Ответы
: 1. а), в), е), ж) да; б), г), д), з) нет.
2. а) 3;5, б) 3;6, в)
n
m
=
— любые натуральные числа.
3. а)
−
−
10 2
2 3
, б)
−
−
2 8
6 1
, в)
−
−
10 21 16 4
, г)
−
20 0
0 6
, д)
−
−
36 26 16 12
, е)
34 23 20 14
, ж)
−
−
1 3
2 4
2 1
, з)
−
−
2 5
4 6
8 1
4. а)
−
9 1
8 3
, б)
−
−
−
−
4 2
4 5
1 11 3
2 1
, в)
−
−
−
−
2 1
5 2
1 3
, г)
−
3 3
11 0
4 1
, д)
−
−
−
6 4
4 1
1 5
1 2
1
, е)
−
−
−
−
−
1 1
3 1
1 3
1 1
1 2
1
, ж) E, з)
−
−
−
5 3
0 6
1 9
3 0
1
, и) C, к) A.
36
5.а)
−
−
−
8 7
6 3
5 2
; б)
0 7
2 5
; в)
0 0
0 0
; г)
3 0
0 2
; д)
−
−
−
26 17 13 32 27 9
29 22 11
; е)
17 69 56
; ж)
( )
31
; з)
35 25 15 5
; и)
−
−
22 21 14 13
; к)
1 0
1
n
6. а)
23 0
15 8
; б)
−
−
−
1 1
2 3
; в)
−
−
−
25 22 9
10 34 13 15 23 21
7. а)
−
−
2 1
2 3
1 2
; б)
−
−
3 5
4 7
; в)
−
−
−
−
24 29 27 34 41 38 1
1 1
; г)
−
−
−
−
−
1 3
1 7
18 5
11 29 8
8. а)2; б)3; в)3; г)2; д)1; е)2.
9. а)-4; б)
4
−
≠
; в) ни при каких.
1.3. Системы линейных уравнений
1.3.1. Основные понятия
Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m урав- нений и n неизвестных, называется система вида:
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
m
n
mn
m
m
n
n
n
n
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
,
,
2 2
1 1
2 2
2 22 1
21 1
1 2
12 1
11
,
(1.16) где числа
n
j
m
i
a
ij
,
1
,
,
1
,
=
=
называются коэффициентами системы, числа
i
b
– свободными членами.
Матрица, составленная из коэффициентов системы, называется ос- новной матрицей и обозначается:
37
=
mnmmnnaaaaaaaaaA2 1
2 22 21 1
12 11
(1.17)
Расширенной матрицей системы называется матрица
∗
A, полученная из основной матрицы
A, дополненная столбцом свободных членов:
=
∗
mmnmmnnbaaabaaabaaaA2 1
2 2
22 21 1
1 12 11
(1.18)
Решение системы (1.16) называется
n значений неизвестных
nncxcxcx=
=
=
,...,
,
2 2
1 1
, при подстановке которых все уравнения систе- мы обращаются в верные равенства. Всякое решение системы можно запи- сать в виде матрицы-столбца
=
ncccC2 1
Определение. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.
Определение. Совместная система называется определенной,
если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое ее решение называется част- ным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением.
Решить систему – это значит выяснить, совместна она или несовмест- на. Если система совместна, найти ее общее решение.
Две системы называются эквивалентными (равносильными), если ка- ждое решение одной из них является решением другой, и наоборот.
Эквивалентные системы получаются, в частности, при элементарных преобразованиях системы при условии, что преобразования выполняются лишь над строками матрицы.
Система линейных уравнений (1.16) называется однородной, если все свободные члены равны нулю.
38
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
0
,
0
,
0 2
2 1
1 2
2 22 1
21 1
2 12 1
11
n
mn
m
m
n
n
n
n
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
(1.19)
Однородная система всегда совместна, так как
0 2
1
=
=
=
=
n
x
x
x
является решением системы. Это решение называется нулевым или триви- альным.
1.3.2. Теорема Кронекера-Капелли
Система линейных алгебраических уравнений (1.16) совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы (1.18) равен рангу ос- новной матрицы (1.17), то есть
)
(
)
(
A
r
A
r
=
∗
Если система (1.16) совместна и
1)
ранг системы равен числу неизвестных (r(A)=n), то система имеет единственное решение;
2)
ранг системы меньше числа неизвестных (r(A)), то система имеет бесчисленное множество решений.
