем выполняет- ся условие степени полинома числителя и знаменателя, выражения (3.9) связаны условием m ⩽ n, а для входных и выходных схемных функций — m ⩽ (n + 1). Используя основную теорему алгебры, выражение (3.9) можно представить в виде: F (p) = H m ∏ i =1 (p − z i ) n ∏ i =1 (p − p i ) , (3.10) где H = a m /b n — масштабный коэффициент; z i — нули, а p i — полюса схемной функ- ции. В задачах, связанных с построением временных характеристик электронных схем, широкое применение находит представление схемных функций в виде суммы простых слагаемых: F (p) = m −n ∑ i =0 k i0 p i + ℓ ∑ i =1 k i p − p i + r ∑ i =1 q i ∑ s =1 k is (p − p i ) q i −s+1 , (3.11) 3.2 Формы представления схемных функций 69 где ℓ — число простых полюсов схемной функции; r — число кратных полюсов схемной функции; q i — кратность i-го кратного полюса. Границы индексов сум- мирования ℓ, r и q i связаны соотношением: ℓ + r ∑ i =1 q i = n. Коэффициенты k i0 определяют в результате деления полинома числителя схем- ной функции на полином знаменателя. Для передаточных схемных функций реаль- ных электронных схем первая сумма в (3.11) может содержать не больше одного слагаемого k 00 в силу условия m ⩽ n, а для входных и выходных схемных функ- ций — не больше двух слагаемых k 00 + k 10 p в силу условия m ⩽ (n + 1). При этом чаще всего слагаемые первой суммы выражения (3.11) отсутствуют. Коэффициенты k i определяются как вычеты схемной функции в точке простого полюса p i : k i = Res p i F (p) = lim p →p i [(p − p i )F(p)] = A (p i ) dB (p) dp ∣ p =p i . (3.12) Коэффициенты k is определяются с использованием формул для вычетов схем- ной функции в точках кратных полюсов: k is = 1 (s − 1)! lim p →p i [ d (s−1) dp (s−1) {(p − p i ) q i F (p)}] . (3.13) Для примера рассмотрим схему избирательного усилителя, приведеннную на рис. 3.4. Рис. 3.4 – Схема избирательного усилителя В предположении, что операционный усилитель является идеальным, коэффи- циент передачи по напряжению определяется выражением: k U (p) = − R 2 Cp LCp 2 + R 1 Cp + 1 , которое представлено в дробно-рациональной форме (3.9). Для схемной функции k U (p): m = 1, a 1 = R 2 C, a 0 = 0; n = 2, b 2 = LC, b 1 = R 1 C, b 0 = 1 и выполняется условие m < n. 70 Глава 3. Схемные функции и их анализ Определив масштабный коэффициент, нули и полюса схемной функции k U (p), ее можно представить в форме (3.10): k U (p) = − R 2 L ⋅ p p 2 + R 1 L p + 1 LC = H p (p − p 1 ) (p − p 2 ) , где H = − R 2 L , p 1, 2 = − R 1 2L (1 ± √ 1 − 4 L CR 2 1 ), причем z 1 = 0. Если полюса схемной функции k U (p) являются простыми, то для представле- ния функции в форме (3.11) справедливо: m − n = 1 − 2 = −1 < 0, r = 0, поэтому слагаемые m −n ∑ i =0 k i0 p i и r ∑ i =1 q i ∑ s =1 k is (p − p i ) q i −s+1 отсутствуют; ℓ = 2. Следовательно, k U (p) = 2 ∑ i =1 k i p − p i = k 1 p − p 1 + k 2 p − p 2 , (3.14) где k 1 = Res p 1 k U (p) = lim p →p 1 [(p − p 1 )k U (p)] = H p 1 p 1 − p 2 ; k 2 = Res p 2 k U (p) = lim p →p 2 [(p − p 2 )k U (p)] = H p 2 p 2 − p 1 Для кратных полюсов схемной функции k U (p) в представлении функции (3.11): m − n = 1 − 2 = −1 < 0, ℓ = 0, поэтому слагаемые m −n ∑ i =0 k i0 p i и ℓ ∑ i =1 k i p − p i отсутствуют; r = 1, q 1 = 2. Таким образом: k U (p) = 2 ∑ s =1 k 1s (p − p i ) 2 −s+1 = k 11 (p − p 1 ) 2 + k 12 p − p 1 , (3.15) где k 11 = 1 0! lim p →p 1 [(p − p 1 ) 2 k U ] = Hp 1 ; k 12 = 1 1! lim p →p 1 [ d dp {(p − p 1 ) 2 k U (p)}] = H, причем p 1 = −R 1 / (2L). Выполняя в выражениях схемных функций подстановку p = σ + jω, их можно представить в виде функций двух переменных: F (p) = F(σ + jω) = F R (σ, ω) + jF J (σ, ω) = ∣F(σ + jω)∣e j arg F (σ+jω) , (3.16) где F R (σ, ω) = Re[F(σ + jω)] — вещественная часть схемной функции; F J (σ, ω) = = Im[F(σ + jω)] — мнимая часть схемной функции; ∣F(σ + jω)∣ = √ F 2 R (σ, ω) + F 2 J (σ, ω) — модуль схемной функции; arg F(σ + jω) — ар- гумент схемной функции. Графические формы представления схемных функций Наиболее простой формой графического представления схемных функций яв- ляется карта нулей и полюсов, связанная с алгебраической формой представле- ния схемной функции вида (3.10). Карта нулей и полюсов строится на плоскости комплексной переменной p = σ + jω путем нанесения координат всех нулей и по- люсов схемной функции. При этом принято полюса обозначать точками, а нули 3.3 Частотные и временные характеристики и их параметры 71 функции — символами « ×». Порядок кратности обозначают цифрами, а масштаб- ный коэффициент H указывают справа у действительной оси. Текущее значение переменной p = σ + jω на комплексной плоскости представляется в виде векто- ра p = √ σ 2 + ω 2 exp [j arg F(σ + jω)], направленного из начала координат в данную точку плоскости. Карта нулей и полюсов схемной функции k U (p) избирательного усилителя, приведенного на рис. 3.4, соответствующая случаю комплексно-сопряженных по- люсов, представлена на рис. 3.5. Рис. 3.5 – Карта нулей и полюсов коэффициента передачи по напряжению избирательного усилителя При этом комплексно-сопряженные полюса можно представить выражениями p 1, 2 = −ξω 0 ±jω 0 √ 1 − 1/ (4Q 2 ), где ω 0 = 1/ √ LC — резонансная частота, ξ = R 1 /(2ρ) — коэффициент демпфирования; Q = ρ/R 1 — добротность; ρ = √ L /C — волновое со- противление последовательного колебательного контура. На алгебраическом представлении (3.16) схемных функций в виде функций двух переменных основано их графическое представление в виде поверхностей, расстояние от которых до комплексной плоскости определяется значениями функ- ций F R (σ, ω), F J (σ, ω), ∣F(σ + jω)∣ и arg F(σ + jω). Более простым способом гра- фического представления функций двух переменных является семейство линий равных значений (изолиний). 3.3 Частотные и временные характеристики и их параметры Схемные функции позволяют определять реакцию электронной схемы на внеш- ние воздействия произвольной формы, однако их использование на практике неудоб- но, так как они содержат в себе достаточно много информации, спрессованной в ограниченном координатном пространстве. 