Алгебра_геометрия_Шуман_Голодная_Волгина_УП. Учебное пособие Владивосток Издательство вгуэс 2017 2 удк 512514 ббк 22. 1422. 151 А45

• Название: Учебное пособие Владивосток Издательство вгуэс 2017 2 удк 512514 ббк 22. 1422. 151 А45
• Дата: 13.09.2022
• Размер: 0.96 Mb.
• Имя файла: Алгебра_геометрия_Шуман_Голодная_Волгина_УП.pdf
• Тип: Учебное пособие; #675045
• страница: 7 из 12

Пример
39. Решить систему уравнений



=
−
+
=
−
+
0 3
9 2
,
0 2
3 2
1 3
2 1
x
x
x
x
x
x
Решение
. Составим основную матрицу системы






−
−
=
3 9
2 1
2 1
A
Элементы первой строки умножим на (-2) и прибавим к элементам второй строки.






−
−
=
3 9
2 1
2 1
A







−
−
1 5
0 1
2 1
Получили матрицу ступенчатого вида, в которой две ненулевые стро- ки, поэтому ранг матрицы
A
, а значит и расширенной матрицы
∗
A
равен
2, то есть
2
)
(
)
(
*
=
=
A
r
A
r
Число неизвестных в системе уравнений равно 3, rпоэтому данная система имеет ненулевые решения.
Для составления системы, равносильной данной, воспользуемся пре- образованной матрицей



=
−
=
−
+
0 5
,
0 2
3 2
3 2
1
x
x
x
x
x
Из второго уравнения выразим
2
x
через
3
x
, при этом
3
x
будет явля- ется свободной переменной:
3 2
5 1
x
x
=
Полученную правую часть равенства подставим в первое уравнение и выразим
1
x
через
3
x
:
5 3
,
5 1
2 3
1 3
3 1
x
x
x
x
x
=
⋅
−
=
Пусть
C
x
=
3
, тогда общее решение системы можно записать в виде матрицы-столбца
5 1
5 3
)
(
















=
=
C
C
C
C
X
X
(1.27)

55
Пример
40. Решить систему уравнений





=
+
+
=
+
+
=
+
+
0 2
4 3
,
0 3
5 2
,
0 2
3 3
2 1
3 2
1 3
2 1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Решение
. Выпишем основную матрицу системы










=
2 4
3 3
5 2
1 2
3
A
Элементы первой строки умножим на (-2) и прибавим к соответст- вующим элементам второй строки умноженным на 3:










=
2 4
3 3
5 2
1 2
3
A











2 4
3 7
11 0
1 2
3
Элементы первой строки умножим на (-1) и прибавим к элементам третьей строки










=
2 4
3 3
5 2
1 2
3
A











2 4
3 7
11 0
1 2
3











1 2
0 7
11 0
1 2
3
Элементы второй строки умножим на (-2), элементы третьей строки на 11 и полученные строки сложим










=
2 4
3 3
5 2
1 2
3
A











2 4
3 7
11 0
1 2
3











1 2
0 7
11 0
1 2
3











−
3 0
0 1
2 0
1 2
3
Получили три ненулевые строки, значит ранг матрицы
A
равен 3, число неизвестных в системе уравнений тоже равно 3, то есть
n
A
r
=
)
(
, значит данная система уравнений имеет единственное решение – нулевое, то есть
0 3
2 1
=
=
=
x
x
x

56
Пример
41. Решить систему уравнений







=
−
+
+
=
+
−
+
=
−
+
+
=
−
+
+
0 19 24 8
3
,
0 3
2 5
4
,
0 4
6 5
3
,
0 3
4 2
4 3
2 1
4 3
2 1
4 3
2 1
4 3
2 1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Решение
. Выпишем основную матрицу системы














−
−
−
=
19 24 8
3 3
2 5
4 4
6 5
3 3
4 2
1
A
и найдем ранг этой матрицы.
Элементы первой строки умножим на (-3) и прибавим к элементам второй и четвертой строк, затем элементы первой строки умножим на (-4) и прибавим к третьей строке:
A















−
−
−
−
−
−
10 12 2
0 15 18 3
0 5
6 1
0 3
4 2
1
Элементы второй строки умножим на
( )
3
−
и прибавим к элементам третьей строки, затем элементы второй строки умножим на
2
и прибавим к элементам четвертой строки:
A















−
−
−
0 0
0 0
0 0
0 0
5 6
1 0
3 4
2 1
В преобразованной матрице ступенчатого вида получилось две нену- левые строки, поэтому ранг матрицы
A
равен двум, то есть
2
)
(
=
A
r
, а число неизвестных в системе уравнений равно 4 (
4
=
n
). Получили, что
n
r
<
, поэтому данная система уравнений имеет ненулевые решения. Уко- роченная система имеет вид:



