Алгебра_геометрия_Шуман_Голодная_Волгина_УП. Учебное пособие Владивосток Издательство вгуэс 2017 2 удк 512514 ббк 22. 1422. 151 А45
 Скачать 0.96 Mb.
|
34. Решить систему уравнений матричным методом = + + = + + = + + 23 4 3 5 , 10 3 , 13 2 2 3 3 2 1 3 2 1 3 2 1 x x x x x x x x x Решение . Выпишем основную матрицу системы 4 3 5 1 3 1 2 2 3 = A Проверим, является ли матрица А невырожденной: , 0 5 9 8 30 10 6 36 ) 1 3 3 4 2 1 2 3 5 ( 5 1 2 2 3 1 4 3 3 4 3 5 1 3 1 2 2 3 ≠ = − − − + + = = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = = A значит матрица A является невырожденной, поэтому обратная матрица 1 − A к матрице A существует и данную систему уравнений можно решить матричным методом. 46 Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы A : , 9 3 12 1 3 4 3 4 3 1 3 ) 1 ( 1 1 11 = − = ⋅ − ⋅ = ⋅ − = + A , 1 ) 5 4 ( ) 1 5 4 1 ( 4 5 1 1 ) 1 ( 2 1 12 = − − = ⋅ − ⋅ − = ⋅ − = + A , 12 15 3 3 5 3 1 3 5 3 1 ) 1 ( 3 1 13 − = − = ⋅ − ⋅ = ⋅ − = + A , 2 ) 6 8 ( ) 2 3 4 2 ( 4 3 2 2 ) 1 ( 1 2 21 − = − − = ⋅ − ⋅ − = ⋅ − = + A , 2 10 12 2 5 4 3 4 5 2 3 ) 1 ( 2 2 22 = − = ⋅ − ⋅ = ⋅ − = + A , 1 ) 10 9 ( ) 2 2 3 3 ( 3 5 2 3 ) 1 ( 3 2 23 = − − = ⋅ − ⋅ − = ⋅ − = + A , 4 6 2 2 3 1 2 1 3 2 2 ) 1 ( 1 3 31 − = − = ⋅ − ⋅ = ⋅ − = + A , 1 ) 2 1 1 3 ( 1 1 2 3 ) 1 ( 2 3 32 − = ⋅ − ⋅ − = ⋅ − = + A 7 2 9 2 1 3 3 0 1 1 2 ) 1 ( 3 3 33 = − = ⋅ − ⋅ = − ⋅ − = + A Составим матрицу A , присоединенную к матрице А: 7 1 12 1 2 1 4 2 9 − − − − = A По формуле (1.15) получим матрицу 1 − A , обратную к матрице А: 7 1 12 1 2 1 4 2 9 5 1 1 − − − − = − A Найдем решение данной системы уравнений по формуле (1.23) 47 = ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ = − − − − = = 23 7 10 1 13 12 23 1 10 2 13 1 23 4 10 2 13 9 5 1 23 10 13 7 1 12 1 2 1 4 2 9 5 1 3 2 1 x x x X , 3 2 1 15 10 5 5 1 = = то есть 3 , 2 , 1 3 2 1 = = = x x x Пример 35. Матричным методом решить систему уравнений = + − = − + = − + 0 3 5 , 2 2 4 2 , 1 2 3 2 1 3 2 1 3 2 1 x x x x x x x x x Решение . Запишем основную матрицу системы A : − − − = 3 1 5 2 4 2 1 2 1 A и вычислим определитель этой матрицы 3 1 5 2 4 2 1 2 1 − − − = A В полученном определителе элементы первой строки пропорциональ- ны соответствующим элементам второй строки, тогда по свойству 6 опре- делителей 0 = A Матрица A является вырожденной, а значит решить матричным ме- тодом данную систему невозможно. 1.3.4. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными = + + + = + + + = + + + , , , 2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11 n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a определитель основной матрицы которой отличен от нуля, то есть система уравнений невырожденная. 48 Обозначим ∆ = A . Определитель 1 ∆ получается из определителя ∆ путем замены элементов первого столбца столбцом из свободных членов: nn n n n n a a b a a b a a b 2 2 22 2 1 12 1 1 = ∆ Тогда ∆ ∆ = 1 1 x Аналогично ∆ ∆ = 2 2 x , где 2 ∆ получен из ∆ путем замены элементов второго столбца столбцом из свободных членов; ∆ ∆ = 3 3 x , и так далее, ∆ ∆ = n n x Формулы n i x i i , 1 , = ∆ ∆ = (1.24) называются формулами Крамера. Таким образом, невырожденная система n линейных уравнений с n неизвестными имеет единственное решение, которое может быть найдено матричным методом (1.23) или по формулам Крамера (1.24). Пример 36. Решить систему уравнений по формулам Крамера = + + = − + = + + 16 4 3 , 14 3 2 , 9 2 3 2 3 2 1 3 2 1 3 2 1 x x x x x x x x x Решение . Составим и вычислим определитель ∆ данной системы уравнений 0 6 24 3 12 27 8 4 )) 3 ( 4 2 1 3 1 2 2 3 ( 3 ) 3 ( 3 2 4 1 1 2 2 1 4 3 3 2 1 2 3 2 ≠ − = + − − − + = = − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = − = ∆ Данная система является невырожденной, поэтому ее решение можно найти по формулам Крамера (1.24). 