Алгебра_геометрия_Шуман_Голодная_Волгина_УП. Учебное пособие Владивосток Издательство вгуэс 2017 2 удк 512514 ббк 22. 1422. 151 А45

• Название: Учебное пособие Владивосток Издательство вгуэс 2017 2 удк 512514 ббк 22. 1422. 151 А45
• Дата: 13.09.2022
• Размер: 0.96 Mb.
• Имя файла: Алгебра_геометрия_Шуман_Голодная_Волгина_УП.pdf
• Тип: Учебное пособие; #675045
• страница: 8 из 12

Ответы
. 1.а) система несовместна; б) система совместна; в) система совместна; г) система несовместна; д) система совместна; е) система совместна.
2. а)
( )
1
;
1
;
1
; б) (-3;2;1); в) (3;0;1); г) (3;-2;-5); д) (8;4;2); е) (-8;-4;-13).
3. а) (16;7); б) (2;-1;1); в) (1;3;5); г) (3;1;-1); д) (-3;2;1); е) (-1;1;-2).
4. а) (с;-
5 7
;
5 9
-
2 3
с); б) Ø; в) (-1;3;2); г) (2;3;1); д)
(2;1;3); е)






−
11 4
;
11 19
;
11 51
; ж) (1; 0; 2); з) (5с-5;7с-7;с;0); и) (
4 4
4
;
2 2
;
1
;
1
x
x
x
−
−
); к)
(
4 4
;
1
;
3
;
2
x
x
−
); л) Ø; м) Ø; н) (0; -1; 2); о) (
c
c
c
c
;
2 1
;
0
;
2 1
;
2
−
−
−
−
−
).
5. а) (
c
c
c
;
2
;
−
); б) (0;0;0); в) (0;0;0); г)






−
c
c
c
4 3
;
0
;
4 1
;
; д)






−
+
2 2
1 2
1 4
1
;
4 5
;
;
c
c
c
c
c
; е)






+
−
−
3
)
(
4
;
3 5
;
;
2 1
2 1
2 1
c
c
c
c
c
c

61
2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
2.1. Векторы. Основные понятия
Величины, которые полностью определяются своим численным значени- ем, называются скалярными. Например, площадь, длина, работа, масса.
Величины, которые определяются не только своим числовым значе- нием, но и направлением, называются векторными. Например, сила, уско- рение.
Определение
. Вектор – это направленный прямолинейный отрезок, то есть отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление.
Если точка А – начало вектора, а точка В – его конец, то вектор обознача- ется символом
AB
или
a
Определение
. Вектор
BA
(у него начало в точке В, а конец в точке А) называется противоположным вектору
AB
. Вектор, противоположный вектору
a
обозначается
a
−
Определение
. Расстояние между началом и концом вектора называет- ся его длиной или модулем и обозначается AB .
Определение
. Вектор, длина которого равна нулю, называется нуле- вым вектором и обозначается
0
. Нулевой вектор не имеет определенного направления.
Определение
. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором и обозначается
e
. Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора
a
, называется ортом (орт) вектора
a
и обозначается
0
a
Определение
. Векторы
a
и
b
называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых, обозначается колли- неарность
b
a
a
b
c
d

62
Коллинеарные векторы могут быть сонаправлены (
b
a ⇑
) и противо- положно направлены (
b
a
↑↓
).
a
b
c
d
f
n
,
,
c
,
f
n
d
b
a
кроме того
b
a
↑↑
,
d
c
↑↑
,
f
n
↑↓
Определение
. Два вектора называются равными, если они коллине- арны, одинаково направлены и имеют одинаковые длины.
A
B
D
,
AD
CB
DC
AB
≠
=
Определение
. Три вектора в пространстве называются компланарны- ми, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
2.2. Линейные операции над векторами
Линейными операциями над векторами называют операции сложения, вычитания векторов и умножение вектора на число.
Определение
. Пусть
a
и
b
– два произвольных вектора. Возьмем произвольную точку О и построим вектор
a
OA
=
. От точки А отложим вектор
b
AB
=
. Вектор
OB
, соединяющий начало первого вектора с кон- цом второго, называется суммой векторов
a
и
b
:
b
a
OB
+
=

63
a
b
a
b
b
a
+
O
A
B
Это правило сложения векторов называют правилом треугольника.
a
b
a
b
A
B
c
c
b
a
+
+
c
b
a
+
O
Таким образом, правило треугольника можно применять для любого конечного числа складываемых векторов.
Сумму двух векторов можно построить и по правилу параллелограмма.
a
b
a
b
a
c
+
=
O
b
Определение
. Разностью векторов
a
и
b
называется вектор
b
a
c
−
=
такой, что
a
c
b
=
+
a
b
a
O
b
a
c
−
=
b

