Пример
6. Известно, что
3
,
0
cos
,
2 2
cos
,
2 1
cos
=
<
=
=
a
γ
β
α
Найти координаты вектора
a
Решение
. Найдем
γ
cos
, для этого воспользуемся равенством (2.13)
2 1
4 1
4 2
4 1
1
cos
,
1
cos
2 2
2 1
2 2
2
−
=
−
=
−
−
−
=
=
+
+
γ
γ
Используя равенства (2.9), получаем
2 3
2 1
3
,
2 2
3 2
2 3
,
2 3
2 1
3
−
=
−
⋅
=
=
⋅
=
=
⋅
=
z
y
x
a
a
a
73
Таким образом, вектор
a
имеет координаты
2 3
;
2 2
3
;
2 3
−
a
Пример
7. Может ли вектор
a
образовывать с осями координат углы, равные соответственно
4 3
;
6
;
3
π
π
π
?
Решение
. Воспользуемся равенством (2.13)
2 3
4 6
4 2
4 3
4 1
2 2
2 3
2 1
4 3
cos
6
cos
3
cos
2 2
2 2
2 2
=
=
+
+
=
=
−
+
+
=
+
+
π
π
π
Так как
1 2
3
≠
, поэтому вектор
a
не может образовывать с осями ко- ординат указанные углы.
Пример
8. Даны векторы
)
5
;
3
;
2
(
a
и
)
4
;
3
;
1
(
−
b
. Найти координаты век- тора
b
a
c
3 4
−
=
Решение
. Найдем координаты векторов 4
a
и 3
b
:
).
12
;
9
;
3
(
3
),
4 3
;
3 3
);
1
(
3
(
3
,
20
;
12
;
8 4
,
5 4
3 4
2 4
4
−
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
b
b
)
(
a
)
;
;
(
a
Координаты вектора
c
:
)
8
;
3
;
11
(
),
12 20
;
9 12
);
3
(
8
(
c
c
−
−
−
−
Пример
9. При каких значениях
α
и
β
векторы
k
j
i
a
−
⋅
−
⋅
=
4
α
и
k
j
i
b
β
+
+
=
3
коллинеарны?
Решение
. Воспользуемся соотношением (2.10):
1 1
4 3
β
α
−
=
−
=
12
),
4
(
3 1
:
1 4
3
−
=
−
⋅
=
⋅
−
=
α
α
α
4 1
,
4 1
),
1
(
1 4
:
1 1
4
=
−
−
=
−
⋅
=
⋅
−
−
=
−
β
β
β
β
Таким образом, при
12
−
=
α
и
4 1
=
β
данные векторы
a
и
b
колли- неарны.
74
2.5. Деление отрезка в данном отношении
Говорят, что точка М делит отрезок
2 1
M
M
в отношении
0
>
λ
, если
λ
=
2 1
MM
M
M
, или
2 1
MM
M
M
⋅
=
λ
Пусть известны координаты точек
1
M
и
2
M
:
(
)
(
)
2 2
2 2
1 1
1 1
;
;
,
;
;
z
y
x
M
z
y
x
M
Найдем координаты точки
(
)
z
y
x
M
;
;
•
•
•
M
1
M
2
M
Векторы
M
M
1
и
2
MM
коллинеарны
(
)
2 1
MM
M
M
, поэтому
2 1
MM
M
M
λ
=
}
{
,
;
;
1 1
1 1
z
z
y
y
x
x
M
M
−
−
−
=
}
{
)
(
);
(
);
(
1 1
1 1
z
z
y
y
x
x
M
M
−
−
−
=
⋅
λ
λ
λ
λ
Приравнивая соответствующие координаты равных векторов, получа- ем:
(
)
(
)
(
)
z
z
z
z
y
y
y
y
x
x
x
x
−
=
−
−
=
−
−
=
−
2 1
2 1
2 1
,
,
λ
λ
λ
или
1
,
1
,
1 2
1 2
1 2
1
λ
λ
λ
λ
λ
λ
+
+
=
+
+
=
+
+
=
z
z
z
y
y
y
x
x
x
(2.14)
Если точка М делит отрезок
2 1
M
M
пополам, то
1
=
λ
, тогда
2
,
2
,
2 2
1 2
1 2
1
z
z
z
y
y
y
x
x
x
+
=
+
=
+
=
(2.15)
Пример
10. Даны вершины треугольника
( )
5
;
1
;
4
A
,
(
)
1
;
13
;
4
−
B
,
( )
1
;
1
;
6
C
. Найти координаты точки пересечения медиан этого треугольника.
