Алгебра_геометрия_Шуман_Голодная_Волгина_УП. Учебное пособие Владивосток Издательство вгуэс 2017 2 удк 512514 ббк 22. 1422. 151 А45
 Скачать 0.96 Mb.
|
|
Пример 20. Даны векторы k j i a 3 − + = , k j i b + − = 2 и k j i c − + = 4 3 . Найти смешанное произведение векторов a , b и c Решение . Воспользуемся формулой (2.21) 31 33 2 11 3 5 3 ) 3 8 ( 3 ) 3 2 ( ) 4 1 ( 4 3 1 2 ) 3 ( 1 3 1 2 1 1 4 1 1 1 1 4 3 1 1 2 3 1 1 − = − = ⋅ − + − = + − − − − − = = − − + − ⋅ − − − ⋅ = − − − = c b a Пример 21. Проверить компланарны ли векторы ( ) 1 ; 0 ; 2 a , ( ) 0 ; 1 ; 1 b и ( ) 1 ; 2 ; 3 − c Решение . Найдем смешанное произведение векторов a , b и c , ис- пользуя формулу (2.21): + − − = − + ⋅ − − ⋅ = − = 0 ) 0 1 ( 2 2 3 1 1 1 1 3 0 1 0 1 2 0 1 2 1 2 3 0 1 1 1 0 2 c b a 3 5 2 ) 3 2 ( − = − = − − + Так как смешанное произведение данных векторов не равно нулю ( ) 0 3 ≠ − , тогда по условию (2.22) векторы a , b и c – некомпланарны. Пример 22. Вершинами пирамиды служат точки ), 2 ; 2 ; 2 ( A ) 3 ; 3 ; 4 ( B , ) 4 ; 5 ; 4 ( C и ) 6 ; 5 ; 5 ( D . Найти объем пирамиды. Решение . Найдем координаты векторов AB , AC и AD , совпадаю- щих с ребрами пирамиды, исходящими из вершины А. ( ) , 2 6 ; 2 5 ; 2 5 ), 2 4 ; 2 5 ; 2 4 ( ), 2 3 ; 2 3 ; 2 4 ( − − − − − − − − − AD AC AB ( ) ( ) ( ) 4 ; 3 ; 3 , 2 ; 3 ; 2 , 1 ; 1 ; 2 AD AC AB Находим смешанное произведение векторов AB , AC и AD по фор- муле (2.21) 7 29 36 12 8 9 6 6 24 2 2 3 4 1 2 1 3 3 ( 3 2 1 1 3 2 4 3 2 4 3 3 2 3 2 1 1 2 = − = − − − + + = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = = AD AC AB Тогда объем пирамиды по формуле (2.24) равен 6 7 7 6 1 = ⋅ = пир V 88 Пример 23. При каком значении m векторы k j i m a 4 2 − + = , k m j i b + − = 3 2 и k j i c 4 2 3 + − = компланарны? Решение . Воспользуемся необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов (2.22) 0 = c b a , , 0 4 2 3 3 2 4 2 = − − − m m ( ) , 0 36 6 2 36 6 2 16 2 36 6 16 12 4 2 2 2 ) 4 )( 3 ( 3 3 2 ) 4 )( 2 ( 2 ) 3 ( 4 4 2 3 3 2 4 2 2 2 2 2 = − − − − = − + − + + − = = ⋅ ⋅ + − − − − ⋅ ⋅ + − − ⋅ + − ⋅ = − − − m m m m m m m m m m m m 0 18 3 2 = − − m m ( ) , 2 9 3 2 81 3 2 18 4 9 3 2 , 1 ± = ± = − ⋅ − ± = m 6 , 3 2 1 = − = m m Итак, при 6 и 3 = − = m m векторы a , b и c компланарны. 2.8.1. Задачи для самостоятельного решения 1. Найти смешанное произведение векторов k j i a + − = , , k j i b + + = 4 3 2 k j i c + + = 2. Показать, что векторы , 2 3 7 k j i a + − = , 8 7 3 k j i b + − = k j i c + − = компланарны. 3. Доказать, что точки ( ) 1 ; 2 ; 1 − A , ( ) 5 ; 1 ; 0 B , ) 1 ; 2 ; 1 ( − C , ( ) 3 ; 1 ; 2 D лежат в одной плоскости. 4. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах , 4 3 j i a + = , 3 k j b + − = , 5 2 k j c + = как на ребрах. 5. Дана пирамида с вершинами О(0;0;0), А(5;2;0), В(2;5;0) и С(1;2;4). Найдите её объем, площадь грани АВС и длину высоты, опущенной на эту грань. Ответы . 1. 4. 4. 51 = V . 5. 3 3 7 ; 3 6 ; 14 = = = H S V . 