64
Таким образом, если на векторах
a
и
b
, отложенных из общей точки
О, построить параллелограмм ОАСВ, то вектор
OC
, совпадающий с одной диагональю, равен сумме
b
a
+
, а второй
BA
, совпадающий с другой диа- гональю, – разности
b
a
−
О
А
В
С
b
a
+
b
a
−
a
b
Определение
. Произведением вектора
a
на число (скаляр) называет- ся вектор
a
⋅
λ
, который имеет длину
a
⋅
λ
, коллинеарен вектору
a
, име- ет направление вектора
a
, если
0
>
λ
и противоположное направление, если
0
<
λ
. Например, если дан вектор
a
, то векторы
a
2
и
a
2 1
−
будут иметь вид
2
a
a
2 1
−
a
Из определения следует: два вектора
a
и
b
коллинеарные тогда и только тогда, когда имеет место равенство
a
b
⋅
=
λ
:
a
b
b
a
⋅
=
⇔
λ
Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами:
1)
;
a
b
b
a
+
=
+
2)
( )
;
)
(
c
b
a
c
b
a
+
+
=
+
+
3)
;
0
)
(
a
;
0
=
−
+
=
+
a
a
a

65 4)
( )
(
)
( )
;
1 2
2 1
2 1
a
a
a
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
λ
λ
λ
λ
λ
λ
5)
(
)
;
2 1
2 1
a
a
a
λ
λ
λ
λ
+
=
+
6)
;
)
(
b
a
b
a
λ
λ
λ
+
=
+
7)
a
a
a
a
−
=
−
=
⋅
)
1
(
;
1
Пример
1. Отрезок АВ разделен точками С и D на три равные части.
Точка О не принадлежит отрезку АВ. Векторы
a
OA
=
,
b
OB
=
. Выразить через
a
и
b
вектор
OD
OC
m
2 3
−
=
O
C
D
B
a
b
Решение
. Выполним построения
;
a
b
AB
−
=
AC
OA
OC
+
=
).
(
3 1
,
3 1
,
a
b
AC
AB
AC
AB
AC
−
=
=
↑↑
),
(
3 1
a
b
a
OC
−
+
=
,
3 1
3 1
a
b
a
OC
−
+
=
,
3 1
3 2
b
a
OC
+
=
2 3
b
a
OC
+
=
;
BD
OB
OD
+
=
,
AB
BD
↑↓
,
3 1
AB
BD
−
=
),
(
3 1
a
b
BD
−
−
=
),
(
3 1
a
b
b
OD
−
−
=
,
3 1
3 1
a
b
b
OD
+
−
=
,
3 1
3 2
a
b
OD
+
=
3 2
3 4
2
a
b
OD
+
=
,
3 2
3 4
2
a
b
b
a
m
−
−
+
=
b
a
m
3 1
3 4
−
=
,
3 4
b
a
m
−
=
Пример
2. В параллелограмме ABCD
a
OA
=
,
,
b
OB
=
где О точка пересечения диагоналей.
Выразить через
a
и
b
вектор
5 3
2
BC
CD
AD
AB
m
−
−
+
=

66
Решение
. Выполним построения
О
А
В
С
D
a
b
OB
AO
AB
+
=
,
OA
AO
↑↓
a
AO
−
=
b
a
AB
+
−
=
или
a
b
AB
−
=
,
OD
AO
AD
+
=
a
AO
−
=
Векторы
OB
и
OD
– противоположные, т.к.
,
OD
OB
OD
OB
=
(по свойству диагоналей параллелограмма),
OD
OB
↑↓
, тогда
,
OB
OD
−
=
b
OD
−
=
b
a
AD
−
−
=
,
b
a
BC
AD
BC
−
−
=
=
),
(
5
)
(
3
)
(
2
b
a
b
a
b
a
a
b
m
−
−
−
−
−
−
−
+
−
=
,
5 5
3 3
2 2
b
a
b
a
b
a
a
b
m
+
+
+
−
−
−
−
=
7
a
b
m
−
=
2.3. Проекция вектора на ось
Пусть в пространстве задана ось l, то есть направленная прямая.
Определение
. Проекцией точки М на ось l называется основание
1
M
перпендикуляра
1
MM
, опущенного из точки М на ось.
l
•
•
M
1
M
Определение
. Пусть
,
0
≠
a
0
≠
b
. Углом между двумя ненулевыми векторами
a
и
b
называется наименьший угол
)
0
(
π
ϕ
ϕ
≤
≤
, на который надо повернуть один из векторов до его совпадения со вторым. Векторы
a
и
b
необходимо привести к общему началу О.

