Алгебра_геометрия_Шуман_Голодная_Волгина_УП. Учебное пособие Владивосток Издательство вгуэс 2017 2 удк 512514 ббк 22. 1422. 151 А45
 Скачать 0.96 Mb.
|
|
0 1 Министерство образования и науки Российской Федерации Владивостокский государственный университет экономики и сервиса ( ВГУЭС ) АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Учебное пособие Владивосток Издательство ВГУЭС 2017 2 УДК 512+514 ББК 22.14+22.151 А45 Алгебра и геометрия : учебное пособие / сост. Г.И. Шуман А45 О.А. Волгина, Н.Ю. Голодная ; Владивостокский государственный университет экономики и сервиса. – Владивосток : Изд-во ВГУЭС, 2017. – 156 с. ISBN 978-5-9736-0417-2 В учебном пособии по каждой теме приводится необходимая теоре- тическая часть, в которой рассматриваются основные понятия и формулы, необходимые для решения задач, рассмотрены решения типовых задач. Содержится большое количество задач для самостоятельной работы сту- дентов, контрольные работы и индивидуальные домашние задания. Для студентов, обучающихся по всем направлениям подготовки. УДК 512+514 ББК 22.14+22.151 © Шуман Г.И., Волгина О.А., Голод- ная Н.Ю., 2017 ISBN 978-5-9736-0417-2 © ФГБОУ ВО «Владивостокский государственный университет экономики и сервиса», 2017 3 ВВЕДЕНИЕ Знания, приобретаемые студентами в результате изучения дисципли- ны «Алгебра и геометрия», играют важную роль в процессе обучения в университете. Они необходимы для успешного усвоения общетеоретиче- ских и специальных дисциплин, предусмотренных учебными планами всех направлений. В пособии предлагаемого объема невозможно полностью осветить весь изучаемый теоретический материал, поэтому в каждом разделе при- ведены лишь необходимые теоретические сведения и формулы, отражаю- щие количественную сторону или пространственные свойства реальных объектов и процессов, которые сопровождаются подробными решениями типовых задач, без чего невозможно успешное изучение математики. Достоинство пособия состоит в том, что при наличии такого количе- ства задач оно может быть использовано как задачник, как раздаточный материал для выполнения контрольных работ по соответствующему раз- делу дисциплины «Алгебра и геометрия», а также содержит 30 различных вариантов индивидуальных домашних заданий по всем разделам. 4 1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 1.1. Определители 1.1.1. Определители второго порядка Определение . Определителем второго порядка, соответствующим квадратной таблице элементов 22 21 12 11 a a a a , называется число 12 21 22 11 a a a a ⋅ − ⋅ . Таким образом, 12 21 22 11 22 21 12 11 a a a a a a a a ⋅ − ⋅ = = ∆ (1.1) Числа 22 21 12 11 , , , a a a a называются элементами определителя. Определи- тель второго порядка имеет две строки и два столбца. Индексы, стоящие вни- зу соответствующего элемента, означают номер строки и номер столбца опре- делителя, на пересечении которых стоит указанный элемент. Например, 21 a стоит во второй строке и первом столбце определителя и читается «а два один» Элементы 22 11 , a a называют элементами главной диагонали определи- теля, а элементы 21 12 , a a – соответственно элементами побочной диагонали. Пример__3.'>Пример__1'>Пример 1. Вычислим определитель 13 6 7 ) 3 ( 2 7 1 7 2 3 1 = + = − ⋅ − ⋅ = − = ∆ Пример 2. Вычислим определитель. 21 0 21 0 ) 6 ( ) 7 ( 3 7 6 0 3 − = + − = ⋅ − − − ⋅ = − − = ∆ Пример 3. Вычислим определитель. 0 12 12 2 6 4 3 4 6 2 3 = − = ⋅ − ⋅ = = ∆ 1.1.2. Определители третьего порядка Определение . Определителем третьего порядка, соответствующим квадратной таблице элементов 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a , 5 называется число, определяемое равенством 32 31 22 21 13 33 31 23 21 12 33 32 23 22 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⋅ + + ⋅ − ⋅ = = ∆ (1.2) Пример 4. Вычислить определитель 1 5 1 3 1 4 2 3 1 − = ∆ Решение . По определению получим: 23 42 3 16 21 2 1 3 ) 16 ( 1 ) 1 20 ( 2 ) 3 4 ( 3 ) 15 1 ( 1 5 1 1 4 2 1 1 3 4 3 1 5 3 1 1 = + − − = ⋅ + ⋅ − − ⋅ = + ⋅ + + − ⋅ − − − ⋅ = − ⋅ + ⋅ − − ⋅ = ∆ Если в формуле (1.2) раскрыть определители второго порядка и со- брать слагаемые с одинаковыми знаками, то получим: 31 22 13 33 21 12 32 23 