В. И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения. В. И. Арнольд Обыкновенные дифференциальные уравнения
 Скачать 4.58 Mb.
|
|
v –– векторное поле в области U мерного фазового пространства. Автономное дифференциальное уравнение, заданное полем, –– это уравнение = v(x), x ∈ U ⊂ Решением такого уравнения называется гладкое отображение ϕ: I → → U интервала оси времени в фазовое пространство, для которого = v(ϕ(t)) при всех t из Образ отображения ϕ называется фазовой кривой, а график ∗) отображения ϕ –– интегральной кривой. Интегральная кривая ле- ∗) График отображения f : X → Y есть подмножество прямого произведения X × Y состоящее из всех пар вида (x, f (x)), где x ∈ X ; прямое произведение X × Y есть множество всех упорядоченных пар (x, y), где x ∈ X , y ∈ Y . § . Фазовые пространства жит в прямом произведении оси времени на фазовое пространство. Это прямое произведение называется расширенным фазовым пространством. Расширенное фазовое пространство имеет размерность + Пусть (t 0 , x 0 ) –– точка расширенного фазового пространства. Решение удовлетворяет начальному условию (t 0 , x 0 ), если) = те. если интегральная кривая проходит через точку (Как ив случае одномерного фазового пространства, интегральные кривые можно описать при помощи поля направлений в расширенном фазовом пространстве. Тангенс угла наклона коси абсцисс заменяется следующей конструкцией. Предположим, что дано поле направлений в области V прямого произведения R × и что направление поля нигде не вертикально (не параллельно R n ). Пусть t –– координата в R, x = (x 1 , …, x n ) –– в Тогда в каждой точке существует (и единствен) вектор приложенного в этой точке направления, имеющий горизонтальную координату (компоненту, равную 1. Таким образом, указанный вектор имеет вид (1, v(t, x)), где v(t, x) –– вектор в R n , зависящий от точки расширенного фазового пространства. Иными словами, неверти- кальное поле направлений в расширенном фазовом пространстве определяет зависящее от времени векторное поле в фазовом про- странстве. Каждая интегральная кривая данного поля направлений очевидно удовлетворяет дифференциальному уравнению = v( t, те. является графиком отображения интервала оси времени в фазовое пространство, для которого dϕ/dt = v(t, ϕ(t)) при всех t. Обратно, график всякого решения –– интегральная кривая этого поля. Решение удовлетворяет начальному условию (t 0 , x 0 ), если и только если интегральная кривая проходит через эту точку. Зàìå÷àíèå. В координатной записи векторное поле в n-мерном пространстве задается n функциями n переменных. Наше дифференциальное уравнение принимает поэтому вид системы n уравнений первого порядка, Решение задается вектор-функцией ( ϕ 1 , …, ϕ n ) переменной, для которой = v k ( t; ϕ 1 ( t), …, ϕ n ( t)), k = 1, …, n, при всех t. Начальное условие задается числом (t 0 ; x 01 , …, x 0 n ). Глава . Основные понятия. Пример дифференциальное уравнение системы хищник жертва. Простейшая, самая грубая модель, описывающая борьбу двух видов –– хищника и жертвы, –– состоит в следующем. Рассмотрим пруд, в котором живут рыбы двух видов, скажем караси и щуки. Если бы щук не было, караси размножались бы экспоненциально, со скоростью ˙ x = kx, пропорциональной их количеству x мы предполагаем, что суммарная масса карасей много меньше массы пруда). Если y –– количество щук, то следует учесть карасей, съеденных щуками. Мы предположим, что число встреч карасей со щуками пропорционально как числу карасей, таки числу щук тогда для скорости изменения числа карасей получим уравнение ˙ x = kx − Что касается щук, то без карасей они вымирают ˙ y = −ly, в присутствии же карасей начинают размножаться со скоростью, пропорциональной числу съеденных карасей ˙ y = −ly + Мы приходим таким образом к системе дифференциальных уравнений простейшей модели системы хищник –– жертва = kx − axy, ˙ y = −ly + Эта модель называется моделью Лотки––Вольтерра по имени авторов. Правая часть определяет векторное полена плоскости прило- Рис. . Поле фазовой скорости модели хищник жертва женный в точке (x, y) вектор имеет компоненты. Это –– поле фазовой скорости. Фазовым пространством является угол ¾ 0, y ¾ Векторное поле фазовой скорости нетрудно нарисовать, проследив за изменением знаков компонент (рис. ). Особая точка поля, y 0 = k/a) отвечает равновесному количеству карасей и щук, когда прирост карасей уравновешивается деятельностью щука прирост щук –– их естественной смертностью. Если начальное число щук меньше точка A на рисунке, то числа карасей и щук растут, пока размножившиеся щуки не начнут съедать больше карасей, чем их прирост (точка B), затем число карасей начнет убывать, а число щук будет расти, пока нехватка пищи не приведет и щук к вымиранию (точка C); затем число щук уменьшится настолько, что караси снова начнут размножаться (точка D); § . Фазовые пространства Рис. . Функция последования Рис. . Диаграммы Ламерея начавшееся размножение карасей приведет к тому, что со временем и щуки начнут размножаться. Таким образом будут происходить колебания численности карасей и щук вблизи равновесного числа тех и других. Возникает, однако, вопрос, будут ли эти колебания периодическими или же нет. Наша приближенная картина поля фазовой скорости не позволяет ответить на этот вопрос, можно вообразить различные случаи, например, изображенные на рис. Чтобы разобраться в этих случаях, рассмотрим отрезок, соединяющий особую точку с осью x. Каждая точка A этого отрезка (не лежащая на оси x) определяет фазовую кривую, которая снова пересекает отрезок в некоторой точке Φ(A). Функция Φ называется функцией последования или отображением Пуанкаре, а также мо- нодромией или голономией). Рассмотрим график функции последования. Он называется диаграммой Ламерея. Диаграммы Ламерея для четырех случаев рис. Рис. . Лестница Ламерея изображены на рис. По диаграмме Ламерея легко построить последовательность образов точки A при повторении преобразования Φ. Для этого следует построить так называемую лестницу Ламерея рис. ), абсциссы и ординаты вершин которой суть A, Φ(A), Φ 2 ( A) = Φ(Φ(A)), Точки пересечения графика функции последования с диагональю (графиком Φ ≡ A) соответ- Глава . Основные понятия ствуют замкнутым фазовым кривым (циклам) на фазовой плос- кости. Цикл заведомо устойчив (неустойчив, если в соответствующей точке A имеем Φ ′ ( A) < 1 (> 1). Для наших четырех диаграмм Ла- мерея (рис. ) в первом случае фазовые кривые –– спирали, наматывающиеся на особую точку, во втором –– сматывающиеся с нее, в третьем –– замкнутые. В четвертом случае фазовые кривые наматываются на устойчивый цикл изнутри и снаружи. Соответственно, в первом случае стечением времени устанавливается равновесное население пруда, колебания затухают. Во втором случае равновесное состояние неустойчиво, колебания нарастают. При этом наступит момент времени, когда число карасей (щук) будет меньше 1; к этому моменту наша модель становится неприемлемой, и население пруда вымирает. В третьем случае наблюдаются периодические колебания численности карасей и щук вокруг равновесного состояния амплитуда колебаний определяется начальными условиями. В четвертом случае тоже наблюдаются периодические колебания численности карасей и щук, но амплитуда установившихся колебаний не зависит от начальных условий любая фазовая спираль наматывается на предельный цикл. В таком случае говорят, что в системе устанавливается автоколебательный режим. Какой же из случаев имеет место для системы Лотки––Вольтер- ра? Мы пока не можем ответить на этот вопрос (решение его см. в § ). . Пример свободная частица на прямой. Согласно первому закону Ньютона, ускорение материальной точки, не подверженной действию внешних сил, равно 0: ¨ x = 0. Если точка x принадлежит то говорят о свободной частице на прямой можно представлять себе бусинку на спице). Фазовое пространство имеет размерность 2, так как все движение определяется начальным положением и начальной скоростью. На фазовой плоскости с координатами x 1 = x, x 2 = ˙ x возникает векторное поле фазовой скорости: ˙ x 1 = x 2 , ˙ x 2 = 0, следовательно, компоненты поля равны (x 2 , 0) (рис. Все точки оси являются положениями равновесия. Равновесие такого видав физике называется безразличным, а в математике § . Фазовые пространства Рис. . Поле фазовой скорости свободной частицы неустойчивым подходящее сколь