Алгебра_геометрия_Шуман_Голодная_Волгина_УП. Учебное пособие Владивосток Издательство вгуэс 2017 2 удк 512514 ббк 22. 1422. 151 А45
 Скачать 0.96 Mb.
|
|
1.1.4. Определители четвертого порядка. Методы их вычисления Определение . Выражение 43 42 41 33 32 31 23 22 21 14 44 42 41 34 32 31 24 22 21 13 44 43 41 34 33 31 24 23 21 12 44 43 42 34 33 32 24 23 22 11 44 43 42 41 34 33 32 31 24 23 22 21 14 13 12 11 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⋅ − ⋅ + + ⋅ − ⋅ = = ∆ называется определителем четвертого порядка. Этот определитель можно записать в виде: 14 14 13 13 12 12 11 11 A a A a A a A a ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ∆ , (1.6) где ij ij j i ij M j i M A , 4 , 3 , 2 , 1 , 4 , 3 , 2 , 1 , ) 1 ( = = ⋅ − = + – минор элемента, стоя- щего на пересечении i-ой строки и j-го столбца, ij A – алгебраическое до- полнение этого элемента. 12 Формулу (1.6) можно записать с помощью значка суммирования ∑ : ∑ = ⋅ = ∆ 4 1 j ij ij A a , (1.7) где i=1,2,3,4. Формула (1.7) называется разложением определителя по элементам i- ой строки. Можно записать и разложение определителя по элементам j-го столбца: , 4 1 ∑ = ⋅ = ∆ i ij ij A a (1.8) где j=1,2,3,4. Метод понижения порядка определителя основан на обращении всех, кроме одного, элементов строки или столбца определителя в нуль с помо- щью свойств определителей. Пример 11. Вычислить определитель 2 4 6 1 7 5 9 2 4 3 7 1 2 2 5 1 − − − − − = ∆ Решение . Прибавим элементы первой строки к элементам второй строки: 2 4 6 1 7 5 9 2 6 1 2 0 2 2 5 1 − − − − = ∆ Элементы первой строки умножим на (-2) и прибавим к элементам третьей строки: 2 4 6 1 3 1 1 0 6 1 2 0 2 2 5 1 − − − = ∆ Элементы первой строки умножим на (-1) и прибавим к элементам четвертой строки: 13 0 2 1 0 3 1 1 0 6 1 2 0 2 2 5 1 − − − = ∆ Разложим полученный определитель по элементам первого столбца 0 2 2 3 1 1 6 1 2 3 1 1 6 1 2 2 2 5 0 0 2 1 6 1 2 2 2 5 0 0 2 1 3 1 1 2 2 5 0 0 2 1 3 1 1 6 1 2 1 − − = = − − ⋅ − − − − ⋅ + − − ⋅ − − − ⋅ = ∆ Переставим первые две строки, при этом знак определителя изменит- ся на противоположный, одновременно вынесем общий множитель 3 эле- ментов третьего столбца за знак определителя: 0 2 1 2 1 2 1 1 1 3 − − ⋅ − = ∆ Умножим элементы первой строки на (-2) и прибавим к элементам второй строки: 0 2 1 0 3 0 1 1 1 3 − − ⋅ − = ∆ Полученный определитель разложим по элементам второй строки ( ) 9 ) 1 0 ( 9 1 ) 1 ( 0 1 9 0 1 1 1 ) 3 ( 3 2 1 1 1 0 0 1 1 1 ) 3 ( 0 2 1 1 0 3 = + = ⋅ − − ⋅ ⋅ = = − − ⋅ − = − − − − + ⋅ − − = ∆ Пример__12.'>Пример 12. Вычислить определитель 2 1 3 2 3 2 3 3 0 2 1 1 3 0 1 2 = ∆ 14 Решение . Поменяем местами первую и вторую строки, при этом по свойству 2 знак определителя изменится на противоположный: 2 1 3 2 3 2 3 3 3 0 1 2 0 2 1 1 − = ∆ Сначала элементы первой строки умножим на (-2) и прибавим к эле- ментам второй и четвертой строк, а затем элементы первой строки умно- жим на (-3) и прибавим к элементам третьей строки, получим: 2 0 1 0 3 4 0 0 3 4 1 0 0 2 1 1 − − − − = ∆ Элементы второй строки прибавим к элементам четвертой строки: 5 4 0 0 3 4 0 0 3 4 1 0 0 2 1 1 − − − − − = ∆ Элементы третьей строки умножим на (-1) и прибавим к элементам четвертой строки: 2 0 0 0 3 4 0 0 3 4 1 0 0 2 1 1 − − − − = ∆ Получим определитель треугольного вида, значение