Алгебра_геометрия_Шуман_Голодная_Волгина_УП. Учебное пособие Владивосток Издательство вгуэс 2017 2 удк 512514 ббк 22. 1422. 151 А45
 Скачать 0.96 Mb.
|
24. Найти 1 − A , если 8 1 5 3 = A 27 Решение . Проверим, является ли данная матрица невырожденной. Вычислим определитель, соответствующий матрице A : , 0 19 5 24 5 1 8 3 8 1 5 3 det ≠ = − = ⋅ − ⋅ = = A следовательно, матрица A невырожденная и для нее существует обратная матрица 1 − A Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы A : , 8 8 ) 1 ( 1 1 11 = ⋅ − = + A , 1 1 ) 1 ( 2 1 12 − = ⋅ − = + A , 5 5 ) 1 ( 1 2 21 − = ⋅ − = + A 3 3 ) 1 ( 2 2 22 = ⋅ − = + A Составим матрицу 1 − A по формуле (1.15) 19 3 19 1 19 5 19 8 3 1 5 8 19 1 1 − − = − − ⋅ = − A Проверка : 1 0 0 1 19 19 0 0 19 19 19 24 5 19 8 8 19 15 15 19 5 24 19 3 8 19 5 1 19 1 8 19 8 1 19 3 5 19 5 3 19 1 5 19 8 3 19 3 19 1 19 5 19 8 8 1 5 3 1 E A A = = = + − − + − − = = ⋅ + − ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ + − ⋅ − ⋅ + ⋅ = − − ⋅ = ⋅ − Следовательно, обратная матрица 1 − A найдена верно. Пример 25. Показать, что матрица A является обратной для B , если 1 2 1 2 5 3 1 3 3 , 6 3 1 3 2 1 1 1 1 − − − − = = B A 28 Решение . Найдем произведение матриц A и B : = ⋅ + − ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ + − ⋅ ⋅ + − ⋅ + ⋅ ⋅ + − ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ + − ⋅ ⋅ + − ⋅ + ⋅ ⋅ + − ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ + − ⋅ ⋅ + − ⋅ + ⋅ = = − − − − = ⋅ 1 6 ) 2 ( 3 1 1 ) 2 ( 6 5 3 ) 3 ( 1 1 6 ) 3 ( 3 3 1 1 3 ) 2 ( 2 1 1 ) 2 ( 3 5 2 ) 3 ( 1 1 3 ) 3 ( 2 3 1 1 1 ) 2 ( 1 1 1 ) 2 ( 1 5 1 ) 3 ( 1 1 1 ) 3 ( 1 3 1 1 2 1 2 5 3 1 3 3 6 3 1 3 2 1 1 1 1 B A 1 0 0 0 1 0 0 0 1 E = = Следовательно, матрица A является обратной для матрицы B . Пример__26.'>Пример 26. Найти матрицу, обратную для матрицы 1 3 2 5 2 5 4 1 3 − = A Решение . Найдем определитель матрицы A : 0 45 5 16 10 60 6 3 5 3 1 ) 1 ( 5 4 2 2 2 5 ) 1 ( 4 3 5 1 2 3 1 3 2 5 2 5 4 1 3 = − + − − + = ⋅ ⋅ − − ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = − = A Матрица A – вырожденная, значит обратная для нее матрица не су- ществует. Пример 27. Найти матрицу, обратную для данной матрицы 2 1 3 4 0 1 3 1 2 − = A Решение . Найдем определитель матрицы A : − ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ = − = 2 1 ) 1 ( 3 0 3 3 4 1 3 1 ) 1 ( 2 0 2 2 1 3 4 0 1 3 1 2 A , 0 3 8 2 0 12 3 0 2 4 1 ≠ = − + − + − = ⋅ ⋅ − 29 значит матрица A невырожденнаяи для нее существует обратная матрица 1 − A Вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы A : , 4 4 1 2 0 2 1 4 0 ) 1 ( 1 1 11 − = ⋅ − ⋅ = ⋅ − = + A , 14 ) 12 2 ( ) 4 3 2 ) 1 (( 2 3 4 1 ) 1 ( 2 1 12 = − − − = ⋅ − ⋅ − − = − ⋅ − = + A , 1 0 3 1 ) 1 ( 1 3 0 1 ) 1 ( 3 1 13 − = ⋅ − ⋅ − = − ⋅ − = + A , 1 ) 3 2 ( ) 3 1 2 1 ( 2 1 3 1 ) 1 ( 1 2 21 = − − = ⋅ − ⋅ − = ⋅ − = + A , 5 9 4 3 3 2 2 2 3 3 2 ) 1 ( 2 2 22 − = − = ⋅ − ⋅ = ⋅ − = + A , 1 ) 3 2 ( ) 1 3 1 2 ( 1 3 1 2 ) 1 ( 3 2 23 = − − = ⋅ − ⋅ − = ⋅ − = + A , 4 0 4 3 0 4 1 4 0 3 1 ) 1 ( 1 3 31 = − == ⋅ − ⋅ = ⋅ − = + A , 11 ) 3 8 ( ) 3 ) 1 ( 4 2 ( 4 1 3 2 ) 1 ( 2 3 32 − = + − = ⋅ − − ⋅ − = − ⋅ − = + A 1 1 0 1 ) 1 ( 0 2 0 1 1 2 ) 1 ( 3 3 33 = + == ⋅ − − ⋅ = − ⋅ − = + A Используя формулу (1.15), составим матрицу 1 − A : − − − − = − − − − = − 3 1 3 1 3 1 3 11 3 5 3 14 3 4 3 1 3 4 1 1 1 11 5 14 4 1 4 3 1 1 A Проверка : = − ⋅ − − − − = ⋅ − 2 1 3 4 0 1 3 1 2 3 1 3 1 3 1 3 11 3 5 3 14 3 4 3 1 3 4 1 A A 30 ( ) = = ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ + − ⋅ + ⋅ − ⋅ − + ⋅ − + ⋅ ⋅ − + ⋅ − + ⋅ ⋅ − + − ⋅ − + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ + − ⋅ + ⋅ − 2 3 1 4 3 1 3 3 1 1 3 1 0 3 1 1 3 1 3 3 1 1 3 1 2 3 1 2 3 11 4 3 5 3 3 14 1 3 11 0 3 5 1 3 14 3 3 11 ) 1 ( 3 5 2 3 14 2 3 4 4 3 1 3 3 4 1 3 4 0 3 1 1 3 4 3 3 4 ) 1 ( 3 1 2 3 4 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 2 4 3 3 1 0 1 3 3 1 2 3 22 20 42 3 11 0 14 3 33 5 28 3 8 4 12 3 4 0 4 3 12 1 8 E = = + + − + + − + − − − − − + − + + + − + + − + − − = Значит, обратная матрица 1 − A найдена верно. 1.2.4. Ранг матрицы Рассмотрим матрицу A размера n m × = mn m m n n a a a a a a a a a A 2 1 2 22 21 1 12 11 Выделим в ней k строк и k столбцов )) ; min( ( n m k ≤ . Из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим опреде- литель k-го порядка. Все такие определители называются минорами этой матрицы. Определение . Рангом матрицы A называется наибольший из поряд- ков миноров данной матрицы, отличных от нуля. Обозначают ранг матрицы ) ( , A r r A или rangA Пример__29.'>Пример__28'>Пример 28. Найти ранг матрицы: 0 7 0 1 0 5 0 4 0 3 0 2 = A Решение . Дана матрица размера 4 3 × . Возможный ранг матрицы ра- вен трем, т.к. )) 4 ; 3 min( ( ≤ k . Но матрица содержит два нулевых столбца, 31 поэтому все определители третьего порядка, составленные из элементов данной матрицы равны нулю: 0 7 0 1 5 0 4 3 0 2 = , 0 0 0 1 0 0 4 0 0 2 = , 0 0 7 0 0 5 0 0 3 0 = Составим минор второго порядка, например 0 2 12 10 3 4 5 2 5 4 3 2 ≠ − = − = ⋅ − ⋅ = . Значит, 2 ) ( = A r Ранг матрицы удобно вычислять, используя элементарные преобразо- вания над матрицей. К элементарным относятся следующие преобразова- ния: 1) перестановка местами двух параллельных рядов матрицы; 2) умножение всех элементов ряда матрицы на число, отличное от нуля; 3) прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и то же число. Определение . Две матрицы A и B называются эквивалентными, ес- ли одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразо- ваний. Записывается A В. Свойства ранга матрицы 1. При транспонировании матрицы ее ранг не меняется. 2. Ранг матрицы не изменится, если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд. 3. При элементарных преобразованиях ранг матрицы не изменяется, т.е. если A В, то ). ( ) ( B r A r = Пример 29. Найти ранг матрицы 1 5 0 4 1 1 2 0 2 1 3 2 − = A Решение . Умножим элементы первой строки на (-2) и прибавим к элементам третьей строки − = 1 5 0 4 1 1 2 0 2 1 3 2 A 3 3 6 0 1 1 2 0 2 1 3 2 − − − 32 Элементы второй строки умножим на 3 и прибавим к элементам третьей строки − − − 3 3 6 0 1 1 2 0 2 1 3 2 0 0 0 0 1 1 2 0 2 1 3 2 − Вычеркнем третью строку полученной матрицы, т.