Рассмотрим второй случай. Пусть r(A)=rВозьмем первые r уравне- ний системы (1.16) и оставим в левых частях этих уравнений первые r не- известных, а остальные неизвестные перенесем вправо:
−
−
−
=
+
+
+
−
−
−
=
+
+
+
−
−
−
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
,
,
1 1
2 2
1 1
2 1
1 2
2 2
2 22 1
21 1
1 1
1 1
1 2
12 1
11
n
rn
r
rr
r
r
rr
r
r
n
n
r
r
r
r
n
n
r
r
r
r
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
«Свободным» неизвестным
n
r
r
x
x
x
,...,
,
2 1
+
+
можно придать любые значения. Тогда соответствующие значения получают неизвестные
r
x
x
x
,...,
,
2 1
. Таким образом можно найти частные и общее решения ис- ходной системы уравнений.
Пример__31'>Пример
31. Исследовать на совместность систему
=
+
+
=
+
+
=
+
+
5 12 15 3
,
3 8
10 2
,
1 4
5 3
2 1
3 2
1 3
2 1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
39
Решение
. Определим ранги основной матрицы системы и расширен- ной матрицы системы. Для этого выпишем расширенную матрицу системы
5 3
1 12 15 3
8 10 2
4 5
1
=
∗
A
Вертикальной чертой отделим элементы основной матрицы от сво- бодных членов системы. Умножим элементы первой строки на (-2) и при- бавим к элементам второй строки
∗
A
5 1
1 12 15 3
0 0
0 4
5 1
Элементы первой строки, умноженные на (-3), прибавим к элементам третьей строки
∗
A
2 1
1 0
0 0
0 0
0 4
5 1
Умножим элементы второй строки на (-2) и прибавим к элементам третьей строки
∗
A
0 1
1 0
0 0
0 0
0 4
5 1
Основная матрица системы А эквивалентна матрице
A
0 0
0 0
0 0
4 5
1
В полученной матрице одна ненулевая строка, значит ранг матрицы
A
равен 1, то есть r(A)=1. Расширенная матрица системы
∗
A
эквивалент- на матрице
∗
A
0 1
1 0
0 0
0 0
0 4
5 1
В полученной матрице две ненулевые строки, поэтому
2
)
(
=
∗
A
r
40
Так как
)
(
)
(
∗
≠
A
r
A
r
, тогда согласно теореме Кронекера-Капелли данная система уравнений несовместна.
Пример
32. Исследовать на совместность систему
−
=
−
=
+
=
+
−
=
−
=
+
5 16 3
,
8 6
5
,
12 10 7
,
1 4
,
4 2
3 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Решение
. Выпишем расширенную матрицу системы
5 8
12 1
4 16 3
6 5
10 7
4 1
2 3
−
−
−
−
=
∗
A
Поменяем местами первую и вторую строки
∗
A
5 8
12 4
1 16 3
6 5
10 7
2 3
4 1
−
−
−
−
Умножим элементы первой строки на (-3) и прибавим к элементам второй строки
∗
A
5 8
12 7
1 16 3
6 5
10 7
14 0
4 1
−
−
−
−
41
Элементы первой строки, умноженные на (-7), (-5), (-3) прибавим со- ответственно к элементам третьей, четвертой и пятой строк:
∗
A
2 13 19 7
1 4
0 26 0
38 0
14 0
4 1
−
−
−
−
Поменяем местами строки
∗
A
13 19 7
2
-
1 26 0
38 0
14 0
4 0
4 1
−
−
−
Умножим элементы второй строки на
−
2 1
∗
A
13 19 7
1 1
26 0
38 0
14 0
2 0
4 1
−
−
Элементы второй строки умножим на 7, 19, 13 и прибавим соответст- венно к элементам третьей, четвертой и пятой строк:
∗
A
0 0
0 1
1 0
0 0
0 0
0 2
0 4
1
−
−
Основная матрица системы эквивалентна матрице
A
,
0 0
0 0
0 0
2 0
4 1
−
42 в которой две ненулевые строки, поэтому r(A)=2.
Расширенная матрица системы эквивалентна матрице
∗
A
−
−
0 0
0 1
1 0
0 0
0 0
0 2
0 4
1
, в которой также две ненулевые строки, поэтому
2
)
(
=
∗
A
r
Так как
)
(
)
(
∗
=
A
r
A
r
, система совместна. В данной системе уравне- ний две неизвестные, то есть
n
r
=
, поэтому система уравнений является определенной.