которого равно произведению элементов главной диагонали 8 2 ) 4 ( ) 1 ( 1 − = ⋅ − ⋅ − ⋅ − = ∆ Пример 13. Вычислить определитель 10 3 5 4 21 16 11 5 13 10 7 3 5 4 3 2 = ∆ 15 Решение . Разложим определитель по элементам третьей строки 3 5 4 10 7 3 4 3 2 21 10 5 4 13 7 3 5 3 2 16 10 3 4 13 10 3 5 4 2 11 10 3 5 13 10 7 5 4 3 5 3 5 4 10 7 3 4 3 2 ) 1 ( 21 10 5 4 13 7 3 5 3 2 ) 1 ( 16 10 3 4 13 10 3 5 4 2 ) 1 ( 11 10 3 5 13 10 7 5 4 3 ) 1 ( 5 4 3 3 3 2 3 1 3 ⋅ − ⋅ + ⋅ − − ⋅ = ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ + + ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ = ∆ + + + + Полученные определители третьего порядка вычислим по правилу треугольника 18 357 176 605 90 ) 17 ( 21 11 16 55 11 18 5 ) 27 100 112 120 60 42 ( 21 ) 90 130 140 156 75 140 ( 16 ) 120 78 200 208 45 200 ( 11 ) 117 280 250 260 105 300 ( 5 ) 3 3 3 2 10 5 4 7 4 4 10 3 4 5 3 3 7 2 ( 21 ) 10 3 3 2 13 5 5 7 4 4 13 3 5 5 3 10 7 2 ( 16 ) 10 4 3 2 13 3 5 10 4 4 13 4 5 3 3 10 10 2 ( 11 ) 3 13 3 10 4 7 5 10 5 5 13 4 5 3 7 10 10 3 ( 5 = + + + − = − ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ = − − − − + + − − − − + + + − − − − + + − − − − + + = = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = ∆ 1.4.5. Задания для самостоятельного решения 1.Вычислить определители: ; 4 3 5 2 ) − − a ; 1 3 7 5 ) − б ; 10 5 8 4 ) − − в ; 10 5 6 3 ) г 9 3 4 2 ) − д 2. Решить уравнения: ; 0 4 1 3 2 ) = + x a ; 0 22 3 4 1 ) = + x x б ; 0 2 2 1 4 ) 2 = + − − − x x x в 0 cos 1 1 sin 4 ) = x x г 16 3. Решить неравенства: ; 0 1 2 3 3 ) > − x x a ; 0 2 5 1 ) < + x x б ; 5 2 7 1 2 2 ) ≥ − x x в 14 2 4 3 ) ≤ x x x г 4. Вычислить определители: ; 1 4 5 1 2 1 3 1 2 ) − − − a ; 2 8 8 2 3 2 1 2 4 ) − − − б ; 1 6 0 0 3 1 3 0 3 ) − − − в ; 2 4 1 6 3 0 5 2 3 ) − − г ; 2 4 1 3 5 2 1 2 3 ) д ; 6 3 1 3 2 1 1 1 1 ) е ; 1 2 3 2 3 5 1 2 4 ) − − − ж ; 2 3 7 0 5 0 1 2 2 ) − з ; 5 0 0 0 8 1 0 0 5 9 3 0 4 7 1 2 ) − − − − и ; 5 0 3 2 0 1 2 6 2 1 1 2 4 3 3 2 ) − − − к ; 1 6 1 3 3 2 1 3 1 2 1 0 0 1 1 2 ) − − − л ; 3 8 8 4 7 3 5 7 2 5 7 9 4 8 5 6 ) − м 4 3 3 5 3 7 2 7 9 4 9 8 6 2 3 7 ) − − − н Ответы : 1. а)7; б)26; в)0; г)0; д)30. 2. а)5; б)2; в)2; г) , 2 12 ) 1 ( z n n n ∈ + ⋅ − π π 3. а) ); ; 3 ( +∞ б) ( ) ; ; 10 +∞ − в) ]; 3 ; ( − −∞ г)[-1;7]. 4. а)-24; б) -40; в)-9; г)-87; д)-5; е)1; ж)1; з)55; и)30; к)48; л)0; м)-1004; н)150. 1.2. Матрицы 1.2.1 Основные понятия Определение . Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаковой длины и n столбцов одинаковой длины, которая записывается в виде = mn m m n n a a a a a a a a a A 2 1 2 22 21 1 12 11 (1.9) 17 или, сокращенно, ) ( ij a A = , где m i , 1 = , (т.е. m i ,..., 2 , 1 = ) – номер строки, n j , 1 = (т.е. n j ,..., 2 , 1 = ) – номер столбца, числа ij a называются элемен- тами матрицы. Матрицу А называют матрицей размера n m × и пишут n m A × . Например, − = 8 0 1 6 7 5 2 3 A , 4 2 × A Определение . Две матрицы ) ( ij a A = и ) ( ij b B = равны между собой, если их размеры совпадают, а их соответствующие элементы равны, т.е. B A = , если ij ij b a = , где n j m i , 1 , , 1 = = Например. , 7 5 2 4 1 3 , , 7 5 2 4 1 3 3 2 3 2 × × − = − = B B A A Так как разме- ры матриц совпадают ) 3 2 ( × и соответствующие элементы равны, поэтому матрицы A и B равны, т.е. B A = Определение . Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной. Квадратную матрицу размера n n × называют мат- рицей n-го порядка. Например. , , 4 0 7 2 2 2 × = A A т.е. дана матрица второго порядка. Определение . Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называются диагональной. Матрица − = 7 0 0 0 1 0 0 0 3 A – диагональная. Определение . Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной. Обозначается буквой E = × 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 3 E или = × 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 4 4 E Определение . Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные над главной диагональю (или под главной диа- гональю), равны нулю. 18 − = × 8 0 0 5 3 0 7 2 1 3 3 A или − = × 0 5 8 0 1 3 0 0 4 3 3 A – треугольные матрицы. Важной характеристикой квадратной матрицы порядка n является ее определитель (или детерминант), который обозначается A det или A 1 det = E Определение . Квадратная матрица, у которой определитель отличен от нуля, т.е. 0 ≠ A , называется невырожденной. В противном случае мат- рица называется вырожденной. Например, 0 12 12 6 4 3 2 , 6 4 3 2 = − = = = A A Матрица А – вырожденная. 0 25 4 21 7 4 1 3 , 7 4 1 3 ≠ = + = − = − = B B Матрица В – невырожденная. Определение . Матрица, все элементы которой равны нулю, называет- ся нулевой и обозначается буквой О. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = O В матричном исчисление матрицы О и Е играют роль чисел 0 и 1 в арифметике. Определение . Матрица, содержащая одну строку, называется матри- цей-строкой ). ( 2 1 n a a a A = Матрица, содержащая один столбец, называется матрицей-столбцом 2 1 = m a a a A Матрица размера 1 1 × , состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом, т.е. 1 1 ) 3 ( × есть 3. 19 Определение . Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей транспонирован- ной к данной. Обозначается T A Если = 4 1 3 2 A , то = 4 3 1 2 T A , если ( ) 2 1 = A , то = 2 1 T A Транспонированная матрица обладает следующим свойством: ( ) A A T T = 1.2.2. Действия над матрицами Определение . Суммой двух матриц ( ) ij n m a A = × и ( ) ij n m b B = × одина- ковых размеров называется матрица того же размера ( ) ij n m c C = × такая, что : ij ij ij b a c + = ( ) , 1 , , 1 , n j m i b a B A С ij ij = = + = + = (1.10) Пример 14. Найти сумму матриц A и B , если 7 1 9 1 1 3 2 0 , 7 6 3 2 8 5 4 1 − − = = B A Решение . 14 7 12 1 9 2 6 1 7 7 1 6 9 3 1 2 1 8 3 5 2 4 0 1 = + + + − + − + + = + B A Для любых матриц B A , и C одинакового размера справедливы сле- дующие свойства: 1. ; A B B A + = + 2. ; ) ( ) ( ) ( B C A C B A C B A + + = + + = + + 3. 0 A A = + Определение . Произведением матрицы ( ) ij a A = на число α называ- ется матрица ( ) ij b B = такая, что : ij ij a b α = ( ) , 1 , , 1 , n j m i a A B ij = = ⋅ = ⋅ = α α (1.11) Пример 15. − − = 8 7 5 1 3 2 0 4 1 A , 2 = α . Найти A B ⋅ = α 20 Решение 16 14 10 2 6 4 0 8 2 8 7 5 1 3 2 0 4 1 2 − − = − − ⋅ = B Матрица A A ⋅ − = − ) 1 ( называется противоположной матрице A Для любых матриц A и B одинакового размера и любых действи- тельных чисел β α и справедливы следующие свойства: 1. ; 0 = − A A 2. ; 1 A A = ⋅ 3. ( ) ; B A B A α α α + = + ⋅ 4. ( ) ; B A A β α β α + = + 5. ( ) ( ) A A ⋅ ⋅ = β α β α Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. |