к. все ее элементы равны нулю: − 0 0 0 0 1 1 2 0 2 1 3 2 − 1 1 2 0 2 1 3 2 Составим минор второго порядка: 0 4 3 0 2 2 2 0 3 2 ≠ = ⋅ − ⋅ = Таким образом, 2 ) ( = A r В преобразованной матрице получилось две ненулевые строки. Пример 30. Найти ранг матрицы 5 3 0 6 2 1 3 1 6 1 3 2 1 6 3 2 1 × − = A Решение . Умножим элементы первой строки на (-2) и прибавим к элементам второй строки данной матрицы: − = 0 6 2 1 3 1 6 1 3 2 1 6 3 2 1 A − − − − 0 6 2 1 3 3 6 5 1 0 1 6 3 2 1 Умножим элементы первой строки на (-3) и прибавим к элементам третьей строки: − − − − 0 6 2 1 3 3 6 5 1 0 1 6 3 2 1 − − − − − − − − 3 12 7 5 0 3 6 5 1 0 1 6 3 2 1 33 Элементы второй строки полученной матрицы умножим на (-5) и прибавим к элементам третьей строки: − − − − − − − − 3 12 7 5 0 3 6 5 1 0 1 6 3 2 1 12 18 18 0 0 3 6 5 1 0 1 6 3 2 1 − − − − Из элементов полученной матрицы составим определитель третьего порядка. Для этого возьмем первые три столбца: 18 0 0 5 1 0 3 2 1 − − = ∆ Получили определитель треугольного вида, значение которого равно произведению элементов главной диагонали 0 18 18 ) 1 ( 1 ≠ − = ⋅ − ⋅ = ∆ Ранг последней матрицы равен 3, следовательно, ранг данной матри- цы тоже равен 3. В последней матрице содержится три ненулевые строки. Можно сделать следующий вывод: ранг матрицы равен количеству ненулевых строк преобразованной к треугольному виду матрицы. 1.2.5. Задания для самостоятельного решения 1. Даны матрицы 3 2 × A , 1 3 × B , 3 3 × C . Существуют ли а) AB , б) BA , в) AC , г) CA , д) ABC , е) ACB , ж) CB , з) CBA ? 2. Найдите m и n , если известно, что а) n m C B A × × × = ⋅ 5 4 4 3 ; б) 6 2 3 2 × × × = ⋅ C B A n m ; в) 3 2 3 2 × × × = ⋅ C B A n m 3. Даны матрицы: − − = 4 3 2 1 A , − − = 6 5 4 2 B Найдите а) B A + ; б) A B − ; в) B A 3 2 − ; г) T T B A B A + + + ; д) B A ⋅ ; е) A B ⋅ ; ж) 1 − A ; з) 1 − B 4. Даны матрицы: − − = 2 1 2 1 0 3 A , − − = 2 0 1 3 2 1 B , − − − = 1 1 0 2 1 3 1 0 1 C 34 Найдите а) AB ; б) BA ; в) AC ; г) CB ; д) BA C − 2 ; е) 1 − C ; ж) 1 − CC ; з) E C 2 3 − ; и) CE ; к) AE 5. Найти: a) 3A+2B, если ; 2 2 3 0 1 2 , 4 1 0 1 1 2 − − = − − = B A б) − − 5 2 4 3 4 5 2 3 ; в) − − − − 4 6 6 9 6 4 3 2 ; г) ; 1 2 3 7 126 38 93 28 5 7 3 4 − − д) − − − − 5 6 9 3 1 4 5 2 3 3 7 4 5 9 6 4 8 5 ; е) − − 4 7 2 6 2 1 1 3 3 5 1 4 3 2 0 5 ; ж) ( ) ; 2 5 1 1 3 1 3 2 0 4 − − з) ; 1 4 1 1 2 2 1 1 4 3 3 3 2 2 2 1 1 1 0 0 − − и) 3 4 3 2 1 − − ; к) n 1 0 1 1 6. Найти ) ( A f , если: а) 4 3 ) ( 2 − = X X f , где = 3 0 1 2 A ; б) 1 3 ) ( 2 + − = X X X f , где − = 3 1 2 1 A ; в) 5 2 3 ) ( 2 + − = X X X f , где − − − = 2 5 3 1 4 2 3 2 1 A 35 7. Найти матрицы, обратные для данных и сделать проверку: а) 4 3 2 1 ; б) 7 5 4 3 ; в) − − 3 2 5 4 3 6 7 5 2 ; г) − − − − 1 5 3 1 3 2 5 4 3 8. Найти ранг матрицы: а) − − − − 2 8 1 1 2 7 1 5 2 4 4 2 3 1 2 ; б) 6 2 1 3 6 1 3 2 6 3 2 1 ; в) 0 3 0 0 4 0 0 1 0 0 2 0 ; г) 4 3 1 2 1 8 6 2 4 3 4 3 1 2 1 ; д) − − − 3 15 6 3 2 10 4 2 1 5 2 1 ; е) − 6 5 10 7 4 1 2 3 9. − − − − = 3 6 3 2 2 1 2 1 α A . При каких α а) ( ) , 1 = A r б) ( ) , 2 = A r в) ( ) 3 = A r |