Алгебра_геометрия_Шуман_Голодная_Волгина_УП. Учебное пособие Владивосток Издательство вгуэс 2017 2 удк 512514 ббк 22. 1422. 151 А45

• Название: Учебное пособие Владивосток Издательство вгуэс 2017 2 удк 512514 ббк 22. 1422. 151 А45
• Дата: 13.09.2022
• Размер: 0.96 Mb.
• Имя файла: Алгебра_геометрия_Шуман_Голодная_Волгина_УП.pdf
• Тип: Учебное пособие; #675045
• страница: 10 из 12

2.6.1. Задачи для самостоятельного решения
1.Упростить выражение
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
k
i
k
k
j
j
j
i
−
+
⋅
−
+
⋅
−
2. Найти углы треугольника с вершинами
(
)
3
;
1
;
2
−
A
,
( )
1
;
1
;
1
B
,
(
)
5
;
0
;
0
C
3. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах

a=(2;1;0) и

b=(0;-2;1).
4. При каком значении m векторы
k
j
i
m
a
+
−
=
3
и
k
m
j
i
b
−
+
=
2
перпендикулярны?
5. Найти
(
)(
)
b
a
b
a
6 5
2 3
−
−
, если
4
=
a
,
6
=
b
,
( )
o
60
,
=
∧
b
a
6. Найти
( )( )
b
a
b
a
6 3
−
−
, если
)
1
;
1
;
3
(
=
a
,
)
3
;
2
;
0
(
−
=
b
7. Даны точки
( )
3
;
2
;
1
A
,
(
)
0
;
4
;
2
−
B
,
(
)
3
;
2
;
1
−
C
. Найти
AB
пр
AC
8. Найти длину вектора
b
a
c
2 3
+
=
, если
3
=
a
,
4
=
b
,
( )
o
120
,
=
∧
b
a
9. Найти вектор
x
, коллинеарный вектору
(
)
1
;
1
;
2
−
a
и удовлетворяю- щий условию
3
=
⋅
a
x
10. Даны векторы
)
1
;
1
;
1
(
−
=
a
,
)
5
;
1
;
3
(
−
−
=
b
,
)
4
;
3
;
2
(
−
=
c
Найти вектор
x
, если известно, что
a
x
⊥
,
b
x
⊥
и
1
−
=
⋅
c
x
11. Найти проекцию вектора
c
a
+
на вектор
c
b
+
, если
k
j
i
a
−
−
=
6 3
,
k
j
i
b
5 4
−
+
=
,
k
j
i
c
2 4
3
+
+
=
Ответы
: 1. 2. 2. o
o o
90
,
45
,
45
. 3. 90
°
. 4. 3. 5. 336. 6. 130. 7.6. 8.
73
. 9.






−
2 1
;
2 1
;
1
. 10. (3;-1;2). 11.
89 5

81
2.7. Векторное произведение векторов и его свойства
Три некомпланарных вектора
a
,
b
и
c
, взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, если с конца третьего вектора
c
кратчайший поворот от первого вектора
a
ко второму вектору
b
виден совершаю- щимся против часовой стрелки, и левую, если по часовой.
a
b
b
c
c
a
правая тройка левая тройка
Определение
. Векторным произведением вектора
a
на вектор
b
на- зывается вектор
c
, который:
1)
перпендикулярен векторам
a
и
b
, то есть
a
c
⊥
,
b
c
⊥
;
2)
имеет длину
ϕ
sin
⋅
⋅
=
b
a
c
, где
( )
∧
=
b
a,
ϕ
;
3)
векторы
a
,
b
и
c
образуют правую тройку.
Векторное произведение обозначается
b
a
×
, то есть
b
a
c
×
=
Из условия (2) следует, что длина вектора
c
численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах
a
и
b
, как на сторонах:
,
b
a
S
пар
×
=
b
a
S
×
=
∆
2 1
(2.19)
a
c
b
ϕ
S
∆
S
a
b

82
Из определения векторного произведения вытекают следующие соот- ношения между ортами
i
,
j
и
k
:
k
j
i
=
×
,
i
k
j
=
×
,
j
i
k
=
×
k
i
j
x y z
O
Свойства
векторного произведения
1)
a
b
b
a
×
−
=
×
;
2)
( ) ( )
)
(
b
a
b
a
b
a
λ
λ
λ
×
=
×
=
×
;
3)
( )
c
b
c
a
c
b
a
×
+
×
=
×
+
;
4)
0
=
×
b
a
тогда и только тогда, когда
0
=
a
, или
0
=
b
, или
b
a
;
5)
0
=
×
a
a
Из определения и свойств второго произведения следует:
0
=
×
=
×
=
×
k
k
j
j
i
i
,
k
i
j
−
=
×
,
i
j
k
−
=
×
,
j
k
i
−
=
×
Можно использовать таблицу векторного произведения векторов
i
,
j
и
k
i
j
k
i
0
k
-
j
j
-
k
0
i
k
j
-
i
0
Пусть заданы два вектора
k
a
j
a
i
a
a
z
y
x
+
+
=
и
k
b
j
b
i
b
b
z
y
x
+
+
=