75
Решение
. Пусть AD – медиана треугольника, тогда точка D – середи- на отрезка BC. Найдем координаты точки D, используя равенства (2.15):
1 2
1 1
,
7 2
1 13
,
1 2
6 4
=
+
=
+
=
=
+
−
=
z
y
x
, то есть
( )
1
;
7
;
1
D
Медианы треугольника точкой пересечения Р делятся в отношении
2:1, считая от вершины, значит
1 2
=
PD
AP
, то есть
2
=
λ
. По формулам
(2.14) найдем координаты точки Р:
3 7
2 1
1 2
5
,
5 3
15 2
1 7
2 1
,
2 3
6 2
1 1
2 4
=
+
⋅
+
=
=
=
+
⋅
+
=
=
=
+
⋅
+
=
z
y
x
Таким образом, точка пересечения медианы данного треугольника –
3 7
;
5
;
2
P
2.5.1. Задачи для самостоятельного решения
1. Отрезок АВ точками M,N и Р разделен на четыре равные части.
Точка О не принадлежит отрезку АВ.
b
OB
a
OA
=
=
,
. Выразить через
a
и
b
вектор
OP
ON
OM
m
4 2
+
−
=
2. Даны точки А(3;2;0), В(4;0;1), С(-5;0;2), D(-8;6;-1). Проверьте,
CD
AB
↑↑
или
CD
АВ
↑↓
. Какой из векторов длиннее и во сколько раз?
3. При каких значениях
α
и
β
векторы
k
j
i
a
3
+
−
=
α
и
k
j
i
b
β
+
+
=
3 12
коллинеарны?
4. Даны три последовательные вершины параллелограмма
(
)
3
;
2
;
1
−
A
,
( )
1
;
2
;
3
B
и
(
)
4
;
4
;
6
C
. Найти его четвертую вершину D.
5. Вектор составляет с осями координат равные острые углы. Найдите эти углы.
6. Вектор составляет с осями Oy и Oz углы o
60
и o
120
. Какой угол он составляет с осью Ox?
7. Даны две координаты вектора
12
,
4
:
=
−
=
y
x
a
a
a
. Найти его тре- тью координату
z
a
при условии, что
13
=
a
8. На оси ОZ найдите точку, равноудаленную от А(4;-1;2) и В(0;2;-1).
9. Покажите, что АВСD – параллелограмм, если А(0;2;-3), В(3;1;1),
С(4;-5;2), D(1;-4;-2).
10. Дан вектор
(
)
3
;
4
;
12
−
a
. Найти сумму направляющих косинусов данного вектора.
76 11. Даны точки
( )
1
;
1
;
3
A
и
(
)
2
;
5
;
4
−
B
. Точка С делит отрезок АВ в от- ношении 2:3, считая от точки А. Найти координаты точки С.
12. Определите координаты центра тяжести треугольника АВС, если
А(5;1;12), В(11;3;8), С(2;5;0).
13. Найдите орт вектора
=
a
(-12;-4;-3) и его направляющие косинусы.
Острые или тупые углы образует вектор с осями координат?
Ответы
. 1.
b
a
3 2
+
. 2. CD длиннее в 3 раза;
CD
AB
↑↓
3. -4;-9. 4. (4;0;6). 5.
3 1
arccos
. 6. o
45
или o
135
. 7.
3
±
8.
3 8
;
0
;
0
. 10.
13 11
. 11.
−
5 7
;
5 7
;
5 17
. 12.
3 20
;
3
;
6
13.
