Алгебра_геометрия_Шуман_Голодная_Волгина_УП. Учебное пособие Владивосток Издательство вгуэс 2017 2 удк 512514 ббк 22. 1422. 151 А45
 Скачать 0.96 Mb.
|
. Произведением матрицы ( ) ij n m a A = × на матрицу ( ) jk p n b B = × называется матрица ( ) ik p m c C = × такая, что nk in k i k i ik b a b a b a c ⋅ + + ⋅ + ⋅ = 2 2 1 1 , (1.12) где m i , 1 = , p k , 1 = Формулу (1.12) для нахождения элемента ik c полезно помнить в виде правила: в матрице A выделяем i -ю строку, в матрице B выделяем k -й стол- бец. = mn m m in i i n a a a a a a a a a A 2 1 2 1 1 12 11 = np nk n n p k p k b b b b b b b b b b b b B 2 1 2 2 22 21 1 1 12 11 Тогда для того, чтобы получить элемент ik c матрицы C , располо- женный на пересечении i-й строки и k-го столбца, надо каждый элемент i-й строки матрицы A умножить на соответствующий элемент k-го столбца матрицы B и все полученные произведения сложить. Если матрицы A и B квадратные одного размера, то произведения AB и BA всегда существуют. 21 Пример 16. Найти произведение матриц A и B , если − = − = 2 3 5 7 4 1 , 3 1 0 2 B A Решение . Для получения первой строки новой матрицы фиксируем в матрице A первую строку (2 0), а в матрице B выделяем поочередно пер- вый, второй и третий столбцы: − 2 7 , 3 4 , 5 1 Элемент 11 c находим как сумму произведений элементов первой строки матрицы A на соответствующие элементы первого столбца матри- цы B по правилу: «произведение первого элемента строки на первый эле- мент столбца плюс произведение второго элемента строки на второй эле- мент столбца». Пользуясь этим правилом, находим: , 2 5 0 1 2 5 1 0) 2 ( 11 = ⋅ + ⋅ = ⋅ = c ( ) , 8 ) 3 ( 0 4 2 3 4 0 2 12 = − ⋅ + ⋅ = − = c ( ) 14 2 0 7 2 2 7 0 2 13 = ⋅ + ⋅ = = c Для вычисления элементов 21 c , 22 c , 23 c фиксируем вторую строку матрицы A (-1 3) и умножаем её поочередно на первый, второй и третий столбцы матрицы B : ( ) ( ) 1 6 7 2 3 7 ) 1 ( 2 7 3 1 - , 13 9 4 ) 3 ( 3 4 ) 1 ( 3 4 3 1 , 14 15 1 5 3 1 ) 1 ( 5 1 3) 1 ( 23 22 21 − = + − = ⋅ + ⋅ − = = − = − − = − ⋅ + ⋅ − = − − = = + − = ⋅ + ⋅ − = ⋅ − = c c c 1 13 14 14 8 2 2 3 7 ) 1 ( ) 3 ( 3 4 ) 1 ( 5 3 1 ) 1 ( 2 0 7 2 ) 3 ( 0 4 2 5 0 1 2 2 3 5 7 4 1 3 1 0 2 − − = ⋅ + ⋅ − − ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = = − − = = AB C Пример 17. Даны матрицы 2 1 3 1 , 0 1 3 1 2 1 2 2 3 2 = = × × B A Найти AB и BA Решение . Произведение AB не определено, так как число столбцов матрицы A (3)не совпадает с числом строк матрицы B (2). Произведе- 22 ние BA определено, так как число столбцов матрицы B (2) совпадает с числом строк матрицы A (2). Используя правило, рассмотренное в предыдущем примере, найдем произведение BA : 1 4 7 1 5 10 0 2 1 1 1 2 2 1 3 2 1 1 0 3 1 1 1 3 2 1 3 3 1 1 0 1 3 1 2 1 2 1 3 1 = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = = ⋅ A B Матрицы A и B называются перестановочными, если BA AB = . Умножение матриц обладает следующими свойствами: C; B) (A C) (B . A ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ 1 ( ) AC; AB C B . A + = + 2 ( ) BC; AC C B A . + = ⋅ + 3 ; B A B A AB . ) ( ) ( ) ( 4 α α α = = , det det ) det( 5 B A AB ⋅ = если указанные суммы и произведения мат- риц имеют смысл. 6. Если A квадратная матрица n-го порядка, Е-единичная матрица то- го же порядка, то A EA AE = = 7. Для операции транспонирования верны следующие равенства: ) ( , ) ( T T T T T T A B AB B A B A ⋅ = + = + Пример 18. Даны матрицы 2 3 0 1 , 4 5 3 2 − = = B A Проверить справедливость равенства 5. Решение . Найдем произведение AB : , 8 7 6 7 2 4 0 5 3 4 ) 1 ( 5 2 3 0 2 3 3 ) 1 ( 2 2 3 0 1 4 5 3 2 = ⋅ + ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + − ⋅ = − = ⋅ B A , 2 0 3 2 ) 1 ( 2 3 0 1 det , 7 15 8 3 5 4 2 4 5 3 2 det 14 42 56 6 7 8 7 8 7 6 7 ) det( − = ⋅ − ⋅ − = − = − = − = ⋅ − ⋅ = = = − = ⋅ − ⋅ = = B A AB 14 ) 2 )( 7 ( det det = − − = ⋅ B A Таким образом, 14 det det ) det( = ⋅ = B A AB 23 Пример 19. Даны матрицы 1 1 0 1 , 0 0 1 1 = = B A Показать, что ) ( T T T A B AB ⋅ = Решение . Найдем произведение матриц АВ: 0 0 1 2 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = = ⋅ B A 0 1 0 2 ) ( = T AB 0 1 0 1 , 1 0 1 1 = = T T A B Найдем 0 1 0 2 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = = ⋅ T T A B Получим 0 1 0 2 ) ( = ⋅ = T T T A B AB Пример 20. Даны две матрицы 3 5 0 , 1 2 3 1 1 1 1 3 3 2 = − = × × B A Найти АВ. Решение 13 2 3 1 5 2 0 3 3 1 5 1 0 1 3 5 0 1 2 3 1 1 1 1 2 × = ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ = − = ⋅ B A Пример 21. Найти значение матричного многочлена , 5 3 2 2 E A A − + если = 1 1 4 1 3 1 1 2 1 A , Е – единичная матрица третьего порядка. Решение . A A A ⋅ = 2 . Найдем 2 A : = ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ = = 1 1 1 1 1 4 1 1 3 1 2 4 4 1 1 1 1 4 1 1 1 3 1 1 1 1 3 3 2 1 4 1 1 3 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 3 2 2 1 4 1 1 2 1 1 1 1 4 1 3 1 1 2 1 1 1 4 1 3 1 1 2 1 2 A = 6 12 9 5 12 8 4 9 7 , 24 , 12 24 18 10 24 16 8 18 14 6 12 9 5 12 8 4 9 7 2 2 2 = ⋅ = ⋅ A , 5 0 0 0 5 0 0 0 5 1 0 0 0 1 0 0 0 1 5 5 , 3 3 12 3 9 3 3 6 3 1 1 4 1 3 1 1 2 1 3 3 = ⋅ = ⋅ = = E A , 10 27 30 13 33 19 11 24 17 3 3 12 3 9 3 3 6 3 12 24 18 10 24 16 8 18 14 3 2 2 = + = + A A 10 27 30 13 28 19 11 24 12 5 0 0 0 5 0 0 0 5 15 27 30 13 33 19 11 24 17 5 3 2 2 = − = − + E A A Пример 22. Найти произведение матриц C B A ⋅ ⋅ , если оно определе- но, где ( ) 8 1 2 3 , 7 1 6 , 0 5 1 4 3 2 − = = − = C B A Решение . Рассмотрим матрицы A и В. Размер матрицы A 3 2 × , раз- мер матрицы B 1 3 × . Так