49 Вычислим 2 1 , ∆ ∆ и 3 ∆ : ; 12 108 42 64 144 112 18 )) 3 ( 4 9 1 3 14 2 2 16 ( 3 ) 3 ( 16 2 4 14 1 2 9 1 4 16 3 2 14 2 3 9 1 − = + − − − + = − ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = − = ∆ ; 18 96 9 84 81 32 28 ) 2 ) 3 ( 16 1 9 1 2 14 3 ( ) 3 ( 9 3 2 16 1 1 14 2 1 16 3 3 14 1 2 9 2 2 − = + − − − + = = ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = − = ∆ 12 112 48 54 126 36 64 ) 14 4 2 16 3 1 9 2 3 ( 14 3 3 9 4 1 16 2 2 16 4 3 14 2 1 9 3 2 3 = − − − + + = = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = = ∆ Значит, 2 6 12 1 = − − = x , 3 6 18 2 = − − = x , 2 6 12 3 − = − = x 1.3.5. Решение систем методом Гаусса Одним из наиболее универсальных и эффективных методов решений систем линейных уравнений является метод Гаусса, состоящий в последо- вательном исключении неизвестных. Пусть дана система уравнений = + + + = + + + = + + + , , 2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11 n n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a (1.25) Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов. На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому (треугольному или трапециевидному) виду. Для этого над строками расширенной матрицы системы ∗ A проводятся элементарные преобразования, приводящие эту матрицу к ступенчатому виду. Полученная матрица будет эквивалентной матрице ∗ A , значит, и система уравнений, полученная с помощью новой матрицы будет равносильной данной системе уравнений. 50 Если в процессе приведения системы (1.25) к ступенчатому виду поя- вятся нулевые уравнения, то есть равенства вида 0=0, их отбрасывают. Если же появится уравнение вида i b = 0 , а , 0 ≠ i b то это говорит о том, что данная система уравнений несовместна. Второй этап (обратный ход) заключается в решении ступенчатой сис- темы. Если в последнем уравнении новой системы содержится одно неиз- вестное, то исходная система имеет единственное решение. Из последнего уравнения находим n x , из предпоследнего уравнения 1 − n x , далее подни- маясь по системе вверх, найдем все остальные неизвестные 2 − n x , ) , ,..., ( 1 2 3 x x x n − . Если в последнем уравнении преобразованной системы более чем одно неизвестное, то данная система имеет множество решений (система является неопределенной). Из последнего уравнения выражаем первое неизвестное k x через остальные неизвестные ) ,..., ( 1 n k x x + . Затем подставляем значение k x в предпоследнее уравнение системы и выражаем 1 − k x через ) ,..., ( 1 n k x x + и так далее. Придавая свободным неизвестным ) ,..., ( 1 n k x x + произвольные значения, получим бесчисленное множество решений системы. На практике удобно, чтобы коэффициент 11 a был равен 1 (уравнения переставить местами, либо разделить обе части первого уравнения на 1 11 ≠ a ). Пример__37'>Пример 37. Решить систему уравнений методом Гаусса: = − + − = + − = − + 10 7 , 5 2 2 , 5 2 3 2 1 3 2 1 3 2 1 x x x x x x x x x Решение . Составим расширенную матрицу ∗ A данной системы 10 5 5 1 1 7 2 2 1 