13 3
;
13 4
;
13 12
−
−
−
2.6. Скалярное произведение векторов и его свойства
Определение
. Скалярным произведением двух ненулевых векторов
a
и
b
(
0
≠
a
,
0
≠
b
) называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
Обозначается
b
a
,
b
a
⋅
ϕ
cos
⋅
⋅
=
⋅
b
a
b
a
,
(2.16) где
=
∧
b
a,
ϕ
Формулу (2.16) можно записать иначе. Так как
a
пр
a
b
=
⋅
ϕ
cos
,
b
пр
b
a
=
⋅
ϕ
cos
, то получаем:
,
a
пр
b
b
пр
a
b
a
b
a
⋅
=
⋅
=
(2.17) то есть скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженному на проекцию другого на ось, сонаправленную с первым вектором.
Свойства
скалярного произведения
1)
;
a
b
b
a
⋅
=
⋅
2)
( ) ( )
( )
;
b
a
b
a
b
a
λ
λ
λ
⋅
=
⋅
=
⋅
⋅
77 3)
( )
c
a
b
a
c
b
a
⋅
+
⋅
=
+
⋅
;
4)
0
=
⋅
b
a
тогда и только тогда, когда
0
=
a
, или
0
=
b
, или
b
a
⊥
;
5)
2 2
a
a
=
– скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.
Пусть заданы два вектора
k
a
j
a
i
a
a
z
y
x
+
+
=
и
k
b
j
b
i
b
b
z
y
x
+
+
=
Тогда
(
) (
)
[
]
[
]
4,5
свойствам по
2,3
свойствам по
2 2
2
z
z
y
y
x
x
z
z
y
z
x
z
z
y
y
y
x
y
z
x
y
x
x
x
z
y
x
z
y
x
b
a
b
a
b
a
k
b
a
j
k
b
a
i
k
b
a
k
j
b
a
j
b
a
i
j
b
a
k
i
b
a
j
i
b
a
i
b
a
k
b
j
b
i
b
k
a
j
a
i
a
b
a
+
+
=
=
=
+
⋅
+
⋅
+
+
⋅
+
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
+
=
=
=
+
+
⋅
+
+
=
⋅
Таким обра- зом,
z
z
y
y
x
x
b
a
b
a
b
a
b
a
+
+
=
⋅
(2.18)
Пример
11. Даны векторы
(
) (
) (
)
5
;
0
;
2
,
4
;
3
;
1
,
5
;
3
;
2
−
−
c
b
a
. Найти скаляр- ное произведение
(
)
b
a
c
⋅
+
3 2
Решение
. Воспользуемся свойствами 2, 3:
(
) ( ) ( )
b
a
b
c
b
a
c
⋅
+
⋅
=
⋅
+
3 2
3 2
Используя формулу (2.18), получаем:
27 20 9
2 4
5 3
3
)
1
(
2
,
22 20 0
2 4
)
5
(
3 0
)
1
(
2
=
+
+
−
=
⋅
+
⋅
+
−
⋅
=
⋅
−
=
−
+
−
=
⋅
−
+
⋅
+
−
⋅
=
⋅
b
a
b
c
Тогда
(
)
37 81 44 27 3
)
22
(
2 3
2
=
+
−
=
⋅
+
−
⋅
=
⋅
+
b
a
c
Пример
12.
