В. И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения. В. И. Арнольд Обыкновенные дифференциальные уравнения
 Скачать 4.58 Mb.
|
|
§ . Действие диффеоморфизмов на векторные поля и на поля направлений Основной метод решения и исследования дифференциальных уравнений –– это подбор подходящей замены переменных, те, в геометрических терминах, подходящего диффеоморфизма, упрощающего данное векторное поле или поле направлений. Здесь мы приводим формальные определения необходимых понятий. Мы начнем с напоминания некоторых простых сведений из дифференциального исчисления. Действие гладких отображений на векторы. При рассмотрении всевозможных математических объектов полезно наряду с объектами рассматривать также отображения. Напомню определение действия гладких отображений на векторы. Пусть f : M → N –– гладкое отображение области M линейного пространства в область N линейного пространства, и пусть v –– вектор, приложенный в точке x области-прообраза M, те. стрелочка с началом x рис. ). Тогда в точке-образе f (x) области N также Рис. . Действие гладкого отображения на вектор возникает вектор, обозначаемый через f ∗x v и называемый образом вектора v при отображении f . А именно Оïðåäåëåíèå. Образом вектора v при отображении f называется вектор скорости, с которой движущаяся точка f (ϕ(t)) выходит ∗) В этом состоит так называемая категорная точка зрения. Грубо говоря, категория это совокупность объектов и отображений (пример категория всех линейных пространств и их линейных отображений друг в друга § . Действие диффеоморфизмов на векторные поля из точки f (x), когда движущаяся точка ϕ(t) выходит из точки x со скоростью v: f ∗x v = d dt t=0 f где) = x, d dt t=0 ϕ(t) = Иными словами, стрелочка v сжимается враз, затем под действием f превращается в изогнутую стрелочку, затем последняя растягивается враз и наконец 1000 устремляется к бесконеч- ности. Зàäà÷à . Докажите, что образ вектора v не зависит от выбора движения, лишь бы точка ϕ(t) выходила из x со скоростью Р. Пусть –– другое движение, выводящее из x с такой же скоростью. Тогда расстояние между точками) и ψ(t) при малых |t| есть. Поскольку отображение f гладкое, расстояние между точками-обра- зами f (ϕ(t)) ив также есть o( |t|), что и требовалось. Зàäà÷à . Пусть v –– положительный орт прямой, приложенный в точке, и пусть f (x) = x 2 . Найти О. 2 a · орт. Зàäà÷à . Могут ли две точки на плоскости, движущиеся по разным осям координат, выходить изначала с одинаковым вектором скорости? Оòâåò. Да, если скорость нулевая. Пример) = (t 2 , 0), ψ(t) = (0, Множество всех векторов скоростей движений, выходящих из точки x области M, является линейным пространством это просто пространство векторов, приложенных в точке x. Его размерность Рис. . Касательное пространство равна размерности области M. Это пространство называется касательным пространством в точке x к области M и обозначается Всякому, кто сталкивается с этим впервые, трудно оторвать касательное пространство к линейному пространству от самого линейного пространства. Следующее обобщение призвано помочь справиться с этой трудностью. Рассмотрим какую-либо гладкую поверхность M в R 3 , например сферу. Векторы скоростей, с которыми движущаяся по сфере точка может выходить из заданной точки сферы, очевидно, образуют плоскость (двумерное касательное пространство сферы в заданной точке x); эта касательная плоскость T x M рис. ) явно отделена от самой сферы Определенное выше отображение переводит касательное пространство к области-прообразу, M, в точке x в касательное пространство к области-образу в точке f (x). Глава . Основные понятия Зàäà÷à . Доказать, что отображение T f (x) N линейно. Рåøåíèå. По формуле Тейлора (x + vt) = f (x) + (∂ f /∂x)vt + следовательно, f ∗x = ∂ f /∂x –– линейный оператор. Если в пространствах –– прообразе и образе отображения f –– выбраны декартовы координаты (x 1 , …, x m ) и ( y 1 , …, y n ) соответственно, так что f задается набором n функций от m переменных x j , то компоненты вектора f ∗x v выражаются через компоненты вектора по формуле Иначе говоря, матрица оператора составлена из частных производных ∂ О. Линейный оператор f ∗x называется производной отображения f в точке З . Рассмотрим отображение прямой в плоскость, f (x)= (sin x, cos x). Найти значение его производной на положительно