67
ϕ
a
b
О
Определение
. Углом между вектором
a
и осью l называется угол между векторами
a
и
0
l
– единичный вектор (орт) оси l.
ϕ
a
l
0
l
Пусть
AB
– произвольный вектор (
0
≠
AB
). Обозначим через
1
A
и
1
B
проекции на ось l соответственно начала А и конца В вектора
AB
. Век- тор
1 1
B
A
называется составляющей вектора
AB
по оси l и обозначается
AB
сост
B
A
l
=
1 1
l
O
•
•
A
B
1
A
1
B
Определение
. Проекцией вектора
AB
на ось l называется положи- тельное число
1 1
B
A
, если вектор
1 1
B
A
и ось l сонаправлены, отрицатель- ное число
1 1
B
A
−
, если вектор
1 1
B
A
и ось l противоположно направлены и 0, если
l
AB
⊥
Проекция вектора
AB
на ось l обозначается
AB
пр
l

68
Основные
свойства проекций
1. Проекция вектора
a
на ось l равна произведению модуля вектора
a
на косинус угла
ϕ
между вектором и осью, то есть
ϕ
cos
⋅
=
a
a
пр
l
(2.1)
Следствие
1. Проекция вектора на ось положительна, если вектор об- разует с осью острый угол, отрицательна, если этот угол – тупой, и равна нулю, если этот угол – прямой.
Следствие
2. Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой.
2. Проекция суммы нескольких векторов на одну и ту же ось равна сумме их проекций на эту ось.
)
(
c
пр
b
пр
a
пр
c
b
a
пр
l
l
l
l
+
+
=
+
+
(2.2)
3. При умножении вектора
a
на число
λ
его проекция на ось также умножается на это число, то есть
a
пр
a
пр
l
l
⋅
=
λ
λ
)
(
(2.3)
Заметем, что проекция вектора на ось l и его составляющая связаны соотношением
0
l
a
пр
a
сост
l
l
⋅
=
(2.4)
Пример
3. Вектор
a
образует с осью l угол o
60
=
ϕ
, длина вектора
a
равна 6. Найти
a
пр
l
Решение
. По условию o
60
,
6
=
=
ϕ
a
, тогда
2 1
60
cos cos
=
=
o
ϕ
. Для нахождения проекции вектора
a
на ось l воспользуемся формулой (2.1)
3 2
1 6
=
⋅
=
a
пр
l
Пример
4. Вектор
( ) ( )
4 3
,
,
4
,
a
,
4
,
3
,
π
π
=
=
=
=
+
=
∧
∧
l
b
l
b
a
b
a
d
Найти
d
пр
l
Решение
. Воспользуемся формулой (2.2)
b
np
a
np
d
пр
l
l
l
+
=
( )
2 2
3 2
2 3
4
cos
3
,
,
cos
=
⋅
=
⋅
=
⋅
=
∧
π
a
пр
l
a
a
a
пр
l
l

69
( )
2 2
2 2
4 4
3
cos
4
,
,
cos
−
=








−
⋅
=
⋅
=
⋅
=
∧
π
b
пр
l
b
b
b
пр
l
l
2 2
2 2
2 2
3
−
=
−
=
d
пр
l
Пример
5. Вектор
a
b
2
=
. Длина вектора
a
равна 5. Угол между век- тором
a
и осью l равен o
30
. Найти
b
пр
l
Решение
. Воспользуемся формулой (2.3)
( )
2 2
a
пр
a
пр
b
пр
l
l
l
⋅
=
=
2 3
5 2
3 5
30
cos
=
⋅
=
=
o
a
a
пр
l
3 5
2 3
5 2
=
⋅
=
b
пр
l
2.4. Координаты вектора
Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат Oxyz.
Выделим на координатных осях Ox, Oy и Oz единичные векторы
k
j
i ,
,
соответственно. y x z
M
3
M
1
M
2
N
M
a
i
j
k
β
γ
α