как число столбцов матрицы A (3) равно числу строк матрицы B (3), то произведение B A ⋅ определено, в результате по- лучим матрицу размера 1 2 × Число столбцов матрицы B A ⋅ (1) совпадает с числом строк матрицы C (1), таким образом, произведение C B A ⋅ ⋅ определено, получаемая мат- рица будет размера 4 2 × Найдем произведение B A ⋅ : 1 43 7 0 1 5 6 1 7 4 1 3 6 2 7 1 6 0 5 1 4 3 2 1 2 × − = ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ = − = ⋅ B A Найдем произведение C B A ⋅ ⋅ : ( ) 8 1 2 3 344 43 86 129 8 ) 1 ( 1 ) 1 ( ) 2 ( ) 1 ( 3 ) 1 ( 8 43 1 43 ) 2 ( 43 3 43 8 1 2 3 1 43 4 2 × − − − − = = ⋅ − ⋅ − − ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = − − = ⋅ ⋅ C B A 25 1.2.3. Обратная матрица Пусть А-квадратная матрица n-го порядка = nn n n n n a a a a a a a a a A 2 1 2 22 21 1 12 11 Определение . Матрица , 2 1 2 22 12 1 21 11 = nn n n n n A A A A A A A A A A составленная из алгебраических дополнений к элементам матрицы А, называется присоединенной к матрице А. Алгебраические дополнения к элементам квадратной матрицы находятся так же, как к элементам ее определителя. В присоединенной матрице алгеб- раические дополнения элементов строки стоят в столбце с таким же номером. Пример 23. Дана матрица 6 8 5 4 1 3 1 0 2 − = A Найти матрицу, присоединенную к матрице А. Решение . Найдем алгебраические дополнения к элементам матрицы А по формуле (1.4): , 38 32 6 4 8 6 ) 1 ( 6 8 4 1 ) 1 ( 1 1 11 − = − − = ⋅ − ⋅ − = − ⋅ − = + A , 2 ) 20 48 ( ) 4 5 6 3 ( 6 5 4 3 ) 1 ( 2 1 12 = − − = ⋅ − ⋅ − = ⋅ − = + A , 29 5 24 )) 1 ( 5 8 3 ( 8 5 1 3 ) 1 ( 3 1 13 = + = − ⋅ − ⋅ = − ⋅ − = + A , 8 ) 1 8 6 0 ( 6 8 1 0 ) 1 ( 1 2 21 = ⋅ − ⋅ − = ⋅ − = + A , 7 5 12 1 5 6 2 6 5 1 2 ) 1 ( 2 2 22 = − = ⋅ − ⋅ = ⋅ − = + A 26 , 16 ) 0 5 8 2 ( 8 5 0 2 ) 1 ( 3 2 23 − = ⋅ − ⋅ − = ⋅ − = + A , 1 1 ) 1 ( 4 0 4 1 1 0 ) 1 ( 1 3 31 = ⋅ − − ⋅ = − ⋅ − = + A , 5 ) 3 8 ( ) 1 3 4 2 ( 4 3 1 2 ) 1 ( 2 3 32 − = − − = ⋅ − ⋅ − = ⋅ − = + A 2 0 3 ) 1 ( 2 1 3 0 2 ) 1 ( 3 3 33 − = ⋅ − − ⋅ = − ⋅ − = + A Составим матрицу A , присоединенную к матрице А − − − − = 2 16 29 5 7 2 1 8 38 A Определение . Матрица 1 − A называется обратной матрице А, если выполняется условие E A A A A = ⋅ = ⋅ − − 1 1 , (1.14) где E – единичная матрица того же порядка, что и матрица A . Матрица 1 − A имеет те же размеры, что и матрица A . Теорема . Для того чтобы матрица A имела обратную матрицу, необ- ходимо и достаточно, чтобы , 0 det ≠ A то есть чтобы матрица была невы- рожденной. Обратная матрица находится по формуле: ⋅ = − 33 23 13 32 22 12 31 21 11 1 det 1 A A A A A A A A A A A (1.15) для матрицы А третьего порядка. Свойства обратной матрицы: 1. ; det 1 ) det( 1 A A = − 2. ; ) ( 1 1 1 − − − ⋅ = ⋅ A B B A 3. ) ( ) ( 1 1 − = T T A A |