ориентирующем ось x векторе v длины 10, приложенном в точке О = (10 cos α, −10 sin З . Рассмотрим отображение плоскости в плоскость, f (x 1 , x 2 )= = ( x 3 1 + x 1 x 2 , x 2 ) (рис. ). Найти множество всех точек, в которых линейный оператор вырождается, и найти образ этого множества при отобра- Рис. . Критические точки и критические значения отображения Уитни жении f эти два множества называются множествами критических точек и критических значений соответственно). Рåøåíèå. Матрица оператора имеет вид 1 + x 2 x 1 поэтому производная вырождена на параболе x 2 = −3x 2 1 . Ее образ –– полукубическая парабола ( y 1 /2) 2 + ( y 2 /3) 3 = 0. § . Действие диффеоморфизмов на векторные поля Отображение этой задачи называется отображением Уитни (сборкой). Х. Уитни доказал, что особенность сборки типична для гладких отображений плоскости в плоскость (например, всякое близкое к f гладкое отображение имеет поблизости от начала координат подобную особенность). Зàìå÷àíèå. Линейная структура (те. сложение векторов) в касательном к области M в точке x пространстве определена выше при помощи линейной структуры объемлющего M пространства, или иными словами при помощи системы декартовых координат. В действительности как множество T x M, таки структуру линейного пространства в нем, можно определить независимо от выбора системы координат, даже криволинейных, лишь бы эта система координат была допустима, т. е. связана с системой декартовых координат гладкой заменой переменных (диффеоморфизмом). Независимость касательного пространства от системы координат не совсем очевидна, так как нарисованная в области стрелочка (приложенный вектор) при диффеоморфизме изгибается. Не зависящее от системы координат определение вектора скорости выхода из точки x выглядит несколько абстрактно: Оïðåäåëåíèå. Касательным вектором в точке x области M называется класс эквивалентности гладких движений : R → M, для которых ϕ(0) = эквивалентность ∼ ψ определяется условием расстояние между точками Рис. . Класс эквивалентных движений) ив какой-нибудь (и тогда любой) системе координат есть o( |t|) при t → 0 (рис. Ясно, что это действительно отношение эквивалентности Класс эквивалентности движения определяется (при фиксированной системе координат) компонентами вектора скорости выхода) из точки Таким образом, наш бескоординатно определенный вектор превращается в обычную стрелочку, как только система координат фиксирована. Единственное, что нужно доказывать –– это независимость линейных операций над вектором (сложения и умножения на числа) от системы координат, участвующей в их определении. Но эта независимость сразу вытекает из линейности оператора производной отображения в точке (нужно рассмотреть в качестве отображения замену переменных, те. диффео- морфизм, сопоставляющий набору старых координат точки набор ее новых координат). Хотя наше определение не зависит от системы координат, остается еще зависимость от класса всех допустимых систем координат, связанных гладкими заменами переменных. Этот класс называется дифференцируемой структурой, и от него введенные понятия зависят существенным образом Глава . Основные понятия Производная отображения f в точке x есть независящий ни от системы координат в прообразе, ни от системы координат в образе линейный оператор f ∗x : T x M → T f (x) N по самому своему определению () (рис. Рис. . Производная отображения в точке Рис. . Локальный диффеомор- физм может не быть диффео- морфизмом в целом Зàäà÷à . Пусть –– диффеоморфизм M на N. Докажите, что отображение изоморфизм линейных пространств. Зàäà÷à . Верно ли обратное? Оòâåò. Нет, даже если изоморфизм при любом x см. рис. ). . Действие диффеоморфизмов на векторные поля. Оïðåäåëåíèå. В области задано гладкое векторное поле если каждой точке x сопоставлен приложенный в ней вектор v(x) ∈ ∈ T x M, гладко зависящий от точки x если система m координат выбрана, тополе задается своими m компонентами, являющимися гладкими функциями m переменных. Вектор v(x) называется значением поля v в точке Посмотрим, как ведут себя различные объекты при гладких отображениях. Касательные векторы при отображениях g : M → N движутся вперед те. под действием g касательный вектор v к M переходит в касательный вектор g ∗x v к. Функции при отображениях : M → N движутся назад, те. функция f на N порождает функцию на