Алгебра_геометрия_Шуман_Голодная_Волгина_УП. Учебное пособие Владивосток Издательство вгуэс 2017 2 удк 512514 ббк 22. 1422. 151 А45
 Скачать 0.96 Mb.
|
|
2.9.2. Расстояние от точки до прямой Пусть прямая l задана уравнением 0 C By Ax = + + и точка ( ) 0 0 0 y ; x M , не принадлежащая прямой l. Обозначим через d расстояние от точки 0 M до прямой l. Тогда 2 2 0 0 B A C By Ax d + + + = (2.40) x y O l • 0 M d Пример 25. Дано каноническое уравнение прямой 3 3 y 2 4 x + = − − . На- писать: а) общее уравнение прямой; б)уравнение прямой в отрезках; в) уравнение прямой с угловым коэффициентом. Решение . а) Приведем данное уравнение к общему знаменателю ( ) ( ) 3 y 2 4 x 3 + − = − и преобразуем его к виду (2.26): 0 6 y 2 12 x 3 = + + − , 0 6 y 2 x 3 = − + – общее уравнение прямой. б) Полученное общее уравне- 96 ние преобразуем к виду (2.27): 6 y 2 x 3 = + , 1 6 y 2 6 x 3 = + или 1 3 y 2 x = + – уравнение прямой в отрезках. в) Разрешим полученное общее уравнение прямой относительно у, получим уравнение (2.32): 6 x 3 y 2 + − = , 3 x 2 3 y + − = . Здесь 2 3 k − = , . 3 b = Пример 26. Составить уравнение прямой, проходящей через точку ( ) 2 ; 1 A − параллельно вектору ( ) 2 ; 3 S Решение . Используя уравнение (2.28), получим: 2 2 y 3 1 x − = + Здесь вектор S является направляющим вектором. Пример 27. Составить уравнение прямой, проходящей через точку ( ) 3 ; 2 A и отсекающей на оси ординат отрезок 6 b = . Определить угол на- клона этой прямой к оси Ох. Решение . Воспользуемся уравнением прямой в отрезках (2.27): 1 b y a x = + . По условию 6 b = . Так как искомая прямая проходит через точ- ку ( ) 3 ; 2 A , то координаты этой точки удовлетворяют уравнению (2.27). Подставляя числовые данные в это уравнение, получим: 1 6 3 a 2 = + , 2 1 a 2 = , , 4 a = значит искомое уравнение прямой имеет вид 1 6 y 4 x = + . Для нахождения угла между полученной прямой и осью Ох, преобразуем это уравнение к виду (2.32): , 24 y 4 x 6 = + 24 x 6 y 4 + − = или 6 x 2 3 y + − = . Угловой коэффициент 2 3 k − = , но α tg k = , то есть 2 3 tg − = α . Поэтому − = 2 3 arctg α Пример 28. Найти прямую, проходящую через точку пересечения прямых 0 1 2 = + + y x , 0 2 2 = + + y x и образуют угол o 135 с осью Ох. Решение . Найдем координаты точки пересечения данных прямых: = + + = + + ; 0 2 2 , 0 1 2 y x y x = + + − − − − = ; 0 2 ) 2 1 ( 2 , 2 1 y y y x − = + − − − = ; 2 2 4 , 2 1 y y y x = − − − = ; 0 3 , 2 1 y y x = − = 0 1 y x 97 Значит точка пересечения данных прямых ( ) 0 ; 1 − A . Для составления уравнения искомой прямой воспользуемся уравнением (2.31). Здесь ( ) 0 0 y ; x – координаты точки А, o 135 tg k = , 1 − = k , поэтому уравнение прямой примет вид: ( ) 1 1 0 + − = − x y или 1 − − = x y Пример 29. Даны сторона параллелограмма 0 5 4 3 = + − y x , две вер- шины ( ) 3 ; 1 − A и ( ) 2 ; 1 C , а также o 45 BC , DC = ∧ . Составить уравнения ос- тальных сторон. x y 2 -3 0 C A Решение . Проверим, проходит ли данная прямая через указанные точки. Для этого подставим координаты точек А и С в уравнение прямой. ( ) 3 ; 1 − A : ( ) 20 5 12 3 5 3 4 1 3 = + + = + − ⋅ − ⋅ , 0 20 ≠ , значит, прямая 0 5 4 3 = + − y x не проходит через точку А. ( ) 2 ; 1 C : 0 5 8 3 5 2 4 1 3 = + − = + ⋅ − ⋅ , 0 0 = , поэтому данная прямая про- ходит через вершину С. Пусть это сторона DC. Так как в параллелограмме противоположные стороны попарно па- раллельны, найдем уравнение стороны, проходящей через точку А парал- лельно данной прямой. Найдем угловой коэффициент этой прямой: 0 5 4 3 = + − y x , 5 3 4 + = x y , 4 5 4 3 + = x y , здесь 4 3 = DC k В силу условия (2.35) 4 3 = = AB DC k k , тогда уравнение стороны АВ примет вид ( ) , 1 4 3 3 − = + x y ( ) 1 3 12 4 − = + x y или 0 15 4 3 = − − y x 98 Найдем уравнение стороны ВС, проходящей через точку С под углом o 45 к стороне DC. Угловой коэффициент прямой DC 4 3 k DC = . Найдем BC k , используя условие (2.33): BC BC k k tg ⋅ + − = 4 3 1 4 3 45 o , BC BC k k ⋅ + − = 4 3 1 4 3 1 , BC BC k k 4 3 1 4 3 + = − , 4 3 1 4 3 + = − BC BC k k , 7 = BC k Составим уравнение стороны ВС, пользуясь уравнением (2.31): ( ) 