угодно малое изменение начальной фазовой точки вызывает через достаточно большое время немалое изменение состояния). Фазовые кривые –– горизонтальные прямые x 2 = const и все точки оси З . Найти решение с начальным условием ( a, b) при О) = a + bt, ϕ 2 ( t) = b. . Пример свободное падение. Согласно Галилею, ускорение падающих вблизи поверхности Земли тел постоянно. Если x Рис. . Поле фазовой скорости падающей частицы высота, то ¨ x = −g. Вводя координаты на фазовой плоскости, как в предыдущем примере, получаем систему ˙ x 1 = x 2 , ˙ x 2 = −g. Векторное поле, заданное правой частью, изображено на рис. З . Доказать, что фазовые кривые параболы. Пример малые колебания. Во многих случаях сила, возвращающая систему в положение равновесия, с большей или меньшей точностью пропорциональна отклонению от положения равновесия (закон Гука и т. п сущность дела в том, что в положении равновесия сила а в малом всякая функция приближенно линейна. Мы приходим к уравнению малых колебаний Коэффициент k > 0 можно сделать равным 1 выбором масштаба времени. Уравнение принимает вид = −x. Глава . Основные понятия Рис. . Поле фазовой скорости малых колебаний Вводя по-прежнему координаты, x 2 = ˙ x на фазовой плоскости, переписываем это уравнение в виде системы ˙ x 1 = x 2 , ˙ x 2 = −x 1 Правая часть задает векторное полена фазовой плоскости. Это поле изображено на рис. З . Доказать, что фазовые кривые окружности и их центр. Рåøåíèå. Вектор фазовой скорости перпендикулярен радиус-вектору. Зàäà÷à . Доказать, что фазовая точка движется по окружности с постоянной угловой скоростью Р. Длина вектора фазовой скорости равна длине радиус-век- тора. Зàäà÷à . Найти решение с начальным условием) = a, ˙ x(0) = Р. Согласно предыдущим двум задачам, нужно повернуть вектор начального условия на угол t. Получаем) = a cos t + b sin t, x 2 ( t) = −a sin t + b cos З. Таким образом, мы доказали, что совершает гармонические колебания, и установили закон сохранения энергии величина 1 /2 + x 2 2 /2 вдоль фазовой кривой постоянна. Зàäà÷à . Доказать закон сохранения энергии 2 2 + kx 2 для системы, З. Величина называется кинетической энергией, а 1 2 –– потенциальной. Зàäà÷à . Доказать, что интегральные кривые системы (с = 1) –– винтовые линии. Пример математический маятник. Рассмотрим невесомый стержень длины l, закрепленный водном конце и несущий на другом точечную массу m. Обозначим через θ угол отклонения маятника от вертикали. Согласно законам механики, угловое ускорение маятника ¨ θ пропорционально моменту силы веса (рис. ): I ¨ θ = −mgl sin θ где I = ml 2 –– момент инерции (знак минус объясняется тем, что момент стремится уменьшить отклонение § . Фазовые пространства Рис. . Математический маятник Рис. . Поле фазовой скорости маятника Итак, уравнение маятника имеет вид ¨ θ = −k sin θ , k = g/l. Коэффициент можно сделать равным 1 выбором масштаба времени. Уравнение принимает вид ¨ θ = − sin θ Фазовое пространство имеет размерность 2. За координаты можно принять угол отклонения x 1 = θ и угловую скорость x 2 = ˙ θ . Уравнение принимает вид системы sin Правая часть задает векторное поле фазовой скорости. Оно изображено на рис. З . Доказать, что начало координат ( x 1 = x 2 = 0) и точка ( x 1 = π, x 2 = 0) являются фазовыми кривыми. Вид остальных фазовых кривых мы подробно исследуем вдаль- нейшем (§ З. При малых углах отклонения sin θ эквивалентен углу. Заменяя sin θ приближенным значением θ , мы сводим уравнение маятника к уравнению малых колебаний (п. ). Вопрос о том, насколько выводы, сделанные при исследовании этого простейшего уравнения, переносятся на полное уравнение маятника, нуждается в специальном исследовании. Мы проведем его в дальнейшем ). . Пример перевернутый маятник. Рассмотрим поведение маятника, перевернутого вверх ногами. В этом случае угол близок к, поэтому естественно ввести угол отклонения от верхнего положения = θ − π. Тогда ¨ ψ = sin ψ и при малых ψ приближенно = Это уравнение называется уравнением малых колебаний перевернутого маятника. Фазовое пространство двумерно. Примем за ко Глава . Основные понятия ординаты x 1 = ψ, x 2 = ˙ ψ. Получим систему ˙ x 1 = x 2 , ˙ x 2 = x 1 Векторное поле