M ее значение в точке x из M равно значению f в образе точки эта функция обозначается g ∗ f ; звездочка сверху символизирует движение назад). Векторные поляне отображаются, вообще говоря, ни вперед, ни назад. Действительно, при отображении две точки прообраза могут перейти в одну и принести туда разные векторы, поэтому поле в прообразе не переносится на образ. Кроме того, многие касательные векторы водной точке прообраза могут иметь общий образ, поэтому поле в образе не переносится в прообраз. Оïðåäåëåíèå. Образом векторного поля при диффеоморфизме на называется векторное поле, значение которого в каждой точке § . Действие диффеоморфизмов на векторные поля является образом вектора исходного поля в прообразе данной точки. Образ поля v при диффеоморфизме g обозначается Иначе говоря, образ g ∗ v поля v в при диффеоморфизме g области на N –– это поле w в N, определенное формулой (рис. ) w( y) = (g ∗x )v( x), где x = Рис. . Действие диффеоморфизма на векторное поле Зàäà÷à . Найти образ поляна прямой под действием диффео- морфизма g(x) = О. ( g ∗ v)( y) = Векторное полена оси x, единственная компонента которого равна v, часто обозначается ∗) символом v ∂/∂x. Удобство этого обозначения состоит в том, что при растяжениях оси ∂/∂x ведет себя как 1 /x. Например, решение предыдущей задачи можно записать так y/2) = 2 ∂ ∂ В этих обозначениях формула действия диффеоморфизма прямой на векторное поле принимает вид следующей формулы замены переменной если y = g(x), то y = ∂ ∂(g(x)) = 1 g ′ ∂ ∂x . Таким образом, обозначение ∂/∂x автоматизирует вычисление действия диффео- морфизмов на поля. Зàäà÷à . Найти образ поля ∂/∂x под действием диффеоморфизма y = О ln y ∂/∂ Если (x 1 , …, x n ) –– фиксированная система координат в R n , то базисные векторные поля (с компонентами (1, 0, …, 0), …, (0, …, 0, обозначаются ∂/∂x 1 , …, ∂/∂x n . Поле с компонентами (v 1 , …, v n ) обозначается поэтому v 1 ∂/∂x 1 + … + В сущности, v ∂/∂x –– это оператор дифференцирования по направлению поля см. § ), но так как оператор v ∂/∂x и поле v однозначно определяют друг друга, их часто отождествляют между собой Глава . Основные понятия Зàäà÷à . Найти образы «эйлерова поляна плоскости под действием следующих диффеоморфизмов: ) поворот вокруг 0; ) гиперболический поворот ) любое линейное преобразование. Оòâåò. З . Докажите, что диффеоморфизм, переводящий векторное поле в поле w, переводит фазовые кривые поля v в фазовые кривые поля Верно ли обратное? Оòâåò. Нет, пример v = x ∂/∂x, w = 2x ∂/∂x. . Замена переменных в уравнении. Пусть w –– образ векторного поля v в M при диффеоморфизме g области M на область те g ∗ v. Тåîðåìà. Дифференциальные уравнения = v(x), x ∈ и = w( y), y ∈ эквивалентны в том смысле, что если ϕ : I → M –– решение первого, то g ◦ ϕ : I → N –– решение второго уравнения, и обратно. Иными словами замена переменных y = g(x) превращает уравнение () в уравнение (). Или еще подстановка g(x) вместо y превращает уравнение () в уравнение Д. Это очевидно. Иными словами, последовательно применяя правило дифференцирования сложной функции, определение решения и определение поля g ∗ v, находим ϕ = g ∗x ˙ ϕ(t) = g ∗x v( x) = w( где x = ϕ(t), y = g(ϕ(t)), что и требовалось доказать. Зàäà÷à . Решить уравнение малых колебаний маятника ˙ x 1 = x 2 , ˙ x 2 = −x 1 , перейдя к полярным координатам ∗) подстановкой x 1 = r cos θ , x 2 = r sin θ Р. Выполнив подстановку, находим ˙ r = 0, ˙ θ = −1, откуда x 1 = = r 0 cos( θ 0 − t), x 2 = r 0 sin( θ 0 − Разумеется, необходимы обычные оговорки, связанные с неоднозначностью полярных координат отображение (r, θ ) 7→ (x 1 , x 2 ) не является диффеоморфизмом плоскости на плоскость. Например, можно рассмотреть заданный этим отображением диффеоморфизм области r > 0, 0 < θ < 2π на плоскость без положительной полуоси и отдельно –– области r > 0, −π < θ < π на плоскость без отрицательной полуоси x 1 § . Действие диффеоморфизмов на векторные поля Рис. . Интегральные кривые на плоскости (r, θ Рис. . Фазовые кривые на плоскости (З . Исследовать фазовые кривые системы Р. Перейдя к полярным координатам, получаем = r(1 − r 2 ), ˙ θ = Фазовые кривые этой системы на плоскости, θ ) совпадают с интегральными кривыми уравнения dr/dθ = r(r 2 − 1). Нарисовав эти кривые (рис. ) и возвращаясь к декартовым координатам, получаем рис. . Единственная