72 Глава 3. Схемные функции и их анализ На практике поведение электронных схем в переходных и установившихся ре- жимах, как правило, рассматривают независимо друг от друга, используя при этом типовые тестовые воздействия специальных видов. Для анализа установившихся режимов электронных схем широко применяют частотные характеристики. Для анализа электронных схем в переходных режимах применяют временные характеристики. И частотные, и временные характеристики являются частными случаями представления схемных функций при воздействиях специальных видов. Частотные характеристики Частотные характеристики отражают реакцию электронной схемы на тестовое гармоническое воздействие в установившемся режиме. Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ) может быть получена из выражения для схемной функции путем замены p = jω. АФЧХ представляет собой комплексную функцию, которую можно представить в виде: F (jω) = F R (ω) + jF J (ω) = ∣F(jω)∣e j arg F (jω) , (3.17) где F R (ω) = Re[F(jω)] — вещественная частотная характеристика (ВЧХ); F J (ω) = = Im[F(jω)] — мнимая частотная характеристика (МЧХ); ∣F(jω)∣ — амплитудно- частотная характеристика (АЧХ); arg F (jω) — фазово-частотная характеристика (ФЧХ). Вещественная частотная характеристика связана с амплитудно-частотной ха- рактеристикой соотношением F R (ω) = ∣F(jω)∣ cos(arg F(jω)), (3.18) из которого следует, что ВЧХ является четной функцией частоты (F R (−ω) = F R (ω)). Мнимая частотная характеристика связана с амплитудно-частотной характери- стикой соотношением F J (ω) = ∣F(jω)∣ sin(arg F(jω)), (3.19) из которого следует, что МЧХ является нечетной функцией частоты (F J (−ω) = = −F J (ω)). Для компактного представления частотных характеристик применяют логариф- мический масштаб, в котором строят логарифмические частотные характеристики: lg F (jω) = lg∣F(jω)∣ + j arg F(jω), (3.20) где lg ∣F(jω)∣ — логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ), выраженная в беллах. Переход от схемной функции к частотным характеристикам рассмотрим на примере коэффициента передачи по напряжению для схемы избирательного уси- лителя рис. 3.4: k U (p) = − R 2 Cp LCp 2 + R 1 Cp + 1 = H p p 2 + 2ξω 0 p + ω 2 0 , 3.3 Частотные и временные характеристики и их параметры 73 где H = −R 2 /L — масштабный множитель, ξ = R 1 /2 √ C /L — коэффициент демпфи- рования, ω 0 = 1/ √ LC — резонансная частота. Выполняя подстановку p = jω, получим выражение амплитудно-фазовой ча- стотной характеристики: k U (jω) = H j ω (ω 2 0 − ω 2 ) + j2ξω 0 ω , выделяя из которого действительную и мнимую части, модуль и аргумент, найдем вещественную частотную характеристику k U , R (ω), мнимую частотную характери- стику k U , J (ω), амплитудно-частотную характеристику ∣k U (ω)∣ и фазочастотную ха- рактеристику 3(ω): k U , R (ω) = H 2 ξω 0 ω 2 √ (ω 2 0 − ω 2 ) 2 + 4ξ 2 ω 2 0 ω 2 , k U , J (ω) = H ω(ω 2 0 − ω 2 ) √ (ω 2 0 − ω 2 ) 2 + 4ξ 2 ω 2 0 ω 2 , ∣k U (jω)∣ = H ω √ (ω 2 0 − ω 2 ) 2 + 4ξ 2 ω 2 0 ω 2 , 3(ω) = π 2 − arctg 2 ξω 0 ω ω 2 0 − ω 2 . Временные характеристики Временные характеристики отражают реакцию электронной схемы на типовые импульсные воздействия при переходе из одного стационарного режима в другой. В качестве типовых воздействий наибольшее применение находят единичное импульсное воздействие и единичное ступенчатое воздействие. Единичное импульсное воздействие математически определяется обобщенной функцией Дирака ( δ-функцией): δ(t) = { ∞ , t = 0, 0, t ≠ 0, (3.21) ∞ ∫ −∞ δ(t)dt = 1. Операторное изображение δ-функции имеет вид: L {δ(t)} = ∞ ∫ 0 δ(t)e −pt dt = e −p⋅0 = 1. (3.22) Реакция электронной схемы на единичное импульсное воздействие представ- ляет собой импульсную (импульсную переходную) характеристику g (t). Из (3.22) следует, что операторное изображение импульсной характеристики совпадает с вы- ражением схемной функции: G (p) = F(p)L {δ(t)} = F(p). (3.23) 74 Глава 3. Схемные функции и их анализ Таким образом, импульсная характеристика определяется обратным преобра- зованием Лапласа от схемной функции: g (t) = L −1 {F(p)}. (3.24) Применяя импульсную характеристику, можно найти реакцию электронной схемы на произвольное воздействие ξ(t): y (t) = g(0)ξ(0) + t ∫ 0 g (t − τ)ξ(τ)dτ. (3.25) Единичное ступенчатое воздействие математически определяется функцией Хэвисайда: 1 (t) = η(t) = ⎧⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎨⎪⎪ ⎪⎪⎪⎩ 1, t > 0, 1 2 , t = 0, 0, t < 0, (3.26) операторное изображение которой имеет вид: L {η(t)} = 1 p . (3.27) Реакцией электронной схемы на единичное ступенчатое воздействие является переходная характеристика h (t), изображение которой по Лапласу имеет вид: H (p) = F(p)L{η(t)} = F (p) p , (3.28) откуда h (t) = L −1 { F (p) p } . (3.29) Импульсная и переходная характеристики связаны между собой соотношениями: H (p) = G (p) p , g (t) = dh (t) dt , (3.30) h (t) = h(0) + ∞ ∫ 0 g (σ)dσ. Существует также связь временных характеристик с частотными характери- стиками: F (jω) = ∞ ∫ 0 g (t)e −jωt dt, g (t) = 1 2 π ∞ ∫ −∞ F (jω)e j ωt dt = 2 π ∞ ∫ 0 F R (ω) cos(ωt)dω, (3.31) Контрольные вопросы по главе 3 75 h (t) = 2 π ∞ ∫ 0 F R (ω) ω sin (ωt)dω. В качестве примера рассмотрим получение импульсной переходной и переход- ной характеристик для коэффициента передачи по напряжению избирательного усилителя (рис. 3.4). Для упрощения процедуры перехода от операторного изоб- ражения схемной функции к оригиналу воспользуемся представлением схемной функции в виде суммы простых слагаемых: выражение (3.14) для случая простых полюсов и выражение (3.15) для случая кратного полюса схемной функции. В результате импульсная переходная характеристика в случае простых полюсов: k U (t) = L −1 {k U (p)} = L −1 { k 1 p − p 1 + k 2 p − p 2 } = = L −1 { k 1 p − p 1 } + L −1 { k 2 p − p 2 } = k 1 e p 1 t + k 2 e p 2 t , а в случае кратного полюса: k U (t) = L −1 {k U (p)} = L −1 { k 11 (p − p 1 ) 2 + k 12 p − p 1 } = = L −1 { k 11 (p − p 1 ) 2 } + L −1 { k 12 p − p 1 } = k 11 te p 1 t + k 12 e p 1 t . Используя связь (3.30) переходной характеристики с импульсной переходной характеристикой, найдем переходную характеристику в случае простых полюсов: h U (t) = t ∫ 0 (k 1 e p 1 σ + k 2 e p 2 σ )dσ = k 1 p 1 (e p 1 t − 1) + k 2 p 2 (e p 2 t − 1) и в случае кратного полюса: h U (t) = t ∫ 0 (k 11 te p 1 t + k 12 e p 1 t )dσ = = k 11 p 1 te p 1 t − k 11 p 2 1 (e p 1 t − 1) + k 12 p 1 (e p 1 t − 1). Контрольные вопросы по главе 3 1) Дайте определение схемной функции. Назовите основные схемные функ- ции проходного четырехполюсника. 2) Укажите отличие схемных функций проходного четырехполюсника от пол- ных схемных функций. Назовите основные полные схемные функции. |