В. И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения. В. И. Арнольд Обыкновенные дифференциальные уравнения
 Скачать 4.58 Mb.
|
|
. Эволюционное уравнение с одномерным фазовым пространством. Рассмотрим уравнение = v(x), x ∈ Это уравнение описывает эволюционный процесс с одномерным фазовым пространством. Правая часть задает векторное поле фазовой скорости: в точке x приложен вектор v(x) (рис. , слева. Такое уравнение, правая часть которого не зависит от t, называется автономным. Скорость эволюции автономной системы, те. системы, невзаимодействующей с другими, определяется одним лишь состоянием этой системы от времени законы природы не зависят Глава . Основные понятия Рис. . Векторное поле и поле направлений для уравнения x = Точки, где v обращается в 0, называются положениями равновесия также стационарными точками или особыми точками) векторного поля. Если a –– положение равновесия, то) ≡ a –– решение уравнения (процесс, начавшись в состоянии a, всегда в нем остается. На рис. видно одно положение равновесия, a. Видно, что это положение равновесия неустойчиво при малом отклонении начального условия от равновесного фазовая точка стечением времени удаляется от положения равновесия. На рис. изображено также поле направлений рассматриваемого уравнения. Поскольку v не зависит от t, поле переходит в себя при сдвигах вдоль оси Согласно теореме п. , задача построения интегральных кривых этого поля решается одним интегрированием (в области, где полене параллельно оси t, те. где нет равновесий, v(x) 6= 0). Предположим, что функция v непрерывна и нигде не обращается в 0. Выпишем явную формулу, определяющую интегральные кривые. Тангенс угла наклона нашего поляк оси x равен 1/v(x). Следовательно, поле направлений уравнения dx/dt = v(x) совпадает с полем направлений уравнения dt/dx = 1/v(x). Значит, совпадают и интегральные кривые этих уравнений. Но интегральная кривая второго дается формулой Барроу; в данном случае она имеет вид Таким образом доказана Тåîðåìà. Решение x = ϕ(t) уравнения ˙ x = v(x) с непрерывной и не обращающейся в 0 правой частью, удовлетворяющее начальному условию (t 0 , x 0 ) , дается формулой (). Обратно, функция x = определяемая формулой (), является решением и удовлетворяет начальному условию. Зàìå÷àíèå. Мнемонический способ запоминания формулы (состоит в следующем. Запишем исходное уравнение в виде dx/dt = = v(x). Хотя в курсах анализа при введении производной учат, что не дробь, а единый символ, будем обращаться с этим символом как с дробью и перепишем уравнение, собрав все x слева, а все t § . Фазовые пространства справа, в виде dx/v(x) = dt. Интегрируя левую и правую части, получаем соотношение t = R dx/v(x), те. (В действительности этот способ, конечно, больше, чем мнемоническое правило. Лейбниц не стал бы вводить сложное обозначение, если бы не Рис. . Числитель и знаменатель дроби имел ввиду самой настоящей дроби dx деленное на dt. Дело в том, что dx и dt –– вовсе не таинственные бесконечно малые величины, а вполне конечные числа, точнее –– функции вектора. Рассмотрим (рис. ) приложенный в какой-ли- бо точке вектор A скорости движения на плоскости, на которой фиксированы координаты (t, Скорость изменения координаты t при этом движении является функцией этого вектора. Она линейна. Эта линейная функция вектора и обозначается. Например, значение этой функции на векторе с компонентами (10, 20) есть dt(A) = 10. Точно также определяется) = 20 –– скорость изменения координаты x при движении с вектором скорости A, так что A имеет компоненты dt(A), dx(A). Очевидно Пðåäëîæåíèå . Для любого вектора A, касающегося графика гладкой функции x = ϕ(t), отношение dx(A)/dt(A) равно производной dx/dt функции ϕ в соответствующей точке. Таким образом, уравнение dx/v(x) = dt есть соотношение между линейными функциями от вектора, касающегося интегральной кривой. Функции приложенного вектора, линейные при фиксированной точке приложения, называются дифференциальными 1-формами. Всякая дифференциальная форма на плоскости (t, x) может быть записана в виде = a dt + b dx, где a и b –– функции на плоскости. Рис. . Определение интеграла 1-формы Дифференциальные формы можно интегрировать вдоль ориентированных отрезков кривых. Выберем на отрезке Γ кривой на плоскости ориентирующий параметр u, те. представим