особая точка –– начало координат. Начинающиеся вблизи нее фазовые кривые наматываются с ростом времени изнутри на окружность x 2 1 + x 2 2 = = 1. Эта окружность является замкнутой фазовой кривой (предельным циклом. Снаружи на нее также наматываются фазовые кривые. Переход к полярным координатам позволяет и явно проинтегрировать исходную систему. Действие диффеоморфизма на поле направлений. Пусть –– диффеоморфизм области M на область N, и пусть в области задано поле направлений. Тогда в области N также возникает поле направлений. Оно называется образом исходного поля под действием диффеоморфизма g и определяется так. Рассмотрим какую-либо точку y области N рис. ). Она имеет в M единственный прообраз, x = g −1 M. Рассмотрим направление данного поля в точке x. Это –– прямая в касательном пространстве. Возьмем любой ненулевой вектор этой прямой. Его образ под действием g есть ненулевой вектор в касательном пространстве так как g –– диффеоморфизм). Прямая, определенная этим Рис. . Действие диффеоморфизма на поле направлений Глава . Основные понятия вектором, не зависит от выбора вектора исходной прямой (так как линейный оператор. Эта новая прямая и есть прямая нового поля направлений в точке y. Очевидна Тåîðåìà. Интегральные кривые исходного поля направлений в переходят при диффеоморфизме g : M → N в интегральные кривые поля направлений в N, полученного действием g на исходное поле. Рис. . Поле направлений, не достраиваемое до векторного поля Для доказательства достаточно достроить данное поле направлений (в окрестности каждой точки области M) до векторного поля, векторы которого лежат на прямых заданного поля направлений и отличны от нуля, а затем применить теорему п. З . Всякое ли гладкое поле направлений в области на плоскости можно достроить до гладкого векторного поля? Оòâåò. Нет, если область неодносвязна (см. рис. Сформулированная выше теорема показывает, что для решения дифференциального уравнения = v(t, достаточно построить диффеоморфизм, приводящий поле направлений к полю направлений уравнения, которое мы уже умеем решать –– например, уравнения с разделяющимися переменными. Иными словами, достаточно подобрать замену переменных, сводящую уравнение к уже решенному. Зàäà÷à . Подобрать замену переменных так, чтобы в уравнении переменные разделились. Оòâåò. Годятся полярные координаты. Зàäà÷à . Найти диффеоморфизм, превращающий все интегральные кривые уравнения dx/dt = x − 1 в параллельные прямые. Рåøåíèå. Решаем однородное уравнение = Ce t . Находим частное решение неоднородного ˙ Ce t = −1, C = e −t , x = Следовательно, каждое решение неоднородного уравнения имеет вид = 1 + ae t . Отображение, переводящее (t, x) в (t, a), –– искомый диффеомор- физм (a = e −t ( x − 1)), так как вдоль интегральных кривых a –– константа. Дðóãîå ðåøåíèå. Сопоставим точке ( t, x) точку (t, y), где y –– ордината точки пересечения интегральной кривой, проходящей через точку (t, с осью ординат (рис. ). § . Действие диффеоморфизмов на векторные поля Рис. . Выпрямление интегральных кривых Рис. . Невыпрямляемое полена- правлений на плоскости Зàäà÷à . Всякое ли гладкое поле направлений, заданное на всей плоскости, превращается в поле параллельных прямых при подходящем диффео- морфизме? Оòâåò. Нет, см. рис. З . Можно ли диффеоморфизмом плоскости превратить в поле параллельных прямых поле направлений дифференциального уравнения = О. Можно, хотя явную формулу написать нелегко. Действие диффеоморфизма на фазовый поток. Пусть {g t : M → M} –– однопараметрическая группа диффеоморфизмов, и пусть : M → N –– еще один диффеоморфизм на. Оïðåäåëåíèå. Образом потока под действием диффеомор- физма f называется поток {h t : N → N}, где Иными словами, диаграмма коммутативна при любом t. Ясно, что f переводит орбиты группы { g t } в орбиты группы Если рассматривать диффеоморфизм f как замену переменных, то преобразование h t –– это просто преобразование g t , записанное в новых координатах». Зàìå÷àíèå. Потоки и называются иногда эквивалент- ными(или подобными, или сопряженными, а диффеоморфизм f эквивалентностью или сопрягающим диффеоморфизмом). Глава . Основные понятия Зàäà÷à . Докажите, что { h t } –– однопараметрическая группа диффео- морфизмов. Зàäà÷à . Сопряжены ли однопараметрические группы вращений плоскости и ее гиперболических поворотов? Пусть |