Найти длину вектора
b
a
c
3 5
−
=
, если
3
,
,
5
,
2
π
=
=
=
∧
b
a
b
a
Решение
. Используя свойство 5 скалярного произведения, получаем
(
)
2 2
2 2
9 30 25 3
5
b
b
a
a
b
a
c
c
+
−
=
−
=
=
, но
4 2
2
=
=
a
a
,
25 2
2
=
=
b
b
,
5 2
1 10 3
cos
5 2
cos
=
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
π
ϕ
b
a
b
a
, следовательно,
7 5
175 225 150 100 25 9
5 30 4
25
=
=
+
−
=
⋅
+
⋅
−
⋅
=
c
78
Пример
13. Даны векторы
k
j
a
+
−
=
,
k
j
i
b
+
+
=
. Найти угол между векторами
b
a
c
+
=
и
b
a
d
−
=
Решение
. Найдем координаты векторов
c
и
d
:
k
i
k
j
i
k
j
b
a
c
2
+
=
+
+
+
+
−
=
+
=
, то есть
(
)
2
;
0
;
1
c
;
j
i
k
j
i
k
j
b
a
d
2
−
−
=
−
−
−
+
−
=
−
=
, то есть
(
)
0
;
2
;
1
−
−
d
Воспользуемся формулой (2.16)
⋅
⋅
=
⋅
∧
d
c
d
c
d
c
,
cos
, тогда
d
c
d
c
d
c
⋅
⋅
=
∧
,
cos
5 4
1 0
)
2
(
)
1
(
;
5 4
1 2
0 1
;
1 0
2
)
2
(
0
)
1
(
1 2
2 2
2 2
2
=
+
=
+
−
+
−
=
=
+
=
+
+
=
−
=
⋅
+
−
⋅
+
−
⋅
=
⋅
d
c
d
c
Следовательно,
;
5 1
5 5
1
,
cos
−
=
⋅
−
=
∧
d
c
тогда
5 1
arccos
5 1
arccos
,
−
=
−
=
∧
π
d
c
Пример
14. Даны векторы
(
)
1
;
1
;
1
−
a
,
(
)
5
;
1
;
3
−
−
b
,
(
)
4
;
3
;
2
−
c
. Найти век- тор
x
, если известно, что
1
и
,
−
=
⋅
⊥
⊥
c
x
b
x
a
x
Решение
. Пусть искомый вектор
)
;
;
(
z
y
x
x
. Из условия
a
x
⊥
следует, что
0
=
⋅
a
x
или
,
0 1
1 1
=
⋅
−
⋅
+
⋅
z
y
x
то есть
0
=
−
+
z
y
x
Из условия
b
x
⊥
следует, что
0
=
⋅
b
x
или
0 5
1 3
=
⋅
−
⋅
−
⋅
z
y
x
, то есть
0 5
1 3
=
−
−
z
y
x
Из условия
1
−
=
⋅
c
x
следует, что
1 4
3 2
−
=
⋅
+
⋅
+
⋅
−
z
y
x
или
1 4
3 2
−
=
+
+
−
z
x
79
Из полученных равенств составим систему линейных уравнений, ре- шение которой и определит координаты искомого вектора
x
−
=
+
+
−
=
−
−
=
−
+
1 4
3 2
,
0 5
3
,
0
z
y
x
z
y
x
z
y
x
( )
∗
Решим систему уравнений методом Гаусса. Для этого составим рас- ширенную матрицу
∗
A
системы и с помощью элементарных преобразова- ний приведем ее к ступенчатому виду.
−
−
−
−
−
=
∗
1 0
0 4
3 2
5 1
3 1
1 1
A
Элементы первой строки матрицы умножим на (-3) и прибавим к со- ответствующим элементам второй строки, затем элементы первой строки умножим на 2 и прибавим к соответствующим элементам третьей строки:
∗
A
−
−
−
−
1 0
0 2
5 0
2 4
0 1
1 1
Элементы второй строки полученной матрицы умножим на
−
2 1
:
∗
A
−
−
1 0
0 2
5 0
1 2
0 1
1 1
Элементы второй строки умножим на (-5), третьей строки – на 2, за- тем к полученным элементам третьей строки прибавим соответственные полученные элементы второй строки:
∗
A
−
−
−
2 0
0 1
0 0
1 2
0 1
1 1
С помощью полученной матрицы треугольного вида составим систе- му уравнений, равносильную системе
( )
∗
80
−
=
−
=
+
=
−
+
;
2
,
0 2
,
0
zzyzyx
=
−
=
−
=
;
2
,
2 1
,
zzyyzx
=
−
=
=
2
,
1
,
3
zyxТаким образом, искомый вектор
(
)
2
;
1
;
3
−
x 
Скачать 0.96 Mb.