Γ в виде образа гладкого отображения I → рис. ) отрезка оси u в плоскость. Интеграл формы ω вдоль Γ определяется как число = R I ω(γ ′ ) du, где γ ′ = dγ/du. Иными словами, интеграл –– это предел интегральных сумм ω(A i ), где A i = γ ′ ( u i )∆ i ; здесь u i –– точки деления отрезка I на отрезки длин ∆ i = u i+1 −u i . Вектор касается Γ и лишь малыми высшего порядка относительно отличается от вектора хорды, соединяющей последовательные точки деления на Γ (рис. ). Глава . Основные понятия Из теоремы о замене переменной в определенном интеграле ∗) вытекает Пðåäëîæåíèå Интеграл формы по ориентированному отрезку кривой не зависит от выбора параметра, согласованного с ориентацией (при изменении ориентации интеграл меняет знак). Очевидно Пðåäëîæåíèå Интеграл формы f (x) dx по отрезку кривой, на котором x можно принять за параметр, совпадает с обычным определенным интегралом функции f Вернемся к доказательству формулы (Значения дифференциальных форм dx/v(x) и dt на векторах, касающихся интегральной кривой, совпадают. Значит, их интегралы вдоль отрезка кривой равны. Согласно предложению , интеграл первой формы равен правой, а второй –– левой части формулы (). . Пример уравнение нормального размножения. Предположим, что величина биологической популяции (например, количество бактерий в чашке Петри или рыб в пруду) равна x и что скорость прироста пропорциональна наличному количеству особей. Рис. . Уравнение размножения ˙ x = Это предположение приближенно выполняется, пока пищи достаточно много.) Наше предположение выражается дифференциальным уравнением нормального размножения = kx, k > По смыслу задачи x > 0, так что поле направлений задано в полуплоскости оно изображено на рис. . Из вида поля направлений ясно, что x растет с ростом t, но неясно, будут ли бесконечные значения x достигнуты за конечное время (вертикальная асимптота у интегральной кривой) или же решение остается конечным при всех t? Наряду с будущим неясно также и прошлое будет ли интегральная кривая стремиться коси при стремлении t к конечному отрицательному пределу или к бесконечному? К счастью, уравнение размножения решается явно по предыдущей теореме согласно формуле (), t − t 0 = x R x 0 dξ kξ , k(t − t 0 ) = ln( x/x 0 ), x = Эта теорема открыта Барроу именно при решении простейших дифференциальных уравнений, теперь называемых уравнениями с разделяющимися переменными § . Фазовые пространства Следовательно, решения уравнения нормального размножения экспоненциально растут при t → +∞ и экспоненциально убывают при −∞; ни бесконечные, ни нулевые значения x при конечных t не достигаются. Для удвоения количества населения согласно уравнению нормального размножения требуется, таким образом, всегда одно и тоже время, независимо от его количества (период удвоения населения Земли сейчас порядка лет. Наука до середины ХХ века также росла экспоненциально (рис. Рис. . Рост числа оригинальных и реферативных научных журналов (по книге В. В. Налимова и З. М. Мульченко Наукометрия (М Наука, Тоже самое дифференциальное уравнение с отрицательным описывает радиоактивный распад. Для уменьшения количества радиоактивного вещества вдвое требуется время T = k −1 ln 2, независимо от начального количества вещества. Это время называется периодом полураспада. Период полураспада широко известного изотопа радия –– лета наиболее распространенного изотопа урана –– 4,5 · 10 9 лет. То же уравнение встречается ив большом числе других задач (в дальнейшем мы увидим, что это неслучайность, а проявление закона природы, по которому всякая функция локально приближенно линейна). Зàäà÷à . На какой высоте плотность воздуха вдвое меньше, чем на поверхности Земли Температуру считать постоянной, кубометр воздуха на поверхности Земли весит 1250 г. Ответ. 