89 2.9. Прямая на плоскости Линия на плоскости рассматривается (задается) как множество то- чек, обладающих некоторым, только им присущим геометрическим свойством. Введение на плоскости системы координат позволяет определять положение точки плоскости заданием двух чисел – ее координат, а по- ложение линии на плоскости определять с помощью уравнения (то есть равенства, связывающего координаты точек линии). Определение . Уравнением линии (или кривой) на плоскости Oxy на- зывается такое уравнение ( ) 0 y x; F = с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты x и y каждой точки линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии. Переменные x и у в уравнении линии называются текущими коорди- натами точек линии. Пример 24. Лежат ли точки ( ) 2 ; 1 A и ( ) 3 ; 0 B на линии 0 6 y 2 x = − + ? Решение . Подставив в уравнение линии вместо x и у координаты точки А, получим 0 6 2 2 1 ≠ − ⋅ + . Значит, точка А не лежит на данной линии. Подставим в уравнение линии координаты точки В вместо x и у 0 6 3 2 0 = − ⋅ + . Следовательно, точка В лежит на данной линии. Простейшей из линий является прямая. Разным способам задания прямой соответствуют в прямоугольной системе координат разные виды уравнений прямой. Пусть ) y ; x ( M 0 0 0 – заданная точка прямой l. Вектор ) B ; A ( n , пер- пендикулярный прямой l, называют нормальным вектором прямой. Пусть ) y ; x ( M – произвольная (текущая) точка прямой. l. Тогда M M n y y x x M M 0 0 0 0 ), ; ( ⊥ − − n М 0 90 По свойствам скалярного произведения 0 M M n 0 = ⋅ , то есть ( ) 0 ) ( 0 0 = − + − y y B x x A (2.25) Полученное уравнение называется уравнением прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору. Раскрыв скобки и сгруппировав слагаемые в (2.25), получим 0 ) By Ax ( By Ax 0 0 = − − + + . Обозначим C By Ax 0 0 = − − , уравнение (2.25) примет вид 0 C By Ax = + + , (2.26) которое называется общим уравнением прямой на плоскости. Некоторые частные случаи общего уравнения прямой: 1) если 0 C , 0 B , 0 A ≠ ≠ = , то уравнение приводится к виду B C y − = Это есть уравнение прямой, параллельной оси Ох; 2) если 0 C , 0 B , 0 A ≠ = ≠ , то уравнение приводится к виду A C x − = , прямая параллельна оси Оу; 3) если 0 C = , 0 , 0 ≠ ≠ B A , то получим 0 By Ax = + , прямая проходит через начало координат; 4) если 0 C , 0 B , 0 A = ≠ = , уравнение прямой принимает вид 0 By = или 0 = y , прямая проходит через ось Ох; 5) если 0 C , 0 B , 0 A = = ≠ , уравнение прямой 0 Ax = − , или х=0, пря- мая проходит через ось Оу. Пусть в уравнении (2.26) 0 C , 0 B , 0 A ≠ ≠ ≠ , тогда перенесем слагае- мое С в правую часть и разделим на него обе части уравнения 1 C By C Ax = − + − , или 1 = − + − B C y A C x Обозначив a A C = − , b B C = − , получим уравнение 1 = + b y a x , (2.27) которое называется уравнением прямой в отрезках, где а и b – отрезки, отсекаемые прямой на осях координат. 91 а b l x y O Определение . Вектор ( ) n ; m S , параллельный прямой, называется на- правляющим вектором прямой. l S Пусть ( ) 0 0 0 y ; x M – заданная точка на прямой l, ( ) n ; m S – направ- ляющий вектор этой прямой, ( ) y ; x M – произвольная точка прямой l. l S • • M 0 M Тогда ( ) 0 0 0 y y ; x x M M − − , S M M 0 . Используя условие (2.13), полу- чим: 0 0 n y y m x x − = − (2.28) 92 Полученное уравнение (2.28) называется каноническим уравнением прямой, или уравнением