83
Тогда векторное произведение этих векторов может быть найдено с помощью определителя третьего порядка
z
y
x
z
y
x
b
b
b
a
a
a
k
j
i
b
a
=
×
(2.20)
Пример
15. Упростить выражение
(
) ( )
b
a
b
a
3 4
3
−
×
+
Решение
. Используя свойства векторного произведения, получим
(
) ( )
(
)
,
0
,
0
как так
13 0
12 9
4 0
3 12 9
4 3
3 4
3
a
b
b
a
b
b
a
a
a
b
a
b
a
b
b
b
b
a
a
b
a
a
b
a
b
a
×
−
=
×
=
×
=
×
×
=
⋅
−
×
+
+
×
+
⋅
=
×
−
×
−
×
+
×
=
−
×
+
Пример
16. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах
k
j
i
a
2 3
6
−
+
=
и
k
j
i
b
6 2
3
+
−
=
, как на сторонах.
Решение
. Найдем векторное произведение векторов
a
и
b
с помо- щью формулы (2.20):
=
−
+
−
−
−
−
=
−
−
=
×
2 3
3 6
6 3
2 6
6 2
2 3
6 2
3 2
3 6
k
j
i
k
j
i
b
a
21 42 14
)
9 12
(
)
6 36
(
)
4 18
(
k
j
i
k
j
i
−
−
=
−
−
+
+
−
−
=
Так как модуль векторного произведения двух векторов равен площа- ди построенного на них параллелограмма, то
49 2401 441 1764 196
)
21
(
)
42
(
14 2
2 2
=
=
+
+
=
−
+
−
+
=
×
=
b
a
S
Пример
17. Вычислить площадь параллелограмма построенного на векторах
( ) ( )
b
a
b
a
+
+
3
и
3
, если
1
=
=
b
a
,
( )
30
,
o
=
∧
b
a
Решение
. Найдем векторное произведение данных векторов:
( ) ( )
8 0
3 9
0 3
3 9
3 3
3
a
b
a
b
a
b
b
b
b
a
a
b
a
a
b
a
b
a
×
=
⋅
+
×
−
−
×
+
⋅
=
×
+
×
+
×
+
×
=
+
×
+
Площадь параллелограмма по формуле
(2.19) равна
( )
∧
⋅
⋅
=
×
=
×
=
b
a
a
b
a
b
a
b
S
,
sin
8 8
8
, тогда получим
4 2
1 8
30
sin
1 1
8
=
⋅
=
⋅
⋅
⋅
=
o
S

84
Пример
18. Даны два вектора
k
j
i
a
3 2
+
−
=
и
k
j
i
b
4 2
+
−
=
. Вектор
a
c
⊥
,
b
c
⊥
. Найти
c
Решение
. Так как вектор
a
c
⊥
и
b
c
⊥
, тогда
b
a
c
×
=
. Координаты вектора
(
)
3
;
2
;
1
−
a
, вектора
(
)
4
;
1
;
2
−
b
. Найдем вектор
c
, пользуясь форму- лой (2.20)
(
)
3 10 11 4
3 4
6 8
4 1
)
1
(
3
)
2
(
2
)
1
(
1 3
2 4
)
2
(
4 1
2 3
2 1
k
j
i
j
i
k
k
j
i
j
i
k
k
j
i
k
j
i
c
+
+
−
=
+
−
+
−
+
−
=
=
⋅
⋅
+
⋅
−
⋅
+
⋅
−
⋅
−
⋅
−
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
−
=
−
−
=
Таким образом вектор
k
j
i
c
3 10 11
+
+
−
=
Найдем модуль вектора
c
( )
230 9
100 121 3
10 11 2
2 2
=
+
+
=
+
+
−
=
c
Пример
19. Найти
b
a
b
a
×
+
⋅
2
, если известно, что
k
j
i
a
3 2
+
+
=
,
k
j
i
b
+
−
=
2 3
Решение
. Координаты вектора
( )
3
;
2
;
1
a
, вектора
(
)
1
;
2
;
3
−
b
. По форму- ле (2.18) найдем скалярное произведение векторов
a
и
:
b
2 3
4 3
1 3
)
2
(
2 3
1
=
+
−
=
⋅
+
−
⋅
+
⋅
=
⋅
b
a
Найдем векторное произведение
b
a
×
, используя формулу (2.20)
8 8
8
)
6 2
(
)
9 1
(
)
6 2
(
2 3
2 1
1 3
3 1
1 2
3 2
1 2
3 3
2 1
k
j
i
k
j
i
k
j
i
k
j
i
b
a
−
+
=
−
−
+
−
−
+
=
=
−
+
−
−
=
−
=
×
3 8
3 64 8
8 8
2 2
2
=
⋅
=
+
+
=
×
b
a
Тогда искомое выражение
)
3 2
1
(
4 3
8 2
2 2
+
=
+
⋅
=
×
+
b
a
b
a