11 31 23 12 13 32 21 33 22 11 a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ∆ (1.3) Этот способ вычисления определителя третьего порядка называется правилом треугольника. • • • • • • • • • • • • • • • • • • Первые три слагаемых для вычисления определителя есть сумма про- изведений элементов главной диагонали и элементов, расположенных в вершинах треугольников, как они показаны линиями на первом рисунке; оставшиеся слагаемые есть сумма произведений, взятых со знаком минус, элементов побочной диагонали и элементов, расположенных в вершинах треугольников, как они показаны линиями на втором рисунке. Пример 5. Вычислить определитель 1 2 1 4 3 0 3 1 2 − − = ∆ по правилу тре- угольника. 6 Решение . Перемножим элементы главной диагонали определителя 1 ) 3 ( 2 ⋅ − ⋅ , затем – элементы, лежащие на параллелях к этой диагонали, и элементы из противоположного угла определителя согласно правилу тре- угольника 3 2 0 ⋅ ⋅ , 1 4 ) 1 ( ⋅ ⋅ − . Элементы, входящие в формулу (1.3) со знаком минус, вычисляем аналогично, но относительно побочной диагонали: 3 ) 3 ( 1 ⋅ − ⋅ , 1 ) 1 ( 0 ⋅ − ⋅ , 4 2 2 ⋅ ⋅ Таким образом 17 16 0 9 4 0 6 4 2 2 1 ) 1 ( 0 3 ) 3 ( 1 1 4 ) 1 ( 3 2 0 1 ) 3 ( 2 − = − + + − + − = = ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ = ∆ 17 16 0 9 4 0 6 − = − + + − + − = Определение . Определитель, в котором под главной диагональю (над главной диагональю) стоят нули, называется определителем треугольного вида. Определитель треугольного вида равен произведению элементов главной диагонали. Пример 6. Вычислить определитель 8 0 0 6 5 0 1 3 2 − − = ∆ Решение . По условию дан определитель треугольного вида, т.к. под главной диагональю этого определителя стоят нули, значит значение дан- ного определителя равно произведению элементов главной диагонали, то есть 80 8 5 2 = ⋅ ⋅ = ∆ Определение . Минором элемента определителя третьего порядка на- зывается определитель второго порядка, полученный из данного опреде- лителя путем вычеркивания строки и столба, на пересечении которых сто- ит данный элемент. Минор элемента ij a , стоящего на пересечении i-ой строки и j-го столбца определителя, обозначают ij M Например, для определителя 8 2 4 11 7 1 3 5 2 − = ∆ миноры 26 28 2 2 4 7 1 13 − = − = = M , 46 6 40 8 2 3 5 21 = + = − = M Определение . Алгебраическим дополнением данного элемента опре- делителя 3-го порядка называется минор этого элемента, умноженный на k ) 1 ( − , где k равно сумме номера строки и номера столбца, на пересечении которых находится этот элемент. 7 Алгебраическое дополнение элемента ij a обозначают ij A . Согласно определению j i k M A ij k ij + = ⋅ − = , ) 1 ( (1.4) Для определителя третьего порядка знак, который при этом приписы- вается минору соответствующего определителя, определяется следующей таблицей: + − + − + − + − + Из определения определителя третьего порядка следует, что 13 13 12 12 11 11 A a A a A a ⋅ + ⋅ + ⋅ = ∆ Верна общая теорема разложения: определитель третьего порядка ра- вен сумме произведений элементов любой его строки или столбца на соот- ветствующие этим элементам алгебраические дополнения. Таким образом, имеют место шесть разложений: , , , , , 33 33 23 23 13 13 32 32 22 22 12 12 31 31 21 21 11 11 33 33 32 32 31 31 23 23 22 22 21 21 13 13 12 12 11 11 A a A a A a A a A a A a A a A a A a A a A a A a A a A a A a A a A a A a ⋅ + ⋅ + ⋅ = ∆ ⋅ + ⋅ + ⋅ = ∆ ⋅ + ⋅ + ⋅ = ∆ ⋅ + ⋅ + ⋅ = ∆ ⋅ + ⋅ + ⋅ = ∆ ⋅ + ⋅ + ⋅ = ∆ (1.5) Отметим, что сумма произведений элементов какого-либо ряда (стро- ки или столбца) на алгебраические дополнения элементов параллельного ряда равна нулю. Пример__8'>Пример 7. Вычислить определитель 6 3 7 4 2 1 2 3 5 − = ∆ , разлагая его по элементам третьего столбца. Решение . Согласно теореме разложения и формулы (1.4) имеем: ( ) + ⋅ − ⋅ − + ⋅ − ⋅ − ⋅ − = − − ⋅ + + − ⋅ + − − ⋅ = + + = ∆ + + + ) 3 7 3 5 ( ) 1 ( 4 ) 2 7 3 ) 1 (( ) 1 ( 2 2 1 3 5 1 6 3 7 3 5 ) 1 ( 4 3 7 2 1 ) 1 ( 2 6 4 2 5 4 3 3 3 2 3 1 33 23 13 A A A 68 78 24 34 ) 3 10 ( 6 ) 21 15 ( 4 ) 14 3 ( 2 ) 3 ) 1 ( 2 5 ( ) 1 ( 6 6 = + + − = = + + − − − − ⋅ = ⋅ − − ⋅ − + 8 1.1.3. Свойства определителей Следующие свойства справедливы для определителей