Найдем единственное решение данной системы. Для этого восстано- вим систему по последней матрице
=
−
=
−
1 2
,
1 4
2 2
1
x
x
x
Из второго уравнения найдем
2
x
и полученное значение подставим в первое уравнение
−
=
⋅
−
=
;
1 2
1 4
,
2 1
1 2
x
x
=
−
=
−
;
2 1
,
1 2
2 1
x
x
=
=
2 1
,
1 2
1
x
x
Пример
33. Исследовать систему уравнений
=
+
+
=
+
+
−
=
+
−
1 4
3
,
3 6
9
,
1 2
3 3
2 1
3 2
1 3
2 1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Решение
. Определим ранг основной матрицы системы и ранг расши- ренной матрицы данной системы. Выпишем расширенную матрицу
−
−
=
∗
1 3
1 4
3 1
6 9
1 2
3 1
A
Умножим элементы первой строки на (-1) и прибавим сначала к эле- ментам второй строки, а затем к элементам третьей строки. В результате получим матрицу, эквивалентную матрице
∗
A
43
∗
A
2 4
1 2
6 0
4 12 0
2 3
1
−
−
Элементы второй строки умножим на
4 1
, а элементы третьей строки на
2 1
∗
A
1 1
1 1
3 0
1 3
0 2
3 1
−
−
Элементы второй строки умножим на (-1) и прибавим к элементам третьей строки
∗
A
0 1
1 0
0 0
1 3
0 2
3 1
−
−
Отбросим третью строку, все элементы которой равны нулю
∗
A
1 1
1 3
0 2
3 1
−
−
(1.20)
В результате элементарных преобразований получили две ненулевые строки.
Ранг основной матрицы системы равен двум r(A)=2.
Ранг расширенной матрицы системы тоже равен двум
2
)
(
=
∗
A
r
Значит, данная система уравнений совместна, а так как число неиз- вестных, равное трем, больше, чем ранг, то система уравнений является неопределенной.
Найдем общее решение системы уравнений.
Воспользуемся матрицей (1.20) для получения системы уравнений, равносильной данной системе
=
+
−
=
+
−
1 3
,
1 2
3 3
2 3
2 1
x
x
x
x
x
44
За базисные неизвестные примем
1
x
и
2
x
, а
3
x
– свободная перемен- ная.
+
−
=
−
−
=
−
1 3
,
1 2
3 3
2 3
2 1
x
x
x
x
x
Выразим из этой системы
1
x
и
2
x
через
3
x
:
−
=
−
−
=
+
−
;
3 1
3 1
,
2 1
1 3
2 3
3 1
x
x
x
x
x
−
=
−
=
3 1
3 1
,
3 3
2 3
1
x
x
x
x
Пусть
С
x
=
3
, где С – любое действительное число, получаем общее решение данной системы уравнений
=
−
=
−
=
,
3 1
3 1
,
3 3
2 1
С
x
С
x
С
x
Если необходимо найти какое-либо частное решение системы, то кон- станте С придают любое значение, например: пусть С=1, тогда получим
(
)
1
;
0
;
3
−
1.3.3. Матричный метод решения систем
Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
n
n
nn
n
n
n
n
n
n
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
,
,
2 2
1 1
2 2
2 22 1
21 1
1 2
12 1
11
(1.21)
Основная матрица системы
=
nn
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
2 1
2 22 21 1
12 11
45
Обозначим
=
nxxxX2 1
,
=
3 2
1
bbbB. Пусть
0
≠
A, то есть матрица
А не- вырожденная. Тогда систему (1.21) можно представить в виде уравнения
,
BXA=
⋅
(1.22) которое называется матричным уравнением. Решим матричное уравнение.
Умножим обе части уравнения (1.22) слева на
1
−
A. Получим
BAXAA⋅
=
⋅
⋅
−
−
1 1
, а так как
EAA=
⋅
−
1
,
XXE=
⋅
, тогда
1
BAX⋅
=
−
(1.23)
Равенство (1.23) называется решением матричного уравнения (1.22).
Таким образом, чтобы решить систему уравнений (1.21) матричным методом, где
0
≠
A, надо найти матрицу, обратную матрице
А, и умно- жить ее на матрицу-столбец
В, состоящую из свободных членов системы
(1.21).
Скачать 0.96 Mb.