фазовой скорости изображено на рис. . Его фазовые кривые мы подробно исследуем в § Рис. . Поле фазовой скорости перевернутого маятника. Пример малые колебания сферического маятника. Отклонение от вертикали характеризуется двумя числами, x и Уравнения малых колебаний имеют, как известно из механики, вид ¨ x = −x, ¨ y = − Размерность фазового пространства равна 4. За координаты в нем принимаем x 1 = x, x 2 = ˙ x, x 3 = y, x 4 = ˙ y. Уравнения записываются в виде ˙ x 1 = x 2 , ˙ x 2 = −x 1 , ˙ x 3 = x 4 , ˙ x 4 = −x 3 Правая часть определяет векторное поле в З . Доказать, что фазовые кривые этого поля лежат на трехмерных сферах x 2 1 + … + x 2 З . Доказать, что фазовые кривые –– окружности больших кругов указанных сфер. Однако окружность не всякого большого круга сферы –– фазовая кривая. Зàäà÷à *. Доказать, что все фазовые кривые на каждой трехмерной сфере сами образуют двумерную сферу. Трехмерную сферу можно представлять себе как трехмерное пространство, пополненное одной бесконечно удаленной точкой. Следовательно, разбиение на окружности определяет разбиение на окружности и одну незамкнутую кривую (уходящую обоими концами на бесконечность. Это разбиение изображено на рис. З *. Проверить, что любые две из окружностей указанного разбиения зацеплены между собой с коэффициентом зацепления, равным еди- § . Векторные поляна прямой Рис. . Фазовые кривые сферического маятника на гиперповерхности постоянной энергии нице (коэффициент зацепления указывает, сколько раз одна из кривых пересекает пленку, затягивающую другую, причем точки пересечения учитываются со знаками . Векторные поляна прямой В этом параграфе исследуется дифференциальное уравнение, заданное векторным полем на прямой, и сводящиеся к нему уравнения с разделяющимися переменными. Существование и единственность решений. Пусть v –– гладкая (непрерывно дифференцируемая) функция, заданная на интервале вещественной оси. Тåîðåìà. Решение ϕ уравнения ˙ x = v(x) с начальным условием) существует для любых t 0 ∈ R, x 0 ∈ U; ) единственно в том смысле, что любые два решения с общим начальным условием совпадают в некоторой окрестности точки t 0 ; ) дается формулой Барроу: t − если v(x 0 ) 6= 0, ϕ(t) ≡ если v(x 0 ) = Д. Пусть не положение равновесия. В § мы видели, что ) решение дается в окрестности точки формулой Бар Глава . Основные понятия Рис. . Пример неединст- венности роу, ) определенная этой формулой функция является решением и удовлетворяет начальному условию. В случае, когда x 0 –– положение равновесия, функция) ≡ также очевидно является решением, и теорема доказана. Зàäà÷à . Указать пробел в доказательстве. Опровергающий пример. Пусть v рис. ). Два решения ϕ 1 = 0, ϕ 2 = = ( t/3) 3 удовлетворяют общему начальному условию (0, 0), вопреки утверждению о единственности. Конечно, функция v не дифференцируема, поэтому пример не опровергает утверждение теоремы. Однако приведенное доказательство не использовало гладкости v: оно проходит ив том случае, когда функция v лишь непрерывна. Следовательно, это доказательство не может быть верным. И действительно, утверждение о единственности было доказано лишь при условии v(x 0 ) 6= 0. Мы видим, что если поле v лишь непрерывно (а не дифференцируемо, то единственности решений с начальным условием в положении равновесия может и не быть. Оказывается, гладкость v гарантирует единственность ив этом случае см. п. ниже). Приведенный пример можно описать еще так при движении со скоростью v(x) = можно попасть в положение равновесия = 0) из другой точки за конечное время. В § мы рассмотрели движение в линейном поле (со скоростью) = kx). В этом случае для того, чтобы прийти в положение равновесия, требовалось бесконечное время (например, если v(x) то фазовая точка приближается к положению равновесия так медленно, что ей в любой момент оставалось бы до него двигаться время, равное 1, если бы ее скорость перестала меняться в этот мо- мент). Причина неединственности в случае v(x) = состоит в том, что скорость недостаточно быстро убывает при подходе к положению равновесия. Из-за этого решение и успевает войти в особую точку за конечное время. Доказательство единственности. Предположим, что –– решение уравнения ˙ x = v(x) с гладкой правой частью v. Допустим, что § . Векторные поляна прямой Рис. . Доказательство единственности Рис. . Условие Липшица ϕ(t 0 ) = x 0 –– положение равновесия) = x 1 –– не положение равновесия (рис. ). На отрезке между и рассмотрим ближайший к момент времени t 2 , в который v(ϕ(t 2 )) = 0. Для любой точки t 3 между и имеем по формуле Барроу t 3 − Если функция v гладкая, то интеграл стремится к бесконечности, когда стремится к x 2 . Действительно, тангенс угла наклона хорд графика гладкой на отрезке функции ограничен (рис. ), поэтому ¶ k|ξ − x 2 |, где постоянная k не зависит от точки ξ отрезка (условие ограниченности наклона хорд графика функции называют условием Липщица, а число k –– постоянной Липшица). Итак t 1 | ¾ x 3 R x 1 dξ k(ξ − Последний интеграл легко вычислить, он стремится к бесконечности, когда стремится кВ этом легко убедиться и не вычисляя интеграла ведь он равен времени движения между двумя точками в линейном поле, а это время стремится к бесконечности, когда одна из точек стремится к положению равновесия. Итак, число t 1 | больше любого наперед заданного числа. Чисел, больших любого, не бывает. Следовательно, решение с начальным условием в положении равновесия не может принимать значений, не являющихся положениями равновесия. Стало быть, если) –– положение равновесия, то 0 при всех t. Следовательно, те константа. Единственность доказана. Заметим, что основным в приведенном доказательстве было сравнение движения в гладком поле v с более быстрым движением в подходящем линейном поле. Для последнего движения время Глава . Основные понятия входа в положение равновесия бесконечно, следовательно, оно тем более бесконечно для более медленного движения в исходном поле. Зàäà÷à . Могут ли интегральные кривые гладкого уравнения ˙ x = сближаться при t → ∞ быстрее, чем экспоненциально? Оòâåò. Нет, если одна из них отвечает положению равновесия дав противном случае. Зàäà÷à . Верна ли теорема единственности в случае, когда производная функции v существует, но разрывна? Оòâåò. Да. Зàäà÷à . Показать, что для единственности решения с начальным условием достаточна расходимость в x 0 интеграла x R x 0 dξ v(ξ) Зàäà÷à . Показать, что для единственности достаточно, чтобы функция удовлетворяла условию Липшица |v(x) − v( y)| ¶ k|x − y| при всех x, З . Доказать единственность удовлетворяющего начальному условию) решения уравнения ˙ x = v(t, x), где v –– гладкая функция. Уêàçàíèå. Заменой на x − ϕ(t) свести решение к нулевому и затем сравнить поле направлений с подходящим линейным. Это сравнение доказывает единственность при любой размерности фазового пространства. Зàäà÷à . Доказать, что фазовые кривые системы хищник –– жертва (§ пне пересекают координатные оси (например, первоначально положительное число карасей не может со временем стать отрицательным). Зàäà÷à . Доказать, что всякие два решения уравнения ˙ x = v(x) с гладкой, удовлетворяющие общему начальному условию, совпадают всюду, где оба определены. Прямые произведения. Рассмотрим два дифференциальных уравнения U 1 ; () ˙ x 2 = v 2 ( x 2 ), x 2 ∈ Прямым произведением этих уравнений называется система ˙ x 1 = v 1 ( x 1 ), ˙ x 2 = v 2 ( x 2 ), () фазовым пространством которой является прямое произведение фазовых пространств уравнений () и (). Из определения непосредственно вытекает Тåîðåìà. Решения ϕ дифференциального уравнения (), являющегося прямым произведением уравнений () и (), –– это отобра- § . Векторные поляна прямой жения ϕ : I → U вида ϕ(t) = (ϕ 1 ( t), ϕ 2 ( t)), где и ϕ 2 –– решения уравнений () и (), определенные на одном и том же интервале. В частности, пусть фазовые пространства и U 2 одномерны. Тогда мы умеем решать каждое из уравнений () и (). Следовательно, мы можем явно решить и систему двух дифференциальных уравнений (А именно, по теореме п. § решение с условием ϕ(t 0 ) можно найти в окрестности точки t = из соотношений если v 1 ( x 01 ) 6= 0 6= Если v 1 ( x 01 ) = 0, то первое соотношение заменяется на x 01 , а если) = 0, то второе –– на. Наконец, если v 1 ( x 01 ) = v 2 ( x 02 ) = 0, то особая точка векторного поля v и положение равновесия системы (): ϕ(t) ≡ x 0 |