85
2.7.1. Задачи для самостоятельного решения
1. Упростить выражения: а)
(
) (
)
;
2 3
3 2
j
i
k
k
j
i
+
×
−
−
×
б)
( ) ( ) ( )
2
c
a
b
a
c
b
a
−
×
+
−
×
+
2.
Вычислить площадь треугольника с вершинами
( ) (
) (
)
2
;
3
;
4
,
4
;
3
;
2
,
1
;
1
;
1
C
B
A
3. Найти
b
a
×
, если
10
=
a
,
3
=
b
,
18
=
⋅
b
a
4. Вычислить синус угла, образованного векторами
(
)
1
;
2
;
2
−
a
и
(
)
6
;
3
;
2
b
5. Даны точки
(
) (
) ( )
1
;
2
;
3
и
1
;
2
;
1
,
2
;
1
;
2
C
B
A
−
−
Найти координаты векторных произведений: а)
;
BC
AB
×
б)
(
)
BA
CB
AB
×
−
3 6. Найдите площадь параллелограмма, построенного на векторах
)
5
;
3
;
1
(
−
=
a
и
)
3
;
1
;
2
(
−
=
b
7. Найдите площадь параллелограмма, диагоналями которого служат векторы
n
m
−
2
и
n
m
5 4
−
, где
1
=
=
n
m
,
( )
o
45
,
=
∧
n
m
Ответы
. 1.а)
k
i
2 2
+
; б)
c
a
×
2
. 2.
6 2
. 3. 24. 4.
21 17 5
sin
=
ϕ
5. а) (6;-
4;-6); б) (18;-12;-18). 6.
390
. 7. 1,5 2 .
2.8. Смешанное произведение векторов и его свойства
Определение
. Смешанным или векторно-скалярным произведением трех векторов (обозначается
c
b
a
) называется произведение вида
( )
c
b
a
⋅
×
Пусть заданы векторы
k
a
j
a
i
a
a
z
y
x
+
+
=
,
k
b
j
b
i
b
b
z
y
x
+
+
=
и
k
c
j
c
i
c
c
z
y
x
+
+
=
Векторное произведение векторов
a
и
b
– это вектор, равный
k
b
b
a
a
j
b
b
a
a
i
b
b
a
a
b
b
b
a
a
a
k
j
i
b
a
y
x
y
x
z
x
z
x
z
y
z
y
z
y
x
z
y
x
−
−
=
=
×
,

86 вектор
k
c
j
c
i
c
c
z
y
x
+
+
=
, тогда скалярное произведение векторов
( )
c
b
a
и
×
, согласно формуле (2.18) имеет вид
( )
z
y
x
z
y
x
z
y
x
z
y
x
y
x
y
z
x
z
x
x
z
y
z
y
c
c
c
b
b
b
a
a
a
c
b
b
a
a
c
b
b
a
a
c
b
b
a
a
c
b
a
=
⋅
+
⋅
−
⋅
=
⋅
×
или
z
y
x
z
y
x
z
y
x
c
c
c
b
b
b
a
a
a
c
b
a
=
(2.21)
Свойства
смешанного произведения
1. Смешанное произведение не меняется при циклической переста- новке его сомножителей, то есть
( ) ( ) ( )
b
a
c
a
c
b
c
b
a
⋅
×
=
⋅
×
=
⋅
×
2. Смешанное произведение меняет свой знак при перемене мест лю- бых двух векторов – сомножителей, то есть
b
c
a
c
b
a
−
=
,
c
a
b
c
b
a
−
=
,
a
b
c
c
b
a
−
=
3. Смешанное произведение ненулевых векторов
a
,
b
и
c
равно ну- лю тогда и только тогда, когда они компланарны, то есть
0 0
=
⇔
=
z
y
x
z
y
x
z
y
x
c
c
c
b
b
b
a
a
a
c
b
a
(2.22) векторы
a
,
b
,
c
компланарны (
0
,
0
,
0
≠
≠
≠
c
b
a
).
4. Смешанное произведение трех векторов с точностью до знака равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах как на ребрах.
Можно записать:
c
b
a
V
=
(2.23)
Объем тетраэдра (треугольной пирамиды), построенного на векторах
a
,
b
,
c
равен
6 1
c
b
a
V
тетр
=
(2.24)

87