1 7 2 − = − x y , 7 7 2 − = − x y или 0 5 7 = − − y x Составим уравнение стороны AD, пользуясь уравнением (2.31) 7 = = AD BC k k : ( ) 1 7 3 − = + x y , 7 7 3 − = + x y или 0 10 7 = − − y x Пример 30. Дан треугольник с вершинами ( ) 4 ; 0 − A , ( ) 0 ; 3 B и ( ) 6 ; 0 C Составить уравнение и найти длину высоты СН. Решение . Найдем уравнение стороны АВ, используя уравнение (2.30): , 4 0 4 0 3 0 + + = − − y x 4 4 3 + = y x , , 12 3 4 + = y x 12 4 3 − = x y или 4 3 4 − = x y Угловой коэффициент прямой АВ 3 4 k AB = Высота , AB CH ⊥ тогда по условию (2.36) AB CH k k 1 − = или 4 3 − = CH k Составим уравнение высоты СН, пользуясь уравнением (2.31): ( ) 0 4 3 6 − − = − x y , x y 4 3 6 − = − , x y 3 24 4 − = − или 0 24 4 3 = − + y x Длину высоты СН найдем по формуле (2.40), как расстояние от точки ( ) 6 ; 0 C до прямой АВ 0 12 3 4 = − − y x : 99 ( ) 6 5 30 9 16 12 18 0 3 4 12 6 3 0 4 2 2 = = + − − = − + − ⋅ − ⋅ = CH Таким образом, уравнение высоты СН 0 24 4 3 = − + y x , а длина высо- ты СН равна 6. Пример 31. При каком значении а прямые 0 7 6 = − + y ax и ( ) 0 3 y 1 a x 2 = + − + а) параллельны; б) перпендикулярны? Решение . а) нормальный вектор прямой 0 7 6 = − + y ax ( ) 6 ; a n 1 , пря- мой ( ) 0 3 1 2 = + − + y a x – ( ) 1 ; 2 2 − a n . Из условия параллельности двух прямых (2.38) 1 6 2 − = a a , ( ) 12 1 = − a a , 0 12 2 = − − a a , ( ) 4 ; 3 2 7 1 2 12 4 1 1 2 , 1 − = ± = − − ± = a Таким образом, при 3 − = a и 4 = a данные прямые параллельны. б) согласно условию перпендикулярности двух прямых (2.39), полу- чаем: 0 2 1 = ⋅ n n , ( ) , 0 1 6 2 = − + a a 0 6 6 2 = − + a a , 6 8 = a , 4 3 = a Значит, при 4 3 = a данные прямые перпендикулярны. 2.9.3. Задачи для самостоятельного решения 1. Можно ли уравнение прямой 0 21 20 = + y x записать в отрезках? 2. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку К (-3;1) параллельно вектору a = (4;-1). Найдите угловой коэффициент этой прямой и точки ее пересечения с осями координат. Лежат ли на ней точки А(3;1) и В(5;-1)? 3. Дана прямая х-3у+6=0. Найдите: а) ее угловой коэффициент; б) ее нормальный вектор; в) точки пересечения с осями координат; г) площадь треугольника, заключенного между этой прямой и осями координат; д) точку пересечения этой прямой с прямой 5х – 2у – 9 = 0. 4. Среди прямых: а) 4х – 2 у + 3=, б) х + 2у – 7 = 0, в) у = 2х + 5, г) 5х + 10у + 1 = 0, д) у = - 2 1 х, е) -6х + 3у + 5 = 0 укажите параллельные и перпендикулярные. 100 5. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку А(2;5) и от- секающей на оси ординат отрезок в = 7. 6. Дана прямая 0 7 3 4 = − − y x . Какие из точек , 1 ; 2 5 A ( ) 2 ; 3 B , ( ) 1 ; 1 − C , ( ) 2 ; 0 − D лежат на этой прямой? 7. Составить уравнения прямых, проходящих через точку ( ) 1 ; 5 M и образующих с прямой 0 4 y x 2 = − + угол 4 π 8. Даны вершины треугольника АВС: ( ) ( ) , 3 ; 7 , 2 ; 0 B A и ( ) 6 ; 1 С . Опреде- лить α = ∠ BAC 9. Определить расстояние от точки ( ) 1 ; 2 − M до прямой, отсекающей на осях координат отрезки 8 a = , 6 b = 10. Найти прямую, проходящую через точку пересечения прямых 0 5 6 = + + y x , 0 1 2 3 = + − y x и через точку − 1 ; 5 4 M 11. Даны уравнения высот 4 = + y x и x y 2 = и вершина ( ) 2 ; 0 A тре- угольника. Составить уравнения сторон этого треугольника. 12. Даны вершины треугольника ( ) 2 ; 3 A , ( ) 2 ; 5 B и ( ) 4 ; 1 − C . Найти точ- ку пересечения высот треугольника. 13. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку ( ) 6 ; 8 M и отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной 12. 14. Показать, что треугольник со сторонами 0 1 3 = + + y x , 0 1 3 = + + y x и 0 10 = − − y x равнобедренный. Найти угол при вершине треугольника. 15. Составьте уравнения прямых, проходящих через точку пересече- ния прямых 2х-у-5=0 и 3х+2у+3=0 а) параллельно оси Ох; б) параллельные оси Оу; в) параллельно прямой 5х-2у+3=0; г) перпендикулярно прямой 7х+3у-1=0. 16. В треугольнике с вершинами А(0;-4), В(3;0), С(0;6) составьте уравнения стороны АВ, высоты СН, медианы BM, биссектрисы AK, найдите длину высоты CH и расстояние от вершины С до биссектрисы АК. |