1 1 2 − − − − = ∗ A Так как 1 2 11 ≠ = a , 1 21 = a , поменяем местами первую и вторую строки матрицы ∗ A местами: ∗ A − − − − 10 5 5 1 1 7 1 1 2 2 2 1 51 Сначала элементы первой строки умножим на (-2) и прибавим к соот- ветствующим элементам второй строки, а затем элементы первой строки умножим на (-7) и прибавим к элементам третьей строки: ∗ A − − − − 45 15 5 15 15 0 5 5 0 2 2 1 Элементы второй строки умножим на ( ) 3 − и прибавим к элементам третьей строки: ∗ A − − − 0 15 5 0 0 0 5 5 0 2 2 1 Восстановим систему по последней матрице = − − = + − 15 5 5 5 2 2 3 2 3 2 1 x x x x x Получили систему, состоящую из двух уравнений и содержащую три неизвестных, то есть с помощью элементарных преобразований данную систему уравнений привели к ступенчатому виду, в которой нет уравнений вида i b = 0 , где 0 ≠ i b . Поэтому система уравнений имеет бесчисленное множество решений. Выразим 2 x через 3 x из второго уравнения: + = − = + − 3 5 2 2 3 2 3 2 1 x x x x x Подставим полученное выражение 2 x в первое уравнение: + = + + − − = ; 3 ), 3 ( 2 2 5 3 2 3 3 1 x x x x x + = + + − − = ; 3 , 2 6 2 5 3 2 3 3 1 x x x x x + = = 3 , 1 3 2 1 x x x Пусть С x = 3 , где С – любое действительное число, тогда полученное решение будет называться общим решением = + = = , 3 , 1 3 2 1 С x С x x 52 Пусть 2 3 = x , тогда получаем решение, которое будет называться ча- стным решением системы: = = = 2 , 5 , 1 3 2 1 x x x Пример 38. Решить систему уравнений методом Гаусса = + + = + + − = + − 14 7 , 9 2 , 5 2 2 3 2 1 3 2 1 3 2 1 x x x x x x x x x Решение . Составим расширенную матрицу ∗ A данной системы урав- нений 14 9 5 1 1 7 1 1 2 2 2 1 − − = ∗ A Элементы первой строки умножим на (-2) и прибавим к элементам второй строки, затем элементы первой строки умножим на (-7) и прибавим к элементам третьей строки: ∗ A − − − 49 19 5 13 15 0 3 5 0 2 2 1 Элементы второй строки умножим на (-3) и прибавим к элементам третьей строки: ∗ A − − − − − 8 19 5 4 0 0 3 5 0 2 2 1 Элементы третьей строки умножим на − 4 1 : ∗ A − − − 2 19 5 1 0 0 3 5 0 2 2 1 53 С помощью элементарных преобразований получили матрицу тре- угольного вида, значит, данная система уравнений имеет единственное решение. С помощью полученной преобразованной расширенной матрицы за- пишем соответствующую систему уравнений = = − − = + − 2 , 19 3 5 , 5 2 2 3 3 2 3 2 1 x x x x x x Зная значение 2 3 = x , из второго уравнения находим 2 x : = ⋅ + = − = + − 2 , 2 3 19 5 , 5 2 2 3 2 3 2 1 x x x x x или = = − = + − 2 , 5 , 5 2 2 3 2 3 2 1 x x x x x Используя значения 2 3 = x и 5 2 = x , из первого уравнения находим 1 x : = = ⋅ + ⋅ − − = 2 , 5 , 5 2 2 2 5 3 2 1 x x x или окончательно = = = 2 , 5 , 1 3 2 1 x x x 1.3.6. Однородные системы уравнений Рассмотрим однородную систему линейных уравнений = + + + = + + + = + + + 0 , 0 , 0 2 2 1 1 2 2 22 1 21 1 2 12 1 11 n mn m m n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a (1.26) Однородная система всегда совместна ( ) ( ) ( * A r A r = ), она имеет ну- левое (тривиальное) решение 0 2 1 = = = = n x x x Для того чтобы однородная система линейных уравнений имела нену- левые решения необходимо и достаточно, чтобы ранг r ее основной мат- рицы был меньше числа n неизвестных, то есть r Если число уравнений m системы совпадают с числом неизвестных n, то есть n m = , основная матрица системы является квадратной, в этом случае условие r 0 = A |