70
Выберем произвольный вектор
a
пространства и совместим его на- чало с началом координат:
OM
a
=
Найдем проекции вектора
a
на координатные оси. Проведем через конец вектора
OM
плоскости, параллельные координатным плоскостям.
Точки пересечения этих плоскостей с осями обозначим соответственно через и
,
3 2
1
M
M
M
Получим прямоугольный параллелепипед, одной из диагоналей кото- рого является вектор
OM
Тогда
,
,
3 2
1
OM
a
пр
OM
a
пр
OM
a
пр
z
y
x
=
=
=
По определению суммы нескольких векторов находим
NM
N
M
OM
a
+
+
=
1 1
Так как
,
,
3 2
1
OM
NM
OM
N
M
=
=
то
3 2
1
OM
OM
OM
a
+
+
=
(2.5)
,
,
3 2
1
a
сост
OM
a
сост
OM
a
сост
OM
z
y
x
=
=
=
Используя формулу (2.4), получим
,
,
3 3
2 2
1 1
k
OM
k
a
пр
OM
j
OM
j
a
пр
OM
i
OM
i
a
пр
OM
z
y
x
⋅
=
⋅
=
⋅
=
⋅
=
⋅
=
⋅
=
(2.6)
Обозначим
,
,
3 2
1
z
y
x
a
OM
a
OM
a
OM
=
=
=
Тогда из равенств (2.5) и (2.6) получаем
k
a
j
a
i
a
a
z
y
x
⋅
+
⋅
+
⋅
=
(2.7)
Формула (2.7) является основной в векторном исчислении и называет- ся разложением вектора по ортам координатных осей. Числа
z
y
x
a
a
a
,
,
называются координатами вектора
a
, то есть координаты вектора – это его проекции на соответствующие координатные оси.
Равенство
{
}
z
y
x
b
b
b
b
;
;
=
или
)
;
;
(
z
y
x
b
b
b
b
означает, что
k
b
j
b
i
b
b
z
y
x
⋅
+
⋅
+
⋅
=

71
Модуль вектора (длина вектора) равен квадратному корню из суммы квадратов координат (проекцией) этого вектора
2 2
2
z
y
x
a
a
a
a
+
+
=
(2.8)
Если вектор
2 1
M
M
a
=
, где
)
,
,
(
),
,
,
(
2 2
2 2
1 1
1 1
z
y
x
M
z
y
x
M
, то
,
,
1 2
1 2
1 2
z
z
a
a
пр
y
y
a
a
пр
x
x
a
a
пр
z
z
y
y
x
x
−
=
=
−
=
=
−
=
=
Тогда
(
) (
)
(
)
,
1 2
1 2
1 2
k
z
z
j
y
y
i
x
x
a
⋅
−
+
⋅
−
+
⋅
−
=
или
(
)
1 2
1 2
1 2
;
;
z
z
y
y
x
x
a
−
−
−
(2.9) так выражаются координаты вектора через координаты его начала и конца.
Из свойств проекций (координаты вектора – это его проекции на оси координат) следует: если
R
b
b
b
b
a
a
a
a
z
y
x
z
y
x
∈
α
),
,
,
(
),
;
;
(
, то
1)
b
a
=
тогда и только тогда, когда
,
,
,
z
z
y
y
x
x
b
a
b
a
b
a
=
=
=
т.е. равные векторы имеют соответственно рав- ные координаты;
2)
{
}
z
z
y
y
x
x
b
a
b
a
b
a
b
a
±
±
±
=
±
;
;
– при сложении векторов соответ- ствующие координаты складываются, при вычитании – вычитаются;
3)
{
}
z
y
x
a
a
a
a
α
α
α
α
;
;
=
⋅
– при умножении вектора на число его коор- динаты умножаются на это число;
4)
z
z
y
y
x
x
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
α
α
α
α
=
=
=
⇔
=
⇔
,
,
, то есть
α
α
α
=
=
=
z
z
y
y
x
x
b
a
b
a
b
a
,
,
или
z
z
y
y
x
x
b
a
b
a
b
a
=
=
(2.10) координаты коллинеарных векторов пропорциональны.
Пусть вектор
a
образует с осями Ox, Oy, Oz углы
γ
β
α
,
,
соответст- венно. По свойству проекции вектора на ось (2.1), имеем cos
,
cos
,
cos
γ
β
α
⋅
=
⋅
=
⋅
=
a
a
a
a
a
a
z
y
x
(2.11)

72
Или, что то же самое, cos
,
cos
,
cos
a
a
a
a
a
a
z
y
x
=
=
=
γ
β
α
(2.12)
γ
β
α
cos
,
cos
,
cos называются направляющими косинусами вектора
a
Подставим выражения (2.11) в равенство (2.8) получаем
,
cos cos cos
2 2
2 2
2 2
γ
β
α
⋅
+
⋅
+
⋅
=
a
a
a
a
cos cos cos
2 2
2
γ
β
α
⋅
+
+
⋅
=
a
a
Сократив на
0
≠
a
, получим соотношение
1
cos cos cos
2 2
2
=
⋅
+
+
γ
β
α
или
,
1
cos cos cos
2 2
2
=
+
+
γ
β
α
(2.13) то есть сумма квадратов направляющих косинусов ненулевого векто- ра равна единице.
Заметим, что координатами единичного вектора
0
a
являются числа
γ
β
α
cos
,
cos
,
cos
, то есть
)
cos cos
(cos
0
γ
β,
α,
a