=
+
−
−
=
−
+
+
0 5
6
,
0 3
4 2
4 3
2 4
3 2
1
x
x
x
x
x
x
x

57
Выразим
1
x
и
2
x
через
3
x
и
4
x
:



−
=
−
=
+
;
6 5
,
4 3
2 3
4 2
3 4
2 1
x
x
x
x
x
x
x



−
=
−
−
−
=
;
6 5
),
6 5
(
2 4
3 3
4 2
3 4
3 4
1
x
x
x
x
x
x
x
x
или



−
=
−
=
6 5
,
7 8
3 4
2 4
3 1
x
x
x
x
x
x
Неизвестные
1
x
и
2
x
– базисные, а
3
x
и
4
x
– свободные. Полагая
2 4
1 3
,
c
x
c
x
=
=
, получим общее решение системы, записанное в виде мат- рицы-столбца (1.27)
6 5
7 8
)
;
(
2 1
1 2
2 1
2 1














−
−
=
=
c
c
c
c
c
c
c
c
X
X
(1.28)
Назовем фундаментальной системой решений систему матриц- столбцов, полученную из общего решения при условии, что свободным неизвестным дают последовательно значения
1
,
0
,
0
,
1
,
0
,
0
,
1 1
2 1
3 2
1 3
2 1
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
−
n
n
n
n
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
Матрицы-столбцы, то есть фундаментальную систему решений обо- значают
n
E
E
E
,...,
,
2 1
. Общее решение будет представлено в виде
2 2
1 1
n
n
E
c
E
c
E
c
X
+
+
+
=
(1.29)
В примере 41 найдем фундаментальную систему решений и выразим с ее помощью общее решение этой системы.
Из общего решения (1.28) системы найдем
2 1
E
и
E
:














−
=
=
0 1
6 8
)
0
;
1
(
1
X
E
,














−
=
=
1 0
5 7
)
1
;
0
(
2
X
E
(1.30)
С использованием фундаментальной системы (1.30) общее решение
(1.28) может быть записано в виде (1.29)
)
;
(
2 2
1 1
2 1
E
c
E
c
c
c
X
+
=

58
1.3.7. Задания для самостоятельного решения
1.
Исследовать совместность следующих систем: а)





=
−
−
−
=
+
+
−
=
+
−
;
3 2
3
,
1 3
2
,
2 2
3 2
1 3
2 1
3 2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
б)





−
=
−
−
−
=
−
+
=
−
+
;
2
,
1 5
2
,
1 4
2 3
2 1
3 2
1 3
2 1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
в)





=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
;
2 7
4 9
,
4 2
2 5
3
,
6 3
7 2
4 3
2 1
4 3
2 1
4 3
2 1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
г)





=
−
−
+
=
+
+
−
=
+
+
−
;
3 6
4 7
5
,
5 3
4 7
,
2 4
2 5
3 4
3 2
1 4
3 2
1 4
3 2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
д)







=
+
−
−
−
=
−
+
−
=
+
+
−
=
+
−
−
;
22 9
4
,
3 4
2
,
3 5
3 2
,
3 5
2 3
4 3
2 1
4 2
1 4
3 2
1 4
3 2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
е)







−
=
+
+
+
=
+
+
+
=
−
−
−
=
−
−
+
7 8
3 2
3
,
6 2
9x
3 2
,
2 4
6 3
,
6 6
4 3
2 1
4 3
2 1
4 3
2 1
4 3
2 1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2.
Решить системы уравнений матричным методом: а)





=
−
+
=
+
−
=
+
+
;
8 7
2
,
1 3
5 3
,
4 2
3 2
1 3
2 1
3 2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
б)





−
=
+
−
−
=
−
+
−
=
+
+
;
13 3
2 4
,
2
,
4 2
3 3
2 1
3 2
1 3
2 1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
в)





=
−
+
=
−
−
=
−
+
;
13 2
6 5
,
9 3
3 4
,
2 3
2 1
3 2
1 3
2 1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
г)





=
−
+
=
−
+
=
+
−
;
13 2
6 5
,
11 3
5 2
,
8 2
3 4
3 2
1 3
2 1
3 2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
д)





=
−
−
=
−
+
=
+
−
;
6 5
2 3
,
20 4
3 2
,
6 3
2 3
2 1
3 2
1 3
2 1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
е)





−
=
+
−
−
=
−
+
=
−
+
3 3
4
,
2 6
3 8
,
1 3
2 1
3 2
1 3
2 1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3.
Решить системы уравнений по формулам Крамера: а)



=
−
=
−
;
81 7
2
,
13 5
3 2
1 2
1
x
x
x
x
б)





=
+
−
=
+
−
=
+
+
;
36 5
11 10
,
15 2
3 5
,
15 3
2 7
3 2
1 3
2 1
3 2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
в)





=
−
=
+
=
+
;
0 3
5
,
16 3
,
5 2
3 2
3 1
2 1
x
x
x
x
x
x
г)