любого поряд- ка, позволяют упростить вычисления определителей. Свойство 1. (Транспонирование строк и столбцов). Определитель не меняет своего значения, если его строки заменить столбцами с теми же номерами, а столбцы строками, то есть 33 23 13 32 22 12 31 21 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a a a a a a a a a a = Введенное действие называется транспонированием строк и столбцов. Свойство 2. Если переставить две строки (столбца) определителя, то знак значения определителя изменится на противоположный: 33 32 31 13 12 11 23 22 21 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a a a a a a a a a a − = Свойство 3. Если определитель имеет две одинаковых строки или два одинаковых столбца, то он равен нулю: 0 13 12 11 23 22 21 13 12 11 = a a a a a a a a a Свойство 4. Общий множитель элементов какого-либо ряда опреде- лителя можно выносить за знак определителя: 33 32 31 23 22 21 13 12 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a k a a a k a a a k a a a k ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ Свойство 5. Если все элементы какого-либо ряда определителя равны нулю, то определитель равен нулю: 0 0 0 0 32 31 22 21 12 11 = a a a a a a 9 Свойство 6. Если две строки (столбца) определителя пропорциональ- ны, то определитель равен нулю: 0 31 32 31 21 22 21 11 12 11 = ⋅ ⋅ ⋅ a k a a a k a a a k a a Свойство 7. Если элементы какого-либо ряда определителя представ- ляют собой сумму двух слагаемых, то определитель можно представить в виде суммы двух определителей, у которых все ряды, кроме данного, прежние, а в данном ряду в первом определителе стоят первые слагаемые, а во втором определителе – вторые: 33 32 31 23 22 21 13 12 11 33 23 13 32 22 12 31 21 11 33 32 31 31 23 22 21 21 13 12 11 11 a a b a a b a a b a a a a a a a a a a a b a a a b a a a b a + = + + + Свойство 8. Величина определителя не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) определителя прибавить элементы парал- лельной строки (столбца), умноженные на одно и то же число: 33 32 33 31 23 22 23 21 13 12 13 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a k a a a a k a a a a k a a a a a a a a a a ⋅ + ⋅ + ⋅ + = Пример 8. Вычислить определитель 5 2 1 1 6 3 4 2 1 ` − − = ∆ , используя свойства определителей. Решение . Элементы первого и второго столбцов данного определите- ля пропорциональны 2 1 2 1 6 3 2 1 = − − = = , поэтому, согласно свойству 6, дан- ный определитель равен нулю, то есть 0 = ∆ Пример 9. Вычислить определитель 1 0 4 1 3 1 2 1 1 ` = ∆ , используя свойства определителей. Решение . Используя свойство 8, приведем данный определитель к треугольному виду. Для этого элементы первой строки умножим на (-1) и прибавим к элементам второй строки: 10 1 0 4 1 2 0 2 1 1 1 0 4 ) 2 ( 1 ) 1 ( 3 ) 1 ( 1 2 1 1 1 0 4 1 3 1 2 1 1 ` − = − + − + − + = = ∆ Элементы первой строки умножим на (-4) и прибавим к элементам третьей строки: 7 4 0 1 2 0 2 1 1 ) 8 ( 1 ) 4 ( 0 ) 4 ( 4 1 2 0 2 1 1 ` − − − = − + − + − + − = ∆ Элементы второй строки умножим на 2 и прибавим к элементам третьей строки: 9 0 0 1 2 0 2 1 1 ) 7 ( 2 ) 4 ( 4 0 1 2 0 2 1 1 ` − − = − + − − + − = ∆ Получили определитель треугольного вида (под главной диагональю определителя все элементы равны нулю), и поэтому значение определите- ля будет равно произведению элементов главной диагонали преобразован- ного определителя: 18 ) 9 ( 2 1 9 0 0 1 2 0 2 1 1 1 0 4 1 3 1 2 1 1 − = − ⋅ ⋅ = − − = = ∆ Пример 10. Вычислить определитель 4 2 4 1 2 3 1 1 1 ` − = ∆ , используя свойства определителей. Решение 4 2 4 2 1 2 1 1 1 4 2 4 1 1 1 1 1 1 4 2 4 2 1 1 1 2 1 1 1 1 ` − + − − = + − + + − = ∆ Воспользовались свойством 7, а так как в первом полученном опреде- лителе первые две строки одинаковые, то по свойству 3 этот определитель равен нулю, поэтому 11 4 2 4 2 1 2 1 1 1 ` − = ∆ Элементы третьей строки содержат общий множитель 2, который, со- гласно свойства 4, можно вынести за знак определителя: 2 1 2 2 1 2 1 1 1 ` 2 − ⋅ = ∆ Полученный определитель содержит две одинаковые строки вторую и третью, поэтому по свойству 3 этот определитель, а значит и данный, ра- вен нулю: 0 0 2 4 2 4 2 1 2 1 1 1 ` = ⋅ = − = ∆ |