8 ln 2 км 5,6 км –– высота Эльбруса Глава . Основные понятия. Пример уравнение взрыва. Предположим теперь, что скорость прироста пропорциональна не количеству особей, а количеству пар = В этом случае при больших x прирост идет гораздо быстрее нормального, а при малых –– гораздо медленнее (эта ситуация встречается скорее в физико-химических задачах, где скорость реакции пропорциональна концентрациям обоих реагентов впрочем, в настоящее время китам некоторых видов так трудно найти себе пару, что размножение китов подчиняется уравнению (), причем x мало). Поле направлений на вид мало отличается от такового для случая обычного размножения (рис. ), но вычисления показывают, что интегральные кривые ведут себя совершенно по-другому. Предположим для простоты, что k = 1. По формуле Барроу находим Рис. . Уравнение взрыва ˙ x = решение t = R dx x 2 + C, те при < C. Интегральные кривые –– половины гипербол (рис. ). Гипербола имеет вертикальную асимптоту. Итак, если прирост населения пропорционален числу пар, то количество населения становится бесконечно большим за конечное время. Физически этот вывод соответствует взрывооб- разному характеру процесса. (Разумеется, при слишком близком к C, идеализация, принятая при описании процесса дифференциальным уравнением, неприменима, так что реальное количество населения за конечное время бесконечных значений не достигает.) Интересно отметить, что вторая половина гиперболы x = (C − также является интегральной кривой нашего уравнения (если продолжить его с полуоси x > 0 на всю ось x). Решения, соответствующие обеим половинам гиперболы, даются одной и той же формулой, но никак не связаны между собой. Связь между этими решениями восстанавливается, если считать время комплексным или если компактифицировать аффинную ось x до проективной прямой (см. гл. З *. Какие из дифференциальных уравнений ˙ x = определяют на аффинной прямой поле фазовой скорости, продолжающееся без особенностей на проективную прямую? Ответ. n = 0, 1 или 2. § . Фазовые пространства. Пример логистическая кривая. Уравнение обычного размножения пригодно, лишь пока число особей не слишком велико. С увеличением числа особей конкуренция из-за пищи приводит к уменьшению скорости прироста. Простейшее предположение состоит в том, что коэффициент k зависит от x как линейная неоднородная функция (при не слишком больших x всякую гладкую функцию можно аппроксимировать линейной неоднородной = a − Мы приходим таким образом к уравнению размножения с учетом конкуренции ˙ x = (a − bx)x. Коэффициенты a и b можно превратить в единицу выбором масштабов t и x. Мы получаем так называемое логистическое уравнение = (1 − Векторное поле фазовой скорости v и поле направлений на плоскости) изображены на рис. Рис. . Векторное поле и полена- правлений уравнения ˙ x = (1 − Рис. . Интегральные кривые уравнения ˙ x = (1 − Мы заключаем отсюда, что интегральные кривые выглядят, как изображено на рис. . Точнее говоря, мы видим, что) процесс имеет два положения равновесия x = 0 и x = 1; ) между точками 0 и 1 поле направлено от 0 ка при x > 1 к точке Таким образом, положение равновесия 0 неустойчиво (раз появившееся население начинает расти, а положение равновесия устойчиво (меньшее население растет, а большее –– убывает). Каким бы ни было начальное состояние x > 0, стечением времени процесс выходит к устойчивому состоянию равновесия x = Из этих соображений неясно, однако, происходит ли этот выход за конечное или за бесконечное время, те. имеют ли интегральные кривые, начавшиеся в области 0 < x < 1, общие точки с прямой = 1? Глава . Основные понятия Можно показать, что таких общих точек нет и что эти интегральные кривые асимптотически стремятся к прямой x = 1 при t → +и к прямой x = 0 при t → −∞. Эти кривые называются логистически- ми кривыми. Таким образом, логистическая кривая имеет две горизонтальные асимптоты (x = 0 и 1) и описывает переход от одного состояния (0) к другому (1) за бесконечное время. Зàäà÷à . Найти уравнение логистической кривой. Рåøåíèå. По формуле () t = R dx/(x(1 − x)) = ln(x/(1 − x)), или x = = e t /(1 + Эта формула доказывает указанное выше асимптотическое свойство ло- гистической кривой. Зàäà÷à . Доказать, что интегральные кривые уравнения ˙ x = (1 − в области x > 1 асимптотически стремятся к прямой x = 1 при t → +∞ и имеют вертикальные асимптоты t = При малых x логистическая кривая практически неотличима от экспоненциальной, те. конкуренция мало влияет нарост. Однако по мере увеличения рост становится неэкспоненциальным и вблизи x = 1/2 экспоненциальная кривая резко уходит вверх от логистической; в дальнейшем ло- гистический рост описывает насыщение системы, те. установление в ней равновесного режима (x = До середины XX века наука росла экспоненциально (см. рис. ). Если такой рост будет продолжаться, ток веку все население Земли будет