прямой, проходящей через данную точку парал- лельно данному вектору. В частности, если прямая l параллельна оси Ох, то ее направляющий вектор ( ) 0 ; m S и уравнение (2.28) имеет вид 0 0 0 y y m x x − = − , или 0 y y = Если Oy l , то ( ) n ; 0 S и уравнение прямой n y y x x 0 0 0 − = − , или 0 x x = Если в уравнении (2.28) величину отношения положить равной t ( t – параметр, переменная величина, R t ∈ ): , 0 t m x x = − t n y y 0 = − , то, выразив х и у из уравнений, получим 0 x mt x + = , 0 y nt y + = (2.29) Уравнения (2.29) называются параметрическими уравнениями прямой. Пусть на прямой l заданы две точки ( ) 1 1 1 y ; x M и ( ) 2 2 2 y ; x M . Тогда вектор ( ) 1 2 1 2 2 1 y y ; x x M M − − является направляющим вектором прямой и, используя уравнение (2.28), можно записать 1 2 1 1 2 1 y y y y x x x x − − = − − (2.30) Уравнение (2.30) – уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Пусть ( ) 0 0 0 y ; x M – заданная точка на прямой l, α – угол наклона прямой к оси Ох, 2 π α ≠ . В качестве направляющего вектора прямой l возьмем единичный вектор ( ) β α cos ; cos 0 S , но α π β − = 2 , тогда α α π β sin 2 cos cos = − = , то есть ( ) α α sin ; cos S 0 . Используя уравнение (2.28), получим α α sin cos 0 0 y y x x − = − или ( ) 0 0 cos sin x x y y − = − α α . Обозначим k tg = = α α α cos sin (k – угловой коэффициент прямой), получим уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении ( ) 0 0 x x k y y − = − (2.31) 93 • • • x y b 0 M l α O α β 0 S Выразив из (2.31) у: ( ) 0 0 kx y kx y − + = и обозначив b kx y 0 0 = − , по- лучим уравнение , b kx y + = (2.32) которое называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. В уравнении (2.32) b – ордината точки пересечения прямой с осью Оу. 2.9.1. Угол между двумя прямыми и условия параллельности и перпендикулярности двух прямых Пусть прямые 1 l и 2 l заданы уравнениями с угловыми коэффициен- тами 1 1 b x k y + = и 2 2 b x k y + = , где 1 1 tg k α = , 2 2 tg k α = Требуется найти угол ϕ , на который надо повернуть в положитель- ном направлении прямую 1 l вокруг точки их пересечения до совпадения с прямой 2 l 1 2 α ϕ α + = (по теореме о внешнем угле треугольника) или 1 2 α α ϕ − = Если 2 π ϕ ≠ , то ( ) 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 k k k k tg tg tg tg tg tg ⋅ + − = ⋅ + − = − = α α α α α α ϕ Таким образом, . k k 1 k k tg 2 1 1 2 ⋅ + − = ϕ (2.33) 94 x y O 1 α 2 α 2 α 1 α ϕ 2 l 1 l Если требуется вычислить острый угол между прямыми, не учитывая, какая прямая является первой, какая – второй, то правая часть формулы (2.33) берется по модулю, то есть . k k 1 k k tg 2 1 1 2 ⋅ + − = ϕ (2.34) Если 2 1 l l , то 0 = ϕ и 0 tg = ϕ . Из формулы (2.33) следует, что 0 k k 1 2 = − , то есть 1 2 k k = (2.35) Если 2 1 l l ⊥ , то 2 π ϕ = , ϕ tg не существует. Тогда рассмотрим ϕ ctg : 1 2 2 1 1 k k k k ctg − ⋅ + = ϕ , 0 2 = π ctg Отсюда 0 k k 1 2 1 = ⋅ + , то есть 1 k k 2 1 − = ⋅ (или 1 2 k 1 k − = ). (2.36) Если прямые 1 l и 2 l заданы общими уравнениями 0 C y B x A 1 1 1 = + + и 0 C y B x A 2 2 2 = + + , где ( ) 1 1 1 B ; A n и ( ) 2 2 2 B ; A n – нормальные векторы прямых, то 2 1 2 1 n n n n cos ⋅ ⋅ = ϕ или |