=
+
+
=
−
+
=
−
+
;
16 2
5
,
16 7
3 2
,
6 2
3 2
1 3
2 1
3 2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x

59 д)





−
=
−
+
−
=
+
−
=
+
+
;
5 2
,
7 6
2 3
,
2 8
5 3
2 1
3 2
1 3
2 1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
е)





−
=
−
−
=
+
+
−
=
+
−
5 4
,
1 2
4
,
7 3
2 2
1 3
2 1
3 2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
4. Исследуйте системы и в случае совместности решите их методом
Гаусса или Жордана-Гаусса: а)



=
+
−
=
+
+
;
5 2
3
,
3 4
3 6
3 2
1 3
2 1
x
x
x
x
x
x
б)





=
−
−
=
+
−
=
−
−
;
0 2
7 7
,
1 4
3
,
5 3
2 3
3 2
1 3
2 1
3 2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
в)





=
+
−
=
−
+
=
+
+
;
3 5
4
,
0
,
5 2
3 3
2 1
3 2
1 3
2 1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
г)





=
+
+
=
+
−
−
=
+
−
;
6
,
2 2
,
2 3
3 2
3 2
1 3
2 1
3 2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
д)





=
+
+
−
=
+
−
=
−
+
;
2
,
4
,
0 3
2 1
3 2
1 3
2 1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
е)





=
+
+
=
+
−
=
+
−
;
6
,
5 7
2
,
3 3
3 2
3 2
1 3
2 1
3 2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
ж)







=
−
+
=
−
+
=
+
+
−
=
−
+
;
1 8
3
,
0 7
2
,
9 4
2
,
3 3
2 3
3 2
1 3
2 1
3 2
1 3
2 1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
з)







−
=
−
−
−
−
=
−
−
−
−
=
−
−
−
=
+
+
−
;
7 5
7 4
7
,
4 2
4 3
5
,
1 2
3
,
2 2
2 4
3 2
1 4
3 2
1 4
3 2
1 4
3 2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
и)







=
+
−
+
=
−
+
−
=
−
−
+
=
−
+
−
;
2
,
1 2
2 2
3
,
0 3
,
1 2
4 3
2 1
4 3
2 1
4 3
2 1
4 3
2 1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
к)







=
+
−
+
=
+
+
+
=
−
+
−
=
+
−
+
7 2
3
,
6
,
0
,
3 2
4 3
2 1
4 3
2 1
4 3
2 1
4 3
2 1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
л)







=
−
+
−
=
−
+
+
=
+
−
=
+
−
+
;
5 2
8 3
,
7 2
3
,
3 2
7
,
2 3
2 4
3 2
1 4
3 2
1 4
2 1
4 3
2 1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
м)







=
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
−
+
−
+
;
8 5
7 4
9 5
,
1 3
5 7
4
,
3 2
2 3
2
,
0 5
3 2
5 4
3 2
1 5
4 3
2 1
5 4
3 2
1 5
4 3
2 1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
н)








=
+
−
=
+
−
=
+
−
−
=
−
−
−
=
−
+
;
5 2
7 17 4
9 8
,
10 3
4 3
,
3 2
2
,
5 3
4 3
2 1
3 2
1 3
2 1
3 2
1 3
2 1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
о)








=
−
+
+
−
−
=
+
−
+
+
=
−
−
+
−
=
+
−
+
+
−
=
+
−
+
+
3 4
,
1 2
2 3
,
3 2
,
0 5
6 5
2
,
1 2
5 4
3 2
1 5
4 3
2 1
5 4
3 2
1 5
4 3
2 1
5 4
3 2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x

60 5. Найти фундаментальную систему решений и общее решение сле- дующих систем: а)





=
+
+
=
+
+
=
+
+
;
0 2
3 4
,
0 3
4 5
,
0 2
3 3
2 1
3 2
1 3
2 1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
б)





=
−
+
=
+
−
=
+
+
;
0 5
5
,
0
,
0 3
2 3
2 1
3 2
1 3
2 1
x
x
x
x
x
x
x
x
в)





=
+
+
=
+
+
=
+
+
;
0 2
4 3
,
0 3
5 2
,
0 2
3 3
2 1
3 2
1 3
2 1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
г)





=
−
+
+
=
−
−
−
=
−
+
−
;
0 2
,
0 8
4 5
,
0 3
2 4
3 2
1 4
3 2
1 4
3 2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
д)





=
+
−
+
=
−
−
=
−
−
+
;
0 3
2
,
0 5
,
0 4
3 2
1 4
3 1
4 3
2 1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
е)







=
+
+
+
=
+
−
+
=
+
−
+
=
+
+
+
0 4
7 5
,
0 2
3
,
0 5
5 7
,
0 3
4 3
2 1
4 3
2 1
4 3
2 1
4 3
2 1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x