заниматься наукой, а для печатания научных статей не хватит всех лесов планеты. Следовательно, раньше должно наступить насыщение мы находимся вблизи того места, где логистическая кривая начинает отставать от экспоненциальной. Например, число математических статей в научных журналах после Второй мировой войны дох годов увеличивалось каждый годна, а последние несколько лет –– медленнее. Пример квоты отлова. До сих пор мы рассматривали свободную популяцию, развивающуюся по своим внутренним законам. Предположим теперь, что мы отлавливаем часть популяции (скажем, ловим рыбу в пруду или в океане. Предположим, что скорость вылова постоянна. Мы приходим к дифференциальному уравнению отлова = (1 − x)x − Величина c характеризует скорость вылова и называется квотой. Вид векторного поля и поля фазовой скорости при различных значениях скорости вылова c показан на рис. Мы видим, что при не слишком большой скорости вылова (0 < 1/4) существуют два положения равновесия (A и B на рис. ). § . Фазовые пространства Рис. . Уравнение отлова = (1 − x)x − Нижнее положение равновесия (x = неустойчиво. Если по каким-либо причинам (перелов, болезни) в некоторый момент величина популяции x опустится ниже, тов дальнейшем вся популяция за конечное время вымрет. Верхнее положение равновесия B устойчиво это стационарный режим, на который выходит популяция при постоянном отлове Если c > 1/4, то равновесий нет и вся популяция будет отловлена за конечное время (стеллерова корова и т. п.). При c = 1/4 имеется одно неустойчивое состояние равновесия (A = B = 1/2). Отлов с такой скоростью при достаточно большой начальной численности популяции математически возможен в течение сколь угодно длительного времени, однако сколь угодно малое колебание численности установившейся равновесной популяции вниз приводит к полному вылову популяции за конечное время. Итак, хотя теоретически допустимы любые квоты, вплоть до максимальной (c ¶ 1/4), максимальная квота c = 1/4 приводит к неустойчивости и недопустима. Более того, практически недопустимы и близкие к 1/4 квоты, так как при них опасный порог близок к установившемуся режиму B небольшие случайные отклонения отбрасывают популяцию ниже порога A, после чего она погибает). Оказывается, однако, что можно организовать отлов так, чтобы устойчиво получать улов со скоростью 1 /4 за единицу времени (большего получить нельзя, так как 1 /4 –– это максимальная скорость размножения необлавливаемой популяции). Рис. . Уравнение отлова ˙ x = = (1 − x)x − px . Пример отлов с относительной квотой. Фиксируем вместо абсолютной скорости отлова относительную, те. фиксируем отлавливаемую за единицу времени долю наличной популяции. Вид векторного поля и интегральные кривые (при < 1) изображены на рис. . Глава . Основные понятия Нижнее, неустойчивое положение равновесия теперь в точке x = = 0, второе положение равновесия устойчиво при любом p, 0 < < p < После некоторого периода установления популяция выходит на стационарный режим x = B. Абсолютная скорость отлова устанавливается при этом равной c = pB. Это –– ордината точки пересечения графиков функций v = (1 − x)x ирис, слева. Исследуем поведение этой величины c при изменении p. При малых относительных выловах (малых p) установившаяся скорость отлова также мала при p → 1 она тоже стремится к нулю (перелов). Наибольшее значение абсолютной скорости c равно наибольшей ординате графика функции v = (1 − x)x. Оно достигается, когда прямая v = px проходит через вершину параболы (те. при p = 1/2), и равно c = Выберем p = 1/2 (те. назначим относительную квоту так, чтобы установившаяся популяция составляла половину необлавливаемой). Мы достигли максимально возможной стационарной скорости об- лавливания c = 1/4, причем система остается устойчивой (возвращается к установившемуся состоянию при малых отклонениях начальной популяции от установившейся. Уравнения с многомерным фазовым пространством. В рассматривавшихся выше примерах фазовое пространство было одномерным. В более сложных случаях (например, при учете взаимодействия между несколькими популяциями) точка фазового пространства определяется несколькими числами (двумя для двух популяций и т. д. Определения дифференциального уравнения, решений и т. д. в этом случае аналогичны введенным выше. Повторим эти опреде- ления. Пусть |